Примеры решения уравнений

• Вопросы занятия:
• • на примерах повторить основные методы решения уравнений.
• Материал урока

Сегодня на уроке мы с вами вспомним основные методы решения уравнений. Первый метод, который мы вспомним, это метод замены уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).

Применяют этот метод:

Этот метод можно применять только в том случае, когда функция y = h(x) – это монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу.

Например

1. Это – равносильное преобразование уравнений.
2. Если же функция y = h(x) – немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней.
3. Например:

Следующим мы рассмотрим метод разложения на множители.

Суть этого метода:

После решения уравнений совокупности, нужно взять те корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Рассмотрим пример.

Рассмотрим еще один пример на применение метода разложения на множители.

Следующий метод – метод введения новой переменной.

Суть метода состоит в следующем:

Если вводится новая переменная, то полученное уравнение надо решать до конца, вплоть до проверки его корней, и только потом возвращаться к исходной переменной.

Рассмотрим пример.

Рассмотрим еще один пример.

Рассмотрим еще один пример.

• Теперь рассмотрим пример, в котором использование этого метода не является очевидным.
• Решить уравнение.
• Рассмотрим еще один метод решения уравнений – функционально графический метод.
• Суть этого метода:
• Рассмотрим пример.
• Рассмотрим еще один пример.
• Рассмотрим пример.
• Давайте, еще раз перечислим основные методы решения уравнений.

Источник: https://videouroki.net/video/29-obshchiie-mietody-rieshieniia-uravnienii.html

Решение линейных уравнений 7 класс

Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).

Свойство № 1или

правило переноса

Запомните!

При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.

Перенесем число «3» из левой части уравнения в правую.

Так как в левой части уравнения у числа «3» был знак «+», значит в правую часть уравнения «3» перенесется со знаком «−».

Полученное числовое значение «x = 2» называют корнем уравнения.

Важно!

Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.

• Рассмотрим другое уравнение.
• 5x = 4x + 9
• По правилу переноса перенесем «4x» из левой части уравнения в правую, поменяв знак на противоположный.
• Несмотря на то, что перед «4x» не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед «4x» стоит знак «+».
• 5x = 4x + 9 5x = +4x + 9 5x − 4x = 9
• Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.
• Ответ: x = 9

Запомните!

В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.

Но нельзя делить на неизвестное!

Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

Число «4», которое стоит при «x», называют числовым коэффициентом при неизвестном.

Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при «x» стоял коэффициент «1».

Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить «4», чтобы получить «1»?». Ответ очевиден, нужно разделить на «4».

Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на «4». Не забудьте, что делить нужно и левую, и правую части.

Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

Как решить уравнение, если «x» отрицательное

Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при «x» стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.

−2x = 10

Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить «−2», чтобы получить «1»?». Нужно разделить на «−2».

−2x = 10         |:(−2) =                   x = −5                  Ответ: x = −5            Важно!

При делении на отрицательное число помните про правило знаков.

Рассмотрим другие примеры решения линейных уравнений. Обычно для решения уравнений нужно применять оба свойства (правило переноса и правило деления).

Также требуется вспомнить правило раскрытия скобок и правило приведения подобных.

• 25x − 1 = 9 25x = 9 + 1 25x = 10        |: 25 = x = Ответ: x =
• 11(y − 4) + 10(5 − 3y) − 3(4 − 3y) = −6 11y − 44 + 50 − 30y − 12 + 9y = −6 11y − 30y + 9y − 44 + 50 − 12 = −6 20y − 30y + 6 − 12 = −6 −10y − 6 = −6 −10y = −6 + 6 −10y = 0         |:(−10) = y = 0 Ответ: y = 0

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/linear_equations/solution_linear_equations.php

Более сложные примеры уравнений

52. Более сложные примеры уравнений.Пример 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x2 – 1)

Общий знаменатель есть x2 – 1, так как x2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Умножим обе части этого уравнения на x2 – 1. Получим:

• или, после сокращения,
• 5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
• или
• 5x + 5 – 3x + 3 = 15
• или
• 2x = 7 и x = 3½
• Рассмотрим еще уравнение:
• 5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x2 – 1)
• Решая, как выше, получим:
• 5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
  5x + 5 – 3x – 3 = 4 или 2x = 2 и x = 1.
• Посмотрим, оправдываются ли наши равенства, если заменить в каждом из рассмотренных уравнений x найденным числом.
• Для первого примера получим:

1. Видим, что здесь нет места никаким сомнениям: мы нашли такое число для x, что требуемое равенство оправдалось.
2. Для второго примера получим:
3. 5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) или 5/0 – 3/2 = 15/0

Здесь возникают сомнения: мы встречаемся здесь с делением на нуль, которое невозможно. Если в будущем нам удастся придать определенный, хотя бы и косвенный, смысл этому делению, то тогда мы можем согласиться с тем, что найденное решение x – 1 удовлетворяет нашему уравнению. До этой же поры мы должны признать, что наше уравнение вовсе не имеет решения, имеющего прямой смысл.

• Подобные случаи могут иметь место тогда, когда неизвестное входит как-либо в знаменатели дробей, имеющихся в уравнении, причем некоторые из этих знаменателей, при найденном решении, обращаются в нуль.
• Пример 2.
• (x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Можно сразу видеть, что данное уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x + 3 к числу x – 1 равно отношению числа 2x + 3 к числу 2x – 2. Пусть кто-либо, в виду такого обстоятельства, решит применить сюда для освобождения уравнения от дробей основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Тогда он получит:

1. (x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2. или
3. 2×2 + 6x – 2x – 6 = 2×2 + 3x – 2x – 3.
4. Здесь может возбудить опасения, что мы не справимся с этим уравнением, то обстоятельство, что в уравнение входят члены с x2. Однако, мы можем от обеих частей уравнения вычесть по 2×2 — от этого уравнение не нарушится; тогда члены с x2 уничтожатся, и мы получим:
5. 6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
6. Перенесем неизвестные члены влево, известные вправо — получим:
7. 3x = 3 или x = 1
8. Вспоминая данное уравнение
9. (x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
10. мы сейчас же подметим, что найденное значение для x (x = 1) обращает в нуль знаменателей каждой дроби; от такого решения мы, пока не рассмотрели вопроса о делении на нуль, должны отказаться.
11. Если мы подметим еще, что применение свойства пропорции усложнило дело и что можно было бы получить более простое уравнение, умножая обе части данного на общий знаменатель, а именно на 2(x – 1) — ведь 2x – 2 = 2 (x – 1), то получим:
12. 2(x + 3) = 2x – 3 или 2x + 6 = 2x – 3 или 6 = –3,
13. что невозможно.
14. Это обстоятельство указывает, что данное уравнение не имеет таких, имеющих прямой смысл решений, которые не обращали бы знаменателей данного уравнения в нуль.
    Решим теперь уравнение:
15. (3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Умножим обе части уравнения 2(x – 1), т. е. на общий знаменатель, получим:

• 6x + 10 = 2x + 18
• или
• 4x = 8 и x = 2
• Найденное решение не обращает в нуль знаменатель и имеет прямой смысл:

1. Если бы кто-либо, вместо умножения обеих частей на 2(x – 1), воспользовался бы свойством пропорции, то получил бы:
2. (3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) или
   6×2 + 4x – 10 = 2×2 + 16x – 18.
3. Здесь уже члены с x2 не уничтожались бы. Перенеся все неизвестные члены в левую часть, а известные в правую, получили бы
4. 4×2 – 12x = –8
5. или
6. x2 – 3x = –2

Это уравнение мы теперь решить не сумеем. В дальнейшем мы научимся решать такие уравнения и найдем для него два решения: 1) можно взять x = 2 и 2) можно взять x = 1. Легко проверить оба решения:

• 1) 22 – 3 · 2 = –2 и 2) 12 – 3 · 1 = –2
• Если мы вспомним начальное уравнение
• (3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
• то увидим, что теперь мы получим оба его решения: 1) x = 2 есть то решение, которое имеет прямой смысл и не обращает знаменателя в нуль, 2) x = 1 есть то решение, которое обращает знаменателя в нуль и не имеет прямого смысла.
• Пример 3.

1. Найдем общего знаменателя дробей, входящих в это уравнение, для чего разложим на множители каждого из знаменателей:
2. 1) x2 – 5x + 6 = x2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
3. 2) x2 – x – 2 = x2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
4. 3) x2 – 2x – 3 = x2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
5. Общий знаменатель равен (x – 3)(x – 2)(x + 1).
6. Умножим обе части данного уравнения (а его мы теперь можем переписать в виде:

• на общего знаменателя (x – 3) (x – 2) (x + 1). Тогда, после сокращения каждой дроби получим:
• 3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) или
  3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
• Отсюда получим:
• –x = –13 и x = 13.
• Это решение имеет прямой смысл: оно не обращает в нуль ни одного из знаменателей.
• Если бы мы взяли уравнение:

1. то, поступая совершенно так же, как выше, получили бы
2. 3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3. или
4. 3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
5. или
6. 3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
7. откуда получили бы
8. 0 = –11,

что невозможно. Это обстоятельство показывает, что нельзя найти для последнего уравнения решения, имеющего прямой смысл.

Источник: https://maths-public.ru/algebra1/equations-examples

Иррациональные уравнения

Елена Репина 2013-10-17 2016-09-14

• Простейшие иррациональные уравнения мы рассматривали здесь.
• 
• С простейшими иррациональными уравнениями мы сталкиваемся в части В ЕГЭ по математике.
• Сегодня же работаем с иррациональными уравнениями, с которыми вы можете столкнуться в части С ЕГЭ по математике.
• Предлагаю решать уравнения способом равносильных переходов.

Это не единственный способ. Можно, например, переходить к уравнениям-следствиям, после чего полученные корни подвергать проверке. Но это не всегда удобно…

Задание 1

Решение:+ показать

Какая информация скрыта в самом уравнении?

Возводя в квадрат обе части уравнения, мы выйдем на новое уравнение, – при этом мы сохраним информацию, заложеннную в исходном уравнении.

Получаем равносильную систему:

Обратите внимание, – мы вольны выбрать лишь одно из неравенств! Скажите, зачем нам писать еще и , если и мы уже сказали, что ?

1. Оставляйте наиболее выгодное (простое) неравенство!
2. Итак,
3. Решением данной системы, а значит и исходного уравнения, является число 5.
4. Ответ: 5.

Задание 2

• Решить уравнение:
• Решение: + показать
• Данное уравнение равносильно системе:

(Нет смысла указывать, что еще и .  Раз правая часть уравнения системы неотрицательна и мы сказали, что в левой части один из множителей неотрицателен, то и второй автоматически неотрицателен). Выбирайте любое из неравенств!)

1.  Откуда
2. Итак,
3.  Ответ: 1. 

Задание 3

• Решить уравнение:
• Решение: + показать
• Перепишем уравнение следующим образом:
• Что мы видим?
• Подкоренное выражение () неотрицательно.
• А так как левая часть уравнения не отрицательна, то и
• Вот эту информацию мы должны сохранить при преобразовании основного уравнения.
• Поэтому переходим к следующей, равносильной системе:

У вас не возникло вопроса, почему мы не указали в системе ? На самом деле об этом в системе сказано! Ведь  есть , а квадрат  не может быть отрицательным.

1. Итак,
2. Решение системы – число -1.
3. Ответ: -1. 

Задание 4

• Решить уравнение:
• Решение: + показать
• Перепишем уравнение так:

Мы не будем сокращать обе части уравнения на ! Это может грозить потерей корней.

1. Выход такой (вынесение за скобку общего множителя):
2. Переходим к совокупности:
3. Обратите внимание – уравнение  должно быть подчинено условию !
4. Можно сказать так:
5. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда первый множитель равен нулю при условии, что второй существует, или второй множитель равен нулю при условии, что первый существует.
6. Возвращаемся к совокупности:
7. Корень уравнения не удовлетворяет неравенству
8. Поэтому совокупность равносильна уравнению
9. Откуда
10. Ответ: -7; 8. 

• Обе части этого уравнения на его области определения  принимают неотрицательные значения.
• Это уравнение равносильно исходному.

Источник: https://egemaximum.ru/irracionalnye-uravneniya/

Решение простых линейных уравнений

• 6 октября 2015
• В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.
• Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

1. Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:
2. [ax+b=0]
3. Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

1. Раскрыть скобки, если они есть;
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
2. Затем свести подобные
3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

1. Раскрываем скобки, если они есть.
2. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
3. Приводим подобные слагаемые.
4. Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

[6x+72=0]

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

• [6x=-72]
• Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:
• [frac{6x}{6}=-frac{72}{6}]
• [x=-12]
• Вот мы и получили ответ.

Задача №2

1. [5left( x+9
   ight)=5x+45]
2. В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:
3. [5x+45=5x+45]

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

• [5x-5x=45-45]
• Приведем подобные:
• [0=0]

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

1. Третье линейное уравнение уже интересней:
2. [left( 6-x
   ight)+left( 12+x
   ight)-left( 3-2x
   ight)=15]
3. Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки.

   Давайте раскроем их:

4. [6-x+12+x-3+2x=15]
5. Выполняем второй уже известный нам шаг:
6. [-x+x+2x=15-6-12+3]
7. Посчитаем:
8. [2x=0]
9. Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:
10. [frac{2x}{x}=frac{0}{2}]
11. [x=0]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

• Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
• Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные. А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

• [12-left( 1-6x
  ight)x=3xleft( 2x-1
  ight)+2x]
• Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:
• [12-left( x-6xcdot x
  ight)=3xcdot 2x-3x+2x]
• [12-left( x-6{{x}^{2}}
  ight)=6{{x}^{2}}-x]
• [12-x+6{{x}^{2}}=6{{x}^{2}}-x]
• Теперь займемся уединением:
• [-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12]
• Приводим подобные:
• [0=-12]
• Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:
• [varnothing ]
• или корней нет.

Пример №2

1. [8left( 2x-1
   ight)-5left( 3x+0,8
   ight)=x-4]
2. Выполняем те же действия.

   Первый шаг:

3. [8cdot 2x-8-left( 5cdot 3x+5cdot 0,8
   ight)=x-4]
4. [16x-8-left( 15x+4
   ight)=x-4]
5. [16x-8-15x-4=x-4]
6. Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:
7. [16x-15x-x=-4+8+4]
8. Приводим подобные:
9. [0=8]
10. Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:
11. [varnothing ],
12. либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

[12-left( 1-6x
ight)x=3xleft( 2x-1
ight)+2x]

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое. Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус».

При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

[8left( 2x-1
ight)-5left( 3x+0,8
ight)=x-4]

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

• [left( 7x+1
  ight)left( 3x-1
  ight)-21{{x}^{2}}=3]
• Давайте перемножим все элементы в первой части:
• [7xcdot 3x+7xcdot left( -1
  ight)+1cdot 3x+1cdot left( -1
  ight)-21{{x}^{2}}=3]
• [21{{x}^{2}}-7x+3x-1-21{{x}^{2}}=3]
• Давайте выполним уединение:
• [21{{x}^{2}}-7x+3x-21{{x}^{2}}=3+1]
• Приводим подобные:
• [-4x=4]
• Выполняем последний шаг:
• [frac{-4x}{4}=frac{4}{-4}]
• [x=-1]

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

1. [left( 1-4x
   ight)left( 1-3x
   ight)=6xleft( 2x-1
   ight)]
2. Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй.

   Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

3. [1cdot 1+1cdot left( -3x
   ight)+left( -4x
   ight)cdot 1+left( -4x
   ight)cdot left( -3x
   ight)=6xcdot 2x+6xcdot left( -1
   ight)]
4. А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:
5. [1-3x-4x+12{{x}^{2}}=12{{x}^{2}}-6x]
6. Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:
7. [-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1]
8. Приводим подобные слагаемые:
9. [-7x+6x=-1]
10. [-x=-1]
11. [x=1]
12. Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

1. Раскрыть скобки.
2. Уединить переменные.
3. Привести подобные.
4. Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

1. Избавиться от дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Уединить переменные.
4. Привести подобные.
5. Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

• [frac{left( 2x+1
  ight)left( 2x-3
  ight)}{4}={{x}^{2}}-1]
• []
• Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:
• [frac{left( 2x+1
  ight)left( 2x-3
  ight)cdot 4}{4}=left( {{x}^{2}}-1
  ight)cdot 4]

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

1. [left( 2x+1
   ight)left( 2x-3
   ight)=left( {{x}^{2}}-1
   ight)cdot 4]
2. Теперь раскроем:
3. [2xcdot 2x+2xcdot left( -3
   ight)+1cdot 2x+1cdot left( -3
   ight)=4{{x}^{2}}-4]
4. [4{{x}^{2}}-6x+2x-3=4{{x}^{2}}-4]
5. Выполняем уединение переменной:
6. [4{{x}^{2}}-6x+2x-4{{x}^{2}}=-4+3]
7. Выполняем приведение подобных слагаемых:
8. [-4x=-1left| :left( -4
   ight)
   ight.]
9. [frac{-4x}{-4}=frac{-1}{-4}]
10. [x=frac{1}{4}]
11. Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

• [frac{left( 1-x
  ight)left( 1+5x
  ight)}{5}+{{x}^{2}}=1]
• Здесь выполняем все те же действия:
• [frac{left( 1-x
  ight)left( 1+5x
  ight)cdot 5}{5}+{{x}^{2}}cdot 5=5]
• [1cdot 1+1cdot 5x+left( -x
  ight)cdot 1+left( -x
  ight)cdot 5x+5{{x}^{2}}=5]
• [1+5x-x-5{{x}^{2}}+5{{x}^{2}}=5]
• [5x-x-5{{x}^{2}}+5{{x}^{2}}=5-1]
• [4x=4]
• [frac{4x}{4}=frac{4}{4}]
• [x=1]
• Задача решена.
• Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

• Знать алгоритм решения линейных уравнений.
• Умение раскрывать скобки.
• Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
• Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!   

Источник: https://www.berdov.com/docs/equation/prosteyshie-lineynie-uravneniya/

Алгебра 7-9 классы. 9. Решение линейных уравнений с двумя неизвестными — Всё для чайников

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

Уравнение с двумя переменными и его график

Пусть требуется найти два числа» разность которых равна 5.

Если первое число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства .

Равенство содержит две переменные. Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.

При уравнение обращается в верное равенство 8 — 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных является решением этого уравнения. Пара х = 3, у = 8 не обращает уравнение в верное равенство, значит, не является его решением.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений,переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Пару , являющуюся решением уравнения , можно записать так: (8; 3). При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой — на втором. В записи решений уравнений с переменными х и у на первое место ставят значения х, а на второе место — значения у. Например, решениями уравнения служат также пары: (12; 7), (5,2; 0,2), ( — 2; —7), (3,8; -1,2).'

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной.

Чтобы найти решения уравнения

можно подставить в него вместо х произвольное число, например 3. Получим уравнение с одной переменной у: . Решив его, найдем, что у = —0,5. Пара (3; —0,5) — решение уравнения .

Для отыскания решений уравнения (1) удобно выразить одну переменную через другую. Выразим, например, переменную у через х. Для этого перенесем слагаемое Зх в правую часть уравнения, изменив его знак:

• Разделив обе части этого уравнения на 2, получим:

Уравнение (3) равносильно уравнению (2), а уравнение (2) — уравнению (1). Поэтому уравнение (3) равносильно уравнению(1).

По формуле можно найти сколько угодно решений уравнения . Например, если х = 2, то ;

если x = —0,4, то . Значит, уравнение (1) имеет бесконечно много решений.

Каждое решение вида, уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости точкой с координатами х и у. Все такие точки образуют график уравнения. На рисунке 55 показан график уравнения

Этот график — парабола. Действительно, уравнение равносильно уравнению , а формулой задается функция, графиком которой является парабола.

1. Графики уравнений весьма разнообразны. На рисунках 56 и 57 изображены графики уравнений
2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

 Каждое из уравнений с двумя переменными , имеет вид , где а, b и с — некоторые числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида , где х и у — переменные, а, b и с — числа.

Числа а и b называют коэффициентами при переменных, число с — свободным членом.

Выясним, что представляет собой график линейного уравнения.

Если в линейном уравнении коэффициент при у не равен нулю, то из этого уравнения можно выразить у через х. Возьмем, например, уравнение. Имеем:

Формулой задается линейная функция, графиком которой служит прямая. Та же самая прямая является и графиком уравнения , так как это уравнение равносильно уравнению

Итак, графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

Уравнение , в котором а = О и b = 0, имеет вид . При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При уравнение не имеет решений, и его график не содержит ни одной точки.

Приведем примеры построения графиков линейных уравнений.

Пример 1. Построим график уравнения .

В линейном уравнении коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух каких-либо точек прямой:

Отметим точки (0; —3) и (2; —1,5) и проведем через них прямую (рис. 60). Эта прямая — график уравнения

Пример 2. Построим график уравнения х= — 3. Это уравнение можно записать в виде . графиком служит прямая, параллельная оси у (рис. 61).

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1883-algebra-7-9-klassy-9-reshenie-linejnykh-uravnenij-s-dvumya-neizvestnymi