Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Инфоурок › Алгебра ›Презентации›Презентация по алгебре на тему «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения»

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

ТЕМА УРОКА: Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения

2 слайд Описание слайда:

Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику — мыслящий!» Принцип урока: Я слышу, я вижу, я делаю.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Сходимость интегралов, формулы и примеры

Оценим за полчаса!

3 слайд Описание слайда:

Неполные квадратные уравнения Цель урока: Научиться классифицировать квадратные уравнения и решать неполные квадратные уравнения различными способами.

4 слайд Описание слайда:

Уравнение Уравнением называется равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти. Корень уравнения – значение переменной, при котором получается верное равенство. Решить уравнение — найти все его корни (или убедиться, что их нет). а) х — 5 = 0; г) m² = 16; б) 2у- 4 = 0; д) c² – 9 = 0 ; в) n(n + 5) = 0; е) 5х = 0.

5 слайд Описание слайда:

Определение квадратного уравнения Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+вх+с=0, где х – переменная; а, в, с – любые действительные числа, причем а≠0. Числа а, в, с – коэффициенты квадратного уравнения. а – первый или старший коэффициент, в – второй коэффициент или коэффициент при х, с – свободный член.

6 слайд Описание слайда:

Является ли квадратным уравнение? а) 2х² + 7х – 3 = 0; д) х² – 6х + 1 = 0; б) 5х – 7 = 0; е) 7х + 5х = 0; в) –х² – 5х – 1 = 0; ж) 4х² + 1 = 0; г) 3х + 4 = 0; з) х² – 36 = 0.

7 слайд Описание слайда:

Приведите уравнение к виду ах² + bх + с = 0 а) –х + 2х² – 4 = 0; г) 18 – 7х + х² = 0; б) 2х² – 3х = – 1; д) 3 – х² + х = 0. в) х + 8 – 9х² = 0;

8 слайд Описание слайда:

Определите коэффициенты квадратного уравнения: 6х2 + 4х + 2 = 0 а = b = c = 8х2 – 7х = 0 а = b = c = -2х2 + х — 1 = 0 а = b = c = х2 – 0,7 = 0 а = b = c =

9 слайд Описание слайда:

Приведённое и неприведённое квадратное уравнение. Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент =1. х² – 6х + 1 = 0 Квадратное уравнение называют неприведённым, если старший коэффициент отличен от 1. 2х² + 10х – 6 = 0 Чтобы квадратное уравнение стало приведённым надо коэффициенты квадратного уравнения разделить на старший коэффициент.

10 слайд Описание слайда:

Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое: а) –х² + 2х – 5 = 0; г) 3х² + 9х –21 = 0; б) х² + 3х – 1 = 0; д) 5х² + 10х + 20 = 0; в) 2х² – 4х = 0; е) 8х²+24 = 0.

11 слайд Описание слайда:

Здоровьесберегающие технологии Вперёд четыре шага, Назад четыре шага. Кружится, кружится Наш хоровод. Ручками похлопаем, Ножками потопаем, Плечиком подвигаем, А потом попрыгаем.

12 слайд Описание слайда:

Квадратное уравнение Полное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты в и с отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов в, с равен нулю.

13 слайд Описание слайда:

Виды неполных квадратных уравнений • Если b = 0, то уравнение имеет вид ах2 + c=0 • Если с = 0, то уравнение имеет вид ах2 + bx =0 • Если b = 0 и с = 0, то уравнение имеет вид ах2 =0

14 слайд Описание слайда:

Способы решения неполных квадратных уравнений

15 слайд Описание слайда:

Примеры неполных квадратных уравнений а) –х² +1,2=0 ,где а= , в= , с= ; б) -3х² +7х=0 а= , в= , с= ; в) 5х² — 2=0 а= , в= , с= ; г) 7х² =0 а= , в= , с= ; д) х²+4х =0 а= , в= , с= .

16 слайд Описание слайда:

Примеры решения неполных квадратных уравнений ах2 + c=0 Пример №1 -3х2 +75=0 -3х2 = -75 х2 = -75:(-3)‏ х2 =25 х1 = 5 х2 = -5 Ответ: х1 = 5 х2 = 5 Пример №2 4х2 +8=0 4х2 = -8 х2 = -8:4 х2 = -2 Ответ: корней нет ах2 + bx =0 Пример №1 4х2 +12х=0 х(4х + 12) = 0 х = 0 или 4х + 12 = 0 х = -12:4 х = -3 Ответ: х1 = 0 х2 = -3 ах2 =0 Пример №1 0,2х2 =0 х2 =0:0,2 х2 =0 х =0 Ответ: х = 0

17 слайд Описание слайда:

Закрепление – Какое уравнение называется квадратным? – Может ли коэффициент а в квадратном уравнении быть равным нулю? – Является ли уравнение 3х² – 7 = 0 квадратным? Назовите коэффициенты этого уравнения. – Какое квадратное уравнение называется неполным? – Какое квадратное уравнение называется приведённым? – Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?

18 слайд Описание слайда:

Какие из данных уравнений являются квадратными? а) 3х+х2=0; д) х2+8х+1=0; б) 2х-5=4; е) х2-9х=0; в) -3х2+2х-5=0; ж) 5х2=0; г) 2х2-7=0; з) х+2=0; Какие из этих уравнений являются неполными квадратными? Укажите коэффициенты уравнений в пунктах а), в), д).

19 слайд Описание слайда:

Исторические сведения. А когда люди научились решать квадратные уравнения? Древние греки — Евклид и другие ученые – квадратные уравнения решали геометрическим путем. Задачи, которые они решали, имели практическую направленность.

Например, найти сторону квадрата по его площади, или радиус круга тоже по площади. В Древнем Вавилоне образованные люди (жрецы и чиновники) умели решать задачи на определение длины и ширины прямоугольника по площади и периметру. Багдад 9 век.

Математик аль-Хорезми предлагает правило решения квадратных уравнений в точности соответствующее действиям по нашим формулам, но изложено риторически. Выдающийся французский математик 16 века Франсуа Виет ввел для коэффициентов буквы и получил равенство, связывающее корни уравнения.

После трудов нидерландского математика Жирара, а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

20 слайд Описание слайда:

« Пусть каждый день и каждый час Вам новое добудет. Пусть добрым будет ум у вас, а сердце умным будет». С. Маршак

Скрыть

Важно! Узнайте, чем закончилась проверка учебного центра «Инфоурок»?

Проверен экспертом

Общая информация

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Источник: https://infourok.ru/prezentaciya-po-algebre-na-temu-opredelenie-kvadratnogo-uravneniya-nepolnie-kvadratnie-uravneniya-3488532.html

Неполное квадратное уравнение — виды, примеры и способы решения

Неполные квадратные уравнения, формулы и примерыНеполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Общие сведения

Уравнение — это равенство, которое в своём составе имеет неизвестный член. Другими словами, переменную. Решение как полных, так и неполных уравнений подразумевает определение значений, которые при подстановке сделают запись верной. Существуют различные виды равенств: линейные, дробные, квадратные.

Читайте также:  Дифференциальные уравнения, примеры решений

Многочлены, в которых самой высокой степенью в выражении является цифра два, называют квадратными. Они относятся к фундаментальным математическим записям. Их используют для вычислений уравнений сложного вида. Например, логарифмических, тригонометрических, а также неравенств.

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Числа, которые делают равенство правильным, называют корнями. Условно квадратные уравнения разделяют по их видам на три категории:

  • имеющие два корня;
  • выражения с одним ответом;
  • неправильные.

Полным квадратным равенством называют выражение вида: ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — коэффициенты, а x — неизвестный корень. Разумеется, множитель в первом одночлене не может быть равен нулю, иначе запись примет вид классического линейного многочлена. Решать его довольно тривиально, поэтому интересней случаи, когда b или c равняются нулю.

В этом случае равенства примут вид ax2 + bx = 0 и ax2 + c = 0. Так вот такие выражения и называют неполными уравнениями. Решать их можно по упрощённому алгоритму, не используя формулы для определения дискриминанта или теорему Виета.

Нужно отметить, что квадратные многочлены отличаются друг от друга только содержанием в записи ненулевых одночленов. Значит, в принципе, все правила и теоремы, которые применимы для классического полного равенства, возможно использовать и для её частных случаев. Но часто применять их нерационально.

Неполные записи хороши тем, что они могут решаться при простых числах даже в уме. Поэтому всегда следует сложные примеры перед решением в лоб пробовать преобразовать в частные случаи. Для этого используют: сокращения, сочетательный, распределительный и переместительный законы, приведение подобных.

Классический способ

Хотя и существуют простые методы, конечно же, нужно знать и общий способ решения квадратных многочленов. Алгоритм нахождения возможных ответов состоит из двух шагов. На первом находят дискриминант: D = b2 — 4ac. На втором же подставляют найденное значение в формулу поиска корней: x1 = — b + √‎D / 2a; x2 = — b — √‎ D / 2a.

При этом по вычисленному дискриминанту можно судить о количестве ответов. Так, если он равен нулю, то решение будет только одно, когда же многочлен меньше нуля, уравнение не имеет смысла. Формулы несложны и вполне легко запоминаются. Но всё же в некоторых случаях имеет смысл использовать так называемую теорему Виета.

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

С её помощью можно просто находить корни. Заключается она в следующем: пусть икс первое и второе являются решениями уравнения вида: x2 + bx + c = 0. Тогда будут верны равенства:

  • x1 + x2 = — b;
  • x1 * x2 = c.

Если коэффициент квадратного одночлена единица (приведённое выражение), то всегда сумма корней будет равна отрицательному значению свободного члена, а произведение — второму коэффициенту. На первый взгляд кажется, что по этим формулам не очень и легко найти нужные корни. На самом деле после небольшой тренировки определять корни можно будет даже устно.

При недостаточном опыте или при вычислении сложных примеров, например, дробных, конечно же, можно использовать простой алгоритм поиска неизвестных. Сначала следует выяснить их знак.

Тут поможет правило, что минус на плюс при умножении даёт отрицательный результат, и то, что при сложении двух минусовых выражений в ответе будет также минус.

Естественно, что если в произведении и сумме положительные числа, то и оба корня будут со знаком плюс.

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Теперь нужно внимательно посмотреть на свободный член, так как числа, определяющие рациональное решение, обязательно должны быть среди множителей этого коэффициента.

То есть понадобится разложить это выражение и сконструировать из полученного ряда два значения, которые в сумме дадут нужный член.

Сделать это можно, выписав делители числа, считая их за икс один, а результат деления принять за икс два.

Следует отметить, что довольно часто не приведённое уравнение можно сделать подходящим под теорему Виета. Для этого нужно каждый член разделить на число, являющееся коэффициентом в первом одночлене: ax2 + bx + c = x2 = bx / a + c / a = 0. Это важно запомнить, так как в будущем это замечание позволит довольно просто решать как полные квадратные уравнения, так и неполные.

Упрощённые методы

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Удобство неполных выражений в том, что алгоритм их решения можно построить на простых преобразованиях, подобных действиям с линейными уравнениями. Так как может существовать только два вида выражений, отличных от полной записи, то и способов будет столько же.

Итак, если математическая запись имеет вид ax2 + bx = 0, то справедливо выполнить ряд следующих преобразований и рассуждений:

  1. Вынести неизвестное за скобки ax2 + bx = x (ax + b) = 0.
  2. Так как произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей будет нулевым, то можно записать: x = 0 и ax + b = 0.
  3. Полученные выражения являются простейшими линейными и легко решаются. Значит, возможными корнями будут числа: x = 0 и x = — b / a.

Другой случай, когда член при переменной икс в первой степени равняется нулю. Получится выражение: ax2 + c = 0. Решать такое равенство несложно, если использовать следующий метод.

Вначале свободный член нужно переместить вправо за знак равно: ax2 = -c. При выполнении этой операции важно не забыть поменять знак. Затем обе части разделить на коэффициент квадратного неизвестного: x2 = — c / a.

Дальше нужно действовать по ситуации:

  • если число -c / a больше нуля, то в этом случае ответом будет положительный либо отрицательный корень дробного отношения;
  • когда конструкция получается со знаком минус, то уравнение не имеет рационального решения, то есть корней нет.

Как видно, алгоритмы и правила довольно простые. Но перед тем как перейти к непосредственному рассмотрению примеров с решением неполных квадратных уравнений, следует упомянуть об онлайн-калькуляторах.

Это интернет-сервисы, позволяющие совершенно бесплатно находить ответы на математические задачи в режиме реального времени.

Воспользоваться ими может любой желающий, имеющий доступ к сети и гаджет с установленным веб-обозревателем.

Всё, что требуется от пользователя, — это введение заданного равенства в предлагаемую форму и нажатие кнопки «Выполнить расчёт». Через несколько секунд калькулятор выведет на экран результат решения.

Причём многие такие сайты позволяют просмотреть и детальное решение заданного примера.

Эта возможность довольно востребованная, так как позволяет не только понять алгоритм вычисления, но и закрепить пройденный на уроках материал.

Примеры решения

Знать теорию без умения применять её на практике бесполезно. Тем более что понять алгоритм и научиться действительно быстро находить корни неполного равенства можно только после тренировки. Обычно для закрепления материала достаточно самостоятельно прорешать около семи примеров. Вот два типовых задания, рассчитанные на учащихся восьмых классов.

Решить равенство тремя способами: 2×2 — 18 = 0:

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

  1. Прежде всего можно попробовать выполнить вычисление классическим способом через дискриминант. Он будет равен: D = b 2 — 4 ac = 02 — 4·2·(-18) = 0 + 144 = 144. Учитывая, что полученный результат больше нуля, квадратное уравнение будет иметь два решения: x 1 = (0 — √‎ 144) / (2 * 2) = (0 — 12) / 4 = -12 / 4 = -3; x 2 = (0 + √‎ 144) / (2 * 2) = (0 + 12) /4 = 12 / 4 = 3 .
  2. Для второго способа можно использовать теорему Виета. Приводить исходное выражение к нужному виду здесь просто, так как свободный член при делении на первый коэффициент не образует дробь: 2×2 — 18 = 2×2 / 2 — 18 / 2 = x2 — 9 = 0. Теперь нужно составить систему: x1 + x2 = 0; x1 * x2 = — 9. Здесь нужные корни легко подобрать простым анализом. Минус девять может получиться только при умножении минус три на три, причём, -3 + 3 = 0, значит, корнями уравнения будут: x1 = 3; x2 = -3.
  3. В третьем варианте удобно воспользоваться упрощённым алгоритмом. Так, минус восемнадцать нужно перенести за знак равно вправо: 2×2 = — 18. Отсюда: x2 = — 18 / 2 = — 9. Соответственно: x = — √‎9. Значит, искомым неизвестным может быть плюс или минус три.

Из полученных корней разными способами все три варианта дали один и тот же ответ. Отсюда можно сделать вывод, что используемые алгоритмы верны, при этом все действия в них выполнены правильно.

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Второй тип стандартных заданий на решение квадратных уравнений может быть такого вида: 9×2 + 63x = 0.

Это простое равенство, которое, прежде всего можно упростить, для этого нужно каждый одночлен сократить на девять: 9×2 + 63x = 0 → x2 + 7x = 0.

Теперь неизвестное нужно вынести за скобки и приравнять каждый из множителей к нулю: x2 + 7x = x * (x + 7) → x = 0; x + 7 = 0. Следовательно, решением уравнения будут корни x1 = 0; x2 = -7.

В этом случае также можно было решать уравнение через дискриминант или по теореме Виета. Если самостоятельно выполнить вычисления, то можно будет убедиться в правильности найденного ответа.

Источник: https://nauka.club/matematika/algebra/nepolnoe-kvadratnoe-uravnenie.html

Неполное квадратное уравнение. Примеры решения

Неполное квадратное уравнение отличаются от классических (полных) уравнений тем, что его множители или свободный член равны нулю. Графиком таких функций являются параболы. В зависимости от общего вида их делят на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.

Разновидности неполных уравнений

Ничего сложного в определении типа неполного многочлена нет. Рассмотреть основные отличия лучше всего на наглядных примерах:

  1. Если b = 0, то уравнение имеет вид ax2 + c = 0.
  2. Если c = 0, то решать следует выражение ax2 + bx = 0.
  3. Если b = 0 и c = 0, то многочлен превращается в равенство типа ax2 = 0.

Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в заданиях для проверки знаний, так как единственно верное значение переменной x в выражении – это ноль. В дальнейшем будет рассмотрены способы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) видов.

Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением

Не зависимо от разновидности уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:

  1. Привести выражение к удобному для поиска корней виду.
  2. Произвести вычисления.
  3. Записать ответ.

Решать неполные уравнения проще всего, разложив на множители левую часть и оставив ноль в правой. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для поиска корней сводится к вычислению значения x для каждого из множителей.

  • Научиться способам решения можно только лишь на практике, поэтому рассмотрим конкретный пример нахождения корней неполного уравнения:
  • 4×2 – 1 = 0.
  • Как видно, в данном случае b = 0. Разложим левую часть на множители и получим выражение:
  • 4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Очевидно, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Подобным требованиям отвечают значения переменной x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.

Для того, чтобы легко и быстро справляться с задачей разложения квадратного трехчлена на множители, следует запомнить следующую формулу:

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Если в выражении отсутствует свободный член, задача многократно упрощается. Достаточно будет всего лишь найти и вынести за скобки общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример, как решать неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0.

  1. x2 + 3x = 0
  2. Вынесем переменную x за скобки и получим следующее выражение:
  3. x ⋅ (x + 3) = 0.
  4. Руководствуясь логикой, приходим к выводу, что x1 = 0, а x2 = -3.

Традиционный способ решения и неполные квадратные уравнения

Что же будет, если применить формулу дискриминанта и попытаться найти корни многочлена, при коэффициентах равных нулю? Возьмем пример из сборника типовых заданий для ЕГЭ по математики 2017 года, решим его с помощью стандартных формул и методом разложения на множители.

-7×2 – 3x = 0.

Рассчитаем значение дискриминант: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Получается, многочлен имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

  • Теперь, решим уравнение разложением на множители и сравним результаты.
  • -x ⋅ (7x + 3) = 0,
  • 1) –x1 = 0,
  • 2) 7x + 3 = 0,
    7x = -3,
  • x = -.

Как видно, оба метода дают одинаковый результат, но решить уравнение вторым способ получилось гораздо проще и быстрее.

Теорема Виета

А что же делать с полюбившейся теоремой Виета? Можно ли применять данный метод при неполном трехчлене? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.

Читайте также:  Формула гидроксида калия в химии

На самом деле применять теорему Виета в данном случае возможно. Необходимо лишь привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены нулем.

Например, при b = 0 и a = 1, дабы исключить вероятность путаницы следует записать задание в виде: ax2 + 0 + c = 0. Тогда отношение суммы и произведения корней и множителей многочлена можно выразить следующим образом:

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

  1. Теоретические выкладки помогают ознакомиться с сутью вопроса, и всегда требуют отработки навыка при решении конкретных задач. Снова обратимся к справочнику типовых заданий для ЕГЭ и найдем подходящий пример:
  2. x2 – 16 = 0.
  3. Запишем выражение в удобном для применения теоремы Виета виде:
  4. x2 + 0 – 16 = 0.
  5. Следующим шагом составим систему условий:

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Очевидно, что корнями квадратного многочлена будут x1 = 4 и x2 = -4.

Теперь, потренируемся приводить уравнение к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4× x2 – 1 = 0

Для того, чтобы применить к выражению теорему Виета необходимо избавиться от дроби. Перемножим левую и правую части на 4, и посмотрим на результат: x2– 4 = 0. Полученное равенство готово для решения теоремой Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ просто перенеся с = 4 в правую часть уравнения: x2 = 4.

Подводя итог, следует сказать, что лучшим способом решения неполных уравнений является разложения на множители, является самым простым и быстрым методом. При возникновении затруднений в процессе поиска корней можно обратиться к традиционному методу нахождения корней через дискриминант.

Источник: https://karate-ege.ru/matematika/nepolnoe-kvadratnoe-uravnenie.html

Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений

Квадратные уравнения (вида (ax^2+bx+c=0)) у которых хотя бы один из коэффициентов ((b) или (c)) равен нулю, называют неполными

Например:

(3x^2-27=0) (a=3;)   (b=0;)   (c=-27)
(-x^2+x=0) (a=-1;)   (b=1;)   (c=0)
(5x^2=0) (a=5;)   (b=0;)   (c=0)

Превращение полного квадратного уравнения в неполное выглядит так (для случая (b=0)):

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Для случаев, когда (с=0) или когда оба коэффициента равны нулю — всё аналогично.

Обратите внимание, что про равенство нулю (a) речи не идет, оно равно нулю быть не может, так как в этом случае уравнение превратиться в линейное:

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Прежде всего, надо понимать, что неполное квадратное уравнение все-таки является квадратным уравнением, поэтому может быть решено также как и обычное квадратное (через дискриминант). Для этого просто дописываем недостающий компонент уравнения с нулевым коэффициентом.

Пример: Найдите корни уравнения (3x^2-27=0) Решение:

(3x^2-27=0) У нас неполное квадратное уравнение с коэффициентом (b=0). То есть, мы можем записать уравнение в следующем виде:
(3x^2+0cdot x-27=0) Фактически здесь то же самое уравнение, что и в начале, но теперь его можно решать как обычное квадратное. Сначала выписываем коэффициенты.
(a=3;)      (b=0;)      (c=-27;) Вычислим дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)
(D=0^2-4cdot3cdot(-27)=) (=0+324=324) Найдем корни уравнения по формулам (x_{1}=)(frac{-b+sqrt{D}}{2a}) и (x_{2}=)(frac{-b-sqrt{D}}{2a})
  • (x_{1}=)(frac{-0+sqrt{324}}{2cdot3})(=)(frac{18}{6})(=3)
  • (x_{2}=)(frac{-0-sqrt{324}}{2cdot3})(=)(frac{-18}{6})(=-3)
Записываем ответ

Ответ: (x_{1}=3);    (x_{2}=-3)

Пример: Найдите корни уравнения (-x^2+x=0) Решение:

(-x^2+x=0) Опять неполное квадратное уравнение, но теперь нулю равен коэффициент (c). Записываем уравнение как полное.
(-x^2+x+0=0) Вновь у нас уравнение равносильное исходному. Решаем его. Выписываем коэффициенты.
(a=-1;)      (b=1;)      (c=0;) Вычислим дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)
(D=1^2-4cdot(-1)cdot0=1+0=1) Найдем корни уравнения по формулам (x_{1}=)(frac{-b+sqrt{D}}{2a}) и (x_{2}=)(frac{-b-sqrt{D}}{2a})
  1. (x_{1}=)(frac{-1+sqrt{1}}{2cdot(-1)})(=)(frac{0}{-2})(=0)
  2. (x_{2}=)(frac{-1-sqrt{1}}{2cdot(-1)})(=)(frac{-2}{-2})(=1)
Записываем ответ

Ответ: (x_{1}=0);    (x_{2}=1)

Готово. И вроде все хорошо, если бы не одно но: для решения неполных квадратных уравнений есть способ лучше, быстрее и проще. Решать такие уравнения с помощью дискриминанты — это как нарезать мясо мечом.

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Пример: Найдите корни уравнения (3x^2-27=0) Решение:

(3x^2-27=0) Нам нужно значение икса, а есть только икс в квадрате. Ну так давайте выясним, чему равен (x^2), и уже оттуда найдем икс! Для начала перенесем свободный член через равно, поменяв знак.
(3x^2=27) Теперь разделим обе части уравнения на число перед иксом в квадрате, то есть, на тройку.
  • (3x^2=27)      (|:3)
  • (x^2=9)
Ну и совсем просто: икс в квадрате равен 9. Чему равен сам икс? Понятно, что тройке либо минус тройке.
(x_{1}=3);       (x_{2}=-3) Записываем ответ

Ответ: (x_{1}=3);    (x_{2}=-3)

Вот и все! Просто? Еще бы! Поэтому неполные квадратные уравнения обычно решают именно такими преобразованиями, а не через дискриминант.

Теперь рассмотрим неполное квадратное другого типа (когда (c=0))

Пример: Найдите корни уравнения (-x^2+x=0) Решение:

(-x^2+x=0) Какое действие тут напрашивается? Вынесение за скобку икса. Делаем.
(xcdot(-x+1)=0) Получилось, что произведение двух множителей равно нулю. Но это возможно, только если один из множителей равен нулю (продвинутые ученики тут узнали логику решения уравнения методом расщепления). То есть имеем:
(x=0)     или     (-x+1=0) Первый корень уже есть. Без проблем находим второй, решая простое линейное уравнение, и пишем ответ.
(x_{1}=0)                 (-x=-1)  
                                (x_{2}=1) Записываем ответ
  1. Ответ: (x_{1}=0);    (x_{2}=1)
  2. Еще проще – все решение заняло три строчки.
  3. Разберем последний тип (когда и (b), и (с) равны нулю).
  4. Пример: Решите уравнение (5x^2=0) Решение:
(5x^2=0) Разделим уравнение на пять.
(5x^2=0)     (|:5)
(x^2=0) Ну и какое число в квадрате равно нулю? Ноль. Вот и всё решение!
(x=0) Записываем ответ

Ответ: (x=0)

Матхак: на всякий случай, помните, что вы всегда можете решить неполное квадратное уравнение через дискриминант (хотя это и не приветствуется из-за нерациональности).

Скачать статью

Источник: http://cos-cos.ru/math/81/

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения решаются очень быстро. Главное знать, как решается каждый отдельный подвид неполного уравнения, а их всего 3, имеет свой, давно известный путь решения. Достаточно попробовать решить по одному уравнению из каждого вида, и вы будете свободно ориентироваться в этой теме.

Неполные квадратные уравнения, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения – это квадратные уравнения, у которых коэффициент в или коэффициент с равен нулю. Возможно три варианта неполных уравнений:

  • Коэффициент b=0
  • Коэффициент с=0
  • Коэффициенты b=0 и с=0

Рассмотрим каждый из вариантов и решим несколько примеров.

Каждый подвид уравнения решается быстро и просто. Главное владеть навыком преобразования выражения, а именно переносом чисел из одной части тождества в другую и выносом общего множителя за скобку.

  • Если коэффициент b=0. Тогда формула неполного квадратного уравнения принимает вид:
  • $$ax^2+с=0$$
  • В таком случае, решение принимает следующий вид:
  • $$ax^2+с=0$$
  • $$ax^2=-с$$
  • $$x^2=-сover{a}$$
  • $$x_1=sqrt{-сover{a}}$$

$$x_2= -sqrt{-сover а}$$- обратите внимание, что под корнем может оказаться как положительное, так и отрицательное число. Знак минуса в данном случае просто указывает на противоположность. В случае, если под корнем в результате получится отрицательное число, то действительных корней уравнение не имеет.

  1. Решим пример:
  2. $$7x^2-28=0 $$– перенесем 28 в правую часть выражения.
  3. $$7x^2=28 $$ – разделим обе части выражения на 7.
  4. $$x^2=4$$
  5. $$x_1=2$$
  6. $$x_2=-2$$
  7. Вот и все решение.
  8. Во втором случае нулю равен будет коэффициент с. Тогда уравнение примет вид:
  9. $$аx^2+bx=0$$
  10. В этом случае, решение будет выглядеть немного иначе:
  11. $$ax^2+bx=0$$
  12. $$x(ax+b)=0$$
  13. $$x_1=0$$
  14. $$ax_2+b=0$$
  15. $$ax_2=-b$$
  16. $$x_2=-bover{a}$$
  17. Решим небольшой пример.
  18. $$3x^2-12x=0$$
  19. $$x(3x-12)=0$$
  20. $$x_1=0$$
  21. $$3x_2-12=0$$
  22. $$3x_2=12$$
  23. $$x^2=12over3$$
  24. $$x_2=4$$

Этот способ иногда используется и при решении полных квадратных уравнений. Если уравнение можно свернуть по любой из формул сокращенного умножения, то потом каждую из скобок-множителей можно приравнять к нулю и решить уравнение гораздо быстрее, чем через дискриминант.

Третий случай самый простой, когда b и с равны нулю. В этом случае, оба корня всегда равны 0.

  • $$ax^2=0$$
  • $$x_1=0$$
  • $$x_2=0$$

Обратите внимание на то, что в любом случае, для корней квадратного уравнения необходима проверка. Каждый из получившихся корней нужно подставить в исходное уравнение и подсчитать результат.

Для неполных уравнений это особенно важно, потому что все считают их легкими и не акцентируют внимание на подсчетах. Это может привести к разного рода ошибкам. Чаще всего, ученики путают знаки. Вместо + получается – и наоборот. Помните, что знаки это очень важно и за ними нужно следить при переносе и делении чисел. Проверить себя можно и подставив значения в приведенные в статье формулы.

Иногда коэффициент а может быть отрицательным. В этом случае, вам придется делить на отрицательное число. А значит – все знаки выражения поменяются на противоположные. Будьте внимательны в этих скользких моментах.

Мы дали определение неполного квадратного уравнения. Разобрали виды неполных квадратных уравнений и пути их решения, привели примеры для каждого из них. Поговорили о скользких моментах, на которых часто случаются ошибки.

Средняя оценка: 4.6. Всего получено оценок: 197.

Источник: https://obrazovaka.ru/algebra/nepolnye-kvadratnye-uravneniya-formula.html

Неполные квадратные уравнения

Как решать квадратные уравнения Дискриминант Неполные квадратные уравнения

  • В уроке «Как решать квадратные уравнения» мы разобрали решение обычных квадратных уравнений, но есть уравнения, в которых не всегда очевидно, как найти коэффициенты «a», «b» и «c» для формулы поиска корней.
  • Например, рассмотрим такое квадратное уравнение.
  • 4×2 − 64 = 0
  • Давайте сравним это уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0» и определим, чему в нем равны «a», «b» и «c».
  • 4×2 − 64 = 0

Возникает вопрос: «Чему здесь равен коэффициент «b»?» Ответ прост: «b = 0».

На самом деле по-другому уравнение можно записать так:

  1. 4×2 − 64 = 0 4×2 + 0 · x − 64 = 0
  2. Теперь очевидно, чему равны коэффициенты «a», «b» и «c» в этом уравнении .
  3. 4×2 − 64 = 0 4×2 + 0 · x − 64 = 0

Зная чему равны коэффициенты, можно применить формулу нахождения корней «x1;2 = ». 4×2 − 64 = 0

x1;2 =

−0 ± √02 − 4 · 4 · (−64)
2 · 4

x1;2 = x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = 4 x2 = −4

Ответ: x1 = 4; x2 = −4 Запомните!

Квадратные уравнения, в которых коэффициенты «b» и/или «c» равны нулю, называют неполными.

Рассмотрим другие примеры неполных квадратных уравнений. Выпишем их коэффициенты «a», «b» и «c» и найдем корни.

3×2 = 0

Найдем коэффициенты: Подставим коэффициенты в формулу для корней: x1;2 =

−0 ± √02 − 4 · 3 · 0
2 · 3

x1;2 = x1;2 = x = 0 Ответ: x = 0

5×2 = 125 5×2 − 125 = 0

Найдем коэффициенты: Подставим коэффициенты в формулу для корней: x1;2 =

−0 ± √02 − 4 · 5 · 125
2 · 5

x1;2 = x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = 5 x2 = −5

Ответ: x1 = 5; x2 = −5

9×2 − x = 0

Найдем коэффициенты: Подставим коэффициенты в формулу для корней: x1;2 =

−(−1) ± √(−1)2 − 4 · 9 · 0
2 · 9

x1;2 = x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = x2 = 0

Ответ: x1 = ; x2 = 0

  • Любое неполное квадратное уравнение можно решить, не используя формулу для корней квадратного уравнения.
  • Корни в неполном квадратном уравнении можно найти, применяя формулы сокращенного умножения и правило деления уравнения на число.
  • Решим другим методом уравнения, которые мы решали по формуле выше.
  • 3×2 = 0

Вспомним, что только умножение на «0» даст в результате ноль. Поэтому становится понятно, что в этом уравнении только один корень «x = 0».

Ответ: x = 0

5×2 = 125

Разделим левую и правую часть уравнению по правилу деления на «5».

5×2 = 125         | (:5) 5×2 (:5) = 125 (:5) x2 = 25

Перенесем все в левую часть.

x2 − 25 = 0

Используем формулу разность квадратов.

(x − 5)(x + 5) = 0

Произведение многочленов в скобках будет равно нулю в том случае, когда любая из скобок окажется равна нулю. Приравняем каждую скобку к нулю и найдем корни уравнения.

(x − 5) = 0 (x + 5) = 0
x = 5 x = − 5

Ответ: x1 = 5; x2 = −5

9×2 − x = 0

Вынесем общий множитель за скобки в левой части.

9×2 − x = 0 x(9x − 1) = 0

Произведение будет равно нулю в том случае, когда один из множителей равен нулю.

x = 0 (9x − 1) = 0
9x = 1         | (:9)
9x (:9) = 1 (:9)
x =

Ответ: x1 = 0 ; x2 = Важно!

Если у вас не получается решить уравнение с помощью формул сокращенного умножения, используйте формулу для поиска корней квадратного уравнения.

С помощью этой формулы всегда можно решить любое квадратное уравнение!

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/quadratic_equations/incomplete_quadratic_equations.php

Ссылка на основную публикацию