Тригонометрические неравенства и их решения

• Цель: рассмотреть способы решения тригонометрических неравенств.
• Ход урока
• I. Сообщение темы и цели урока
• II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

III. Изучение нового материала

Решение тригонометрических неравенств (как и уравнений), как правило, сводится к решению простейших тригонометрических неравенств. Поэтому прежде всего остановимся на решении таких неравенств. Их удобно решать, используя единичную окружность.

Пример 1

Решим неравенство sin x > 1/2.

1. На единичной окружности по оси ординат отложим значение sin х = 1/2 и построим соответствующие углы (углы откладываются против часовой стрелки и являются положительными). На рисунке видно, что неравенству sin х > 1/2 удовлетворяют значения Учтем, что период функции синуса составляет 2π, и получим решение данного неравенства или
2. Пример 2
3. Решим неравенство

• На оси котангенсов для единичной окружности отложим значение и построим соответствующий угол Видно, что неравенству удовлетворяют значения Учитывая период функции котангенса (равный π), получим решение данного неравенства: или где n ∈ Z.
• В случае сложного аргумента тригонометрической функции рекомендуется обозначить его новой переменной, решить для него неравенство, а затем вернуться к старой неизвестной.
• Пример 3

Обозначим аргумент косинуса и получим простейшее тригонометрическое неравенство Решим это неравенство. На единичной окружности по оси абсцисс отложим значение и построим соответствующие углы Тогда неравенству удовлетворяют значения Учтем периодичность функции cos y и получим решения

Теперь вернемся к старой неизвестной х и получим двойное линейное неравенство Ко всем частям неравенства прибавим число π/6. Отсюда Все части неравенства разделим на положительное число 3. При этом знак неравенства сохраняется. Получим: или где n ∈ Z.

1. Если неравенство не является простейшим, то используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись для уравнений, сводим неравенство к простейшему.
2. Пример 4
3. Решим неравенство
4. Введем новую переменную у = tg x и получим квадратное неравенство Это неравенство имеет решение Вернемся к старой неизвестной x и получим двойное неравенство На единичной окружности по оси тангенсов отложим значения 1 и и построим соответствующие углы Тригонометрическому неравенству удовлетворяют значения Учтем периодичность функции тангенса и получим решение данного неравенства: или
5. Также при решении тригонометрических неравенств можно использовать метод интервалов (который является универсальным для всех неравенств).
6. Пример 5
7. Решим неравенство
8. На единичной окружности отметим значения х, при которых обращается в нуль числитель (откуда ) и знаменатель sin 2х = 0 (тогда ) (откуда ) дроби. Определим знак этой дроби, например, при х = π/6 и получим:

Учтем, что при переходе через отмеченные значения х знак неравенства меняется на противоположный. Построим диаграмму знаков данной дроби. Также учтем значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками). Теперь легко выписать решения неравенства: Учитывая, что через 2пn (где n ∈ Z) ситуация повторяется, выпишем решения данного неравенства:

• При наличии в неравенстве функций тангенса и котангенса удобно перейти к функциям синуса и косинуса и использовать рассмотренный метод интервалов.
• Пример 6
• Решим неравенство

Учтем, что и запишем неравенство в виде Отметим на единичной окружности значения х, при которых обращается в нуль числитель sin x – cos x = 0 (откуда и ) и знаменатель sin x cos x = 0 (тогда и x = 2π) дроби. Определим знак данной дроби, например, при х = π/3 и получим.

Учтем, что при переходе через отмеченные значения x знак неравенства меняется на противоположный. Построим диаграмму знаков данной дроби. Учтем также значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками). С учетом периодичности функций синуса и косинуса, входящих в неравенство, запишем окончательное решение данного неравенства где n ∈ Z.

При использовании метода интервалов необходимо помнить, что тригонометрическое выражение может иметь кратные корни. При переходе через корень нечетной кратности знак выражения меняется на противоположный, при проходе через корень четной кратности знак сохраняется.

1. Пример 7
2. Решим неравенство

На единичной окружности отметим значения x, при которых обращается в нуль числитель 2 sin x -1 = 0 (откуда ) и знаменатель (тогда ). Учтем, что х = -π/6 — корень второй (четной) кратности и при переходе через него знак дроби не меняется.

Определим знак выражения, например, при х = 0 и получим: Построим диаграмму знаков данной дроби. Учтем значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками).

С учетом периодичности функций, входящих в неравенство, запишем его решения:

• IV. Задание на уроке и на дом
• Решите неравенство:
• Ответы:
• V. Подведение итогов урока

Источник: https://compendium.su/mathematics/algebra10/31.html

Тригонометрические неравенства. Разбор и примеры решения

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Простейшие тригонометрические неравенства

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹  1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

1. На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
2. На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
3. Отметить точки пересечения двух графиков.
4. Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:

1. Сначала стоит начертить единичную окружность.
2. Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
3. Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
4. После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
5. Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2.  На круге отмечены точки α и β – значения

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.

Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.

Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.

Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти.  Углы

 являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.

В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.

Сложные тригонометрические неравенства

Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:

• Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:
• В результате должна получиться красивая кривая.
• Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции
• Пересечение двух графиков позволяет определить область искомых значений, при которых выполняется условие неравенства.
• Найденный отрезок является решением для переменной t:
• Однако, цель задания найти все возможные варианты неизвестной x:
• Решить двойное неравенство достаточно просто, нужно перенести π/3 в крайние части уравнения и произвести требуемые вычисления:
• Ответ на задание будет выглядеть как интервал для строгого неравенства:

Подобные задачи потребует опыта и сноровки учащихся в обращении с тригонометрическими функциями. Чем больше тренировочных заданий будет решено в процессе подготовке, тем проще и быстрее школьник найдет ответ на вопрос ЕГЭ теста.

Источник: https://karate-ege.ru/matematika/trigonometricheskie-neravenstva.html

Калькулятор онлайн.Решение тригонометрических неравенств

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое неравенство. Программа для решения тригонометрического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

• Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
• Вы можете посмотреть теорию решения тригонометрических неравенств и некоторые методы решения тригонометрических неравенств.
• Примеры подробного решения >>

Введите тригонометрическое неравенство Решить неравенство Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Игра «iChart»Создание островаЭмуляторгравитацииГоловоломка «SumWaves»

Пусть дано простейшее неравенство ( sin x > a ). 1) При (-1 < a < 1 ) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким: $$ x in (arcsin a + 2pi k; ;; pi — arcsin a + 2pi k), k in mathbb{Z} $$ 2) При (а geq 1 ) неравенство не имеет решений: ( x in emptyset ) 3) При (а < -1 ) решением неравенства является любое действительное число: ( x in mathbb{R} ) 4) При (а = -1 ) решением неравенства является любое действительное число, отличное от ( -frac{pi}{2} + 2pi k, ; k in mathbb{Z} )

Пусть дано простейшее неравенство ( sin x < a ). 1) При (-1 < а < 1 ) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким: $$ x in (pi — arcsin a + 2pi k; ;; 2pi + arcsin a + 2pi k), k in mathbb{Z} $$ 2) При (а > 1 ) решением неравенства является любое действительное число: ( x in mathbb{R} ) 3) При (а = 1 ) решением неравенства является любое действительное число, отличное от ( frac{pi}{2} + 2pi k, ; k in mathbb{Z} )

4) При (а leq -1 ) неравенство не имеет решений.

Пусть дано простейшее неравенство ( cos x > a ). 1) При (-1 < a < 1 ) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким: $$ x in (-arccos(a) + 2pi k; ;; arccos a + 2pi k), ; k in mathbb{Z} $$ 2) При ( a geq 1) неравенство не имеет решений. 3) При (а < -1) решением неравенства является любое действительное число: ( x in mathbb{R} ) 4) При (а = -1) решением неравенства является любое действительное число, отличное от ( pi + 2pi k, ; k in mathbb{Z} )

Пусть дано простейшее неравенство ( cos x < a ). 1) При (-1 < a < 1 ) множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что в этом случае решение неравенства будет таким: $$ x in (arccos a + 2pi k; ;; 2pi — arccos a + 2pi k), ; k in mathbb{Z} $$ 2) При (a > 1) решением неравенства является любое действительное число: ( x in mathbb{R} ) 3) При (a leq -1) неравенство не имеет решений.

4) При (a = 1) решением неравенства является любое действительное число, отличное от ( 2pi k, ; k in mathbb{Z} )

Пусть дано простейшее неравенство ( tg ;x > a ). Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом (a in mathbb{R} ) решение неравенства будет таким: $$ x in left(arctg ;a + pi k; ;; frac{pi}{2} + pi k
ight), ; k in mathbb{Z} $$

Пусть дано простейшее неравенство ( tg ;x < a ). Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом (a in mathbb{R} ) решение неравенства будет таким: $$ x in left(-frac{pi}{2} + pi k; ;; arctg ;a + pi k
ight), ; k in mathbb{Z} $$

Пусть дано простейшее неравенство ( ctg ;x > a ). Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом (a in mathbb{R} ) решение неравенства будет таким: $$ x in ( pi k; ;; arcctg ;a + pi k ), ; k in mathbb{Z} $$

Пусть дано простейшее неравенство ( ctg ;x < a ). Множество всех решений данного тригонометрического неравенства будем искать с помощью тригонометрического круга.

Из данного рисунка видно, что при любом (a in mathbb{R} ) решение неравенства будет таким: $$ x in ( arcctg ; a + pi k; ;; pi + pi k ), ; k in mathbb{Z} $$ ПРИМЕР 1. Решим неравенство ( sin x > frac{1}{2} ). Так как ( -1 < frac{1}{2} < 1 ), то $$ x in left( arcsin frac{1}{2} + 2pi k; ;; pi - arcsin frac{1}{2} + 2pi k ight), ; k in mathbb{Z} $$ Так как ( arcsin frac{1}{2} = frac{pi}{6} ), то решение можно переписать в виде $$ x in left(frac{pi}{6} + 2pi k; ;; frac{5pi}{6} + 2pi k ight), ; k in mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 2. Решим неравенство ( sin ;x < -frac{2}{3} ).

Так как ( -1 < -frac{2}{3} < 1 ), то $$ x in left(pi - arcsin left( -frac{2}{3} ight) + 2pi k; ;; 2pi + arcsin left( -frac{2}{3} ight) + 2pi k ight), ; k in mathbb{Z} $$ Воспользовавшись равенством ( arcsin(-a) = -arcsin a ), перепишем решение в виде $$ x in left(pi + arcsin frac{2}{3} + 2pi k; ;; 2pi - arcsin frac{2}{3} + 2pi k ight), ; k in mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 3. Решим неравенство ( cos x > frac{1}{2} ).

Так как ( -1 < frac{1}{2} < 1 ), то $$ x in left(-frac{pi}{3} + 2pi k; ;; frac{pi}{3} + 2pi k ight), ; k in mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 4. Решим неравенство ( cos x < -0{,}3 ).

Так как ( -1 < -0{,}3 < 1 ), то $$ x in (arccos(-0{,}3) + 2pi k; ;; 2pi - arccos(-0{,}3) + 2pi k), k in mathbb{Z} $$ Воспользовавшись равенством ( arccos(-a) = pi - arccos a ), перепишем решение в виде $$ x in (pi-arccos 0{,}3 + 2pi k; ;; pi + arccos 0{,}3 + 2pi k), ; k in mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 5. Решим неравенство ( tg ;x > 1 ).

Очевидно, что решение неравенства будет таким: $$ x in left(frac{pi}{4} + pi k; ;; frac{pi}{2} + pi k
ight), ; k in mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 6. Решим неравенство ( tg ;x < -frac{1}{2} ).

Очевидно, что решение неравенства будет таким: $$ x in left(-frac{pi}{2} + pi k; ;; arctg left( -frac{1}{2}
ight) + pi k
ight), ; k in mathbb{Z} $$ Воспользовавшись равенством ( arctg(-a) = -arctg ; a ), перепишем решение в виде $$ x in left(-frac{pi}{2} + pi k; ;; -arctg frac{1}{2} + pi k
ight), ; k in mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 7. Решим неравенство ( ctg ;x > frac{sqrt{3}}{3} ).

Очевидно, что решение неравенства будет таким: $$ x in left( pi k; ;; frac{pi}{3} + pi k
ight), ; k in mathbb{Z} $$

ПРИМЕР 8. Решим неравенство ( ctg ;x < -frac{5}{4} ).

Очевидно, что решение неравенства будет таким: $$ x in left( arcctg left( -frac{5}{4}
ight) + pi k; ;; pi + pi k
ight), ; k in mathbb{Z} $$ Воспользовавшись равенством ( arcctg(-a) = pi — arcctg ;a ), перепишем решение в виде $$ x in left( pi — arcctg frac{5}{4} + pi k; ;; pi + pi k
ight), ; k in mathbb{Z} $$ или в виде $$ x in left( — arcctg frac{5}{4} + pi n; ;; pi n
ight), ; n in mathbb{Z} $$

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-inequality

Простейшие тригонометрические неравенства

08 Фев 2014

Елена Репина 2014-02-08 2015-04-20

Часть 1. 

(Часть 2 см. здесь)

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

• Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида
• ,
•  ,
•  ,
• ,

1. Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I,  часть II).
2. 
3. Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1

• Решить неравенство:
• Решение: 
• Отмечаем на оси  косинусов
• Все значения , меньшие – левее точки на оси косинусов.
• 
• Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше
• 

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки до .

Обратите внимание, многие, назвав первую точку вместо второй точки    указывают точку , что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения

1. Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».
2. Не забываем «накидывать» счетчик 
3. Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:
4. 

Пример 2

• Решение:
• Отмечаем на оси  косинусов
• Все значения , большие или равные – правее точки , включая саму точку.

Пример 3

1. Решить неравенство:
2. Решение:
3. Отмечаем на оси синусов
4. Все значения , большие или равные – выше точки , включая саму точку.
5. «Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

Пример 4

• Решить неравенство:
• Решение:
• Кратко:
• или все , кроме

Пример 5

1. Решить неравенство:
2. Решение:
3. Неравенство равносильно уравнению , так как область значений функции –

Пример 6

Решить неравенство:

Решение:

Действия  – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

• Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.
• Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать
• Согласны с таким вариантом (одним из) названия углов, соответствующих тому, что синус в них равен
• А теперь мы должны позаботиться о том, чтобы правый конец промежутка, являющего собой решение неравенства, был бы больше левого конца.
• Поэтому

Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств

1. Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так:
2. 1. Решить неравенство:
3. Ответ: + показать

• 2. Решить неравенство:
• Ответ: + показать

1. 3. Решить неравенство:
2. Ответ: + показать

• 4. Решить неравенство:
• Ответ: + показать

1. 5. Решить неравенство:
2. Ответ: + показать

Часть 2
Если у вас  есть  вопросы, – пожалуйста, – спрашивайте!

Источник: https://egemaximum.ru/prostejshie-trigonometricheskie-neravenstva/

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств и распознавание способов решения тригонометрических неравенств

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств и распознавание способов решения тригонометрических неравенств.

Учителя высшей квалификационной категории:

Ширко Ф.М. п. Прогресс, МОБУ-СОШ №6

Санкина Л.С. г. Армавир, ЧОУ СОШ «Новый путь»

Не существует универсальных приемов преподавания дисциплин естественно-математического цикла. Каждый учитель находит свои, приемлемые только для него способы преподавания.

Наш многолетний опыт преподавания показывает, что учащиеся легче усваивают материал, требующий концентрации внимания и сохранения в памяти большого объема информации, если они научены использовать в своей деятельности алгоритмы на начальной стадии обучения сложной темы. Такой темой на наш взгляд, является тема решение тригонометрических неравенств.

Итак, перед тем, как мы приступим с учащимися к выявлению приемов и способов решения тригонометрических неравенств, отрабатываем и закрепляем алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств

1. Изображаем единичную окружность.

2. Отмечаем на соответствующей оси точки (дляsinx – ось ОУ, для cosx – ось ОХ)

3. Восстанавливаем перпендикуляр к оси, который пересечет окружность в двух точках.

4. Первой на окружности подписываем точку, которая принадлежит промежутку области значений аркфункции по определению.

5. Заштриховываем ту часть оси, которая соответствует данному неравенству.

6. Начиная от подписанной точки, заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

7. Обращаем особое внимание на направление обхода. Если обход совершается по часовой стрелке (т.е. присутствует переход через 0), то вторая точка на окружности будет отрицательной, если против часовой стрелки – положительной.

8. Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.

• Рассмотрим работу алгоритма на примерах.
• 1) sin≥ 1/2;
• Решение:

1. Изображаем единичную окружность.;

2. Отмечаем на оси ОУ точку ½.

3. Восстанавливаем перпендикуляр к оси,

который пересечет окружность в двух точках.

1. По определению арксинуса первой отмечаем

точку π/6.

1. Заштриховываем ту часть оси, которая соответствует

данному неравенству, выше точки ½.

1. Заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

2. Обход совершается против часовой стрелки, получили точку 5π/6.

3. Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции;

1. Ответ: x ;[π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn], n  Z.
2. Простейшее неравенство решается по тому же алгоритму, если в записи ответа нет табличного значения.
3. 2) 5 cosx – 1 ≥ 0;
4. Решение: у
5. 5 cos x – 1 ≥ 0;
6. cosx ≥ 1/5;

Учащиеся, на первых уроках решая неравенства у доски, проговаривают каждый шаг алгоритма вслух.

1. Изображаем единичную окружность.

2. Отмечаем на оси ОХ точку с координатой 1/5.

3. Восстанавливаем перпендикуляр к оси, который

пересечет окружность в двух точках.

1. Первой на окружности подписываем точку, которая принадлежит промежутку области значений арккосинуса по определению (0;π).

2. Заштриховываем ту часть оси, которая соответствует данному неравенству.

3. Начиная от подписанной точкиarccos 1/5, заштриховываем дугу окружности, соответствующую заштрихованной части оси.

4. Обход совершается по часовой стрелке (т.е. присутствует переход через 0), значит, вторая точка на окружности будет отрицательной —arccos 1/5.

5. Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции, от меньшего значения к большему.

Ответ: x  [-arccos 1/5 + 2πn, arccos 1/5 + 2πn], n  Z.

Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствуют вопросы: «Каким способом будем решать группу неравенств?»; «Чем одно неравенство отличается от другого?»; «Чем одно неравенство похоже на другое?»; Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?»; Как изменился бы ответ, если было вместо знака «» стоял знак «

Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание.

Учащимся предлагаются неравенства, которые необходимо решить на уроке.

1. 2sin (x – π/4) ≥ ;

2. cos (3π/2 + x) /2;

3. cos (π + 2x) – 1 ≥ 0;

4. sin x 2/3;

5. 5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;

6. 4sin2 3x .

• Вопрос: Выделите неравенства, которые требуют применения равносильных преобразований при сведении тригонометрического неравенства к простейшему?
• Ответ 1, 3, 5.
• Вопрос: Назовите неравенства, в которых требуется рассмотреть сложный аргумент как простой?
• Ответ: 1, 2, 3, 5, 6.
• Вопрос: Назовите неравенства, где можно применить тригонометрические формулы?
• Ответ: 2, 3, 6.
• Вопрос: Назовите неравенства, где можно применить метод введения новой переменной?
• Ответ: 6.

Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание. При формировании умений важно выделять этапы его выполнения и формулировать их в общем виде, что и представлено в алгоритме решения простейших тригонометрических неравенств.

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/alghoritm-rieshieniia-prostieishikh-trighonomietrichieskikh-nieravienstv-i-raspoznavaniie-sposobov-rieshieniia-trighonomietrichieskikh-nieravienstv

Решение тригонометрических неравенств

Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических неравенств онлайн.
Тригонометрические неравенства – это неравенства, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции.
К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие неравенства: sinx ▼a, cosx ▼a, tgx ▼a, ctgx ▼a. Знак ▼ означает любой знак сравнения (≤, ≥, >,

Основным способом решения любых тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим тригонометрическим неравенствам, которые указаны выше.

Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать все методы решения тригонометрических неравенств. Чтобы получить ответ, укажите исходное тригонометрическое неравенство.

Основные примеры функций для данного калькулятора указаны ниже.

Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Основные функции : x^a модуль x: abs(x) : Sqrt[x] : x^(1/n) : a^x : Log[a, x] : Log[x] : cos[x] или Cos[x]

: sin[x] или Sin[x] : tan[x] или Tan[x] : cot[x] или Cot[x] : sec[x] или Sec[x] : csc[x] или Csc[x] : ArcCos[x] : ArcSin[x] : ArcTan[x] : ArcCot[x] : ArcSec[x] : ArcCsc[x] : cosh[x] или Cosh[x]

: sinh[x] или Sinh[x] : tanh[x] или Tanh[x] : coth[x] или Coth[x] : sech[x] или Sech[x] : csch[x] или Csch[е] : ArcCosh[x] : ArcSinh[x] : ArcTanh[x] : ArcCoth[x] : ArcSech[x] : ArcCsch[x] [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Источник: https://allcalc.ru/node/682

Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 1 из 12)

• Министерство образования Республики Беларусь
• Учреждение образования
• «Гомельский государственный университет
• имени Франциска Скорины»
• Математический факультет
• Кафедра алгебры и геометрии
• Допущена к защите

Зав. кафедройШеметков Л.А.

1. «2008 г.
2. Тригонометрические уравнения и неравенства
3. Курсовая работа
4. Исполнитель:
5. студент группы М-51

С.М. Горский

Научный руководительк.ф.- м.н.,

старший преподаватель

В.Г. Сафонов

• Гомель 2008
• Оглавление
• ВВЕДЕНИЕ
• ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
• Элементарные тригонометрические уравнения
• Введение вспомогательного аргумента
• Схема решения тригонометрических уравнений
• Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений
• Разложение на множители
• Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
• Решение уравнений с применением формул понижения степени
• Решение уравнений с применением формул тройного аргумента
• Равенство одноименных тригонометрических функций
• Домножение на некоторую тригонометрическую функцию
• Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим
• НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
• Использование ограниченности функций
• Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений
• Решение с исследованием функции
• ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
• Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
• Решение тригонометрических неравенств графическим методом
• ОТБОР КОРНЕЙ
• ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
• ВВЕДЕНИЕ

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом .

Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа.

Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических — бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

1. Данная дипломная работа посвящена методам решения тригонометрических уравнений и неравенств.
2. Дипломная работа состоит из 6 разделов.
3. В первом разделе приведены основные теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; таблица значений тригонометрических функций для некоторых аргументов; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Во втором разделе изложены основные методы решения тригонометрических уравнений. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим.

Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, что может при решении тестов, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений.

В третьем разделе рассматриваются нестандартные тригонометрические уравнения, решения которых основано на функциональном подходе.

В четвертом разделе рассматриваются тригонометрические неравенства. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как на единичной окружности, так и графическим методом. Описан процесс решения неэлементарных тригонометрических неравенств через элементарные неравенства и уже хорошо известный школьникам метод интервалов.

В пятом разделе представлены наиболее сложные задания: когда необходимо не только решить тригонометрическое уравнение, но и из найденных корней отобрать корни, удовлетворяющие какому-нибудь условию.

В данном разделе приведены решения типичных заданий на отбор корней.

Приведены необходимые теоретических сведения для отбора корней: разбиение множества целых чисел на непересекающиеся подмножества, решение уравнений в целых числах (диафантовых).

В шестом разделе представлены задачи для самостоятельного решения, оформленные в виде теста. В 20 заданиях теста приведены наиболее сложные задания, которые могут встретиться на централизованном тестировании.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Элементарные тригонометрические уравнения

Элементарные тригонометрические уравнения — это уравнения вида

, где — одна из тригонометрических функций: , , , .

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению

удовлетворяют следующие значения: , , , и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения , где , такова:

Здесь

может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром. Записывают обычно , подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения.

Решения уравнения

, где , находятся по формуле

Уравнение

решается применяя формулу

а уравнение

— по формуле

Особо отметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

Источник: https://mirznanii.com/a/314896/trigonometricheskie-uravneniya-i-neravenstva