Логарифмическая линейка, рисунок и примеры решений

Первые логарифмические линейки изобрели англичане – математик-педагог Ульям Отред и учитель математики Ричард Деламейн. Летом 1630 года в гостях у Отреда побывал его друг и ученик Уильям Форстер – учитель математики из Лондона.

Друзья много говорили о математике, о правильной методике ее преподавания. Когда разговор зашел о шкале Гюнтера, Отред отозвался о ней критически. Он отметил, что много времени уходит на манипулирование двумя циркулями, при этом точность получается низкая.

Логарифмическая шкала, используемая с двумя циркулярами-измерителями, была построена валлийцем Эдмундом Гюнтером. Шкала, изобретенная им, представляла собой отрезок, на котором были нанесены деления, они соответствовали логарифмам чисел или тригонометрических величин.

Пользуясь циркулями-измерителями можно было определить, какова сумма длин отрезков шкалы или их разность, и соответственно, согласно свойствам логарифмов, можно было найти произведение или частное.

Общепринятое ныне обозначение log, а также термины котангенс и косинус были введены Эдмундом Гюнтером.

У первой линейки Отреда было две логарифмические шкалы, из которых одна легко смещалась относительно другой — неподвижной. Вторым инструментом было кольцо, внутри которого была ось, а на ней вращался круг. На наружной поверхности круга и внутри кольца можно было видеть логарифмические шкалы, «свернутые в окружность». Обеими линейками можно было пользоваться, не прибегая к циркулю.

В книге Отреда и Форстера под названием «Круги пропорций», вышедшей в Лондоне в 1632 году, было дано описание круговой логарифмической линейки, правда тогда там была другая конструкция. В книге «Дополнение к использованию инструмента, называемого «Кругами пропорций»», вышедшей в свет уже на следующий год, Форстер подробно описал прямоугольную логарифмическую линейку Отреда.

Право изготавливать линейки Ортреда, было дано Элиасу Аллену – известному лондонскому механику. Линейку, которая представляла из себя кольцо, с вращающимся кругом внутри, изобрел Ричард Деламейн (бывший ассистент Отреда). Подробное ее описание было дано в 1630 году в брошюре «Граммелогия или Математическое кольцо».

Деламейном было описано несколько вариантов логарифмических линеек, содержащих до 13 шкал. Были предложены и другие конструкции. Деламейн представил не только описания линеек, но и методику градуировки. Им были предложены способы проверки точности, а также приведены примеры, где он использовал свои устройства.

Скорее всего, Ричард Деламейн и Уильям Отред стали изобретателями своих логарифмических линеек, не завися друг от друга. А в 1654 году англичанином Робертом Биссакером была предложена конструкция прямоугольной логарифмической линейки. Ее общий вид и сохранился до нашего времени.

Источник: https://xn—-dtbjalal8asil4g8c.xn--p1ai/priboryi/istoriya-logarifmicheskoy-lineyki.html

Линейка логарифмическая – забытое счетное устройство из прошлого? :

Логарифмическая линейка (фото см. ниже) была придумана как прибор для экономии умственных затрат и времени, связанных с математическими расчетами. Особое распространение она получила в практике инженеров в институтах, ориентированных на научно-исследовательскую деятельность, и в статистических бюро до момента внедрения электронной вычислительной техники.

Линейка логарифмическая: история

Прообразом счетного устройства была шкала для вычислений английского математика Э. Гантера. Он придумал ее в 1623 г., вскоре после открытия логарифмов, для упрощения работы с ними. Шкала использовалась в сочетании с циркулем.

Им отмеривались необходимые градуированные отрезки, которые потом складывались или вычитались. Операции с числами заменялись действиями с логарифмами.

В 1623 году линейка логарифмическая была усовершенствована У. Отредом. Он добавил вторую подвижную шкалу. Она перемещалась вдоль основной линейки. Отмерять отрезки и считывать результаты исчислений стало легче. Для повышения точности устройства в 1650 году была реализована попытка увеличения длины шкалы за счет ее расположения по спирали на вращающемся цилиндре.

Добавление в конструкцию бегунка (1850 г.) сделало процесс исчисления еще более удобными. Дальнейшее усовершенствование механизма и способа нанесения логарифмических шкал на стандартную линейку не добавили точности прибору.

Устройство

Линейка логарифмическая (стандартная) изготавливалась из плотной древесины, стойкой к истиранию. Для этого в промышленных масштабах использовалось грушевое дерево. Из него изготавливался корпус и движок – планка меньшего размера, монтируемая во внутреннем пазе. Ее можно перемещать параллельно основанию.

Бегунок изготавливался из алюминия или стали со смотровым окошком из стекла или пластика. На него нанесена тонкая вертикальная линия (визир). Бегунок двигается по боковым направляющим и подпружинивается стальной пластинкой. Корпус и движок облицованы светлым целлулоидом, на котором тиснением нанесены шкалы.

Их деления заполнены типографской краской.

На лицевой стороне линейки располагаются семь шкал: четыре- на корпусе и три — на движке. На боковых гранях нанесена простая измерительная разметка (25 см) с делениями 1 мм. Шкалы (C) на движке внизу и (D) на корпусе сразу под ней считаются главными.

На основании сверху располагается кубическая разметка (K), под ней – квадратичная (A). Ниже (сверху на движке) есть точно такая же симметричная вспомогательная шкала (B). Внизу на корпусе еще есть разметка для значений логарифмов (L).

В самом центре лицевой части линейки между разметками (B) и (C) нанесена обратная шкала чисел (R). С другой стороны движка (планку можно вынуть из пазов и перевернуть) присутствуют еще три шкалы для расчета тригонометрических функций.

Верхняя (Sin) – предназначена для синусов, нижняя (Tg) – тангенсов, средняя (Sin и Tg) – общая.

Разновидности

Стандартная линейка логарифмическая имеет длину измерительной шкалы 25 см. Выпускался еще карманный вариант длиной 12,5 см и устройство повышенной точности 50 см. Существовало деление линеек на первый и второй сорта в зависимости от качества исполнения.

Внимание уделялось четкости наносимых штрихов, обозначений и вспомогательных линий. Движок и корпус должны были быть ровными и идеально подогнаны друг к другу. Изделия второго сорта могли иметь незначительные царапины и точки на целлулоиде, но они не искажали обозначений.

Также мог присутствовать незначительный люфт в пазах и прогиб.

Существовали и другие карманные (похожие на часы диаметром 5 см) варианты устройства – логарифмическая дисковая (типа «Спутник») и круговая (КЛ-1) линейки. Они отличались и конструкцией, и меньшей точностью измерений.

Во втором – механизм управления (две вращающиеся ручки) был смонтирован на корпусе: одной управлялся дисковый движок, другая управляла стрелкой-визиром.

Возможности

Логарифмической линейкой общего назначения можно было осуществлять деление и умножение чисел, возведить их в квадрат и куб, извлекать корень, решать уравнения. Кроме этого, по шкалам производились тригонометрические вычисления (синус и тангенс) по заданным углам, определялись мантиссы логарифмов и обратные действия – находились числа по их значениям.

Правильность вычислений во многом зависела от качества линейки (длинны ее шкал). В идеале можно было надеяться на точность до третьего знака после запятой. Такие показатели были вполне достаточными для технических расчетов в XIX веке.

Возникает вопрос: как пользоваться логарифмической линейкой? Одного знания назначения шкал и способов нахождения на них чисел еще не достаточно для произведения расчетов. Чтобы использовать все возможности линейки, нужно понимать, что такое логарифм, знать его характеристики и свойства, а также принципы построения и зависимости шкал.

Как считать на логарифмической линейке

Для уверенной работы с устройством требовались определенные навыки. Сравнительно простые вычисления с одним бегунком. Для удобства движок (чтобы не отвлекал) можно удалять.

Установив черту на значения любого числа на основной (D) шкале можно сразу же по визиру получить результат возведения его в квадрат на шкале выше (A) и в куб – на самой верхней (K).

Внизу (L) будет значение его логарифма.

Деление и умножение чисел производится с помощью движка. Применяются свойства логарифмов. Согласно им, итог умножения двух чисел равен результату сложения их логарифмов (аналогично: деление и разница). Зная это, можно достаточно быстро производить расчеты, используя графические шкалы.

Чем сложна логарифмическая линейка? Инструкция по ее правильному использованию шла в комплекте с каждым экземпляром. Кроме знания свойств и характеристик логарифмов, нужно было уметь правильно находить исходные числа на шкалах и уметь в нужном месте считывать результаты, в том числе самостоятельно определять точное место расположения запятой.

Актуальность

Как пользоваться логарифмической линейкой, в наше время знают и помнят немногие, и с уверенностью можно утверждать, что число таких людей будет снижаться.

Логарифмическая линейка из разряда карманных счетных приспособлений давно стала раритетом. Для уверенной работы с ней нужна постоянная практика. Методика расчетов с примерами и разъяснениями тянет на брошюру в 50 листов.

Для среднестатистического человека, далекого от высшей математики, логарифмическая линейка может представлять какую-то ценность разве что справочными материалами, размещенными на обратной стороне корпуса (плотность некоторых веществ, температура плавления и пр.). Преподаватели даже не утруждаются вводить запрет на ее наличие при сдаче экзаменов и зачетов, понимая, что разобраться с тонкостями ее использования современному студенту очень сложно.

Источник: https://www.syl.ru/article/216066/new_lineyka-logarifmicheskaya-zabyitoe-schetnoe-ustroystvo-iz-proshlogo

Круговая логарифмическая линейка КЛ-1

Линейка внешне очень похожа на механический секундомер, только в ней нет часового механизма, и вместо кнопок — вращающиеся головки, с помощью одной крутим стрелки, с помощью другой — подвижный циферблат.

В отличие от обычных логарифмических линеек, она не позволяет считать логарифмы и кубы, точность ниже на один разряд, ну и как обычной линейкой ей не воспользуешься (и спину не почешешь), зато она очень компактная, её можно носить в кармане.

Быстрые вычисления

Прилагаемая (ниже) инструкция предлагает умножать и делить в три движения: вращением подвижной шкалы на указатель, вращением стрелки до нужного значения, и вращением циферблата до другого значения.

Однако гораздо интереснее использовать оба циферблата, подвижный и неподвижный с обратной стороны линейки, и делать вычисления в два движения.

При этом возможно получать сразу весь спектр значений, просто вращая циферблат, и тут же считывая значения.

Для этого на неподвижном циферблате нужно стрелкой выставить либо множитель (в случае умножения), либо делимое (в случае деления), и, перевернув линейку, вращением подвижного циферблата выставить второй множитель на стрелку, либо делитель на указатель, и сразу прочитать результат. Продолжая вращать циферблат, тут же считываем другие значения функции. Обычный калькулятор такое не умеет делать.

Дюймы в сантиметры

К примеру, нам нужно преобразовать сантиметры в дюймы, либо наоборот. Для этого вращением головки с красной точкой выставляем на неподвижном циферблате стрелкой значение 2,54.

После этого будем смотреть, сколько в нашем 24" мониторе сантиметров — вращением головки с чёрной точкой подвижного циферблата выставляем на стрелке значение 24, и считываем с неподвижного указателя значение 61 см (2.54*24=60.96).

При этом можно легко узнать и обратные значения, например узнаем сколько дюймов в нашем 81 см телевизоре, для этого вращением головки с чёрной точкой подвижного циферблата устанавливаем на неподвижном указателе значение 81, и считываем на стрелке значение 32" (81⁄2.54=31.8898).

Градусы Фарингейта в градусы Цельсия

На неподвижном циферблате выставляем значение 1.8, из градусов по Фаренгейту вычитаем в уме 32 и устанавливаем полученное значение напротив неподвижного указателя, считываем на стрелке градусы по Цельсию. Для обратного вычисления устанавливаем значение на стрелке, и к значению на указателе прибавляем в уме 32.

20*1.8+32 = 36+32 = 68

(100-32)/1.8 = 68⁄1.8 = 37.8 (37.7778)

Мили в километры

Выставляем на неподвижной шкале значение 1.6, вращением подвижной шкалы получаем мили в километрах или километры в милях.

Посчитаем скорость разгона машины времени в фильме “Назад в будущее”: 88*1.6=141км/ч (140.8)

Время и расстояние от скорости

Чтобы узнать за сколько времени проедем 400 километров при скорости 60 км/ч, выставляем на неподвижном циферблате значение 6, и крутим подвижный циферблат до значения 4, получаем 6.66 часов (6 часов 40 минут).

Инструкция к линейке

У имеющейся у меня линейки инструкция очень потрёпана, ведь она аж 1966 года выпуска. Поэтому я решил оцифровать её для сохранности в электронном виде.

Полная инструкция к логарифмической линейке “КЛ-1”:

Круговая логарифмическая линейка “КЛ-1”

1. Корпус.
2. Головка с черной точкой.
3. Головка с красной точкой.
4. Подвижный циферблат.
5. Неподвижный указатель.
6. Основная шкала (счетная).

7. Шкала квадратов числа.
8. Стрелка.
9. Неподвижный циферблат.
10. Счетная шкала.

ВНИМАНИЕ!
Вытаскивание головок из корпуса не допускается.

Круговая логарифмическая линейка “КЛ-1” предназначена для выполнения наиболее часто встречающихся в практике математических операций: умножения, деления, комбинированных действий, возведения в кладрат, извлечения квадратного корня, нахождения тригонометрических функций синуса и тангенса, а также соответствующих обратных тригонометрических функций, вычисления площади круга.

Логарифмическая линейка состоит из корпуса с двумя головками, 2-х циферблатов, один из которых вращается при помощи головки с черной точкой и 2-х стрелок, которые вращаются при помощи головки с красной точкой. Против головки с черной точкой над подвижным циферблатом имеется неподвижный указатель.

• На подвижном циферблате нанесены 2 шкалы: внутренняя — основная — счетная и наружная — шкала квадратов чисел.
• На неподвижном циферблате нанесены 3 шкалы: наружная шкала — счетная, аналоичная внутренней шкале на подвижном циферблате, средняя цшкала “S”-значений углов для отсчета их синусов и внутренняя шкала “T”-значений углов для отсчета их тангенсов.
• Выполнение математических операций на линейке “КЛ-1” производится следующим образом:

I. Умножение

1. Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения первого сомножителя по счетной шкале с указателем.
2. Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с отметкой “1”.

3. Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения второго сомножителя по счетной шкале со стрелкой.
4. Против указателя по счетной шкале отсчитать искомое значение произведения.

II. Деление

1. Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения делимого по счетной шкале с указателем.

2. Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с делителем по счетной шкале.
3. Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения отметки “1” со стрелкой.

4. Против указателя по счетной шкале отсчитать искомое значение частного.

III. Комбинированные действия

1. Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения первого сомножителя по счетной шкале с указателем.
2. Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с делителем по счетной шкале.

3. Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения второго сомножителя по счетной шкале со стрелкой.
4. Против указателя по счетной шкале отсчитать окончательный результат.

Пример: (2×12)/6=4

IV. Возведение в квадрат

1. Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения значения числа, возводимого в квадрат, по счетной шкале с указателем.
2. Против того же указателя по шкале квадратов прочитать искомое значение квадрата этого числа.

V. Извлечение квадратного корня

1. Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения значения подкоренного числа по шкале квадратов с указателем.
2. Против того же указателя по внутренеей (счетной) шкале прочитать искомое значение квадратного корня.

VI. Нахождение тригонометрических функций угла

1. Вращением головки с красной точкой совместить стрелку над неподвижным циферблатом со значением заданного угла по шкале синусов (шкала “S”) или по шкале тангенсов (шкала “T”).
2. Против той же стрелки на том же циферблате по наружной (счетной) шкале прочитать соответствующее значение синуса или тангенса этого угла.

VII. Нахождение обратных тригонометрических функций

1. Вращением головки с красной точкой совместить стрелку над неподвижным циферблатом по наружной (счетной) шкале с заданным значением тригонометрической функции.
2. Против той же стрелки по шкале синусов или тангенсов прочитать значение соответстующей обратной тригонометрической функции.

VIII. Вычисление площади круга

1. Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения значения диаметра круга по счетной шкале с указателем.
2. Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с отметкой “C”.

3. Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения отметки “1” со стрелкой.
4. Против указателя по шкале квадратов отсчитать искомое значение площади круга.

Техническо-сбытовая организация “Рассвет” г. Москва, А-57, ул.

Острякова, дом №8.
СТУ 36-16-64-64
Артикул В-46
Штамп ОТК

Цена 3 руб. 10 коп.

1. Штамп с датой выпуска: 20 июня 1966
2. Размер линейки:

Сейчас логарифмические линейки выпускаются только в наручных часах. Человечество что-то потеряло, полностью перейдя от аналоговых вычислителей на чисто цифровые.

П.С.: фотографии не мои, взяты в интернете. На последнем снимке на циферблате маркировка завода МЛТЗКП, если кто знает что означает эта аббревиатура, прошу сообщить мне. Я смог расшифровать лишь её часть: “Московский Л? Т? Завод Контрольных Приборов”, выпускал эту линейку “Московский опытный завод контрольных приборов “Контрольприбор”“.

Источник: http://ibnteo.klava.org/log/kl-1

Первый в мире калькулятор — логарифмическая линейка

  С логарифмической линейкой я расстался в 1979 году. Именно тогда я посчитал на калькуляторе «Электроника» свою первую в институте семестровую работу по математике «Решение системы линейных уравнений методом Гаусса». Расчет надо было сделать обязательно на калькуляторе. При контрольной проверке использовалась надёжная и практичная логарифмическая линейка и, поверьте, решение было найдено раза в 3 быстрее. Логарифмическая линейка значительно облегчила сложные вычисления не только продвинутым старшеклассникам, инженерам, но и солидным ученым. В XX веке логарифмическая линейка была символом инженерных наук, как для врачей фонендоскоп. Владение приёмами расчётов на ней было верным признаком высшего образования.

Уильям Отредએ, выпускник Итонской школы и Кембриджского королевского колледжа, пастор церкви в Олсбери в графстве Суррей, был страстным математиком и с удовольствием преподавал любимый предмет многочисленным ученикам, с которых не брал никакой платы. «Маленького роста, черноволосый и черноглазый, с проницательным взглядом, он постоянно что-то обдумывал, чертил какие-то линии и диаграммы в пыли, — так описывал Отреда один из биографов. — Когда ему попадалась особенно интересная математическая задача, бывало, что он не спал и не ел, пока не находил ее решения».

В 1631 году Отред опубликовал главный труд своей жизни — учебник Clavis Mathematicae («Ключ математики»), выдержавший несколько переизданий на протяжении почти двух веков. Однажды, обсуждая «механические вычисления» с помощью линейки Гюнтера со своим учеником Уильямом Форстером, Отред отметил несовершенство этого метода.

Между делом учитель продемонстрировал свое изобретение — несколько концентрических колец с нанесенными на них логарифмическими шкалами и двумя стрелками. Форстер был восхищен и позднее писал: «Это превосходило любой из инструментов, которые были мне известны.

Я удивлялся, почему он скрывал это полезнейшее изобретение многие годы…» Сам Отред говорил, что он «просто изогнул и свернул шкалу Гюнтера в кольцо», и к тому же был уверен, что «настоящее искусство [математики] не нуждается в инструментах…», их использование он считал допустимым только после овладения этим искусством.

Однако ученик настоял на публикации, и в 1632 году Отред написал (на латыни), а Форстер перевел на английский брошюру «Круги пропорций и горизонтальный инструмент», где была описана логарифмическая линейка.

Авторство этого изобретения оспаривал другой его ученик — Ричард Деламэйн, опубликовавший в 1630  году книгу «Граммелогия, или Математическое кольцо». Некоторые утверждают, что он просто украл изобретение у учителя, но возможно, он пришел к похожему решению независимо.

До современного состояния инструмент довели Роберт Биссакер, сделавший линейку прямой (1654), Джон Робертсон, снабдивший ее бегунком (1775), и Амеде Маннгейм, оптимизировавший расположение шкал и бегунка.

Статья «Круги пропорций» опубликована в журнале «Популярная механика» (№3, Март 2011).

2 нравится это

Источник: https://waksoft.susu.ru/2018/03/10/pervyiy-v-mire-kalkulyator-mdash-logarifmicheskaya-lineyka/

Логарифмическая линейка, 4 книги DjVu скачать

DjVu

ОГЛАВЛЕНИЕ             Предисловие 3       I. Принципы устройства логарифмической линейки 5       II. Описание логарифмической линейки 8       III. Цена делений основной шкалы 10       IV. Установка и чтение чисел на основной шкале 11       V. Порядок чисел 12       VI. Умножение 14       VII. Деление 18       VIII. Умножение и деление на шкале квадратов и с помощью обратной шкалы 20       IX. Комбинированные действия умножения и деления 23       X. Возведение в квадрат 25       XI. Извлечение квадратного корня 28       XII. Возведение в куб 32       XIII. Извлечение кубического корня 33       XIV. Логарифмы чисел 36       XV. Тригонометрические функции 40       XVI. Применение логарифмической линейки в некоторых практических расчетах 47       Литература 54

Леонид Сергеевич Хренов
Юлий Васильевич Визиров

Логарифмическая линейка

DjVu

СОДЕРЖАНИЕ             Предисловие 3       Введение 5             Нормальная счетная логарифмическая линейка       § 1. Описание линейки 11       § 2. Шкалы линейки 15       § 3. Установка и чтение чисел по шкалам линейки 17       § 4. Порядок чисел 20       § 5. Алгебраические и тригонометрические действия на линейке 21       § 6. Особые значки на шкалах линейки 31       § 7. Применение линейки при расчетах 32       § 8. Различные логарифмические линейки 37             Дисковая счетная логарифмическая линейка «Спутник»       § 9. Описание линейки «Спутник» 43       § 10. Установка и чтение чисел по шкалам линейки «Спутник» 46       § 11. Применение линейки «Спутник» 52             Круговая счетная логарифмическая линейка КЛ-1       § 12. Описание линейки КЛ-1 62       § 13. Установка и чтение чисел по шкалам линейки КЛ*1 „64       § 14. Применение линейки КЛ-1 67             Заключение 75       Приложения 76       1. Основные правила приближенных вычислений 76       2. Памятка вычислителя 77       Литература 78

Василий Семёнович Кущенко

Логарифмическая линейка

DjVu

ОГЛАВЛЕНИЕ             От автора 4       Введение 5             Глава I. Устройство и чтение шкал логарифмической линейки 7       § 1. Описание логарифмической линейки —       § 2. Понятие о равномерных шкалах —       § 3. Основные шкалы 12       § 4. Обратная шкала 17       § 5. Шкалы квадратов 18       § 6. Шкала кубов 19       § 7. Шкала логарифмов —       § 8. Шкалы тригонометрических величин —       § 9. Дополнительные штрихи на шкалах логарифмической линейки 20       § 10. Понятие о порядке чисел —             Глава II. Основные действия на логарифмической линейке 22       § 1. Предварительные замечания —       § 2. Умножение 23       § 3. Деление 25       § 4. Возведение чисел в квадрат 27       § 5. Извлечение квадратного корня из чисел 28       § 6. Возведение чисел в куб 29       § 7. Извлечение кубического корня из чисел 30       § 8. Логарифмирование и потенцирование 31       § 9. Вычисления с помощью обратной шкалы 32       § 10. Вычисление тригонометрических функций 34       § 11. Перевод градусов в радианы и обратно 39       § 12. Точность вычислений на логарифмической линейке 40       § 13. Хронометраж линейки 41             Глава III. Решение задач и уравнений с помощью логарифмической линейки 42       § 1. Пропорции —       § 2. Решение прямоугольных треугольников 44       § 3. Решение геометрических задач 46       § 4. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом итерации 48       § 5. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом релаксации 51             Глава IV. Упражнения на логарифмической линейке 55       § 1. Примеры и задачи —       § 2. Типичные варианты зачетной работы по логарифмической линейке 59       § 3. Некоторые часто встречающиеся величины 60       Ответы 61       Литература 62

Дмитрий Степанович Миков

Счётная логарифмическая линейка

DjVu

СОДЕРЖАНИЕ             Предисловие       Введение 3       § 1. Описание счетной логарифмической линейки 4       § 2. Основные свойства логарифмов 7       § 3. Соотношения шкал логарифмической линейки 7             Действия с числами       § 4. Установка и чтение чисел на шкалах линейки 19       § 5. Порядок чисел 20       § 6. Умножение чисел 20       § 7. Деление чисел 22       § 8. Совместное умножение и деление 22       § 9. Возведение в квадраг 24       § 10. Извлечение квадратного корня 25       § 11. Возведение в куб 26       § 12. Извлечение кубичного корня 26       § 13. Возведение в степень 2/3 27       § 14. Возведение в степень 3/2 28       § 15. Извлечение корней с показателями 2/3 и 3/2 29       § 16. Нахождение обратных значений чисел30       § 17. Вычисление процентного отношения чисел 31       § 18. Вычисление чисел по процентам 32       § 19. Решение пропорций 33       § 20. Линейка как таблица прямой и обратной пропорциональности 33       § 21. Умножение и деление одного числа на ряд других чисел 34       § 22. Перемножение ряда сомножителей 35       § 23. Сложение и вычитание чисел 35       § 24. Вычисление квадратного корня из суммы или разности квадратов чисел 36       § 25. Вычисление кубичного корня из суммы или разности кубов чисел 37             Логарифмы       § 26. Отыскание логарифмов чисел 39       § 27. Отыскание чисел по логарифмам 39       § 28. Перевод десятичных логарифмов в натуральные и обратно 40       § 29. Возведение в любую степень 40       § 30. Извлечение корня любой степени 40             Тригонометрические функции, их квадраты, кубы и логарифмы       § 31. Синусы 41       § 32. Косинусы 41       § 33. Тангенсы 42       § 34. Котангенсы 43       § 35. Секансы 44       § 36. Косекансы 44       § 37. Синусы, тангенсы, косекансы и котангенсы углов меньше 34' и косинусы и секансы углов больше 89° 26' 45       § 38. Отыскание тригонометрических функций без перестановки движка 46       § 39. Отыскание углов по тригонометрическим функциям 48       § 40. Перевод углов градусного измерения в радианы и обратно 49       § 41. Особые значки на шкалах линейки и их использование 50       § 42. Решение квадратных уравнений 52       § 43. Решение кубических уравнений 53       § 44. Комбинированные вычисления с использованием различных шкал 56       § 45. Таблица правил значности 61       § 46. Примеры для вычислений 62

Источник: https://sheba.spb.ru/shkola/logarifm-lineika.htm

Логарифмическая линейка – аналог персональных компьютеров

?

Большинство видело логарифмическую линейку (или счётную линейку) только на картинке или в фильмах, таких как «Титаник» (1997 год), «Этот остров Земля» (1955 год) и «Аполлон-13» (1995 год). Если Вы являетесь поклонником «Звёздного пути», то должны знать, что Мистер Спок в нескольких эпизодах пользуется логарифмическими линейками «Jeppesen CSG-1» и «B-1». Однако было время, когда инженеры ходили не с калькуляторами или мобильными телефонами, а логарифмическими линейками на поясе. Логарифмическая линейка «Pickett» полетела на Луну вместе с космонавтами, а линейка от «K&E» сделала возможным создание атомной бомбы. Логарифмические линейки являются частью математики и истории. Они не подвержены влиянию электромагнитных импульсов, а, значит, способны пережить Апокалипсис, который нам все пророчат. В случае с логарифмическими линейками, как и многими другими вещами в этой жизни, действует правило: чем больше, тем лучше.

• История логарифмической линейки
• Обычная логарифмическая линейка была создана Отредом примерно в 1650 году.
• Теория логарифмической линейки

Логарифмическая линейка была разработана английским математиком Уильямом Отредом в XVII веке. Она сохраняла свою популярность среди людей, которые всерьёз занимались математикой, вплоть до начала 1970-х годов. На самом деле идея выполнения различных вычислений при помощи линейки в то врем не была новой. Ранее Эдмунд Гюнтер разработал сектор с таким же делением, как и у логарифмической линейки, но чтобы с помощью него решить какую-либо проблему, Вам необходим был отдельный набор делительных циркулей. Прибор Отреда представлял собой круговую логарифмическую линейку. Один из его учеников, Ричард Деламейн, утверждал, что также изобрёл логарифмическую линейку. Оба мужчины обвиняли друг друга в воровстве идей. Современные учёные считают, что они одновременно создали круговую логарифмическую линейку. Деламейн первым публично сообщил о своём изобретении, однако Отред, по всей видимости, завершил разработку логарифмической линейки раньше, чем его ученик. Логарифмические линейки связаны с открытием логарифмов Непером. Логарифмы играли важную роль в мире докомпьютерной математики. Давайте рассмотрим в качестве примера десятичный логарифм. Если 10 возвести в квадрат, получится 100. Следовательно, логарифм 100 равен 2. Если Вы возведёте 10 в пятую степень, то получите 100000. Отсюда, логарифм 100000 равен 5. Полученные цифры не обязательно должны быть целыми числами. Так, к примеру, логарифм 200 равен 2,3.

Таблица логарифмов

Если бы Вы тратили много времени на вычисления, то непременно создали бы таблицу чисел и их логарифмов. Вопрос: зачем? Ответ простой. Предположим, Вы захотели умножить два числа – 200 и 100. Это достаточно просто сделать, не прибегая ко всяким хитростям. Вы записываете на листке бумаги «200х100» и умножаете каждую цифру. При помощи логарифмов сделать это намного легче. Логарифм 200 равен 2,301, а логарифм 100 – 2. Сумма логарифмов 200 и 100 составляет 4,301 (2,301+2). Если Вы возведёте 10 в степень 4,3, то получите не совсем точный ответ (19998,6), поскольку мы округлили логарифм 200. Очевидно, чем больше цифр в Вашей таблице, тем лучше. Это не совсем удачный пример. Но если Вам нужно умножить 7329 на 8115, то зная логарифмы этих чисел (3,8650 и 3,9093 соответственно), выполнить данное вычисление Вам будет очень легко. Возведите 10 в степень 7,7743, и Вы узнаете правильный ответ – 59470282 (на самом деле 59474835, но, опять же, очень близко).

Подвижные таблицы

Каким образом это связано с логарифмической линейкой? Логарифмическая линейка представляет собой эффективную таблицу логарифмов, выполненную из дерева, пластика или металла. Отметки наносятся на поверхность на основании логарифма числа, однако обозначаются реальными цифрами, то есть расстояние между 0 и 1, к примеру, намного больше, чем расстояние между 8 и 9.

Давайте рассмотрим принцип пользования логарифмической линейкой на простом примере: 2х3. Сдвиньте шкалу С таким образом, чтобы единица оказалась над цифрой 2 на фиксированной шкале D. Затем установите движок на отметке 3 на шкале С.

А теперь Вам нужно всего лишь взглянуть на цифру на фиксированной шкале D, чтобы получить ответ (6). Принцип пользования логарифмической линейкой очень легко понять, если Вы держите её в руках. Также Вы можете воспользоваться веб-симулятором, доступным по ссылке.

Скриншот расчёта Вы можете увидеть ниже.

Если Вы имеете дело с большими числами, сначала уменьшите их в n-ное количество десятков раз, а после мысленно увеличьте во столько же полученный результат. К примеру, чтобы вычислить произведение чисел 20 и 30, Вам необходимо сначала уменьшить их в 10 раз, а после в 100 раз увеличить полученный результат.

Деление и прочие операции

Деление работает почти так же, однако основано на вычитании. Если Вы сдвинете шкалу С таким образом, чтобы цифра 3 оказалась над 6 на фиксированной шкале D, то сможете под 1 на шкале С увидеть ответ 2 (шкала D). Не запутаться в числах Вам поможет прозрачный пластиковый движок с тонкой линией посередине. В некоторых линейках даже есть небольшое увеличительное стекло, позволяющее лучше рассмотреть отметки на шкале.

Получение правильного ответа

В отличие от калькулятора, логарифмическая линейка, как правило, требует, чтобы Вы имели некоторое представление об ответе, чтобы интерпретировать результаты. Также Вы должны быть в состоянии увидеть разницу между, скажем, 7,3, 7,35 и 7,351. Вот почему чем больше, тем лучше. Обычная логарифмическая линейка имеет длину около 25 сантиметров. Карманные линейки были короткими, но непрактичными. Также существовали огромные логарифмические линейки, предназначенные для использования в классе (длина некоторых из них достигала 2 метров 15 сантиметров). Для более точных вычислений инженеры пользовались линейками, по форме напоминающими цилиндр. Они были эквивалентом логарифмических линеек длиной до 10 метров. Выше изображена логарифмическая линейка Отиса Кинга, которая соответствовала линейке длиной 170 сантиметров, однако легко умещалась в кармане. С виду она очень похожа на телескоп. На самом же деле это логарифмическая линейка со шкалой, нанесённой по спирали вокруг инструмента. На линейке Отиса Кинга было больше цифр, чем на обычной логарифмической линейке, однако вычисления, производимые с её помощью, зачастую оказывались не совсем точными.

Как начать коллекционировать логарифмические линейки и где их взять?

Многие думают, что логарифмические линейки трудно коллекционировать, однако на самом деле это довольно легко и недорого. В своё время они были широко распространены, однако после изобретения калькулятора и компьютера вмиг стали никому не нужны. Если постараться, то можно найти людей, у которых сохранились бывшие в употреблении или абсолютно новые логарифмические линейки. Сайт eBay – место, где Вы, как показывают результаты поиска, сможете найти более 3000 логарифмических линеек. Также их можно приобрести по дешёвке в местных магазинах. Часто люди не понимают, для чего нужны логарифмические линейки, поэтому только рады избавиться от них. Кроме того, если люди узнают, что Вы коллекционер, они могут просто так подарить Вам логарифмические линейки, которые некогда принадлежали их дальним родственникам. Им будет приятно знать, что Вы их сохраните. Если Вы решили купить логарифмическую линейку, убедитесь, что у неё работает шкала С и не запотевает прозрачный движок. Их ремонт или замена – весьма кропотливый труд. Также избегайте линеек со следами коррозии или выцветшими отметками. Их можно восстановить, но это требует немало сил и времени. В Интернете можно найти советы, как правильно чистить различные линейки. Если Вы приобрели логарифмическую линейку, то должны помнить, что она, как и любая другая вещь, требует особого ухода. Чтобы её подвижные части хорошо работали, протирайте их полиролью для мебели (если линейка деревянная). Раньше люди смазывали железные логарифмические линейки вазелином. Важно также постоянно поддерживать логарифмическую линейку в чистоте и следить за тем, чтобы грязь не попадала под движок. Также не следует оставлять линейку под прямыми солнечными лучами. Кроме того, старайтесь избегать использования мыла, воды и других веществ, которые могут повредить Вашу линейку. Логарифмические линейки когда-то были своего рода компьютерами и, возможно, заменят нам современные ПК, когда придёт Апокалипсис.

http://muz4in.net/news/logarifmicheskaja_linejka_analog_personalnykh_kompjuterov/2015-11-18-39642

Источник: https://bdsmn.livejournal.com/317521.html

Логарифмические линейки, таблицы и рисунки (номограммы) — История ВТ

Потребность
в сложных расчётах в XVI веке быстро росла. Значительная часть трудностей была
связана с умножением и делением многозначных чисел.

Это привело
к появлению на протяжении кратчайшего времени (1614-1623 гг.) сразу чётырёх
новых типов вычислителей:

• логарифмических таблиц,
• логарифмических линеек,
• механических арифмометров (скорее переоткрыты, ибо существовали в античности),
• палочек Непера встреченных с восторгом, но вскоре — полностью заброшенных.

• Позже уже в
  XIX веке на базе логарифмов и логарифмических линеек возникла и их графический
  аналог —
• которые
  стали использоваться для вычисления самых разных функций.
• Логарифмы и логарифмические таблицы
• Определение
  логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые
  опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер.

Неперу
пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение,
сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую
прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление
автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.

1. Логарифмические
   таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно
   использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не
   появились электронные калькуляторы и компьютеры.
2. Логарифмические линейки
3. Если нанести
   логарифмическую шкалу на линейку — получится механический вычислитель,
   логарифмическая линейка.

Идею,
близкую к конструкции логарифмической линейки, высказал в начале XVII века
английский астроном Эдмунд Гюнтер; он предложил нанести на линейку
логарифмическую шкалу и с помощью двух циркулей выполнять операции с
логарифмами (сложение и вычитание).

В 1620-е годы английский математик Эдмунд
Уингейт усовершенствовал «шкалу Гюнтера», введя две дополнительные шкалы.

Одновременно (1622 год) свой вариант линейки, мало чем отличающийся от
современного, опубликовал в трактате «Круги пропорций» Уильям Отред, который и
считается автором первой логарифмической линейки.

Сначала линейка Отреда была
круговой, но в 1633 году было опубликовано, со ссылкой на Отреда, и описание
прямоугольной линейки. Приоритет Отреда долгое время оспаривал Ричард Деламейн,
который, вероятно, независимо реализовал ту же идею.

Дальнейшие
усовершенствования сводились к появлению второй подвижной линейки-«движка»
(Роберт Биссакер, 1654 и Сет Патридж, 1657), разметке обеих сторон линейки
(тоже Биссакер), добавление двух «шкал Уингейта», отметке на шкалах часто
используемых чисел (Томас Эверард, 1683). Бегунок появился в середине XIX века
(А. Мангейм).

Логарифмические
линейки использовались несколькими поколениями инженеров и других
профессионалов, вплоть до появления карманных калькуляторов. Инженеры программы
«Аполлон» отправили человека на Луну, выполнив на логарифмических линейках все
вычисления, многие из которых требовали точности в 3—4 знака.

На базе
логарифмических линеек созданы специализированные вычислители:

• Артиллерийская линейка
• Навигационная линейка
• Линейка Дробышева
• Офицерская линейка
• Кардиологическая линейка
• Навигационные расчетчики

Источник: https://www.sites.google.com/site/istoriavtm/home/logarifmiceskie-linejki-tablicy-i-risunki-nomogrammy

Мотивация для занятий математикой. Или зачем генералу логарифмическая линейка?

Сколько раз я слышала от некоторых нерадивых учеников о различных математических понятиях:

И кто все это придумал? И зачем все это нужно? Они издеваются, что ли?

И так далее, и тому подобное.

И правда, зачем людям нужно было веками выдумывать всякое-разное-непонятное ?

Наверное, исключительно затем, чтобы усложнить жизнь современным школьникам. Другой причины наши детишки чаще всего не знают.

Логарифмы. Ну вот зачем все это надо?

В музее города Выборга (это в Ленинградской области, совсем рядом с Финляндией) хранятся личные вещи гвардии генерал-лейтенанта Николая Павловича Симоняка.

Во время Великой Отечественной Войны генерал командовал 30-м гвардейским стрелковым корпусом. Участвовал в обороне полуострова Ханко, в прорыве блокады Ленинграда, и во многих других операциях на Северо-Западе. Ему присвоено звание Героя Советского Союза.

При чем здесь математика, а в особенности логарифмы?

Посмотрим на личные вещи генерала, те самые, что хранятся в музее. Это нож-финка, компас и логарифмическая линейка. Предметы первой необходимости.

Выборгский городской музей. Личные вещи гвардии генерал-лейтенанта Н.П.Симоняка.

Зачем генералу логарифмическая линейка?

С помощью нее можно легко и быстро умножить, возвести в степень, извлечь корень. Можно и еще кое — что, но ладно, не будем пока слишком усложнять.

Понятно, что в военном деле возможность быстро произвести расчеты жизненно необходима.

Есть подсчеты попроще, например, сколько времени нужно на перемещение танковой бригады, движущейся с определенной скоростью или сколько снарядов необходимо на имеющееся количество орудий.

А есть и кое-что посложнее, например, вычисление коэффициента удаления в артиллерии. Это, между прочим, целая наука, вычислить, как именно должна стоять пушка, куда стрелять и под каким углом. Чтобы это понять, нужны математические вычисления прямо на поле боя.

• Для успеха сражения тут явно нужен калькулятор, а не тетрадка, карандаш и умение складывать в столбик.
• Этим калькулятором и была логарифмическая линейка.
• И логарифмы — это тот инструмент, с помощью которого эта линейка работает.

Логарифмы — одно из великих изобретений человечества.

1. Логарифмы превращают более сложную операцию умножения в более простую — сложения.
2. То есть, умножение двух чисел эквивалентно сложению их логарифмов, если у них одинаковые основания.

3. Или другими словами, наша с вами любимая формула из курса средней школы:

Давайте умножим 89 на 62.

Найдем их десятичные логарифмы.

Легко сказать. А как? А с помощью специальных таблиц, которые тоже уже разработаны (погуглите, десятичные таблицы логарифмов).

Да, эти таблицы надо было посчитать, конечно же, заранее. Но зато один раз посчитали, а потом 350 лет можно пользоваться.

• Десятичный логарифм 89 — это примерно 1,949 , а 62 — 1,792.
• Складываем логарифмы и получаем 3,741. Число, десятичный логарифм которого равен 3,741 — это 5518 (тоже посмотрим в таблице десятичных логарифмов)
• Проверим: просто умножим 89*62 = 5518.
• Все верно.

Зачем такие сложности? Это не сложности. Это наоборот, упрощение вычислений.

Это в нашем примере простые числа, а если они пяти, шести и более значные? А если их много?

Логарифмы избавили от ошибок в умножении, делении и извлечении корней из больших чисел.

А изобретение логарифмической линейки избавило от необходимости использовать таблицы значений десятичных логарифмов.

Ну ладно, это все было и быльем поросло. Сейчас то нам это все зачем?

1. До сих пор в военном деле, на кораблях, в самолетах используются разновидности логарифмической линейки.
2. Казалось бы, зачем, в наш век продвинутых компьютерных технологий?
3. А на всякий случай.

4. Дело в том, что это устройство полностью независимо от внешних источников питания.

Ну, и как бы ни было страшно об этом говорить, на случай атомной войны.

После ядерного удара вся вычислительная техника выйдет из строя после мощного электромагнитного импульса. Останется только этот надежный кусочек дерева.

Ладно, не будем о грустном.

Между прочим, запуск первого космического корабля был просчитан с помощью логарифмической линейки.

И тогда, как вы помните из курса истории, никаких аварий не произошло. Заставляет задуматься…

Все самые популярные статьи канала на тему школы, математики, ЕГЭ и поступления в ВУЗы собраны в одном оглавлении — вот здесь.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5caee61acdc11f00b2fb1998/5d697c453f548700ad539ec1