Вынужденные колебания. резонанс

4.1. Общие признаки вынужденных механических и электромагнитных колебаний

4.2. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс

До сих пор мы изучали процессы в механических системах под действием сил, развивающихся в самих системах. Каково будет поведение колебательных систем, к которым тем или иным способом приложена внешняя сила? Для электромагнитного контура аналогичная ситуация возникнет, если в цепь контура включить внешний источник ЭДС.

Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила или внешняя ЭДС изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы или ЭДС источника. Такие колебания называются вынужденными.

Рассматривая свободные колебания в механической и электромагнитной системах, мы убедились в полной аналогии законов колебаний. Такое же сходство наблюдали для механических и электромагнитных затухающих колебаний. Следует ожидать аналогии законов в механической и электромагнитной системах и при вынужденных колебаниях.

4.1. Общие признаки вынужденных механических и электромагнитных колебаний

1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя (вынуждающая) периодическая сила . Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления .

Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом: .

Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Обозначим (β – коэффициент затухания), (ω0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений

– общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:

, где .

Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.

Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 22), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .

Решение — это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:

где Аампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ0 –сдвиг фаз, т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда Аампл., и сдвиг фаз φ0 зависят от параметров системы (β, ω0) и от частоты вынуждающей силы Ω.

Период вынужденных колебаний равен . График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – График вынужденных колебаний.

2. Электромагнитные вынужденные колебания.

Электромагнитная система, в которой развиваются вынужденные колебания, — это LCR – контур с включенным в него внешним источником. Рассмотрим случай, когда ЭДС источника изменяется по гармоническому закону:

• Конденсатор, как рассматривалось ранее, заряжен и при его разрядке в контуре будет идти изменяющийся по времени электрический ток, что вызовет появление в катушке индуктивности ЭДС индукции (). Согласно второму закону Кирхгофа имеем:
• ,
• где UC, UR – соответственно падение напряжения на конденсаторе и активном сопротивлении.
• Учитывая, что , где I – сила тока в контуре, , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора, — ЭДС индукции, запишем закон Кирхгофа в виде:
• .
• Записывая соотношения и , и преобразуя уравнение для закона Кирхгофа, мы получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний в виде:
• Окончательно дифференциальное уравнений (при использовании обозначений , ) примет вид:
• .

Вид дифференциального уравнения вынужденных электромагнитных колебаний такой же, как и вид дифференциального уравнения для вынужденных колебаний в механической системе.

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, поэтому все, что говорилось относительно его решений для механических колебаний верно и для электромагнитной системы.

Сначала в системе возникнут и затухающие, и вынужденные колебания, но спустя некоторый промежуток времени, переходный процесс закончится и в системе установятся вынужденные колебаний с той же частотой, что и частота изменения ЭДС источника:

.

φ0 — сдвиг фаз между изменением заряда конденсатора и действием внешней ЭДС источника.

4.2. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс

1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:

1. , .
2. Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.
3. ,
4. ,

Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .

• Рисунок 4.1
• ,
• .
• Учитывая значение , ,, получим формулы для φ0 и Аампл. механической системы:
• ,
• .

2. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график .

Результаты исследования отражены в Рисунке 4.2, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β.

При амплитуда колебаний становится бесконечно большой .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.

Кривые на Рисунке 4.2 отражают зависимость и называются амплитудными резонансными кривыми.

1. 3. Используем данные об амплитуде и сдвиге фаз вынужденных колебаний для механической системы и выразим эти же характеристики для аналогичных величин электромагнитной системы (LCR– контур с включенным в его цепь внешним источником ЭДС, величина которой изменяется по гармоническому закону):
2. ,
3. .
4. 5. Сила тока при установившихся в контуре колебаниях равна:
5. ,
6. где — амплитуда силы тока, ψ0 – сдвиг фаз между силой тока и внешнейЭДС в контуре. Амплитуда силы тока и ψ0 находятся по формулам:
7. ,
8. , .

График зависимости представлен на Рисунке 4.3.

Рисунок 4.3

Источник: https://siblec.ru/estestvennye-nauki/kolebaniya/4-vynuzhdennye-kolebaniya

Вынужденные колебания. Резонанс

Данная тема посвящена вынужденным колебаниям и резонансу.

Ранее говорилось о колебательном движении и гармонических колебаниях. Гармоническими называются колебания, при которых смещение колеблющейся материальной точки происходит по закону синуса или косинуса.

Известно, что реальные колебания не происходят в точности по гармоническому закону. Ни один колебательный процесс в природе и технике не продолжается бесконечно долго, а имеет начало и конец во времени. А колебательный процесс, ограниченный во времени, не является гармоническим.

Но в природе встречаются колебательные процессы, протекающие весьма длительное время.

Примером колебаний такого рода могут служить периодические изменения напряжения между различными участками человеческого тела, возникающие в результате работы сердца.

График зависимости «вырабатываемого» сердечной мышцей напряжения от времени называется электрокардиограммой. Как видно из рисунка, она очень мало похожа на синусоиду. То есть колебания биотоков являются негармоническими.

Однако, как показывают теоретические расчеты, любое периодическое колебание может быть математически представлено как сумма гармонических колебаний кратных частот, причем амплитуды гармоник этого ряда (ряда Фурье) с увеличением номера уменьшаются.

Также ранее рассматривались математический и пружинный маятники, колебания которых принимались за гармонические.

Однако на самом деле, колебания маятников лишь близки к гармоническим, но не являются таковыми, так как тоже сопротивление воздуха и необратимые потери энергии на нагревание нити и пружины при их деформации приводят к тому, что амплитуда колебаний с течением времени уменьшается.

Колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается, называются затухающими.

Так как свободные колебания всегда затухают за то или иное время, то они не находят практического применения. Наиболее простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, чтобы действовать на колебательную систему внешней периодической силой, возбуждающей колебания, которые сама система не совершала бы.

• Работа этой внешней силы над системой обеспечивает приток энергии к ней извне, который не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил сопротивления.
• Такие колебания, то есть колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями.
• Основное отличие вынужденных колебаний от свободных состоит в том, что при свободных колебаниях система получает энергию только один раз, когда она выводится из положения равновесия, а при вынужденных колебаниях энергия постоянно пополняется за счет работы вынуждающей силы.

Вначале, в процессе установления вынужденных колебаний, они носят сложный характер: происходит наложение свободных затухающих, а также вынужденных колебаний. И только после того, как свободные колебания прекратятся, останутся только вынужденные колебания.

Рассмотрим некоторые особенности вынужденных колебаний.

1) Внешнее воздействие навязывает системе свой закон колебаний: так, если значение внешней силы изменяется по закону синуса (или косинуса), то вынужденные колебания будут являться гармоническими. Обратите внимание на то, что между вынужденными колебаниями и колебаниями внешней силы существует разность фаз.

где j – разность фаз.

2) Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения вынуждающей силы.

3) Амплитуда вынужденных колебаний тем больше, чем больше амплитуда вынуждающей силы.

4) Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающего воздействия, она достигает максимального значения при совпадении частоты вынужденных колебаний с собственной частотой, то есть с частотой свободных колебаний системы. При частоте вынуждающей силы, приближающейся к собственной частоте колебаний системы, амплитуда колебаний растет, а при больших частотах — уменьшается.

1. Явление резкого возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы близка к частоте собственных колебаний системы, называется механическим резонансом.
2. Частота, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, называется резонансной.
3. А график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты называется резонансной кривой.

Явление резонанса имеет огромное практическое значение, так как используется для усиления различных колебаний в технике.

Например, вынужденные колебания используют при работе виброустройств для уплотнения сыпучего основания под фундаменты и дороги, уплотнения бетона при заливке фундаментов. Также вибраторы применяются дли вибрационного погружения свай и труб, при виброукладке бетона, сортировке сыпучих материалов.

Но механический резонанс может вызывать и разрушение колебательной системы, если амплитуда вынужденных колебаний превысит определенные пределы.

Поэтому, например, двигатель в автомобиле устанавливается на специальных амортизаторах, в которых механическая энергия колебаний гасится и переходит в тепловую.

В зданиях вибрирующие установки (такие, как электродвигатели, дизельные установки) размещают на резиновых или металлических амортизаторах. Иначе резкое возрастание амплитуды колебаний при резонансе может вызвать разрушение конструкций.

Резонансные явления возможны и в других сооружениях. Так, например, 16 апреля 1850 года близ города Анже во Франции на подвесном мосту Бас-Шен при движении по мосту батальона французских войск во время сильного ветра произошла первая «катастрофа-резонанса».

Несмотря на отданную команду сбить шаг, солдаты непреднамеренно двигались синхронно в попытке сохранить равновесие на раскачивавшемся ветром мосту, что, вероятно, привело к увеличению амплитуды колебаний и дальнейшему обрушению моста.

В результате обрушения погибло 226 человек.

5) Амплитуда зависит от силы трения. Она уменьшается с увеличением силы трения, а резонансные кривые становятся более пологими (говорят, что наблюдается острый или тупой резонанс).

• Если сила трения очень мала, то амплитуда вынужденных колебаний, как показывают расчеты, прямо пропорциональна квадрату амплитуды внешней периодической силы, и обратно пропорциональна разности квадратов циклических частот свободных и вынужденных колебаний системы.
• Из формулы видно, что при стремлении частоты вынужденных колебаний к частоте свободных, амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности.

Среди различного рода колебательных движений можно также выделить и автоколебания. Автоколебаниями называются незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии воздействия внешней переменной силы.

1. Впервые термин автоколебания в русскоязычную терминологию был введен советским физиком Александром Александровичем Андроновым в 1928 году.
2. Примерами автоколебательных систем могут служить электрические звонки, двигатели внутреннего сгорания, часы с гирями и так далее.
3. Общее между автоколебаниями и свободными колебаниями в том, что их частота и амплитуда определяются свойствами самой колебательной системы.
4. А отличие автоколебаний от свободных затухающих колебаний в том, что их амплитуда не зависит от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего колебательный процесс.
5. Как правило, автоколебательная система состоит из трех основных частей: колебательной системы V; источника энергии S; и устройства обратной связи B, регулирующего поступление энергии от источника к колебательной системе R.

Простейшей механической автоколебательной системой являются маятниковые часы с гирями.

В этих часах колебательная система — это маятник; источник энергии — это потенциальная энергия поднятой гири; а устройство обратной связи — это храповjе колесо и анкер.

Потери механической энергии на трение при движении восполняются за счет уменьшения потенциальной энергии, спускающейся при каждом колебании маятника часов гири.

Основные выводы:

Вспомнили, какие колебания называются вынужденными. Рассмотрели особенности вынужденных колебаний. Вспомнили о явлении механического резонанса. А также поговорили об автоколебаниях и автоколебательных системах.

Источник: https://videouroki.net/video/40-vynuzhdiennyie-koliebaniia-riezonans.html

Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания

Если колебания совершаются под воздействием внешней силы, они называются вынужденными. Работа внешней силы, которая обеспечивает колебательную систему энергией, при этом является положительной. Благодаря ей колебания не затухают и могут противодействовать силам трения.

Внешняя сила не обязательно должна быть постоянной. С течением времени она может изменяться по разным законам. Особый случай – воздействие на колебательную систему внешней силы, которая изменяется по гармоническому закону с частотой, равной ω, в то время как сама система совершает собственные колебания с той же самой частотой.

Определение 1

Установившиеся вынужденные колебания всегда происходят с частотой внешней силы. Частоту свободных колебаний определяют параметры системы.

В момент начала воздействия в системе начинают происходить два процесса одновременно – свободные колебания с собственной частотой ω0 и вынужденные с частотой ω. Однако из-за сил трения свободные колебания в определенный момент затухают, поэтому по прошествии времени в системе сохраняются лишь стационарные колебания с той частотой, которая соответствует внешней (вынуждающей) силе.

Пример 1

Разберем пример. У нас есть тело на пружине, совершающее вынужденные колебания (см. иллюстрацию ниже). Приложим внешнюю силу, обозначенную F→вн, к свободному концу пружины, после чего этот конец начнет перемещаться по закону, выражаемому формулой:

y=ymcos ωt.

Здесь буквой ω обозначена круговая частота, а ym – амплитуда колебаний.

Перемещения такого рода обеспечиваются шатунным механизмом, который преобразует круговые движения в возвратно-поступательные.

Рисунок 2.5.1. Груз на пружине, совершающий вынужденные колебания. Перемещение свободного конца выражено формулой y=ym cos ωt, где l означает длину недеформированной пружины, а k –ее жесткость.

• При смещении левого конца пружины на некоторое расстояние y и правого – на x по сравнению с первоначальным положением недеформированной пружины будет происходить ее удлинение. Найти величину этого удлинения можно по следующей формуле:
• ∆l=x-y=x-ymcos ωt.
• В таком случае мы можем переформулировать второй закон Ньютона для этого случая следующим образом:
• ma=-k(x-y)=-kx+kymcos ωt.

Здесь сила, которая действует на тело, показана как сумма двух слагаемых, первым из которых является упругость, стремящаяся к равновесию тела, а вторым – внешнее воздействие, совершающееся с определенными интервалами. Внешнюю силу также называют вынуждающей.

Теперь выразим эту зависимость в строгой математической формуле, учитывающей связь между координатой тела a=x¨  и его ускорением. У нас получится следующее:

x¨+ω02x=A cos ωt.

Эта зависимость называется уравнением внешних колебаний. Здесь ω0=km является собственной круговой частотой свободного колебания, а ω – циклической частотой внешней (вынуждающей) силы.

Чтобы найти величину A для вынужденного колебания груза на пружине, нужно воспользоваться следующей формулой:

A=kmym-ω02ym.

То уравнение, что мы записали перед этим, не учитывает, что на тело действуют также и силы трения. В уравнении вынужденных колебаний, в отличие от уравнения свободных, учитываются сразу обе частоты – частота вынуждающей силы и частота свободных колебаний.

Вынужденные колебания груза на пружине, которые устанавливаются со временем, имеют частоту внешнего воздействия. Это определяется следующим законом:

x(t)=xmcos (ωt+θ).

Если частоты очень низкие, т.е. ω≪ω0, то тело, прикрепленное к правому концу пружины, движется точно так же, как и левый конец этой пружины. Тогда получается, что x(t)=y(t). Сама пружина при этом практически не деформируется, а модуль внешней силы F→вн, приложенной к ее левому концу, стремится к нулю. Работа при этом не совершается.

Понятие резонанса

Определение 2

Резонанс – это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при сближении частоты внешней силы с собственной частотой колебания тела.

С помощью резонансной кривой (резонансной характеристики) можно описать зависимость, существующую между амплитудой внешних колебаний xm и частотой вынуждающей силы ω.

Когда происходит резонанс, амплитуда xm может оказаться значительно больше, чем амплитуда колебаний левого (свободного) конца пружины.. Если мы не будем учитывать силы трения, то получится, что при резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать неограниченно.

В реальности она будет зависеть от следующего условия: работа внешней силы в течение всего времени колебаний должна совпадать с потерями механической энергии, происходящими из-за трения.

При уменьшении трения (и, соответственно, повышении добротности Q колебательной системы) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастет.

Рисунок 2.5.2. Моделирование вынужденных колебаний.

Если добротность колебательной системы невысока (менее 10), то частота резонанса будет находиться ближе к низким частотам. Это показано на иллюстрации 2.5.2.

Явление резонанса имеет большое практическое значение. Именно из-за него зачастую разрушаются здания, мосты и другие сооружения. Это происходит в тот момент, когда их собственные частоты совпадают с частотой внешней силы, например, колебаниями мотора.

Рисунок 2.5.3. Изображение затухания различных колебаний при помощи резонансных кривых: 1 — условная система без учета трения (бесконечное возрастание амплитуды вынужденных колебаний), 2,3,4 – резонансные колебания в реальных условиях, происходящих в системах разной степени добротности (Q2>Q3>Q4). Если частоты низкие, то (ω≪ω0) xm≈ym, а если высокие, то (ω≫ω0) xm→0.

Вынужденные колебания являются незатухающими. При трении неизбежно теряется часть энергии, однако воздействие внешних периодически действующих сил компенсирует ее.

Что такое автоколебательные системы

Определение 3

Автоколебательные системы – это системы, в которых могут возникать незатухающие колебания безотносительно внешнего воздействия, а лишь за счет способности самостоятельно регулировать подвод энергии от внешнего источника. Процесс колебаний в таких системах называют автоколебаниями.

Внутри этой системы можно выделить три составляющих – саму систему, источник внешней постоянной энергии и обратную связь между ними. Первым элементом выступает любая механическая система, которая может совершать затухающие колебания, например, часовой маятник.

В качестве источника можно использовать потенциальную энергию груза в поле тяжести или энергию деформации пружины. Система обратной связи – это, как правило, особый механизм, функцией которого является регулирование поступлений энергии.

На иллюстрации показано, как эти компоненты взаимодействуют между собой.

Рисунок 2.5.4. Автоколебательная система со всеми основными составляющими.

Какие можно привести примеры таких систем? Ярким примером является часовой механизм с так называемым анкерным ходом. В нем есть ходовое колесо с косыми зубчиками, прочно сцепленное с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с грузом.

В верхней части маятника закреплен якорек (анкер), состоящий из двух твердых пластинок, дугообразно изогнутых по окружности с центром на основной оси. В механизме ручных часов вместо гири используется пружина, а вместо маятника – маховичок-балансир, соединенный со спиральной пружиной, который совершает круговые колебания вокруг своей оси.

В качестве источника внешней энергии выступает заведенная пружина или поднятая гиря. Обратная связь осуществляется с помощью анкера: он позволяет ходовому колесу совершать поворот только на один зубец за полупериод. Когда анкер взаимодействует с ходовым колесом, происходит передача энергии.

Когда маятник колеблется, зубец ходового колеса передает анкерной вилке энергию по направлению движения маятника, и именно этим компенсируются силы трения. Таким образом, энергия поднятой гири или заведенной пружины поступает маленькими порциями к маятнику.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/mehanicheskie-kolebanija/vynuzhdennye-kolebanija/

Вынужденные колебания. Автоколебания. Резонанс

Вынужденные колебания.
Вынужденными колебаниями наз. незатухающие колебания системы, которые вызываются действием внешней периодической силы.
Если сила не будет периодической, то не возникнет и периодических колебаний. Например, если сила постоянна, то возникает статическое отклонение системы. Примеры: колебания гребных винтов, лопаток турбины, качелей при раскачивании, мостов и балок при ходьбе и т.д.
Сила, вызывающая вынужденные колебания, наз. вынуждающей (возмущающей) силой.
Если внешняя вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону , то в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой внешней вынуждающей силы (процесс установления колебаний изображен на рисунке: вынужденные колебания накладываются на свободные затухающие колебания; после того, как свободные колебания прекращаются, остаются только вынужденные).
Резонанс.
Явление возрастания амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы ω к собственной частоте колебательной системы ω0, называется резонансом.
Соответственно данная частота наз. резонансной частотой.
При наличии трения резонансная частота несколько меньше собственной частоты колебательной системы. С энергетической точки зрения при резонансе создаются наилучшие условия для передачи энергии от внешнего источника к колебательной системе.
Резонанс применяется для измерения частоты (частотомеры) вибраций, в акустике. Резонанс необходимо учитывать при расчете балок, мостов, станков и т.д.
Автоколебания.
Колебательная система, совершающая незатухающие колебания за счет действия источника энергии, не обладающего колебательными свойствами (периодичностью), наз. автоколебательной.
Примеры: часы, орган, духовые инструменты, сердечно-сосудистая система, паровые машины и двигатели внутреннего сгорания и т.д.
Любая автоколебательная система состоит из 4 частей: колебательная система; источник энергии, компенсирующий потери энергии на преодоление сопротивления; клапан – устройство, регулирующее поступление энергии в колебательную систему определенными порциями и в определенный промежуток времени; обратная связь – устройство для обратного воздействия автоколебательной системы на клапан, управляющее работой клапана за счет процессов в самой колебательной системе.
Примером механической автоколебательной системы могут быть часы с анкерным ходом.
Часы с маятником	Ручные часы
Колебательная система	Маятник	Балансир (маховик)
Источник энергии	Поднятая гиря	Заведенная пружина
Клапан	Анкер
Обратная связь	Взаимодействие анкера с ходовым колесом

Источник: https://www.eduspb.com/node/1784

Вынужденные колебания — урок. Физика, 9 класс

До сих пор рассматривались свободные колебания, т. е. колебания, происходящие за счёт начального запаса энергии.

Свободные колебания всегда затухающие, так как весь запас энергии, первоначально сообщённый колебательной системе, в конце концов уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (т. е. механическая энергия переходит во внутреннюю). Поэтому свободные колебания почти не имеют практического применения.

Обрати внимание!

Чтобы колебания были незатухающими, необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний.

Это можно осуществить, воздействуя на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Например, каждый раз подталкивая качели в такт их колебаниям, можно добиться того, чтобы колебания не затухали.

Колебания, совершаемые телом под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями.

Внешняя периодически изменяющаяся сила, вызывающая эти колебания, называется вынуждающей силой.

Если на покоящиеся качели начать действовать периодически меняющейся вынуждающей силой, раскачивая их, то в течение некоторого времени амплитуда вынужденных колебаний качелей будет возрастать, т. е.

амплитуда каждого последующего колебания будет больше, чем предыдущего.

Увеличение амплитуды прекратится тогда, когда энергия, теряемая качелями на преодоление силы трения, станет равна энергии, получаемой ими извне (за счёт работы вынуждающей силы).

В большинстве случаев постоянная частота вынужденных колебаний устанавливается не сразу, а спустя некоторое время после их начала. Когда амплитуда и частота вынужденных колебаний перестают меняться, говорят, что колебания установились.

Обрати внимание!

Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы.

Вынужденные колебания могут совершать даже тела, которые не являются колебательными системами, например игла швейной машины, клапаны в двигателе внутреннего сгорания и многие другие. Колебания таких тел тоже происходят с частотой вынуждающей силы.

Обрати внимание!

Вынужденные колебания — незатухающие. Они происходят до тех пор, пока действует вынуждающая сила.

Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счёт периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах — автоколебаниями.

• В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента — колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником.
• В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).
• Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести.
• Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника.

Пример:

часовой механизм с анкерным ходом (смотри рисунок ниже).

Ходовое колесо с косыми зубьями жёстко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплён анкер (якорёк) с двумя пластинками из твёрдого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник — балансиром — маховичком, скреплённым со спиральной пружиной.

Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник, или балансир. Источником энергии — поднятая вверх гиря или заведённая пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод.

Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями, передаётся маятнику.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/fizika/9-klass/mekhanicheskie-kolebaniia-i-volny-zvuk-18755/zatukhaiushchie-kolebaniia-vynuzhdennye-kolebaniia-rezonans-158009/re-732029df-c9cf-4e68-8fae-8409570a9526

2.5. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания



Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω0. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону где ym – амплитуда колебаний, ω – круговая частота.

Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, преобразующего движение по окружности в поступательно-возвратное движение (рис. 2.5.1).

Рисунок 2.5.1.Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону y = ym cos ωt. l – длина недеформированной пружины, k – жесткость пружины

Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый – на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δl равно:

Δl = x – y = x – ym cos ωt.

Второй закон Ньютона для тела массой m принимает вид :

ma = –k(x – y) = –kx + kym cos ωt.

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части – это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое – внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой.

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде

(**)

где – собственная круговая частота свободных колебаний, ω – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина A определяется выражением:

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту ω0 свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону

Амплитуда вынужденных колебаний xm и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω0 и ω и от амплитуды m>ym внешней силы.

На очень низких частотах, когда ω 

Источник: https://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter2/section/paragraph5/theory.html

Вынужденные колебания. Резонанс

Конспект по физике для 9 класса «Вынужденные колебания. Резонанс». ВЫ УЗНАЕТЕ: Что такое вынужденные колебания. Когда возникает резонанс.

Конспекты по физике    Учебник физики    Тесты по физике

Если при качании на качелях не прикладывать никаких усилий, то качели достаточно быстро остановятся. Для того чтобы этого не произошло, обычно качели слегка подталкивают в такт их колебаниям. При этом лёгкого подталкивания качелей в определённые моменты времени оказывается достаточным, чтобы быстро раскачать качели до колебаний с большой амплитудой, а затем поддерживать эти колебания.

Вынужденные колебания

Так как колебания затухают вследствие потерь механической энергии, необходимо восполнять эти потери за каждый период колебаний.

Это можно сделать, если воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Например, если подталкивать грузик маятника рукой, он может качаться в течение любого промежутка времени.

Подобным образом обычно качаются на качелях — их подталкивают в такт колебаниям.

Колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называют вынужденными колебаниями. Внешнюю периодически изменяющуюся силу, вызывающую эти колебания, называют вынуждающей силой.

В отличие от свободных колебаний, которые из-за наличия трения затухают, вынужденные колебания являются незатухающими. Потери энергии в процессе этих колебаний компенсируются поступлением энергии от источника внешней силы. Вынужденные колебания происходят до тех пор, пока действует вынуждающая сила.

Выясним, как амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между частотой вынуждающей силы и собственной частотой колебательной системы.

Если привести в движение маятник 2, то он через перекладину будет действовать на маятник 1 с некоторой вынуждающей силой, меняющейся с такой же частотой, с какой колеблется маятник 2.

Если начать уменьшать длину нити маятника 2, начнёт уменьшаться и его период колебаний. Следовательно, частота его колебаний увеличится. При этом увеличится и частота вынуждающей силы, действующей на маятник 1. Опыт показывает, что при этом начнёт увеличиваться амплитуда вынужденных колебаний маятника 1.

Увеличение амплитуды будет продолжаться до тех пор, пока длины маятников не станут равными. Когда длины маятников становятся равными, т. е. когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний маятника 1, его амплитуда колебаний резко возрастает.

При дальнейшем уменьшении длины маятника 2 частота вынуждающей силы оказывается больше собственной частоты маятника 1 и амплитуда его колебаний уменьшается.

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

Явление резонанса

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы называют резонансом.

На рейку подвешивают несколько маятников разной длины. При этом маятник 1 массивный, а остальные маятники лёгкие. Маятник 1 приводят в движение в плоскости, перпендикулярной рейке. Он будет совершать свободные колебания, периодически действуя с некоторой силой на рейку. Рейка, в свою очередь, будет действовать на остальные маятники, которые начнут совершать вынужденные колебания с частотой колебаний маятника 1. При этом маятники 2 и 3 останутся почти неподвижными, так как их собственные частоты значительно отличаются от частоты маятника 1, т. е. амплитуды маятников 2 и 3 будут малы. Амплитуды маятников 4 и 5 будут больше, а маятники 6 и 7, имеющие ту же длину нити, что и маятник 1, начнут колебаться с очень большой амплитудой, т. е. войдут в резонанс с маятником 1.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например в неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 г.

рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 г. разрушился Такомский мост в США.

Чтобы предотвратить такие повреждения, строй солдат должен сбивать шаг при прохождении мостов.

Явление резонанса используют, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжёлый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

Вы смотрели Конспект по физике для 9 класса «Вынужденные колебания. Резонанс».

Вернуться к Списку конспектов по физике (Оглавление).

Источник: https://xn--9-8sb3ae5aa.xn--p1ai/vynuzhdennye-kolebanija-rezonans/

Вынужденные колебания. Резонанс — Класс!ная физика

«Физика — 11 класс»

Как получить незатухающие колебания, — те, которые могут длиться неограниченно долго?

Для этого на колебателььную систему должна действовать внешняя периодическая сила. Такие колебания называются вынужденными.

Работа внешней силы над системой обеспечивает приток энергии к системе извне, который не дает колебаниям затухнуть, несмотря на действие сил трения.

Например, раскачивание ребенка на качелях. Качели — это маятник, т. е. колебательная система с определенной собственной частотой. Если начать в правильном ритме подталкивать качели, то можно без большого напряжения раскачать их очень сильно.

• При этом произойдет накопление результатов действия отдельных толчков, и амплитуда колебаний качелей станет большой.
• В этом случае возникает возможность увеличения амплитуды колебаний системы, способной совершать почти свободные колебания, при совпадении частоты внешней периодической силы с собственной частотой колебательной системы.
• Спустя некоторое время колебания качелей приобретут установившийся характер: их амплитуда перестанет изменяться со временем.
• При установившихся вынужденных колебаниях частота колебаний всегда равна частоте внешней периодически действующей силы.
• Резонанс

Как амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты внешней силы? При увеличении частоты внешней силы амплитуда колебаний постепенно возрастает. Она достигает максимума, когда частота вынужденных колебаний становится равной частоте внешней периодически действующей силы.

1. При дальнейшем увеличении частоты амплитуда установившихся колебаний уменьшается.
2. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой ее свободных колебаний называется резонансом.

Почему возникает резонанс?

При резонансе внешняя сила действует в такт со свободными колебаниями. Ее направление совпадает с направлением скорости мммаятника, поэтому эта сила совершает только положительную работу.

При установившихся колебаниях положительная работа внешней силы равна по модулю отрицательной работе силы сопротивления.

Большое влияние на резонанс оказывает трение в системе. Чем меньше коэффициент трения, тем больше амплитуда установившихся колебаний.

Изменение амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от трения:

кривая 1 — минимальное трение, кривая 3 — максимальное трение. Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе выражено тем отчетливее, чем меньше трение в системе.

При малом трении резонанс «острый», а при большом «тупой».

Согласно закону сохранения энергии вызвать в системе колебания с большой амплитудой при небольшой внешней силе можно только за продолжительное время. Если трение велико, то амплитуда колебаний будет небольшой, и для установления колебаний не потребуется много времени.

Воздействие резонанса и борьба с ним

Если колебательная система находится под действием внешней периодической силы, и если частота этих периодических усилий совпадает с частотой свободных колебаний системы, то может наступить резонанс и резкое увеличение амплитуды колебаний.

Любое упругое тело, будь то мост, вал двигателя, корпус корабля, представляет собой колебательную систему и характеризуется собственными частотами колебаний. В то же время железо, сталь и другие материалы при переменных нагрузках со временем теряют прочность, после чего внезапно разрушаются.

Обычно принимаются специальные меры, чтобы не допустить наступления резонанса или ослабить его действие.

Для этого увеличивают трение или же добиваются, чтобы собственные частоты колебаний не совпадали с частотой внешней силы. Известны случаи, когда приходилось перестраивать океанские лайнеры, чтобы уменьшить вибрацию.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Следующая страница «Кратко о механических колебаниях» Назад в раздел «Физика — 11 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин»

Механические колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Свободные, затухающие и вынужденные колебания — Условия возникновения свободных колебаний. Математический маятник — Динамика колебательного движения. Уравнение движения маятника — Гармонические колебания — Фаза колебаний — Превращение энергии при гармонических колебаниях — Вынужденные колебания. Резонанс — Примеры решения задач — Краткие итоги главы

Источник: http://class-fizika.ru/11_21.html