Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

  • Тема: Теорема о сумме внутренних углов треугольника».
  • Цели:
  • — ознакомить учащихся с теоремой о сумме внут­ренних углов треугольника;
  • — развитие творческих спо­собностей, познавательной активности, зрительной
  • па­мяти, математически грамотной речи, логического мышления и
  • вычислительных навыков при решении за­дач;
  • — воспитание трудолюбия, культуры общения и диа­лога, привитие
  • сознательного отношения к предмету.
  • Оборудование:
  • компьютер, различные виды треугольни­ков, плакаты, таблицы, геометрические принадлежности.
  • Тип урока: знакомство с новым материалом.

Исп. метод: исследование, работа в малых группах.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Основное уравнение мкт в физике

Оценим за полчаса!

Форма контроля: устный.

Блок-схема урока.

Этапы урока Время
1 Организационный момент 2 мин
2 Подведение к теме урока 3 мин
3 Работа над новым материалом 15 мин
4 Закрепление нового материала 20 мин
5 Подведение итогов урока 2 мин
6 Домашнее задание 3 мин

Ход урока

I. Орг.момент. Вступительное слово.

II.Устное повторение ранее изученных тем.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Как поставить римские цифры в ворде

Оценим за полчаса!

На экране несколько видов треугольников (1—8).

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

1) Назовите тупоугольные треугольники (3,8).

2) Какие треугольники прямоугольные? (1,4).

3) Какие треугольники равнобедренные? (2,7).

4) Какого вида еще треугольники изображены на экране?

5) Из каких треугольников можно получить прямо­угольник? (1,4). Чему равна сумма углов прямоуголь­ника? (360°). Почему? (Потому что каждый угол равен 90°, всего 4 угла, 4*90=360. Значит, сумма углов тре­угольника равна 180 ° и составляет половину).

III. Работа над содержанием новой темы.

Активизирующие упражнения.

Задача 1. Даны треугольники.

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

Транспортиром измерьте все три угла Теорема о сумме углов треугольника, доказательство АВС, Теорема о сумме углов треугольника, доказательствоMNT, Теорема о сумме углов треугольника, доказательствоPQR.

Заполните таблицу по результатам вычислений. Какое свойство вы заметили? Выразите его в одном предложении.

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

2. Работа с раздаточным материалом.

Каждому ученику раздаются треугольникис обо­значенными углами Теорема о сумме углов треугольника, доказательство 1, Теорема о сумме углов треугольника, доказательство 2, Теорема о сумме углов треугольника, доказательство 3. Необходимо оторвать их углы таким образом, чтобы можно было сложить их на одной прямой.

Какой вывод можно сделать?

Теорема: Сумма внутренних углов треугольникаравна 180°.

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

  1. Дано: АВС.
  2. Доказать:
  3. А+ В+ С=180°.
  4. Доказательство:
  5. Проведем через вершину А прямую а||ВС .
  6. 1= 4 как накрест лежащие углы при а||ВС и АВ секущей.
  7. 3=5 как накрест лежа­щие углы при а||ВС и АС секущей.
  8. 4+2+5=180°, l+ 2+ 3 =180°.
  9. A+B+C=180°.
  10. IV. Закрепление темы:
  11. № 1 устно; № 2 устно;
  12. № 4 (a, b).

а) 1= 5°, 2 =55°, С=120°. 5+55+120=180° . Ответ: существует.

Ь ) 1=100°, 2=20°, 3=50°. 100+20+50=170. Ответ: не существует.

5) Дано: АВС. А =60°, С=40°

Найти В. .

  • Решение:
  • А+ В+ С=180°.
  • В=180°-(60°+40°)=80°.
  • Ответ: В=80°.
  • 6) Дано: АВС, С=90° и С=45°.
  • Найти В.
  • Решение:

В=180°-(90°+45°)=45°. Ответ: В=45°.

A 70 10 100
B 90 60
C 70

1) Первый треугольник какой? (Равнобедренный).

2) 2-й треугольник какой?

3) 3-й треугольник какой?

5. Анаграмма.

  1. Поменяйте местами буквы и получите слово.
  2. УЛОГ УГОЛ
  3. САМУМ СУММА
  4. ГУРДАС ГРАДУС
  5. МТЕР МЕТР

Какое слово не относится к сегодняшней теме? Где используется эта мера? Какие профессии пользуются этой мерой измерения? (Ответы детей).

6. Психологический тест.

Ученикам предлагаются вырезанные из цветной бума­ги фигуры. Каждый из них выбирает одну из этих фигур.

Если вашей основной формой оказался квадрат, то вы — неутомимый труженик. Трудолюбие, усердие, потребность доводить на­чатое дело до конца, упорство — вот чем, прежде всего, знамениты истинные квадраты.

  • Психологическая характеристика тре­угольника: символизирует лидерство (далее зачитываются особенности треугольника).
  • Психологическая характеристика прямоугольника: символизирует состояние перехода и измене­ний
  • Круг — это мифологический символ гармонии (зачитывается характеристика» круга).

Подведение итогов урока. Оценивание учащихся.

VI. Домашняя работа: № 7, 8 стр 16 учебника.

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/teorema_o_summe_vnutrennih_uglov_treugolnika_144624.html

Сумма углов треугольника — урок. Геометрия, 7 класс

Сумма углов треугольника равна (180°).

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

  • Доказательство
  • Рассмотрим произвольный треугольник (KLM) и докажем, что ∡ (K) (+) ∡ (L) (+) ∡ (M =) 180°.
  • Проведём через вершину (L) прямую (a), параллельную стороне (KM).
  • Углы, обозначенные (1), являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых (a) и (KM) секущей (KL), а углы, обозначенные (2) — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей (ML).

Очевидно, сумма углов (1), (2) и (3) равна развёрнутому углу с вершиной (L), т. е. ∡ (1) (+) ∡ (2) (+) ∡ (3 =) 180°, или ∡ (K) (+) ∡ (L) (+) ∡ (M =) 180°.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Следствие 2.  В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Следствие 3.  В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Следствие 4.  В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

Доказательство

Из равенств ∡ (KML) (+) ∡ (BML=) 180° и ∡ (K) (+) ∡ (L) (+) ∡ (KML =) 180° получаем, что ∡ (BML =) ∡ (K) (+) ∡ (L).

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Как гласит четвёртое следствие из теоремы о сумме углов треугольника, можно выделить три вида треугольников в зависимости от углов.

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

У треугольника (KLM) все углы острые.

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

  1. У треугольника (KMN) угол (K = 90)°.
  2. У прямоугольного треугольника сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две остальные стороны — катетами.
  3. На рисунке (MN) — гипотенуза, (MK) и (KN) — катеты.

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

У треугольника (KLM) один угол тупой.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/7-klass/sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-9155/summa-uglov-treugolnika-9171/re-b78850d5-a0e0-4093-bad3-7e82a520e7d7

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема

Сумма углов треугольника равна 1800

Данная теорема является одной из важнейших теорем геометрии.

Доказательство

  • Дано: ABC
  • Доказать: A+B+C=1800
  • Доказательство:
  • Нам дан ABC

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

Проведем прямую aAC, проходящую через вершину B и обозначим углы.

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

Углы 1 и 4; 3 и 5 будут являться накрест лежащими углами при параллельных прямых a и AC, секущих AB и BC соответственно, 4 =1, 5 =3.

Из построения мы видим, что сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной B, значит 4+2+5 = 1800. , учитывая то, что 4 =1, 5 =3, можем записать, что 1+2+3 = 1800, или A+B+C = 1800. Что и требовалось доказать.

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Доказательство:

Пусть нам дан треугольник, в котором  3 и 4 смежные (т.е. 4 является внешним углом данного треугольника)

Так как данные углы смежные мы можем записать, что 3 +4 = 1800, а по теореме о сумме углов треугольника (1 +2) + 3 = 1800. Из данных выражений мы видим, что  4 = 1 +2. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  1. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
  2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
  3. Неравенство треугольника
  4. Некоторые свойства прямоугольных треугольников
  5. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  6. Уголковый отражатель
  7. Расстояние от точки до прямой
  8. Расстояние между параллельными прямыми
  9. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  10. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
  11. Построение треугольника по трем его сторонам
  12. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

  • 7 класс
  • Задание 232, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 242, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 335, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 339, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 376, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 5, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 661, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 678, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 702, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 856, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  1. © budu5.com, 2020
  2. Пользовательское соглашение
  3. Copyright
  4. Нашли ошибку?
  5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3413

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника

Вначале рассмотрим непосредственно понятие треугольника.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками
(рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.

Теорема о сумме углов в треугольнике

Введем и докажем одну из основных теорем, связанную с треугольников, а именно теорему о сумме углов в треугольнике.

Теорема 1

Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^circ$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $EGF$. Докажем, что сумма углов в этом треугольнике равняется $180^circ$. Сделаем дополнительное построение: проведем прямую $XY||EG$ (рис. 2)

  • Так как прямые $XY$ и $EG$ параллельны, то $∠E=∠XFE$ как накрест лежащие при секущей $FE$, а $∠G=∠YFG$ как накрест лежащие при секущей $FG$
  • Угол $XFY$ будет развернутым, следовательно, равняется $180^circ$.
  • Получим
  • $∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^circ$
  • Следовательно
  • $∠E+∠F+∠G=180^circ$
  • Теорема доказана.

Теорема о сумме углов треугольника, доказательство

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Теорема о внешнем угле треугольника

Еще одной теоремой о сумме углов для треугольника можно считать теорему о внешнем угле. Для начала введем это понятие.

Определение 4

Внешним углом треугольника будем называть такой угол, который будет смежным с каким-либо углом треугольника (рис. 3).

Читайте также:  Размеры и масса атомов и молекул

Рассмотрим теперь непосредственно теорему.

Теорема 2

Внешний угол треугольника равняется сумме двух углов треугольника, которые не являются смежным для него.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник $EFG$. Пусть он имеет внешний угол треугольника $FGQ$ (рис. 3).

  1. По теореме 1 ,будем иметь, что $∠E+∠F+∠G=180^circ$, следовательно,
  2. $∠G=180^circ-(∠E+∠F)$
  3. Так как угол $FGQ$ внешний, то он смежен с углом $∠G$, тогда
  4. $∠FGQ=180^circ-∠G=180^circ-180^circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
  5. Теорема доказана.

Пример задач

Пример 1

Найти все углы треугольника, если он является равносторонним.

Решение.

Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то будем иметь, что и все углы в нем также равны между собой. Обозначим их градусные меры через $α$.

  • Тогда, по теореме 1 будем получать
  • $α+α+α=180^circ$
  • $3α=180^circ$
  • $α=60^circ$
  • Ответ: все углы равняются по $60^circ$.

Пример 2

  1. Найти все углы равнобедренного треугольника, если один его угол равняется $100^circ$.
  2. Решение.
  3. Введем следующие обозначения углов в равнобедренном треугольнике:

Так как нам не дано в условии, какой именно угол равняется $100^circ$, то возможны два случая:

    • Угол, равный $100^circ$ — угол при основании треугольника.
    • По теореме об углах при основании равнобедренного треугольника получим
    • $∠2=∠3=100^circ$

    Но тогда только их сумма будет больше, чем $180^circ$, что противоречит условию теоремы 1. Значит, этот случай не имеет места.

  1. Угол, равный $100^circ$ — угол между равными сторонами, то есть

    $∠1=100^circ$

  1. Так как треугольник равнобедренный, то $∠2=∠3$,
  2. По теореме 1, получим
  3. $∠1+∠2+∠3=180^circ$
  4. $2∠2+100^circ=180^circ$
  5. $2∠2=80^circ$
  6. $∠2=40^circ$
  7. Ответ: $40^circ$, $40^circ$, $100^circ$.

Пример 3

Найти угол $XZO$ на рисунке 4, если $∠XOZ=45^circ$, а $∠Y=25^circ$

  • Решение.
  • Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, то получим, что $∠X=∠Y=25^circ$
  • Из треугольника $XOZ$, по теореме 1, получим
  • $∠X+∠XOZ+∠XZO=180^circ$
  • Тогда
  • $∠XZO=180^circ-∠X-∠XOZ=180^circ-25^circ-45^circ=110^circ$
  • Ответ: $110^circ$.

Пример 4

  1. Найти угол $XOZ$ на рисунке 4, если $∠XZO=45^circ$, а $∠Y=25^circ$
  2. Решение.
  3. Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, то получим, что $∠X=∠Y=25^circ$
  4. Из треугольника $XYZ$, по теореме 1, получим
  5. $∠X+∠Y+∠Z=180^circ$
  6. $∠Z=180^circ-∠X-∠Y=180^circ-25^circ-25^circ=130^circ$
  7. $∠OZY=∠Z-∠XZO=130^circ-45^circ=85^circ$
  8. По теореме 2, получим
  9. $∠XOZ=∠OZY+∠Y=85^circ+25^circ=110^circ$
  10. Ответ: $110^circ$.

Источник: https://spravochnick.ru/geometriya/sootnoshenie_mezhdu_storonami_i_uglami_treugolnika/summa_uglov_treugolnika_teorema_o_summe_uglov_treugolnika/

1 Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.
2 Какой угол называется — Школьные Знания.com

1) Сумма углов треугольника равна 180°. Доказательство

Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида) . Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана. 2) Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике ∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º. Отсюда следует ∠ ABС + ∠ CAB = 180 º — ∠ BCA = ∠ BCD Теорема доказана. Из теоремы следует:

Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.

3) Сумма углов треугольника = 180 градусов. Если один из углов прямой (90 градусов) на два остальных приходится тоже 90. значит, каждый из них — меньше 90 то есть они — острые. если один из углов — тупой, то на два остальных приходится менее 90 то есть они явно острые. 4) тупоугольный — больше 90 градусов остроугольный — меньше 90 градусов5) а.

Треугольник, у которого один из углов равен 90 градусов.

б. Катеты и гипотенуза6) 6°. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона. Любой отрезок имеет одну и только одну середину. 7) По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит гипотенуза больше каждого из катетов8) — тоже самое, что и 7

9) 

сумма углов треугольника равно 180 градусов. а если бы аждая сторона треугольника была бы больше суммы двух других сторонон, то сумма углов была бы больше 180, что невозможно. следовательно — каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.10) Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Т. к.

этот треугольник прямоугольный, то один из углов у него прямой, т. е. равен 90 градусам.

Следовательно, сумма двух других острых углов равна 180-90=90 градусов. 11) 1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А — прямой, угол В = 30 градусам а угол С = 60.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD.

Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60 градусов, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать.2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.докажем это.

рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60 градусам.

Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30 градусов,что и требовалось доказать.

Высшая математика. Скалярное произведение векторов
В треугольнике АВС, где А (1,1,5), В (-2,0,7

Найди углы, если ∢DBC=23°. ∢DBE= °; ∢EBA= °; ∢CBA= °.

Яка фігура є геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від двох даних точок?​

Сторона параллелограмма AB равна диагонали BD, длина которой 29 см, сторона AD равна 40 см.
1. Определи площадь параллелограмма:

Соберите сведения о горных породах вашего края(Петербург). Опишите, как люди в вашей местности их используют. Какие источники информации вы предполага

ете использовать для выполнения задания?

В треугольнике ABC ∠C = 90°, АВ = 36 см, СВ = 18 см. Чему равен ∠В?
Выделите цветом правильный вариант ответа:
60°
30°
45°
50°

У трикутнику AMK кут , M=90 АС бісектриса ,МАК=60 знайдіть довжину катета МК якщо МС =4 см

Если дуга окружности равна 400 см. чему равен соответствующий центральный угол.

Як називається хорда, яка проходить через центр кола?​

Як називається пряма, що має з колом єдину спільну точку?​

Источник: https://znanija.com/task/11148042

сформулировать и доказать теорему о сумме углов треугольника; рассмотреть задачи на применение доказанной теоремы. Цели: — презентация

  • 1
  • 2 сформулировать и доказать теорему о сумме углов треугольника; рассмотреть задачи на применение доказанной теоремы. Цели:
  • 3 Повторим изученное …
  • 4 Смежные углы ? 60 А В О С 180 АОС+ ВОС=
  • 5 Вертикальные углы равны А О В С М ? 60
  • 6 Сумма односторонних углов равна a b a II b c
  • 7 45 0 Соответственные углы равны 45 0 a b a II b c
  • 8 a b Накрест лежащие углы равны a ll b
  • 9 а b c Вычислить все углы. a ll b 75°
  • 10 Практическая работа = 180°
  • 11 Исследование С помощью «отрывания»углов треугольника можно показать, что сумма углов треугольника равна 180. В А В С ВВ В С А С А

12 а Теорема: Сумма углов треугольника равна 180. Дано: ABC Доказательство: 1)Д. п. прямую а || AC 2) 4 = 1 5 = 3 3) Т.к =180, то =180 или A+ B+ C=180 A Доказать: А+ B+ C=180 C B

13 AB AB …Как для смертных истина ясна, Что в треугольник двум тупым не влиться. Данте А.

14 Пифагор Доказательство теоремы о сумме углов треугольника «Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым» приписывают Пифагору. 580 – 500 г.г. до н. э.

15 В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа. Евклид 365 –300 г.г. до н.э.

  1. 16 Лежащая восьмерка
  2. 17 Лист клевера
  3. 18 Задачи на готовых чертежах.
  4. 19 Задача 1 А В С Вычислить: ?
  5. 20 Задача 2 А В С D K 64 0 ? Вычислить: 70 0
  6. 21 Задача 3 А В С Вычислить: 40 0 D K P 110 ? 0

22 А Задача 4 B C Вычислить: МK ll AC К М ? ?

23 А Задача 5 B C Вычислить: СМ ll AB М ? ?? К

24 А К С В Вычислить: O АК ll ВС ? ? Задача 6

  • 25 В АС К Вычислить: Задача 7 ?
  • 26 А В С К АК — биссектриса Вычислить: ? Задача 8 0
  • 27 Задачи из учебника.
  • 28 Задача °
  • 29 Задача 228 а) 2 случай 1 случай

30 Домашнее задание. § 30, 228(б),227(б) 229 (по желанию) Индивидуально карточки Повторить § 11, 82(а).

31 (Индивидуально) Способ доказательства теоремы о сумме углов в треугольнике A B C E Попробуйте доказать дома эту теорему, используя чертеж учеников Пифагора.

32 ? 104º 45º А В К ДС (Индивидуально) Решите задачу.

Источник: http://www.myshared.ru/slide/584497/

Ссылка на основную публикацию