Алгоритм решения уравнений, формулы и примеры

Неполные квадратные уравнения чаще всего встречаются в различных математических задачах школьной программы. Главное их отличие от обычных в том, что они содержат меньше членов, поэтому и решать их довольно легко. Минимум существует 3 способа. Зная их, можно будет решить пример любой сложности, в некоторых случаях даже устно, причём даже за считаные секунды.

Понятие и термины

Под уравнениями в математике понимают равенства, где неизвестны некоторые члены. Их принято обозначать маленькими латинскими буквами. Чаще всего используют x, y, a, b, c. Решение уравнений подразумевает нахождение неизвестных величин. При этом они могут принимать как конкретное значение, так и быть переменными.

Числа, которые заменяют буквами, называют корнями. Это такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл и обращается в верное равенство. Другими словами, слова «корень» и «решение» — синонимы.

Для уравнений характерно, что число действительных ответов может быть не только конечное число. Например, a — 2 = 4 имеет один корень, он равняется шести, a2 = 9 — 2 решения: 3 и -3, а n = n — бесконечное число.

В алгебраическом виде уравнение записывают так: P (x1, x2…, xn) = 0, где: P — сумма одночленов от неизвестных. Все известные виды уравнений разделяют на 5 типов:

1. Линейные. В записи многочлена самой высокой степенью является единица: ax + a2x2 +…anxn + y = 0.
2. Квадратичные. Выражения, в которых стоит значение переменной x2, при этом в записи есть свободные переменные и коэффициенты. Например, ax2 + bx + c = 0. Главное условие — первый коэффициент (a) не должен быть равен нулю.
3. Кубические. График функции представляет собой параболу. Они имеют вид: ax3 + bx2 + c x + n = 0 или ax3 + bx + c = 0.
4. Биквадратные. Наивысшая степень в уравнении не превышает 4.

Кроме этого, существуют иррациональные и рациональные равенства. К первым относят уравнения, где неизвестное стоит под знаком корня или возведения в степень и является дробным, а ко вторым — выражения, использующие операции сложения, вычитания, деления и умножения, а также возведения целого числа в степень.

Выражения, в которых второй или третий коэффициент равняется нулю, называют неполными. Решение уравнений такого типа имеет свои особенности. Корни можно находить по упрощённому алгоритму, а не по стандартному через дискриминант или теорему Виета. Формулы будут проще, соответственно, сложные преобразования делать не придётся.

Стандартный алгоритм

Перед тем как перейти непосредственно к решению, нужно приравнять выражение к нулю, то есть если равенство имеет вид ax2 + bx = c, его нужно привести к следующей форме записи: ax2 + bx — c = 0. Затем можно использовать алгоритм, разработанный, чтобы можно было быстро решать полные квадратные уравнения.

Пошаговое решение выглядит следующим образом:

• в случае необходимости привести равенство до вида квадратного уравнения;
• найти дискриминант;
• проанализировать его значение: если оно будет меньше нуля, дальнейшее решение не имеет смысла;
• при равенстве дискриминанта нулю воспользоваться формулой: x = -b / 2*a;
• если полученное число больше нуля, уравнение имеет 2 корня, найти их можно, воспользовавшись равенством: x1 = (-b + √‎D) / 2a; x1 = (-b — √‎D) / 2a.

Для многочленов кубического и квадратного вида формулы для расчёта будут сложнее: D = b2c2 — 4ac3 — 4b3d — 27a2b2 + 18abcd. В частности, для кубического уравнения формула примет упрощённый вид: -27q2 — 4p3. Это выражение называется уравнением Кардано.

Этот алгоритм можно использовать и при решении неполных выражений. Важным этапом является нахождение дискриминанта. Под ним понимают выражение вида b2 — 4ac. Обозначают его большой латинской буквой D. Величина представляет собой симметрический многочлен, если его рассматривать относительно корней.

Найти корни квадратного уравнения можно, используя теорему Виета. Но применять её возможно не ко всем выражениям. Использовать правило разрешено только с приведёнными равенствами. Это уравнения, где первый коэффициент равен единице: n2 + pn + n = 0. Определение Виета позволяет найти корни по следующим формулам: n1 + n2 = -p; n1 * n2 = q, где неизвестные будут искомыми корнями.

Доказать справедливость формул Виета можно следующим образом. Корни квадратного равенства можно найти из выражения: n1 = (-b + √‎D) / 2; n1 = (-b — √‎D) / 2, где дискриминант D = p2 — 4q.

Если найти сумму корней, в ответе получится: n1 + n2 = (-b + √‎D) / 2 + (-b — √‎D) / 2 = (-b — √‎D) — p — √‎D) / 2 = -2p/2 = -p. Произведение же равно: n1 * n2 = (-b + √‎D) / 2 * (-b — √‎D) / 2 = (-b)2 — √‎D)2 / 4 = (p2 — D) / 4 = p2 — (p2 — 4q) / 4 = 4q / 4 = q.

Соответственно, полученные равенства n1 + n2 = -p; n1 * n2 = q.

Теорема Виета даёт важную информацию о корнях квадратного уравнения. При небольшой тренировке с её помощью можно научиться выполнять решение в уме, потратив на это совсем немного времени.

Вычисление неполных выражений

Чтобы решать неполные уравнения, необязательно использовать формулы корней. Найти результат можно, используя только правила сокращённого умножения и деления. Всего таких формул 7. Учат их в седьмом классе средней школы при изучении правил сокращения дробей. Вот их перечень:

1. Разность квадратов. Вычитание выражений, стоящих в квадрате, можно заменить произведением разности и суммы их членов: t2 — n2 = (t — n) * (t + n).
2. Квадрат суммы. Сложение двух чисел в квадрате — однотипная операция прибавления квадрата первого числа к удвоенному произведению первого и второго и квадрату второго: (t + n)2 = t2 + 2tn + n2.
3. Квадрат разности. Правило, сходное с квадратом суммы, лишь вместо сложения в первом действии ставится вычитание: (t — n)2 = t2 — 2tn + n2. Следует отметить, что часто используется и следующее равенство: (t — n)2 = (t — n)2.
4. Сумма куба. Сумма двух чисел в третьей степени равна первому многочлену в третьей степени плюс утроенное произведение квадрата первого слагаемого на второе плюс сумма утроенного произведения первого на квадрат куба второго числа.
5. Куб разности. Он равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата уменьшаемого на вычитаемое плюс тройное произведение первого числа на квадрат второго минус куб вычитаемого.
6. Сумма кубов. Заменить такое выражение можно произведением суммы слагаемых на неполный квадрат разности: t3 + n3 = (t + n) * (t 2 — tn + n 2) .
7. Разность кубов. Правило, аналогичное прибавлению кубов, но во втором множителе стоит неполный квадрат суммы: t3 — n3 = (t − n) * (t2 + t n + n2).

Кроме этих правил, нужно знать свойство деления и метод разложения на множители. Согласно закону, любое равенство можно разделить на одно число, но делить нужно одновременно и левую, и правую часть. Разложение же позволяет приводить сложные и громоздкие уравнения к простому виду.

Например, f2 — 33f + 200 = 0. Хотя это и полный трёхчлен, не стоит спешить искать дискриминант. На самом деле, исходное выражение можно представить как произведение множителей неполных одночленов. Так, f2 — 33* f + 200 = (f — 8) * (f — 25) = 0. Решением будут корни равные 25 и 8.

Решение задач

Практические задания помогают лучше усвоить теоретический материал и запомнить нужные для решения формулы. Существуют различные задачи, с помощью которых можно довольно быстро проработать весь изученный курс. Вот некоторые примеры с решением неполных квадратных уравнений, которые наверняка помогут при выполнении самостоятельных вычислений:

1. Найти неизвестное в уравнении: f2 = 12 * f. В соответствии с алгоритмом нужно правую часть перенести влево и приравнять выражение к нулю: f2 — 12 * f. = 0. Неизвестное можно вынести за скобки: f * (f — 12) = 0. Так как ноль в ответе может получиться, лишь при условии, что один из множителей будет нулевым, множимые можно рассмотреть отдельно. Корнями уравнения будут числа 0 и 12.
2. Вычислить корни выражения: 4x * (x + 3) = 12x + 1. В первую очередь нужно раскрыть скобки. Для этого каждое слагаемое следует умножить на то, что стоит перед скобками. После этого пример примет вид: 4×2 + 12 = 12 x + 1. Теперь все члены неравенства можно собрать слева и привести подобные: 4×2 + 12x — 12x — 1 = 4×2 — 1 = 0. Полученное выражение есть не что иное, как разность квадратов, поэтому его можно переписать так: 4×2 — 12 = 0. Отсюда (2×2) — 12 = (2x — 1) * (2x + 1) = 2x — 1 = 0. Далее решается простое линейное выражение. В ответе получится: x = ± 1 / 2.
3. Определить возможные решения для уравнения: 6p2 — (2p — 1) = p * (p + 4). Очевидно, что в левой части стоит разность квадратов. Но использовать правило умножения здесь будет нерационально. Дело в том, что смысл преобразований заключается в приведении уравнения к виду без скобок, поэтому следует вычитаемое расписать по формуле квадрата разности: 2p — 1 = (2p)2 — 2 * 2p * 1 + 1. Таким образом, получится равенство: 6p2 — 4p2 + 4p — 1 = p2 + 4p. Теперь можно действовать по алгоритму: перенести все члены в одну сторону и привести подобные: 6p2 — 4p2 + 4p — 1 — p2 + 4p = m2 — 1 = 0. Это уже простое неполное квадратное уравнение, которое можно решить в уме. Корни, удовлетворяющие условию, буду равны ± 1.

Таким образом, квадратные и уравнения высших порядков можно решать по классической схеме, используя дискриминант. Но при этом неполные выражения гораздо проще вычислять, преобразуя их до простого вида. В этом как раз и помогают правила сокращённого умножения.

Источник: https://1001student.ru/matematika/primery-i-sposoby-reshenij-nepolnyh-kvadratnyh-uravnenij.html

Задачи, решаемые с помощью уравнения: примеры, объяснение. Задачи по алгебре :

Рано или поздно любому школьнику на уроках алгебры встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения. Поначалу появление букв вместо привычных цифр и действия с ними ставят в тупик даже самых одарённых, но если разобраться, всё далеко не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Алгоритм решения

Перед тем как перейти к конкретным примерам, необходимо понять алгоритм решения задач с помощью уравнений. В любом уравнении есть неизвестное, чаще всего обозначаемое буквой Х.

Также и в каждой задаче есть то, что необходимо найти, то же самое неизвестное. Именно его и нужно обозначать как Х.

А потом, следуя условию задачи, прибавлять, отнимать, умножать и делить – совершать любые необходимые действия.

После нахождения неизвестного обязательно выполнение проверки, чтобы быть уверенными, что задача решена правильно. Стоит заметить, что дети уже в начальной школе начинают решение задач с помощью уравнений. Примеры этому — те задачи, которые нужно решать отрезками, являющимися полнейшими аналогами буквенных неизвестных.

Основа основ — задача про корзины

Итак, попробуем же на практике применить решение задач с помощью уравнений, объяснение алгоритма которых было дано чуть выше.

Дана задача: Собрали некоторое количество корзин с яблоками. Сначала 3 корзины продали, потом дособирали ещё 8 корзин. В итоге получилось 12 корзин. Сколько корзин яблок собрали первоначально?

Начнём решение задачи с того, что обозначим неизвестное — то есть первоначальное количество корзин – буквой Х.

Теперь начинаем составлять уравнение: Х (первоначальное количество) – 3 (проданные корзины) + 8 (те, которые собрали позже) = 12 (итоговое число корзин), то есть Х — 3 + 8 = 12. Решив простое уравнение, получим, что Х = 7.

Обязательно выполняем проверку, то есть подставляем найденное число в равенство: 7 — 3 + 8 действительно равно 12, то есть задача решена верно.

Закрепление: концертные залы

Дана следующая задача: В двух концертных залах 450 мест. Известно, что в одном зале мест в 4 раза больше, чем в другом. Нужно узнать, сколько мест в каждом зале.

Для того чтобы решать подобные задачи по алгебре, снова нужно применить уравнение. Мы знаем, что сумма двух чисел, одно из которых в 4 раза больше другого, равна 450. Пусть число мест в меньшем зале, неизвестное, будет равно Х, тогда число мест в большем зале – 4 * Х = 4Х.

Следовательно, 450 = Х + 4Х = 5Х. А дальше нужно решить стандартное уравнение 450 = 5Х, где Х = 450 / 5 = 90, то есть в меньшем зале 90 мест, значит в большем – 90 * 4 = 360.

Чтобы убедиться, что задача решена правильно, можно проверить неравенство: 360 + 90 = 450, то есть ответ верный.

Классика: полки с книгами

Но задачи, решаемые с помощью уравнения, могут быть и посложнее. Например, есть три полки с книгами. На первой полке книг на 8 больше, чем на второй, а на третьей — в 3 раза больше, чем на второй, причём количество книг на первой и третьей полках равное. Сколько книг на каждой полке?

Понятно, что отталкиваться здесь нужно от второй полки, которая встречается в обоих условиях. Если мы обозначаем количество книг на ней за Х, то тогда на первой полке Х + 8 книг, а на третьей — Х * 3 книг, при этом Х + 8 = 3Х. Решив уравнение, получаем Х = 4. Выполняем проверку, подставляя неизвестное в равенство: 4 + 8 действительно равно 3 * 4, то есть задача решена правильно.

Практикуемся дальше: бобры

Как видите, решение задач с помощью уравнения гораздо легче, чем кажется на первый взгляд. Закрепим навыки работы с уравнениями ещё одной задачей. Первый бобр сгрыз за день какое-то количество деревьев. Второй бобр сгрыз в 6 раз больше. Третий бобр сгрыз в 2 раза больше деревьев, чем первый, но в 3 раза меньше, чем второй. Сколько деревьев сгрыз каждый бобр?

Задача не такая запутанная, какой кажется на первый взгляд. Для начала найдём неизвестное – в этой задаче это количество деревьев, сгрызенных первым бобром.

Следовательно, второй бобр уничтожил 6 * Х деревьев, а третий – 2 * Х, причём это число в 3 раза меньше 6 * Х. Составляем уравнение: 6Х = 3 * 2Х.

Решив его, получаем, что первый бобр погрыз всего одно дерево, тогда второй – 6, а третий – 2. Подставив числа в уравнение, понимаем, что задача решена верно.

Соотносим уравнения и условия

Если вам скажут: «К каждой задаче подберите соответствующее уравнение», — не пугайтесь – это целиком и полностью реально.

Даны следующие уравнения:

1. 6 + Х = 2Х;
2. 6 = 2Х;
3. 2 + Х = 6.

Условия задач следующие:

1. У мальчика было 6 яблок, а у девочки в два раза меньше, сколько было яблок у девочки?
2. На столе лежат ручки и карандаши, известно, что ручек на столе 6, а карандашей на 2 меньше, сколько ручек и сколько карандашей на столе?
3. У Вани на шесть монет больше, чем у Тани, а у Тани в два раза меньше, чем у Ани, сколько монет у каждого ребёнка, если у Вани и Ани одинаковое количество монет?

Составим уравнения по каждой из задач.

• В первом случае нам не известно число яблок у девочки, то есть оно равно Х, мы знаем, что Х в 2 раза меньше 6, то есть 6 = 2Х, следовательно, к этому условию подходит уравнение №2.
• Во втором случае за Х обозначается количество карандашей, тогда количество ручек Х + 2, но при этом мы знаем, что ручек 6, то есть Х + 2 = 6, значит сюда подходит третье уравнение.
• Что касается последней задачи, под номером 3, количество Таниных монет, которое встречается в двух условиях, является искомым неизвестным, тогда у Вани 6 + Х монет, а у Ани 2Х монет, то есть 6 + Х = 2Х – очевидно, что сюда подходит первое уравнение.

Если у вас есть задачи, решаемые с помощью уравнения, к которым необходимо подобрать соответствующее равенство, то составьте уравнение для каждой из задач, а потом уже соотносите то, что получилось у вас, с данными уравнениями.

Усложняем: система уравнений — конфеты

Следующий этап применения буквенных равенств в алгебре – это задачи, решаемые системой уравнений. В них имеется два неизвестных, причём одно из них выражается через другое на основании имеющихся данных. Известно, что у Паши и Кати вместе 20 конфет. Ещё известно, что если бы у Паши было на 2 конфеты больше, то у него было бы 15 конфет, сколько конфет у каждого?

В данном случае мы не знаем ни количество Катиных конфет, ни количество Сашиных конфет, следовательно, у нас два неизвестных, Х и Y соответственно. Вместе с тем, мы знаем, что Y + 2 = 15.

Составив систему, получаем два уравнения:

А дальше действуем по правилам решения систем: выводим Y из второго уравнения, получая Y = 15 — 2, а потом подставляем его в первое, то есть Х + Y = Х + (15 — 2) = 20. Решив уравнение, получаем Х = 7, тогда Y = 20 — 7 = 13. Проверяем правильность решения, подставив Y во второе уравнение: 13 + 2 действительно равно 15, то есть у Кати 7 конфет, а у Паши — 13.

Ещё сложнее: квадратные уравнения и земельный участок

Встречаются также и задачи по алгебре, решаемые квадратным уравнением. В них нет ничего сложного, просто стандартная система преобразовывается в квадратное уравнение в ходе решения. Например, дан участок земли площадью в 6 гектаров (60000 квадратных метров), забор, огораживающий его, имеет длину 1000 метров. Каковы длина и ширина участка?

Составляем уравнения. Длина забора является периметром участка, следовательно, если длину обозначить Х, а ширину Y, то 1000 = 2 * (Х + Y). Площадь же, то есть Х * Y = 60000. Из первого уравнения выводим Х = 500 — Y.

Подставляя его во второе уравнение, получаем (500 — Y) * Y = 60000, то есть 500Y — Y2 = 60000.

Решив уравнение, получаем стороны равные 200 и 300 метрам – квадратное уравнение имеет два корня, один из которых зачастую не подходит по условию, например, является отрицательным, тогда как ответ должен быть числом натуральным, поэтому проверку проводить обязательно.

Повторяем: деревья в саду

Закрепляя тему, решим ещё одну задачу. В саду есть несколько яблонь, 6 груш и несколько вишнёвых деревьев. Известно, что общее количество деревьев в 5 раз больше, чем количество яблонь, при этом вишневых деревьев в 2 раза больше, чем яблоневых. Сколько деревьев каждого вида в саду и сколько в саду всего деревьев?

За неизвестное Х, как, наверное, уже понятно, обозначаем яблоневые деревья, через которые мы сможем выразить остальные величины. Известно, что Y = 2X, а Y + Х + 6 = 5Х.

Подставив Y из первого уравнения, получаем равенство 2Х + Х + 6 = 5Х, откуда Х = 3, следовательно в саду Y = 3 * 2 = 6 вишнёвых деревьев.

Проводим проверку и отвечаем на второй вопрос, складывая получившиеся величины: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, то есть задача решена верно.

Контрольная: сумма чисел

Решение задач с помощью уравнения далеко не такое сложное, как кажется на первый взгляд. Главное – не ошибиться в выборе неизвестного и, что ещё важнее, правильно его выразить, особенно если речь идёт о системе уравнений. В завершение даётся последняя задача, гораздо более запутанная, чем представленные выше.

Сумма трёх чисел – 40. Известно, что Х = 2Y + 3Z, а Y = Z — 2 / 3. Чему равны Х, Y и Z?

Итак, начнём с избавления от первого неизвестного. Вместо Х подставляем в равенство соответствующее выражение, получаем 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40.

С помощью проверки убеждаемся в истинности выражения, следовательно задача решена правильно.

Заключение

Итак, что же такое задачи, решаемые с помощью уравнения? Так ли они страшны, как кажется на первый взгляд? Ни в коем случае! При должной усидчивости разобраться в них не составляет никакого труда.

А однажды поняв алгоритм, в дальнейшем вы сможете щёлкать подобные задачки, даже самые запутанные, как семечки.

Главное – внимательность, именно она поможет правильно определить неизвестное и путём решения порой множества уравнений найти ответ.

Источник: https://www.syl.ru/article/290217/zadachi-reshaemyie-s-pomoschyu-uravneniya-primeryi-obyyasnenie-zadachi-po-algebre

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений. Часть 1

30 Июн 2013

Елена Репина 2013-06-30 2017-06-03

• Прежде чем решать тригонометрические уравнения, вы должны хорошо разбираться  в тригонометрическом круге.
• Все тригонометрические уравнения, какими они не были  – простыми или сложными, в итоге сводятся к решению четырех типов простейших тригонометрических уравнений.
• Вы просто обязаны уметь решать уравнения вида

Формулы–алгоритмы  будут  разбросаны  по  трем статьям,

здесь же они собраны все вместе =>

+ показать

Давайте разбираться. В этой статье мы рассмотрим решение уравнения вида . Решение остальных типов простейших уравнений смотрим здесь: часть 2 (), часть 3 (,  )

 Уравнение вида 

1. Решим уравнение
2. Мы должны подобрать такие значения аргумента , то есть такие значения углов, косинус которых равнялся бы .
3. Смотрим на тригонометрический круг, на оси косинусов находим :
4. 
5. Выстраиваем через эту точку вертикаль, получаем две точки на круге:
6. 

Но надо понимать, что за этими точками скрывается бесконечно много других точек, – таких, косинус в которых также равен . Мы об этом подробно говорили в предыдущей статье, когда знакомились с тригонометрическим кругом.

• На координатной прямой подходящие нам точки располагаются  так:
• 
• А с графической точки зрения решение уравнения   выглядело бы так:
• 
• Как все точки взять в ответ?

Решением уравнения будет

1. Возьмите, поперебирайте различные значения подставьте в вышеуказанную формулу.
2. Вы получите как раз точки  при ,
3. при ,

при и т.д.

То что нам нужно!

• 
• .
• Я думаю, вы уже увидели общий принцип формирования  ответа.
• Давайте дадим  формулу, которой можно руководствоваться, решая уравнения
• , где – из
• (в противном случае, когда – не из – решений нет)
• Но вам формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арккосинус».
• Если нам попадается уравнение с нетабличным значением косинуса, вроде этого , то решение будет следующее:
• Частные случаи решения уравнения
• 1)
•  Мы должны бы записать так:
• .
• Но можно записать решение иначе (ведь в данном случае между точками расстояние – полкруга, значит нам можно использовать полукруговой счетчик ):
• 2)
• У нас только одна серия корней:
• то есть 
• 3) 
• Аналогично решению примера 2, решение такое:

Источник: https://egemaximum.ru/formuly-dlya-resheniya-prostejshix-trigonometricheskix-uravnenij-chast-1/

Урок "Алгоритм решения квадратных уравнений"

Бесплатно

Решение любой математической задачи предполагает знание точного предписания, определяющего, как от исходных данных перейти к искомому результату. Такое предписание называется алгоритмом решения.

В этом видеоуроке рассмотрен алгоритм решения квадратного уравнения

ax2 + bx + c = 0.

1. Поскольку число корней квадратного уравнения, а значит его решений, зависит от дискриминанта, то сначала целесообразно определить этот дискриминант. Возможно, что уравнение и вовсе не придется решать.

Итак, вычисляем дискриминант D по формуле D = b2 – 4ac. Далее следуем пунктам.

2. Если D0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые определяются по формулам x1 = ( (- b + √D) / (2a)),  x2 = ( (- b — √D) / (2a)).

Этот алгоритм универсален, потому что с его помощью можно решать уравнения полные, и так называемые неполные квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение – это уравнение ax2 + bx + c = 0, где b не равно 0 и с не равно 0.

Если в уравнении b=0 или с=0, то квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным.

Рассмотрим решение некоторых уравнений. Например, x2 + 3x – 5 = 0. В видеоуроке показано, как применяется алгоритм решения. Дискриминант данного уравнения D=29, то есть D>0, значит, уравнение имеет два корня, которые мы и находим по формулам

x1 = (- b + √D) / (2a),  x2 = (- b — √D) / (2a). В результате получаем ответ x1 = (- 3 + √29)/2 , x2 = (- 3 — √29)/2.

Некоторые уравнения нужно сначала преобразовать, а затем решать. Примеры решения таких уравнений показаны в видеоуроке.

Рассмотрим уравнение -9×2 + 6x – 1 = 0. Умножая обе части этого уравнения на -1, получим 9×2 – 6x + 1 = 0. Дискриминант данного уравнения D=0. Значит, согласно алгоритму, квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

X = — (b/2a). Этот корень x = 1/3.

Данное уравнение можно решить иначе. Как? Смотрите видеоурок.

Следующее уравнение 2×2 – x + 3,5 = 0. Определяем дискриминант этого уравнения.

Оказывается, что D= -27, то есть D 0, то уравнение имеет два корня, которые вычисляют по формулам x1 = (- b + √D) / (2a),  x2 = (- b — √D) / (2a).

Таким образом, квадратное уравнение можно решать подробно, как это показано в видеоуроке, либо сразу записать общую формулу, и с ее помощью делать необходимые вычисления.

Рассмотрим пример 2/3×2 + 5/6×2 – 7/12 = 0. Мы видим, что коэффициенты и свободный член уравнения представляют собой дроби, с которыми неудобно работать. Как преобразовать и решить это и подобные уравнения, узнаем из видеоурока. Оттуда же поймем, когда удобнее пользоваться развернутым алгоритмом, а когда общей формулой.

Рассмотрим уравнение x2 – (2p + 1)x+ (p2 + p -2) = 0. Отличие этого уравнения состоит в том, что коэффициенты его являются буквенными выражениями. Говорят, что это уравнение с буквенными коэффициентами или с параметрами. Решение уравнений с параметрами требует особых навыков. В видеоуроке подробно и доступно показано решение таких уравнений и учет значений параметра при этом. 

Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-algoritm-resheniya-kvadratnih-uravneniy-559.html

Математика. Как решать квадратные уравнения

Алгоритм решения квадратного уравнения

• Речь идет о поиске только действительных корней квадратного уравнения.
• Шаг 1:  Записываем уравнение в стандартном виде
• В общем виде квадратное уравнение можно записать так:
• 

Здесь — любое ненулевое число,  — любые числа, a — то число, которое необходимо найти. Такой вид уравнения называют стандартным. Например, — квадратное уравнение в стандартном виде, причем , и . Число называют старшим коэффициентом, число — свободным коэффициентом. А все выражение вида называют квадратным трехчленом.

Типичная ошибка: считать, что , то есть забыть про знак «-«.

Cтоит заметить, что все коэффициенты уравнения можно уменьшить в раза. Уравнение примет вид . Числа , и , естественно, изменились (уменьшились!). Зато корни уравнения остались прежними. Поэтому всегда стоит проверять, а нельзя ли таким образом упростить уравнение, чтобы легче было далее находить корни.

Итак, первым делом необходимо привести квадратное уравнение  к стандартному виду. Для этого можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые из одной части уравнения в другую (при этом слагаемые меняют знак). Например, .

Раскрываем скобки: . Приводим подобные слагаемые: . Переносим все слагаемые из правой части в левую: (повторю: такие слагаемые меняют свой знак).  И опять приводим подобные слагаемые: . Получим квадратное уравнение в стандартном виде. Причем , и .

Типичная ошибка: забыть поменять знак слагаемого при переносе.

Типичная ошибка: перепутать слагаемые местами и неправильно определить коэффициенты. Например, . И кажется, что , и . На самом деле, , и .

Интересный случай: предположим, что получилось уравнение . Чему равно ? На этот вопрос не каждый может ответить уверенно. Ответ: .

Интересный случай: дано уравнение . Мы смело раскрываем скобки и переносим и из правой части в левую. Но после приведения подобных слагаемых получается уравнение .  Нет ! Ни о каком стандартном виде квадратного уравнения здесь не может быть и речи просто потому, что это не квадратное уравнение, а совсем другая история под названием «Линейное уравнение».

Да, это другое уравнение и коэффициенты другие. Но корни у него такие же, как и у исходного уравнения. Поэтому далее спокойно можно работать с новым. Зачем делать положительным? Например, затем, чтобы было меньше арифметических ошибок, когда будем находить дискриминант.

Что такое дискриминант, узнаем в следующем шаге.

Шаг 2: Находим дискриминант.

У нас есть квадратное уравнение в виде . Вычисляем число , которое называется дискриминантом квадратного уравнения. Например, для уравнения дискриминант равен .

Типичная ошибка: часто вместо пишут  , то есть забывают скобки, но это уже , а не .

Типичная ошибка: неправильно определяют коэффициенты , и

Типичная ошибка: в слагаемом неправильно определяют окончательный знак. Например, в все-таки в итоге получается , а не .

Редкая ошибка: дискриминант пишут с большой буквы, видимо, из уважения или считая, что это фамилия.

Шаг 3: Находим корни уравнения

У нас есть дискриминант . Далее все зависит от его знака.

Если , то корней у уравнения нет. Ответ: корней нет. Вот так внезапно решение закончилось. Например, в уравнении дискриминант равен . Поэтому корней нет.

Кстати, что это значит? Это значит, что какое бы число вы не выбрали, подстановка его в выражение вместо никогда не даст . Проверим число , например: . Не ноль. То есть — не корень.

Аналогично с любым другим числом: ноль никогда не получится.

Типичная ошибка: неправильно подставляют в формулу . Ошибаются со знаком. Ведь если , например, то .

Если . То в ответе будет два корня, которые можно найти по формулам и . Например, в уравнении дискриминант . Тогда и . Так как , то и . Ответ: .

Замечание: часто для сокращения пишут две формулы в одной: .

Замечание: иногда дискриминант может оказаться «некрасивым», например, . Такое может быть, и терять самообладание не стоит.

Совет один: перепроверить решение и, если ошибка не найдена, со спокойной совестью решать дальше.

Чаще всего задачи придумывают так, чтобы дискриминант были полным квадратом (кстати, полезно выучить таблицу квадратов чисел от 1 до 20). Но иногда попадаются ответы вида .

Типичная ошибка: неправильно находят . Например, считают, что . На самом деле, . Отрицательным выражение быть не может (по определению арифметического квадратного корня).

Вот и весь алгоритм. Конечно, есть еще много деталей. Например, есть неполные квадратные уравнения, когда лучше решать способами без дискриминанта. Есть еще уравнения, сводящиеся к квадратным.

Далее стоит изучить теорему Виета, понять, а как возникает формула для дискриминанта, как быть с уравнением третьей степени.

1. Полный пример решения квадратного уравнения.
2. Условие
3. Решить уравнение
4. Решение

Согласно алгоритму, раскрываем скобки: .
На всякий случай, расписал все подробно. Но вообще такие действия надо научиться делать почти устно. Более того, лучше заметить, что к первому слагаемому применима формула сокращенного умножения, точнее, разность квадратов. Такие формулы позволяют значительно экономить время и силы (потренироваться можно здесь).
Но продолжим решение: .

Приводим подобные слагаемые и переносим в левую часть уравнения: .
Изменим знак : .
Находим дискриминант. Так как , и , то . Дискриминант , поэтому у уравнения два корня: и .
Осталось заметить, что корни можно упростить, ведь .
Получаем окончательный ответ, который запишем одной формулой: .

Как видите, малейшая неточность в арифметических вычислениях — и весь труд в итоге напрасен.

Поэтому стоит потренироваться выполнять арифметические вычисления устно и без ошибок.

Источник: http://www.itmathrepetitor.ru/matematika-kak-reshat-kvadratnye-ura/

Решение кубических уравнений: примеры, метод Виета-Кардано

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные,  а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида Ax3+B=0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид Ax3+B=0 . Его необходимо приводить к x3+BA=0   с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x3+BA=0x+BA3x2-BA3x+BA23=0

Результат первой скобки примет вид x=-BA3, а квадратный трехчлен — x2-BA3x+BA23, причем только с комплексными корнями.

Пример 1

• Найти корни кубического уравнения 2×3-3=0.
• Решение
• Необходимо найти х из уравнения. Запишем:
• 2×3-3=0x3-32=0
• Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что
• x3-32=0x-3326×2+3326x+923=0

Раскроем первую скобку и получим x=3326. Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x=3326.

Решение возвратного кубического уравнения вида Ax3+Bx2+Bx+A=0

Вид квадратного уравнения — Ax3+Bx2+Bx+A=0, где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

Ax3+Bx2+Bx+A=Ax3+1+Bx2+x==Ax+1×2-x+1+Bxx+1=x+1Ax2+xB-A+A

Корень уравнения равен х=-1, тогда для получения корней квадратного трехчлена Ax2+xB-A+A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Пример 2

Решить уравнение вида 5×3-8×2-8x+5=0.

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

1. 5×3-8×2-8x+5=5×3+1-8×2+x==5x+1×2-x+1-8xx+1=x+15×2-5x+5-8x==x+15×2-13x+5=0
2. Если х=-1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5×2-13x+5:
3. 5×2-13x+5=0D=(-13)2-4·5·5=69×1=13+692·5=1310+6910×2=13-692·5=1310-6910
4. Ответ:
5. x1=1310+6910×2=1310-6910×3=-1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х=0, то он является корнем уравнения вида Ax3+Bx2+Cx+D=0. При свободном члене D=0 уравнение принимает вид Ax3+Bx2+Cx=0. При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид xAx2+Bx+C=0.

Пример 3

• Найти корни заданного уравнения 3×3+4×2+2x=0.
• Решение
• Упростим выражение.
• 3×3+4×2+2x=0x3x2+4x+2=0

Х=0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3×2+4x+2. Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D=42-4·3·2=-8. Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х=0.

Когда коэффициенты уравнения Ax3+Bx2+Cx+D=0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A≠1, тогда при умножении на A2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у=Ах:

Ax3+Bx2+Cx+D=0A3·x3+B·A2·x2+C·A·A·x+D·A2=0y=A·x⇒y3+B·y2+C·A·y+D·A2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x1=y1A. Необходимо произвести деление многочлена Ax3+Bx2+Cx+D на x-x1. Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Пример 4

1. Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.
2. Решение
3. Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 22 обеих частей, причем с заменой переменной типа у=2х. Получаем, что
4. 2×3-11×2+12x+9=023×3-11·22×2+24·2x+36=0y=2x⇒y3-11y2+24y+36=0
5. Свободный член равняется 36, тогда необходимо зафиксировать все его делители:
6. ±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±36
7. Необходимо произвести подстановку y3-11y2+24y+36=0, чтобы получить тождество вида
8. 13-11·12+24·1+36=50≠0(-1)3-11·(-1)2+24·(-1)+36=0

Отсюда видим, что у=-1 – это корень. Значит, x=y2=-12.

Далее следует деление 2×3-11×2+12x+9 на x+12 при помощи схемы Горнера:

xi
Коэффициенты многочлена

2	-11	12	9
-0.5	2	-11+2·(-0.5)=-12	12-12·(-0.5)=18	9+18·(-0.5)=0

Имеем, что

2×3-11×2+12x+9=x+122×2-12x+18==2x+12×2-6x+9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x2-6x+9. Имеем, что уравнение следует привести к виду x2-6x+9=x-32, где х=3 будет его корнем.

Ответ: x1=-12, x2,3=3.

Замечание

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что -1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х+1. Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A0x3+A1x2+A2x+A3=0 необходимо найти B1=A1A0, B2=A2A0, B3=A3A0.

• После чего p=-B123+B2 и q=2B1327-B1B23+B3.
• Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что
• y=-q2+q24+p3273+-q2-q24+p3273

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению -p3. Тогда корни исходного уравнения x=y-B13. Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Пример 5

1. Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.
2. Решение
3. Видно, что A0=2, A1=-11, A2=12, A3=9.
4. Необходимо найти B1=A1A0=-112, B2=A2A0=122=6, B3=A3A0=92.
5. Отсюда следует, что
6. p=-B123+B2=—11223+6=-12112+6=-4912q=2B1327-B1B23+B3=2·-112327—112·63+92=343108
7. Производим подстановку в формулу Кордано и получим
8. y=-q2+q24+p3273+-q2—q24+p3273==-343216+34324·1082-49327·1233+-343216-34324·1082-49327·1233==-3432163+-3432163

-3432163  имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

• -3432163=76cosπ+2π·k3+i·sinπ+2π·k3, k=0, 1, 2
• Если k=0, тогда -3432163=76cosπ3+i·sinπ3=7612+i·32
• Если k=1, тогда -3432163=76cosπ+i·sinπ=-76
• Если k=2, тогда -3432163=76cos5π3+i·sin5π3=7612-i·32
• Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим -p3=4936.
• Тогда получим пары: 7612+i·32  и 7612-i·32, -76 и -76, 7612-i·32 и 7612+i·32.
• Преобразуем при помощи формулы Кордано:
• y1=-3432163+-3432163==7612+i·32+7612-i·32=7614+34=76y2=-3432163+-3432163=-76+-76=-146y3=-3432163+-3432163==7612-i·32+7612+i·32=7614+34=76
• Значит,
• x1=y1-B13=76+116=3×2=y2-B13=-146+116=-12×3=y3-B13=76+116=3
• Ответ: x1=-12,  x2,3=3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-kubicheskih-uravnenij/

Как найти точки пересечения графиков функций — алгоритмы и примеры правила и методики — Помощник для школьников Спринт-Олимпиады

Существует определенный класс задач по дисциплине «Алгебра и начало анализа», в которых нужно найти точки пересечения графиков функций без их построения. Решать такие задания довольно просто, когда известна определенная методика нахождения координат по оси абсцисс и ординат. Однако для этого необходимо научиться правильно находить корни уравнений различных типов.

Общие сведения

Функция — некоторое выражение, описывающее зависимость между двумя величинами. Следует отметить, что последних может быть несколько. Параметр, который не зависит от других элементов, называется аргументом, а зависимое тождество — значением функции.

Точка пересечения графиков означает, что у системы уравнений существует общее решение. Следует отметить, что для их нахождения можно воспользоваться графическим и аналитическим методом. Первый подразумевает построение графического представления выражения с переменной.

Чтобы найти пересечение графиков функций аналитическим способом, необходимо решить уравнение, корни которого являются искомыми точками. Для их нахождения специалисты рекомендуют получить базовые понятия о равенствах с переменными, а также о методах их решения.

Классификация уравнений

Уравнение — тождество, содержащее неизвестные величины (переменные), которые следует найти при помощи определенного алгоритма. Последний зависит от типа выражений. Тождества классифицируются на несколько типов:

Линейные.

Квадратные.

Кубические.

Биквадратные.

Линейными являются уравнения, содержащие единичную степень, т. е. 2t=4. Квадратные — тождества, у которых переменная возведена в квадрат. Они имеют следующий вид: Pt^2+St+U=0, где Р и S – коэффициенты при неизвестных, а U – свободный член.

Кубическое — уравнение вида Ot^3+Pt^2+St+U=0, где O, Р и S – коэффициенты при переменных, а U – константа. Последний вид — равенства, в которых при переменной присутствует четвертая степень (Nt^4+Ot^3+Pt^2+St+U=0).

Равносильные тождества

При выполнении математических операций каждое выражение может быть заменено на эквивалентное, т. е. равносильное.

Иными словами, равносильными называются уравнения, различные по составляющим их элементам, но имеющие одинаковые корни. Следует отметить, что ими являются также выражения, не имеющие решений.

Математики выделяют три свойства: симметричность, транзитивность и разложение на множители.

Второе свойство имеет такую формулировку: произведение двух элементов, содержащих переменные, равное нулевому значению, эквивалентно двум выражениям, которые можно приравнять к 0.

Математическая запись утверждения имеет такой вид: R(t)*S(t)=0 {R(t)=0 и S(t)=0}.

Математические преобразования

Для решения уравнения необходимо выполнить некоторые математические преобразования. Они должны выполняться грамотно, поскольку любая ошибка приводит к образованию ложных корней. Допустимыми операциями являются следующие:

Правильное раскрытие скобок с учетом алгебраической операции и знаков.

Упрощение выражения (приведение подобных величин).

Перенос элементов в любые части равенства с противоположным знаком.

Возможность прибавлять или вычитать эквивалентные величины.

Деление и умножение на любые эквивалентные значения, не превращающие тождества в пустое множество.

Специалисты рекомендуют избегать операций, при которых сокращаются неизвестные величины. Следствием этого могут стать ложные корни. Кроме того, делитель не должен иметь значения, при которых его значение равно 0. Последнее условие следует всегда проверять, а при решении ни один корень уравнения не должен соответствовать значению переменной при нахождении окончательных корней.

Иными словами, в выражении (t+2)^2=0 для упрощения можно разделить обе части на (t+2) при условии, что t не равно -2, т. к. [(t+2)^2]/(t+2)=0/(t+2).

Однако при решении (t+2)=0 получается, что t=-2, а это недопустимо. Следовательно, вышеописанный метод не всегда подходит.

Разложение на множители

Для решения уравнений при выполнении математических преобразований могут потребоваться специальные формулы разложения на множители. Их еще называют тождествами сокращенного умножения. К ним относятся следующие:

Квадрат суммы и разности: (p+r)^2=p^2+2pr+r^2 и (p-r)^2=p^2-2pr+r^2 соответственно.

Разность квадратов: p^2-r^2=(p-r)(p+r).

В некоторых случаях можно воспользоваться сразу двумя соотношениями, т. е. выделить квадрат суммы, а затем из первого — разность квадратов.

Выделение первого осуществляется группировкой посредством скобок в выражении, а затем введение положительного и отрицательного элементов, т. е. s^2+4s-5=s^2+4s+4-4-5=(s^2+4s+4)-4-5=(s+2)^2 -9.

Для получения всех элементов формулы “p+r)^2=p^2+2pr+r^2” нужно прибавить, а затем отнять 4. При этом значение равенства не изменится, поскольку 4-4=0.

Следует отметить, что математические преобразования выражения (s+2)^2 -9 не заканчиваются, поскольку его можно представить в виде разности квадратов, т. е. (s+2-9)(s+2+9)=(s-7)(s+11). Кроме того, формулы сокращенного умножения рекомендуется применять при понижении степени.

Методики нахождения точек

Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.

Первой и второй степени

Уравнение первой степени, или линейное, решается очень просто. Для этого необходимо перенести переменные величины в одну, а известные – в другую сторону. Методика решения имеет следующий вид:

Раскрыть скобки и привести подобные коэффициенты.

Выполнить перенос известных в одну, а неизвестных – в другую часть равенства.

Произвести необходимые математические преобразования.

Найти корень.

Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:

Разложить на множители.

Выделить полный квадрат.

Найти дискриминант.

По теореме Виета.

Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д

Источник: https://Sprint-Olympic.ru/uroki/algebra/102687-kak-naiti-tochki-peresecheniia-grafikov-fynkcii-algoritmy-i-primery-pravila-i-metodiki.html