Теорема пифагора, формула и доказательство

Доказательство теоремы Пифагора. Теорема эта известна с давних древних времён. И, справедливости ради, стоит сказать, что не Пифагор открыл, выявил и обнаружил данную геометрическую связь в прямоугольном треугольнике. Это и понятно из простого здравого смысла.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Ещё за долго до рождения Пифагора были построены пирамиды в Египте, и не только там, но и в Китае и многих других местах земли. И, разумеется, сеё факт был известен всем строителям и землемерам древности. Заслуга Пифагора в том, что он её задокументировал и далее передал потомкам.

Доказательство теоремы Пифагора

Теорема Пифагора, формула и доказательство

В той статье мы с вами рассмотрим два доказательства: одно из них даётся в школьном курсе математики, другое показывает геометрическое – показывается соответствие площадей квадратов построенных на сторонах треугольника (с ним учеников знакомят далеко не везде). Вы наглядно без лишнего формализма увидите почему квадрат большей стороны прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

  • Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов.
  • Доказательство первое.
  • Представим прямоугольный треугольник следующим образом — построим квадрат, в него впишем (произвольно) ещё один квадрат так что его вершины будут лежать на сторонах первого квадрата.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Выразим площадь большего квадрата:

Теорема Пифагора, формула и доказательство

  1. Теорема Пифагора, формула и доказательство Можем записать:Теорема Пифагора, формула и доказательство
  2. Теорема доказана.
  3. Второе доказательство.
  4. Так как «квадрат стороны треугольника» геометрически это квадрат сторона которого равна стороне указанного треугольника, то построим квадраты на катетах и гипотенузе треугольника: Нам нужно показать, что площадь квадрата построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов построенных на катетах.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Выполним дополнительные построения. Каким образом? Сначала строим квадрат симметричный квадрату построенному на большем катете (он показан серым цветом), а затем остальные элементы:

  Что такое ряд активности металлов?Теорема Пифагора, формула и доказательство

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула фосфорной кислоты в химии

Оценим за полчаса!

Определим равные элементы. Для наглядности используем цвета:

Теорема Пифагора, формула и доказательство

*Треугольник «3+8» мы разделили таким образом, что сторона четырёхугольника «8» равна стороне квадрата построенного на малом катете.

Теперь внимание!

«Уложим» квадрат «1» на квадрат построенный на гипотенузе. Площадь квадрата «1» равна площади квадрата «10+9+2». Фигура «2» заняла часть квадрата построенного на гипотенузе. Треугольник «10» равен треугольнику «4» (признак равенства – по гипотенузе и острому углу). Треугольник «9» равен треугольнику «3» (по катету и острому углу).

Итак! Квадрат «1» мы уместили.

Источник:

Теорема Пифагора доказательство

Обращаясь к истории, теорема Пифагора хоть и носит название Пифагора, но открыл ее не он. Так как особые свойства прямоугольного прямоугольника ученые начали изучать намного раньше его. Тем не менее есть два утверждения. Первое гласит о том что Пифагор доказал теорему.

Второе, соответственно что не он. На данным момент не проверить какое из этих мнений верно, но к сожалению, если и было доказательство Пифагора, то оно не дожило до нашего времени. Так же есть мнение что доказательство сделанное Евклидом, было сделано Пифагором, а Евклид его обнародовал.

Несомненно в Египте во времена правления фараонов, возникали вопросы с прямоугольным треугольником. В истории Вавилона он так же участвовал. Из чего можно сделать вывод, что данная теорема, вызывала интерес с древних времен. На сегодняшний день существует 367 различных доказательств.

Чем не может похвастать ни какая другая теорема.

Заметка: Если Вы ищите мебель для лаборатории или просто хотите приобрести вытяжной шкаф (http://www.labmet.ru/shkafy-vytyazhnye.html). Перейдите по данной ссылке и купите все что нужно. Качество гарантированно!

Разберем основные доказательства.

1. Теорема Пифагора доказательство.

Считается что это легкий способ. В нем применяются правильные треугольники.

  Какие функции белков в клетке?

Теорема Пифагора, формула и доказательство
Теорема Пифагора, формула и доказательство
Если взять равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, от гипотенузы АС мы сможем построить квадрат, в котором находятся 4 аналогичных треугольника. С помощью катета АВ и ВС строятся квадраты, содержащие в себе еще по два таких же треугольника.

2. Теорема Пифагора доказательство.

Здесь сочетается как алгебра так и геометрия. Изображаем прямоугольный треугольник abc. И 2 квадрата равных двум длинам катетов а+b. Затем сделаем построение, как на рисунках 2, 3. Вследствие чего получим два квадрата со сторонами а и b.

Второй квадрат содержит 4 треугольника, образуя таким образом квадрат равный гипотенузе c. Интересно что общая площадь квадратов на рис. 2, 3 равная друг другу.
Обобщая все в формулу мы получим. а2+b2 = (а+b)2 — 4 * 1/2 * а * b. Раскрыв скобки получим а2+b2= а2+b2. Площадь рис. 3 вычисляем как S=c2 или а2+b2=с2.ч.т.д.


3. Теорема Пифагора доказательство.

Доказательство найдено в 12 вв, в древней индии.

Построим в квадрате 4 треугольника (прямоугольных). Гипотенузой будет сторона с, катетами в треугольнике а и b. Вычисляем площади квадратов большой- S=c2, и внутренний (а-b)2 2 +4 * 1/2 * а * b. Из чего вывод, что с2= (а-b)2 2+ 4 * 1/2 * а * b, а следовательно, с2= а2+b2.

Источник:

Источник: https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kak-dokazat-teoremu-pifagora.html

Несколько способов доказательства теоремы пифагора

1 Туманова С.В. 1 1 ст. Егорлыкская, МБОУ ЕСОШ № 11, 9 класс
Шаповалова Л.А. (ст. Егорлыкская, МБОУ ЕСОШ № 11)

1. Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, – М: Просвещение, 1982.
2. Демпан И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов. – М.

: Просвещение, 1989.
3. Зенкевич И.Г. «Эстетика урока математики». – М.: Просвещение, 1981. 4. Литцман В. Теорема Пифагора. – М., 1960.
5. Волошинов А.В. «Пифагор». – М., 1993.
6. Пичурин Л.Ф. «За страницами учебника алгебры». – М., 1990.
7. Земляков А.Н. «Геометрия в 10 классе». – М., 1986.
8. Газета «Математика» 17/1996.
9.

Газета «Математика» 3/1997.
10. Антонов Н.П., Выгодский М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. «Сборник задач по элементарной математики». – М., 1963.
11. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. «Пособие по математике». – М., 1973.
12. Щетников А.И. «Пифагорейское учение о числе и величине». – Новосибирск, 1997.
13. «Действительные числа.

Иррациональные выражения» 8 класс. Издательство Томского университета. – Томск, 1997.
14. Атанасян М.С. «Геометрия» 7-9 класс. – М.: Просвещение, 1991. 15. URL: www.moypifagor.narod.ru/
16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

В этом учебном году я познакомились с интересной теоремой, известной, как оказалось с древнейших времён:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах».

Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э). Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора.

Я заинтересовались, почему в таком случае её связывают с именем Пифагора.

Актуальность темы: Теорема Пифагора имеет огромное значение: применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Я считаю, что труды Пифагора до сих пор актуальны, ведь куда бы мы ни посмотрели, везде можно увидеть плоды его великих идей, воплощенные в различные отрасли современной жизни.

  • Целью моего исследования было: узнать, кто такой был Пифагор, и какое отношение он имеет к этой теореме.
  • Изучая историю теоремы, я решила выяснить:
  • — Существуют ли другие доказательства этой теоремы?
  • — Каково значение этой теоремы в жизни людей?
  • — Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Рис. 1

Из биографии Пифагора

Пифагор Самосский – великий греческий учёный. Его известность связана с названием теоремы Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта теорема была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, мы по-прежнему называем её по имени этого древнего учёного.

Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего неизвестно, но с его именем связано большое количество легенд.

Пифагор родился в 570 году до н.э на острове Самос.

Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор – это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор – «убеждающий речью»).

В 550 году до н.э Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. Итак, перед Пифагором открывается неизвестная страна и неведомая культура. Многое поражало и удивляло Пифагора в этой стране, и после некоторых наблюдений за жизнью египтян Пифагор понял, что путь к знаниям, охраняемым кастой жрецов, лежит через религию.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Рис. 2

После одиннадцати лет обучения в Египте Пифагор отправляется на родину, где по пути попадает в Вавилонский плен. Там он знакомится с вавилонской наукой, которая была более развита, чем египетская.

Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Сбежав из плена, он не смог долго оставаться на родине из-за царившей там атмосферы насилия и тирании.

Он решил переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии).

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Рис. 3

Именно в Кротоне начинается самый славный период в жизни Пифагора. Там он учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни.

Пифагор и пифагорейцы

Пифагор организовал в греческой колонии на юге Апенинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который впоследствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов: во-первых, стремиться к прекрасному и славному, во-вторых, быть полезными, в-третьих, стремиться к высокому наслаждению.

  1. Система морально-этических правил, завещанная Пифагором своим ученикам, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые стихи», которые пользовались большой популярностью в эпоху Античности, эпоху Средневековья и эпоху Возрождения.
  2. Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:
  3. — учения о числах – арифметике,
  4. — учения о фигурах – геометрии,
  5. — учения о строении Вселенной – астрономии.
  6. Система образования, заложенная Пифагором, просуществовала много веков.

Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Рис. 4

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно, подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: «По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй».

Читайте также:  Валентность золота (au), формулы и примеры

Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что «поставил арифметику выше интересов торговца».

Членами пифагорейского союза были жители многих городов Греции.

В своё общество пифагорейцы принимали и женщин. Союз процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты.

О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.

Из истории создания теоремы Пифагора

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге.

Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду.

Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Рис. 5

Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

Рис. 6

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры.

Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера.

В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

  • Рис. 7
  • В заключение приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.
  • Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
  • «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Рис. 8

Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.

  1. Пять способов доказательства теоремы Пифагора
  2. Древнекитайское доказательство
  3. На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a + b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

a2 + b2 = c2

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Рис. 9

Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

  • Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.
  • Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту
  • Рис. 10
  • C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:
  • Приравнивая данные выражения, получаем:
  • или
  • с2 = a2 + b2
  • Доказательство простейшее
  • Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.
  • Вероятно, с него и начиналась теорема.
  • Рис. 11
  • В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, – по два. Теорема доказана.

Доказательство древних индусов

Квадрат со стороной (a + b), можно разбить на части либо как на рис. 12. а, либо как на рис. 12, б. Ясно, что части 1, 2, 3, 4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с2 = а2 + b2.

  1. а) б)
  2. Рис. 12
  3. Доказательство Евклида

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

  • Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.
  • Рис. 13

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Применение теоремы Пифагора

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач.

Кроме этого, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ему теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя самих отрезков. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше.

Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях.

Заключение

Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Я узнала, что существует несколько способов доказательства теоремы Пифагора.

Я изучила ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и поняла, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке.

Об этом свидетельствуют приведённые мной в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.

Итак, теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна.

Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2 = a2 + b2. Поэтому для её доказательства часто используют наглядность.

Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы. Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема.

Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.

Библиографическая ссылка

Туманова С.В. Несколько способов доказательства теоремы пифагора // Старт в науке. – 2016. – № 2. – С. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (дата обращения: 01.04.2020).

Источник: https://science-start.ru/ru/article/view?id=44

Теорема Пифагора

История теоремы

Однако название получено в честь учёного только по той причине, что он первый и, даже единственный человек, который смог доказать теорему.

Немецкий историк математики Кантор утверждал, что о теореме было известно ещё египтянами приблизительно в 2300 году до н. э. Он считал, раньше строили прямые углы благодаря прямоугольным треугольникам со сторонами 3, 4 и 5.

Известный учёный Кеплер говорил, что у геометрии есть незаменимое сокровище – это теорема Пифагора, благодаря которой можно вывести большинство теорем в геометрии.

Раньше теорему Пифагора называли “теоремой невесты” или “теоремой нимфы”. А всё дело в том, что её чертёж был очень похож на бабочку или нимфу. Арабы же, когда переводили текст теоремы, решили, что нимфа означает невеста. Так и появилось интересное название у теоремы.

Теорема Пифагора, формула

ТеоремаТеорема Пифагора, формула и доказательство

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов () равна квадрату гипотенузы (). Это одна из основополагающих теорем эвклидовой геометрии.

Формула: 

Как уже говорилось, есть много разнообразных доказательств теоремы с разносторонними математическими подходами. Однако, более часто используют теоремы, связанные с площадями.

Построим на треугольнике квадраты (синий, зеленый, красный)

Теорема Пифагора, формула и доказательство

То есть сумма площадей квадратов, построенных на катетах равняется площади квадрата, построенном на гипотенузе. Соответственно, площади этих квадратов равны – . Это и есть геометрическое объяснение Пифагора.

Доказательство теоремы методом площадей: 1 способ

Докажем, что .

Рассмотрим всё тот же треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

  1. Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата. От катета “а” продолжаем линию вверх на расстояние катета “b” (красная линия).
  2. Далее ведём линию нового катета “а” вправо (зелёная линия).
  3. Два катета соединяем гипотенузой “с”.

Получается такой же треугольник, только перевёрнутый.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Аналогично строим и с другой стороны: от катета “а” проводим линию катета “b” и вниз “а” и “b” А снизу от катета “b” проводим линию катета “а”. В центре от каждого катета провели гипотенузы “с”. Таким образом гипотенузы образовали квадрат в центре.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Этот квадрат состоит из 4-х одинаковых треугольников. А площадь каждого прямоугольного треугольника = половина произведения его катетов. Соответственно, . А площадь квадрата в центре = , так как все 4 гипотенузы со стороной .  Стороны четырёхугольника равны, а углы прямые. Как нам доказать, что углы прямые? Очень просто. Возьмём всё тот же квадрат:

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Мы знаем, что эти два угла, показаны на рисунке, являются 90 градусам. Так как треугольники равны, значит следующий угол катета “b” равен предыдущему катету “b”:

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Сумма этих двух углов = 90 градусов. Соответственно, предыдущий угол тоже 90 градусов. Конечно же, аналогично и с другой стороны. Соответственно, у нас действительно квадрат с прямыми углами.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Так как  острые углы прямоугольного треугольника в общей сложности равняются 90 градусам, то угол четырёхугольника так же будет равен 90 градусов, ведь 3 угла в сумме = 180 градусов.

Соответственно, площадь квадрата складывается из четырёх площадей одинаковых прямоугольных треугольников и площади квадрата, который образован гипотенузами.

Таким образом, получили квадрат со стороной . Мы знаем, что площадь квадрата со стороной – это будет квадрат его стороны. То есть . Этот квадрат состоит из четырёх одинаковых треугольников.

  1. Запишем: .
  2. Далее смотрим, что площадь прямоугольного треугольника – это половина произведения его катетов. Поэтому дальше записываем:т
  3. Также надо прибавить площадь квадрата, который находится в центре между треугольниками со стороной “с”. И теперь получим: 
  1. Раскрываем скобки и получаем: 
  2. Сокращаем . Получается:

И это значит, что мы доказали теорему Пифагора.

ВАЖНО!!! Если находим гипотенузу, тогда складываем два катета, а затем ответ выводим из корня. При нахождении одного из катетов: из квадрата длины второго катета вычитаем квадрат длины гипотенузы и находим квадратный корень.

Примеры решения задач

Пример 1

  • Задача
  • Дано: прямоугольный треугольник с катетами 4 и 5.
  • Найдите гипотенузу. Пока её обозначим “с”
  • Решение

Сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы. В нашем случае – .

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Итак, , а . Катеты в сумме получают 41.

Тогда . То есть квадрат гипотенузы равен 41.

  1. Квадрат числа 41 = 6,4.
  2. Мы нашли гипотенузу.
  3. Ответ
  4. Гипотенуза = 6,4

Пример 2

  • Задача
  • Дано: прямоугольный треугольник, где гипотенуза = 12, один катет = 10
  • Найдите второй катет.
  • Решение
  • Обозначим неизвестный катет – b.
  • Воспользуемся теоремой Пифагора:
  • , а
  • Запишем:
  • Находим
  • Если , тогда просто
  • Ответ
  • Второй катет (b) равен 6,6.

Заключение

Итак, мы рассмотрели теорему Пифагора, смогли привести ее доказательство и привели несколько примеров задач и их решений.

Запомните раз и навсегда: квадраты гипотенузы равен суммы квадратов катетов: (это вся теорема Пифагора).

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/teorema-pifagora/

Теорема Пифагора

  • Обратная теорема Пифагора
  • Теорема Пифагора:
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
  • Если   ∠A = 90°, то   a2 + b2 = c2.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Доказательство:

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c:

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Достроим этот треугольник до квадрата со стороной a + b:

Теорема Пифагора, формула и доказательство

  1. Площадь данного квадрата S будет равна (a + b)2:
  2. S = (a + b)2
  3. С другой стороны, площадь этого квадрата состоит из четырёх одинаковых треугольник, площадь каждого из которых равна половине произведения их катетов (ab : 2), и квадрата со стороной c, поэтому:
  4. S = (a + b)2
  5. или
S = 4 · ( ab )  + c2 = 2ab + c2
2
  • Таким образом:
  • (a + b)2 = 2ab + c2
  • Так квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
  • то для того, чтобы наше равенство было верным  c2  должен быть равен  a2 + b2.
  • Таким образом,   (a + b)2 = 2ab + c2, где   c2 = a2 + b2.
  • Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора

  1. Обратная теорема Пифагора:
  2. Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

  3. Если   a2 + b2 = c2, то треугольник ABC – прямоугольный.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Доказательство:

Возьмём треугольник ABC со сторонами  a, b  и  c, у которого  c2 = a2 + b2. Докажем, что  ∠A = 90°:

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник  A1B1C1  с прямым углом  A1, у которого   A1B1 = a   и   A1C1 = b:

Теорема Пифагора, формула и доказательство

По теореме Пифагора:

B1C12 = A1B12 + A1C12

Значит  B1C12 = a2 + b2. Но  a2 + b2 = c2 по условию теоремы. Следовательно  B1C12 = c2, откуда можно сделать вывод  B1C1 = c.

Треугольники  ABC  и  A1B1C1  равны по трём сторонам, поэтому  ∠A = ∠A1 = 90°, то есть треугольник  ABC  является прямоугольным. Теорема доказана.

Новое на сайте | contact@izamorfix.ru
2018 − 2020 © izamorfix.ru
Читайте также:  Решение уравнений, формулы и примеры

Источник: https://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/teorema_pifagora.html

Теорема Пифагора доказательство

Обращаясь к истории, теорема Пифагора хоть и носит название Пифагора, но открыл ее не он. Так как особые свойства прямоугольного прямоугольника ученые начали изучать намного раньше его. Тем не менее есть два утверждения. Первое гласит о том что Пифагор доказал теорему.

Второе, соответственно что не он. На данным момент не проверить какое из этих мнений верно, но к сожалению, если и было доказательство Пифагора, то оно не дожило до нашего времени. Так же есть мнение что доказательство сделанное Евклидом, было сделано Пифагором, а Евклид его обнародовал.

Несомненно в Египте во времена правления фараонов, возникали вопросы с прямоугольным треугольником. В истории Вавилона он так же участвовал. Из чего можно сделать вывод, что данная теорема, вызывала интерес с древних времен. На сегодняшний день существует 367 различных доказательств.

Чем не может похвастать ни какая другая теорема.

Заметка: Если Вы ищите мебель для лаборатории или просто хотите приобрести вытяжной шкаф (http://www.labmet.ru/shkafy-vytyazhnye.html). Перейдите по данной ссылке и купите все что нужно. Качество гарантированно!

Разберем основные доказательства.

1 Теорема Пифагора доказательство.

Считается что это легкий способ. В нем применяются правильные треугольники.

Теорема Пифагора, формула и доказательство
Теорема Пифагора, формула и доказательство
если взять равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, от гипотенузы АС мы сможем построить квадрат, в котором находятся 4 аналогичных треугольника. С помощью катета АВ и ВС строятся квадраты, содержащие в себе еще по два таких же треугольника.

2 Теорема Пифагора доказательство.

Здесь сочетается как алгебра так и геометрия. Изображаем прямоугольный треугольник abc. И 2 квадрата равных двум длинам катетов а+b. Затем сделаем построение, как на рисунках 2, 3. Вследствие чего получим два квадрата со сторонами а и b.

Второй квадрат содержит 4 треугольника, образуя таким образом квадрат равный гипотенузе c. Интересно что общая площадь квадратов на рис. 2, 3 равная друг другу.
Обобщая все в формулу мы получим. а2+b2 = (а+b)2 — 4 * 1/2 * а * b. Раскрыв скобки получим а2+b2= а2+b2. Площадь рис.

3 вычисляем как S=c2 или а2+b2=с2.ч.т.д.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

3 Теорема Пифагора доказательство.

Доказательство найдено в 12 вв, в древней индии.

Теорема Пифагора, формула и доказательство
Построим в квадрате 4 треугольника (прямоугольных). Гипотенузой будет сторона с, катетами в треугольнике а и b. Вычисляем площади квадратов большой- S=c2, и внутренний (а-b)2 2 +4 * 1/2 * а * b. Из чего вывод, что с2= (а-b)2 2+ 4 * 1/2 * а * b, а следовательно, с2= а2+b2.

4 Теорема Пифагора доказательство.

Основано на геометрии, носит название Метод Гарфилда. Построением прямоугольного треугольника ABC найдем доказательство тому , что BC2=AC2+AB2.Продолжим катет AC, создав прямую СD равную катету AB. Соединяя прямую и угол E перпендикулярно АD получаем ED. Прямые AC и ЕD равные между собой.

Теорема Пифагора, формула и доказательство
Для доказательства данного действия, воспользуемся так же двумя методами, приравнивая этим выражения.

Находим площадь многоугольника АВЕD. Так как АВ=СD, АС=ЕD, ВС=СЕ, значит SАВED= 2*1/2 (АВ*АС)+ 1/2 ВС2.

Мы видим что АВСD трапеция. А значит SАВСD = (DE+AB)*1/2AD.
Представим эти методы вместе приравнивая их:

AB*AC+ 1/2 BC2= (DE+AB)*1/2(АС+CD).

Упростим АВ*АС +1/2ВС2= 1/2(АВ+АС)2. Раскрыв скобки получаем : АВ*АС+1/2ВС2=1/2АС+2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ2.
Итог: ВС2=АС2+АВ2. ч.т.д.

Это далеко не все способы доказательства теоремы Пифагора, но основные из них.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/Teorema-Pifagora-dokazatelstvo

Теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство

  • Дано: АВС, АВ2 = АС2 + ВС2.
  • Доказать: АВС — прямоугольный.
  • Доказательство:

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Рассмотрим прямоугольный А1В1С1, в котором С1 — прямой, А1С1 = АС и В1С1 = ВС.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

По теореме Пифагора А1В12 = А1С12 + В1С12, учитывая то, что А1С1 = АС и В1С1 = ВС, получим, А1В12 = АС2 + ВС2, при этом по условию АВ2 = АС2 + ВС2, значит, А1В12 = АВ2, откуда А1В1 = АВ. Следовательно, АВС и А1В1С1 (по трем сторонам), поэтому С = С1, т.е. С — прямой, тогда АВС — прямоугольный. Теорема доказана.

Пифагоровы треугольники (пифагоровы тройки)прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, которые называют пифагоровы числа.

Пифагорова тройка — это три таких натуральных числа (, , ), для которых справедливо квадратное уравнение: . Так, например, если катеты треугольника равны 6 и 8, а гипотенуза равна 10, то такой треугольник будет пифагоровым, т.к.

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102, т.е. пифагорова  тройка будет: (6, 8, 10).

  1. Также, к пифагоровым треугольникам относится треугольник со сторонами 3, 4, 5, который часто называют египетским треугольником, так как он был известен еще древним египтянам.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  • Понятие площади многоугольника
  • Площадь квадрата
  • Площадь прямоугольника
  • Площадь параллелограмма
  • Площадь треугольника
  • Площадь трапеции
  • Теорема Пифагора
  • Формула Герона
  • Площадь

Правило встречается в следующих упражнениях:

  1. 7 класс
  2. Задание 498, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  3. Задание 499, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  4. Задание 10, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  5. Задание 11, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  6. Задание 517, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  7. Задание 524, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  8. Задание 577, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  9. Задание 1145, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  10. Задание 1241, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  11. Задание 1268, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • © budu5.com, 2020
  • Пользовательское соглашение
  • Copyright
  • Нашли ошибку?
  • Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3484

Теорема Пифагора – формулировка и доказательство

07.02.2019 Категория: Образование и наука Подкатегория: Математика Популярность

Древнегреческий мыслитель Пифагор прославился многими открытиями в точных науках. Но наибольшей известностью пользуется его теорема для прямоугольных треугольников. Она очень проста для понимания, легко доказывается, и проходят ее еще в 8 классе школы.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Разберемся, как именно звучала теорема Пифагора в старые времена, как выглядит ее определение в наши дни, и каким образом можно ее доказать.

Зависимость между площадями квадратов катетов и гипотенузы

Изначально формулировка правила, выведенного Пифагором, звучала так: если построить на гипотенузе треугольника с прямым углом квадрат, то площадь его будет точно равна площадям двух квадратов, построенных на катетах, сложенным между собой.

В современной геометрии определение звучит немного проще и более формально: для треугольника с прямым углом будут равны квадрат гипотенузы и сложенные вместе квадраты катетов.

Теорема Пифагора, формула и доказательство

Как доказать эту теорему? Способов существует несколько, но наиболее распространен следующий из них:

  • выстраивают прямоугольник АВС, где С — прямой угол;
  • от угла С к стороне АВ, или гипотенузе, проводят высоту и обозначают ее, как Н;
  • в результате получают два прямоугольных треугольника внутри АВС — треугольник АСН и треугольник СВН;
  • при этом АСН по признаку двух углов подобен АВС, таким же образом СВН подобен АВС;
  • сторону ВС условно обозначают, как «а», сторону АС — как «b», сторону АВ — как «с»;
  • по принципу подобия получается, что а/с = НВ/а, а b/c = AH/b;
  • из этого следует, что a2 = c * HB, в то время как b2 = c * AH.

Дальше остается сложить полученные равенства. Выглядит это следующим образом: a2 + b2 = c*HB + c*AH, или a2 + b2 = c*(HB + AH), или а2 + b2 = c*AB, или а2 + b2 = c*c, и наконец, а2 + b2 = c2.

Именно это и требовалось доказать. Квадрат гипотенузы в решении получился равен квадратам катетов, сложенным между собой.

Интересно, что на данный момент существует свыше 300 самых разных доказательств знаменитой теоремы — и все они верны.

Если попробовать поискать доказательства в Интернете, то десятки сайтов предложат тригонометрические, геометрические, алгебраические варианты разного уровня сложности.

Огромное количество доказательств свидетельствует о том, что теорема Пифагора действительно неоспорима — и более того, является фундаментом для всей геометрической науки. При дальнейшем изучении предмета становится ясно, что из данной теоремы выходит и очень много следствий.

Поделиться в соцсетях:

Случайная статья

Источник: http://infoogle.ru/teorema_pifagora__formulirovka_i_dokazatelstvo.html

Калькулятор теоремы Пифагора

Теорема Пифагора – фундаментальная теорема евклидовой геометрии, которая постулирует соотношение катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Это, пожалуй, самая популярная теорема в мире, известная каждому со школьной скамьи.

История теоремы 

На самом деле, теория о соотношении сторон прямоугольного треугольника была известна задолго до Пифагора с острова Самос.

Так, задачи о соотношении сторон встречаются в древних текстах периода правления вавилонского царя Хаммурапи, то есть за 1500 лет до рождения самосского математика. Заметки о сторонах треугольника зафиксированы не только в Вавилоне, но и Древних Египте и Китае.

Одно из самых известных целочисленных соотношений катетов и гипотенузы выглядит как 3, 4 и 5. Эти числа использовались древними землемерами и зодчими для построения прямых углов.

Итак, Пифагор не изобретал теорему о соотношении катетов и гипотенузы. Он первым в истории доказал ее.

Однако на этот счет существуют сомнения, так как доказательство самосского математика, если оно и было зафиксировано, утеряно в веках.

Существует мнение, что доказательство теоремы, приведенное в «Началах» Евклида, принадлежит именно Пифагору. Впрочем, на этот счет у историков математики большие сомнения.

Пифагор был первым, но после него теорему о сторонах прямоугольного треугольника доказали около 400 раз, используя самые разные методики: от классической геометрии до дифференциального исчисления. Теорема Пифагора всегда занимала пытливые умы, поэтому среди авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи, Альберта Эйнштейна и президента США Джеймса Гарфилда.

Доказательства

В математической литературе зафиксировано не менее четырех сотен доказательств теоремы Пифагора. Такое умопомрачительное количество объясняется фундаментальным значением теоремы для науки и элементарностью результата. В основном пифагорова теорема доказывается геометрическими способами, наиболее популярными из которых являются метод площадей и метод подобий.

Самым простым методом доказательства теоремы, не требующим обязательных геометрических построений, является метод площадей. Пифагор заявил, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: 

c2 = a2 + b2

Попробуем доказать это смелое утверждение. Мы знаем, что площадь любой фигуры определяется при помощи возведения линейного сегмента в квадрат. Линейным сегментом может быть что угодно, но чаще всего это сторона фигуры или ее радиус. В зависимости от выбора сегмента и типа геометрической фигуры квадрат будет иметь различные коэффициенты:

  • единицу в случае с квадратом – S = a2;
  • приблизительно 0,43 в случае с равносторонним треугольником – S = (sqrt(3)/4)a2;
  • Пи в случае с кругом – S = pi × R2.

Таким образом, площадь любого треугольника мы можем выразить в виде S = F × a2, где F – некоторый коэффициент.

Прямоугольный треугольник – удивительная фигура, которую легко разделить на два подобных прямоугольных треугольника, всего лишь опустив перпендикуляр из любой вершины. Такое разделение превращает прямоугольный треугольник в сумму двух прямоугольных треугольников поменьше. Так как треугольники подобны, их площади вычисляются по одной и той же формуле, которая выглядит как:

S = F × гипотенуза2

В результате разделения большого треугольника со сторонами a, b и c (гипотенуза) получились три треугольника, причем у меньших фигур гипотенузами оказались стороны изначального треугольника a и b. Таким образом, площади подобных треугольников вычисляются как:

  • S1 = F × c2 – исходный треугольник;
  • S2 = F × a2 – первый подобный треугольник;
  • S3 = F × b2 – второй подобный треугольник.
  • Очевидно, что площадь большого треугольника равна сумме площадей подобных:
  • S1 = S2 + S3
  • или
  • F × c2 = F × a2 + F × b2
  • Коэффициент F легко сократить. В итоге получаем:
  • c2 = a2 + b2,
  • что и требовалось доказать. 

Пифагоровы тройки

Выше уже упоминалось популярное соотношение катетов и гипотенуз как 3, 4 и 5. Пифагоровы тройки – это набор трех взаимно простых чисел, которые удовлетворяют условию a2 + b2 = c2.

Таких комбинаций существует бесконечное количество, а первые из них использовались еще в древности для построения прямых углов. Завязывая определенное количество узлов на бечевке через равные промежутки и складывая ее в виде треугольника, древние ученые получали прямой угол.

Для этого на каждой стороне треугольника требовалось завязать узлы, в количестве, соответствующем пифагоровым тройкам: 

  • 3, 4, и 5;
  • 5, 12 и 13;
  • 7, 24 и 25;
  • 8, 15 и 17.

При этом любую пифагорову тройку можно увеличить в целое количество раз и получить пропорциональное соотношение, соответствующее условию теоремы Пифагора. К примеру, из тройки 5, 12, 13 можно получить значения сторон 10, 24, 26 простым умножением на 2. Сегодня пифагоровы тройки используются для быстрого решения геометрических задач. 

Применение теоремы Пифагора

Теорема самосского математика используется не только в школьной геометрии. Пифагорова теорема находит применение в архитектуре, астрономии, физике, литературе, информационных технологиях и даже в оценке эффективности социальных сетей. Теорема применяется и в реальной жизни. 

Выбор пиццы

В пиццериях перед покупателями часто возникает вопрос: взять одну большую пиццу или две поменьше? Допустим, можно купить одну пиццу диаметром 50 см или две пиццы поменьше, диаметром 30 см. На первый взгляд две пиццы поменьше – это больше и выгоднее, но не тут-то было. Как быстро сравнить площади приглянувшихся пицц? 

Мы помним теорему самосского математика и пифагоровы тройки. Площадь круга – это квадрат диаметра с коэффициентом F = pi/4. А первая пифагорова тройка – это 3, 4 и 5, которую мы легко можем превратить в тройку 30, 40, 50. Следовательно 502 = 302 + 402.

Очевидно, что площадь пиццы с диаметром 50 см будет больше, чем сумма пицц с диаметрами по 30 см.

Казалось бы, что теорема применима только в геометрии и только для треугольников, но на этом примере видно, что соотношение c2 = a2 + b2 можно применять и для сравнения других фигур и их характеристик.

Наш онлайн-калькулятор позволяет вычислять любые значения, удовлетворяющие фундаментальному уравнению о сумме квадратов. Для расчета достаточно ввести 2 любых значения, после чего программа вычислит недостающее коэффициент. Калькулятор оперирует не только целыми, но и дробным значениями, поэтому для вычислений разрешается использовать любые числа, а не только пифагоровы тройки. 

Заключение

Теорема Пифагора – фундаментальная вещь, которая находит широкое применение во многих научных приложениях. Используйте наш онлайн-калькулятор для подсчета величин значений, которые связаны выражением c2 = a2 + b2.

Источник: https://BBF.ru/calculators/124/

Ссылка на основную публикацию