Свойства уравнений, с примерами

Равносильные преобразования уравнений

1) К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение или число, имеющие смысл при всех допустимых значениях неизвестного. Полученное уравнение будет равносильно данному.

Пример: уравнение имеет корень . Прибавив к обеим частям по 8, получим уравнение или , которое имеет тот же корень .

2) Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно вычеркнуть.

Пример: уравнение имеет корень . Вычеркнув в обеих частях , получим уравнение , которое имеет тот же корень .

3) Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Пример: уравнение  имеет один корень . Если перенести в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение , которое имеет то же решение .

4) Обе части уравнения можно умножить на любое выражение (число), имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному.

Пример: уравнение имеет корень . Умножив обе части на , получим уравнение или , которое имеет тот же корень .

5) Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению или делению обеих частей на .

Пример: уравнение после умножения обеих частей на примет вид . Первое и второе уравнения имеют единственный корень .

6) Обе части уравнения можно разделить на одно и тоже число, отличное от нуля.

Пример: уравнение имеет единственный корень . Если поделить все элементы уравнения на , то уравнение примет вид  и будет иметь тот же корень.

Источник: http://matmaker.ru/index.php/lessons/introduction-ex4/properties-of-equations/

Характеристика химических реакций

Химические реакции в природе и быту

Типы химических реакций

Химическая реакция соединения

Химическая реакция разложения

Химическая реакция замещения

Химическая реакция обмена

Признаки химических реакций

Как определить признак химической реакции

Скорость химической реакции

Равновесие химической реакции

Условия возникновения химических реакций

Тепловой эффект химической реакции

Химические реакции, видео

Характеристика химических реакций

Химические реакции, их свойства, типы, условия протекания и прочая, являются одним из краеугольных столпов интересной науки под названием химия. Попробуем же разобрать что такое химическая реакция, и какова ее роль.

Итак, химической реакцией в химии принято считать превращение одного либо нескольких веществ, в другие вещества.

При этом ядра атомов у них не меняются (в отличие от реакций ядерных), зато происходит перераспределение электронов и ядер, и, разумеется, появляются новые химические элементы.

Химические реакции в природе и быту

Мы с вами окружены химическими реакциями, более того мы сами их регулярно осуществляем различными бытовыми действиями, когда например, зажигаем спичку. Особенно много химических реакций сами того не подозревая (а может и подозревая) делают повара, когда готовят еду.

Разумеется, и в природных условиях проходит множество химических реакций: извержение вулкана, фотосинтез листвы и деревьев, да что там говорить, практически любой биологический процесс можно отнести к примерам химических реакций.

Типы химических реакций

Все химические реакции можно условно разделить на простые и сложные. Простые химические реакции, в свою очередь, разделяются на:

• реакции соединения,
• реакции разложения,
• реакции замещения,
• реакции обмена.

Далее мы подробно остановимся на каждом из этих видов химических реакций, известных химии.

Химическая реакция соединения

По весьма меткому определению великого химика Д. И. Менделеева реакция соединения имеет место быть когда «их двух веществ происходит одно».

Примером химической реакции соединения может быть нагревание порошков железа и серы, при которой из них образуется сульфид железа – Fe+S=FeS.

Другим ярким примеров этой реакции является горение простых веществ, таких как сера или фосфор на воздухе (пожалуй, подобную реакцию можно также назвать тепловой химической реакцией).

Химическая реакция разложения

Тут все просто, реакция разложения является противоположностью реакции соединения. При ней из одного вещества получается два или более веществ. Простым примером химической реакции разложения может быть реакция разложение мела, в ходе которой из собственно мела образуется негашеная известь и углекислый газ.

Химическая реакция замещения

Реакция замещения осуществляется при взаимодействии простого вещества со сложным. Приведем пример химической реакции замещения: если опустить стальной гвоздь в раствор с медным купоросом, то в ходе этого простого химического опыта мы получим железный купорос (железо вытеснит медь из соли). Уравнение такой химической реакции будет выглядеть так:

Fe+CuSO4→ FeSO4+Cu

Химическая реакция обмена

Реакции обмена проходят исключительно между сложными химическими веществами, в ходе которых они меняются своими частями. Очень много таких реакций имеют место быть в различных растворах. Нейтрализация кислоты желчью – вот хороший пример химической реакции обмена.

NaOH+HCl→ NaCl+Н2О

Так выглядит химическое уравнение этой реакции, при ней ион водорода из соединения HCl обменивается ионом натрия из соединения NaOH. Следствием этой химической реакции является образование раствора поваренной соли.

Признаки химических реакций

По признакам протекания химических реакций можно судить прошла ли химическая реакция между реагентами или нет. Приведем примеры признаков химических реакций:

• Изменение цвета (светлое железо, к примеру, во влажном воздухе покрывается бурым налетом, как результат химической реакции взаимодействия железа и кислорода).
• Выпадение осадка (если вдруг через известковый раствор пропустить углекислый газ, то получим выпадение белого нерастворимого осадка карбоната кальция).
• Выделение газа (если Вы капнете на пищевую соду лимонной кислотой, то получите выделение углекислого газа).
• Образование слабодиссоциированных веществ (все реакции, в результате которых образуется вода).
• Свечение раствора (примером тут могут служить реакции, происходящие с раствором люминола, излучающего при химических реакциях свет).

В целом, трудно выделить какие признаки химических реакций являются основными, для разных веществ и разных реакций характерны свои признаки.

Как определить признак химической реакции

Определить признак химической реакции можно визуально (при изменении цвета, свечении), или по результатам этой самой реакции.

Скорость химической реакции

Под скоростью химической реакции обычно понимают изменение количества одного из реагирующих веществ за единицу времени. Притом, скорость химической реакции всегда положительная величина. В 1865 году химиком Н. Н.

Бекетовым был сформулирован закон действия масс гласящий, что «скорость химической реакции в каждый момент времени пропорциональна концентрациям реагентов, возведенным в степени, равные их стехиометрическим коэффициентам».

К факторам скорости химической реакции можно отнести:

• природу реагирующих веществ,
• наличие катализатора,
• температуру,
• давление,
• площадь поверхности реагирующих веществ.

Все они имеют самое прямое влияние на скорость протекания химической реакции.

Равновесие химической реакции

Химическим равновесием называют такое состояние химической системы, при котором протекает несколько химических реакций и скорости в каждой паре прямой и обратной реакции равны между собой.

Таким образом, выделяется константа равновесия химической реакции – это та величина, которая определяет для данной химической реакции соотношение между термодинамическими активностями исходных веществ и продуктов в состоянии химического равновесия.

Зная константу равновесия можно определить направление протекания химической реакции.

Условия возникновения химических реакций

Чтобы положить начало химических реакций, необходимо для этого создать соответствующие условия:

• приведение веществ в тесное соприкосновение.
• нагревание веществ до определенной температуры (температура химической реакции должна быть подходящей).

Тепловой эффект химической реакции

Так называют изменение внутренней энергии системы как результат протекания химической реакции и превращения исходных веществ (реактантов) в продукты реакции в количествах, соответствующих уравнению химической реакции при следующих условиях:

• единственно возможной работой при этом есть только лишь работа против внешнего давления.
• исходные вещества и продукты, полученные в результате химической реакции, имеют одинаковую температуру.

Химические реакции, видео

И в завершение интересно видео про самые удивительные химические реакции.

При написании статьи старался сделать ее максимально интересной, полезной и качественной. Буду благодарен за любую обратную связь и конструктивную критику в виде комментариев к статье. Также Ваше пожелание/вопрос/предложение можете написать на мою почту pavelchaika1983@gmail.com или в Фейсбук, с уважением автор.

Эта статья доступна на английском языке – Chemical Reactions.

Источник: https://www.poznavayka.org/himiya/himicheskie-reaktsii-tipyi-svoystva-uravneniya/

Два основных свойства уравнений

• 6x + 7 = 31.
• Решив его, найдем единственный корень: x = 4.
• Прибавим к обеим частям уравнения одно и то же число 15:
• 6x + 22 = 46
• Решив это уравнение, найдем, что и оно имеет единственный корень: x = 4.
• Прибавив к обеим частям данного уравнения –7; ; –4, получим уравнения:

1. Решив их, опять получим для всех уравнений тот же единственный корень: x = 4.
2. 2. Пусть дано уравнение:
3. 3x – 7 = 8.

4. Решив его, найдем его единственный корень: x = 5.
5. Прибавим к обеим частям этого уравнения одночлен –2x, получим уравнение:
6. 3x – 7 – 2x = 8 – 2x;x – 7 = 8 – 2x.

Подставив в него значение x = 5, убедимся, что 5 является корнем и этого уравнения. На основании свойства 1 это уравнение никаких других решений иметь не может.

В самом деле, при x = 5 обе части этого уравнения равны одному и тому же числу. Если дадим x значение, больше 5, то левая часть уравнения x – 7 = 8 – 2x увеличится (так как увеличится уменьшаемое), а правая уменьшится (так как увеличится вычитаемое) и, следовательно, равенство нарушится. Если же дадим х значение, меньшее 5, то, наоборот, левая часть уменьшится, а правая увеличится.

• Следовательно, уравнение x – 7 = 8 – 2x равносильно уравнению 3x – 7 = 8.
• 3. Пусть дано уравнение:
• 2x + 6 = 2(x + 1) + 4.
• Этому уравнению удовлетворяют любые значения неизвестного (в чем убедимся, раскрыв скобки).
• Прибавив к обеим частям числа 7, –4, получим уравнения:
• 2x + 13 = 2(x + 1) + 11, 2x + 2 = 2(x + 1).

Эти уравнения тоже удовлетворяются любыми значениями x. Значит, оба эти уравнения равносильны данному уравнению.

1. 4. Возьмем уравнение:
2. x = x + 3.
3. Это уравнение не имеет решений. Прибавив к обеим частям, например, x2 – 3, получим уравнение:
4. x2 + x – 3 = x2 + x.
5. Очевидно, что и это уравнение не имеет решения, так как при любых значениях x правая часть будет на 3 больше левой.
6. Значит, и в этом случае получили уравнение, равносильное данному.

Свойство 2. Если обе части уравнения умножить на одно и то же не равное нулю число, то новое уравнение будет равносильно данному.

• Примеры.
• 1. Возьмем, например, уравнение:
• 3x – 5 = 13.
• Оно имеет единственный корень: x = 6.
• Умножим обе части его на 4:
• 12x – 20 = 52.

Решив это уравнение, найдем, что и оно имеет единственный корень: x = 6. Значит, оба уравнения равносильны.

Умножив обе части данного уравнения на –2; на 5; на, получим уравнения:

Решив их, найдем для каждого единственный корень: x = 6. Значит, все они равносильны данному уравнению.

1. 2. Возьмем уравнение:
2. 2x + 6 = 2(x + 1) + 4.
3. Мы уже знаем, что этому уравнению удовлетворяют любые значения неизвестного. Умножив обе его части на 3; –2;, получим уравнения:
4. 6x + 18 = 6(x + 1) + 12; –4x – 12 = –4(x + 1) – 8;x + 3 = (x + 1) + 2.

Легко убедиться, раскрыв в правой части скобки, что каждому из этих уравнений удовлетворяет любое значение неизвестного. Значит, они равносильны данному уравнению.

• 3. Взяв, наконец, уравнение
• 2x + 7 = 2x + 9,
• не имеющее решений, умножим обе части его, например, на числа –3;. Получим уравнения:

1. Легко видеть, что оба эти уравнения тоже не имеют решений и, следовательно, равносильны данному уравнению.
2. Пользуясь этими двумя свойствами, мы можем теперь все уравнения, которые решали раньше, решать, уже не ссылаясь на зависимость между данными и результатами арифметических действий.
3. Решим, например, уравнение:
4. (1)
5. Прибавим к обеим частям уравнения по 7. На основании первого свойства полученное уравнение
6. (2)
7. равносильно данному.
8. Умножим обе части этого уравнения на 8. На основании второго свойства полученное уравнение
9. 5x = 160
10. равносильно (2), а следовательно, и данному. Разделив обе части этого уравнения на 5 (или умножив на ), получим уравнение
11. x = 32,
12. равносильное данному.

Источник: https://mthm.ru/algebra6/equation-properties

Уравнение и его корни: определения, примеры

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Определение 1

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t, r, m др., но чаще всего используются x, y, z. Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x=5, y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3.

Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10.

Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x·(8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17).

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Определение 2

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x+3=6·x+7 – это уравнение с переменной x, а 3·y−1+y=0 – уравнение с переменной y.

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Определение 3

К примеру, равенство вида 3,7·x+0,6=1 является уравнением с одной переменной x, а x−z=5 – уравнением с двумя переменными x и z. Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x2+(y−6)2+(z+0,6)2=26.

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Пример 1

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a+1=5 мы заменим букву числом 2, то равенство станет неверным, а если 4, то получится верное равенство 4+1=5.

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Определение 4

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Пример 2

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a+1=5. Согласно определению, корнем в данном случае будет 4, потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2+1=5.

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0·x=5. Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0.

Пример 3

Так, в уравнении x−2=4 есть только один корень – шесть, в x2=9 два корня ­­– три и минус три, в x·(x−1)·(x−2)=0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅. Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня -2, 1 и 5, то пишем -2, 1, 5 или {-2, 1, 5}.

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y, а корнями являются 2 и 7, то мы пишем y=2 и y=7. Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x1=3, x2=5. Таким образом мы указываем на номера корней.

Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N, целых ­– Z, действительных – R.

Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x∈Z, а если любое действительное от единицы до девяти, то y∈1, 9.

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Определение 5

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Пример 4

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как (3,4).

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/uravnenie-i-ego-korni/

Применение свойств функций для решения уравнений (стр. 1 из 2)

Применение свойств функций для решения уравнений

Т.С. Кармакова, доцент кафедры алгебры ХГПУ

В предлагаемой статье речь идет о нестандартных приемах решения уравнений, основанных на простых и хорошо известных учащимся свойствах и характеристиках функций, таких как непрерывность, монотонность наибольшее и наименьшее значение.

Используя предлагаемые автором задачи и методы их решения, учитель сможет сформировать у учащихся более широкий взгляд на область применения различных этих свойств.

Ведь не секрет, что в стандартном курсе школьной математики свойства функций применяются в основном для построения их графиков.

В соответствии с обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего образования, утвержденным Министерством образования РФ (пр. №56 от 30.06.99), все учащиеся должны знать три основных метода решения уравнений:

• Разложение на множители,
• Замена переменных,
• Использование свойств функций.

Рассмотрим на конкретных примерах сущность третьего метода.

Этот метод применяется тогда, когда уравнение F(x)=G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения.

Продемонстрируем использование некоторых свойств функций к решению уравнений указанного выше вида в случае, когда F(x) и G(x) — любые элементарные функции.

1. Использование области определения и области значения функций
2. Решить уравнение
3. Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения функции

. Областью определения этой функции (в соответствии с определением степени с рациональным показателем) является множество положительных действительных чисел.

Ответ: x>0.

Решить уравнение sinxctgx=cosx.

Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения уравнения. Область определения уравнения – это общая часть областей определения функций, входящих в уравнение. Следовательно, множество решений уравнения – множество всех действительных чисел, кроме x=kp, где kÎZ.

Ответ: x¹kp, где kÎZ.

Решить уравнение

.

Решение: У этого уравнения нет корней, так как область значений функции

при x³1 есть множество неотрицательных чисел, а функция при всех x принимает отрицательные значения.

• Решить уравнения:
• а)
• б)

в)

г)

д)

1. е)
2. Ответы: а) x>0, x¹1; б) êxê£1; в) x¹0; г) x³0; д) Нет корней; е) x¹0.
3. Использование экстремальных значений функций
4. Сущность этого способа решения уравнений в том, что оцениваются правая и левая части уравнения F(x)=G(x) и, если одна из функций принимает значение не меньше некоторого числа А, а другая – не больше этого же числа А, то данное уравнение заменяется системой уравнений:
5. Этот способ может быть применен к решению следующих уравнений:
6. в обеих частях уравнения стоят функции разного вида;
7. в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная снизу;
8. в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой – конкретное число.
9. Рассмотрим конкретные примеры.
10. 2.1 Решить уравнение

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

а)

, так как , а ;

б)

, так как .

• Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе
• Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое равенство:
• Ответ: х=-2.
• 2.2 Решить уравнение
• Решение: левая часть уравнения не больше двух, а правая – не меньше двух, следовательно, данное уравнение равносильно системе:

Второе уравнение в этой системе имеет единственный корень х=0. Подставляя найденное значение х в первое уравнение, получаем верное числовое равенство.

1. Ответ: х=0.
2. 2.3 Решить уравнение
3. Решение: Оценим левую часть уравнения:
4. Ответ: нет корней.
5. 2.4 Решить уравнения:
6. а)
7. б)
8. в)
9. г)
10. д)
11. е)

, следовательно, . Получили, что в данном уравнении левая часть не больше восьми, а правая часть равна девяти при всех действительных значениях переменной х, поэтому данное уравнение не имеет корней.

Ответы: а) p; б) 0; в) 0; г) 0.5; д) 1; е) нет корней.

• Использование монотонности функций
• Этот способ основан на следующих теоретических фактах:
• Если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение F(x)=G(x) имеет единственное решение, либо вообще не имеет решений;
• Если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней.
• Сущность этого способа состоит в том, исследуются на монотонность левая и правая части уравнения и, если оказывается, что функции удовлетворяют какому — либо из приведенных условий, то найденное подбором решение будет единственным корнем уравнения.
• Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений:
• уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида;
• уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции;
• уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.
• Рассмотрим примеры.
• 3.1 Решить уравнение
• Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции
• Ответ: х=3.
• 3.2 Решить уравнение

. Первая из них –убывающая (так как это — логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая – возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения.

Решение: Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим, удовлетворяют ли функции, образующие уравнение, условиям, при которых можно утверждать, что других корней нет. Сначала рассмотрим

. Исследуем ее на монотонность с помощью производной: . Решаем биквадратное уравнение , ,

1. поэтому
2. Теперь исследуем функцию
3. Ответ: х=2
4. 3.3 Решить уравнение

при всех значениях хÎR., следовательно, функция f(x)- возрастающая. . Как легко установить, она убывает при всех значениях хÎR. Из проведенного исследования можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень данного уравнения.

Источник: https://mirznanii.com/a/313097/primenenie-svoystv-funktsiy-dlya-resheniya-uravneniy

Уравнение — это… Что такое Уравнение?

Уравне́ние — это равенство вида

или, в приведённой форме

где и  — функции (в общем случае — векторные) одного или нескольких аргументов.

Решение уравнения

Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

• Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».
• Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
• Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.
• Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения

Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.

Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.

Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.

Третье важное свойство задается теоремой: уравнение

Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений и позволяет находить корни частями.

Основные свойства

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
2. В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
3. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.
4. К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.
5. Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.
6. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению.

Однако для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или в случае вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения), содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающим значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному).

Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.

Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

Следствие уравнения и посторонние корни

Уравнение

называется следствием уравнения

,

если все корни второго уравнения являются корнями первого. Первое уравнение может иметь дополнительные корни, которые для второго уравнения называются посторонними.

Посторонние корни могут появиться при преобразованиях, необходимых для нахождения корней уравнений. Для того чтобы их обнаружить, необходимо проверить корень подстановкой в исходное уравнение.

Если при подстановке уравнение становится тождеством, то корень настоящий, если нет — посторонний.

Пример

Уравнение

при возведении обеих частей в квадрат дает уравнение

или

Оба уравнения являются следствием исходного. Последнее из них легко решить. Оно имеет два корня

и .

При подстановке первого корня в исходное уравнение образуется тождество

При подстановке другого корня получается неправильное утверждение:

.

Таким образом, второй корень нужно отбросить, как посторонний.

Виды уравнений

Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.

Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры.

Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.

Уравнение, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удается, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определенного заранее заданного значения.

Примеры уравнений

• , где  — натуральные числа

См. также

Литература

• Бекаревич, А. Б. Уравнения в школьном курсе математики / А. Б. Бекаревич. — М., 1968.
• Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. — 2004. — № 1.
• Каплан Я. В. Рівняння. — Киев: Радянська школа, 1968.
• Уравнение — статья из Большой советской энциклопедии
• Уравнения // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.
• Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
• Уравнение // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

Ссылки

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/14610