Интеграл степенной функции, формула и примеры

Содержание

В данном уроке мы научимся дифференцировать и интегрировать степенные функции с рациональным показателем, рассмотрим простейшие задачи.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Производная и интеграл»

Тема: Интеграл
Урок: Дифференцирование и интегрирование степенной функции с рациональным показателем
Вспомним дифференцирование степенной функции с натуральным показателем.

Пример 1 – найти производную функции:

Пример 2 – найти производную функции в точке:

Вспомним дифференцирование сложной степенной функции с натуральным показателем.

Пример 3 – найти производную функции:

Комментарий: при решении примера была применена формула производной линейной функции

Пример 4 – найти производную функции в точке:

Дано:
Найти:
Напомним, что производная частного определяется по формуле:
В данном случае:
Получили:
Что и требовалось доказать.
Таким образом, можно сделать вывод:
Теперь рассмотрим степенную функцию с рациональным показателем.

Производная данной функции аналогична уже рассмотренным производным для натурального и целого показателей. Следующую теорему принимаем без доказательства.

Теорема:
Если и r – любое рациональное число, то производная функции вида вычисляется по формуле:
Пример 5 – найти производную функции:
Пример 6 – найти производную функции в точке:
Перейдем к интегрированию степенной функции с рациональным показателем, для этого сделаем некоторые напоминания.
1. Если , то F(x) – первообразная для f(x);

2. Функция f(x) имеет бесчисленное множество первообразных. Все их семейство можно выразить следующим образом:

3. Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется ее неопределенным интегралом:
Определенный интеграл можно найти по формуле:
Пусть задана степенная функция с рациональным показателем.
Доказать:
Другими словами нужно доказать, что в правой части равенства стоит множество всех первообразных подынтегральной функции.
Для этого возьмем производную правой части и покажем, что она равна подынтегральному выражению.
Что и требовалось доказать.
Усложним степенную функцию.
Доказать:
Докажем аналогично предыдущему случаю, возьмем производную от правой части:
Что и требовалось доказать.
Пример 7 – найти неопределенный интеграл:
Выполним проверку. Для этого возьмем производную от полученного выражения:
Получена исходная функция, а значит, неопределенный интеграл найден верно.
Пример 8 – вычислить определенный интеграл:

Итак, мы рассмотрели дифференцирование и интегрирование степенных функций с рациональным показателем. Мы вывели некоторые важные формулы, а также решили несколько простых примеров для закрепления материала.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математический анализ (Источник).

2. Математический анализ (Источник).

3. Старая школа (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 208-211;

2. Определить производную функции в точке:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
3. Вычислить определенный интеграл:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/integralb/differentsirovanie-i-integrirovanie-stepennoy-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Найти неопределённый интеграл (множество первообразных или «антипроизводных») означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленное множество первообразных F(x) + С для функции f(x) учитывает константу интегрирования C.

По скорости перемещения материальной точки (производной) может быть восстановлен закон движения этой точки (первообразная); по ускорению движения точки — её скорость и закон движения. Как видно, интегрирование — широкое поле для деятельности Шерлоков Холмсов от физики.

Да и в экономике многие понятия представляются через функции и их производные и поэтому, например, можно по производительности труда в определённый момент времени (производной) восстановить объём продукции, выпущенный в соответствующее время.

Чтобы найти неопределённый интеграл, требуется довольно небольшое количество основных формул интегрирования. Но процесс его нахождения значительно труднее, чем одно лишь применение этих формул.

Вся сложность относится не к интегрированию, а к приведению интегрируемого выражения к такому виду, который даёт возможность найти неопределённый интеграл по упомянутым выше основным формулам.

Это означает, что для начала практики интегрирования нужно активизировать полученные в средней школе навыки преобразования выражений.

Учиться находить интегралы будем, пользуясь свойствами и таблицей неопределённых интегралов из урока об основных понятиях этой темы (откроется в новом окне).

Существует несколько методов нахождения интеграла, из которых метод замены переменной и метод интегрирования по частям — обязательный джентльменский набор каждого, кто успешно сдал высшую математику. Однако начинать осваивать интегрирование полезнее и приятнее с применением метода разложения, основанном на следующих двух теоремах о свойствах неопределённого интеграла, которые для удобства повторим здесь.

Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

Кроме того, в интегрировании может пригодиться следующее правило: если выражение подынтегральной функции содержит постоянный множитель, то выражение первообразной домножается на число, обратное постоянному множителю, то есть

Поскольку этот урок — вводный в решение задач интегрирования, важно отметить две вещи, которые либо уже на самом начальном этапе, либо несколько позже могут вас удивить. Удивление связано с тем фактом, что интегрирование — операция обратная дифференцированию и неопределённый интеграл можно справедливо называть «антипроизводной».

Первая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании. В таблице интегралов существуют формулы, которые не имеют аналогов среди формул таблицы производной. Это следующие формулы:

Однако можно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.

Вторая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании. Хотя производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, неопределённые интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов могут быть следующие:

Для выработки техники интегрирования пригодятся следующие навыки: сокращение дробей, деление многочлена в числителе дроби на одночлен в знаменателе (для получения суммы неопределённых интегралов), преобразование корней в степени, умножение одночлена на многочлен, возведение в степень. Эти навыки нужны для преобразований подынтегрального выражения, в результате которых должна получиться сумма интегралов, присутствующих в таблице интегралов.

Пример 1. Найти неопределённый интеграл

Решение. Видим в знаменателе подынтегрального выражения многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство интеграла — постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, выше оно было упомянуто как теорема 3). Результат всего этого:

Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значит, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательно получаем ответ:

Пример 2. Найти неопределённый интеграл
.
Решение. Вновь применяем теорему 3 — свойство интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
Применяем формулу 7 из таблицы интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции:
.
Сокращаем получившиеся дроби и перед нами конечный ответ:
.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Интеграл

Пример 3. Найти неопределённый интеграл
Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 о свойствах, найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:
Все три полученные интеграла – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, и тогда
где

объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную (константу) интегрирования.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл

Решение. Когда в знаменателе подынтегральной дроби — одночлен, можем почленно разделить числитель на знаменатель. Исходный интеграл превратился в сумму двух интегралов:

.
Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и вот уже окончательный ответ:

Найти неопределённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти неопределённый интеграл
.
Правильное решение.

Пример 6. Найти неопределённый интеграл
.
Правильное решение.

Продолжаем находить неопределённые интегралы вместе

Пример 7. Найти неопределённый интеграл
Решение. Если мы преобразуем подынтегральную функцию, возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, то исходный интеграл станет суммой трёх интегралов:

(мы применили обе нужные нам на этом уроке теоремы о свойствах интеграла).

Все полученные интегралы – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 2/3, n = 7/6, n = 5/3 и за последним знаком равенства — окончательное решение.

Пример 8. Найти неопределённый интеграл
.
Решение. В подынтегральном выражении нужно умножить многочлен на одночлен, тогда получим сумму двух интегралов:
.
Применяем табличный интеграл, интегрируя степенные функции, и окончательный ответ:
.

Пример 9. Найти неопределённый интеграл

Решение. В подынтегральном выражении — многочлен в степени. Возведём его в степень и получим сумму интегралов, в которой постоянные множители вынесены за знаки интеграла:

Интегрируем каждое слагаемое и перед нами — окончательный ответ:

Пример 10. Найти неопределённый интеграл
Решение. Представим числитель подынтегральной функции, равный 1, в виде
Тогда
Оба интеграла – табличные. Используя формулы (17) и (18) из таблицы интегралов, получим

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Интеграл

Всё по теме «Интеграл»

Метод замены переменной в неопределённом интеграле Интегрирование подведением под знак дифференциала Метод интегрирования по частям Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегрирование тригонометрических функций Площадь плоской фигуры с помощью интеграла Объём тела вращения с помощью интеграла Вычисление двойных интегралов Длина дуги кривой с помощью интеграла Площадь поверхности вращения с помощью интеграла Определение работы силы с помощью интеграла

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/integral1.html

Дифференцирование и интегрирование степенной функции

Сабақ жоспары
Планурока
Template of lesson’s plan

Сабақтың тақырыбы:

Тема урока: Дифференцирование и интегрирование степенной функции.
Theme of the lesson:
Мектеп
Школа ДСШ
School
Күні:

Дата: 12.12.2016г.

Date:

Мұғалімінің ТАӘ

ФИО учителя Рязяпкина Л.М.

Teacher’s name
Сынып
Класс: 11
Grade:
Қатысқандардың саны:
Количество присутствующих:
Number present:
Қатыспағандардың саны:
Количество отсутствующих:
Absent:
Берілген сабақтың жетуіне қажет оқыту мақсаты
Цели обучения, которые необходимо достичь на данном уроке
Learning objectives that this lesson is contributing to
— повторение определения производной и интеграла, выработка умений и навыков при вычислении производной и интеграла.
— развивать речь, память, внимание, интерес к математике.
— формировать гуманное отношение на уроке через работу в группах, умение слушать друг друга.
Оқыту мақсаты
Цели обучения
Lesson objectives
Барлық оқушылардың қолынан келеді:
Все учащиеся смогут: All learners will be able to:

находить производную и интеграл степенной функции

Оқушылардың көбі үйрене алатын болады:
Большинство учащихся будут уметь:
Most learners will be able to:

решать уравнения и неравенства, используя формулу производной степенной функции

Кей оқушылардың қолынан келеді:
Некоторые учащиеся смогут:
Some learners will be able to:

Используем правило дифференцирования сложной функции и формулу производной степенной функции

Тілдік мақсаты
Языковая цель
Language objective
Оқушылар істей алады:
Учащиеся могут:
Learners can:
Кілтті сөздер мен сөздер:
Ключевые слова и фразы:
Key words and phrases:
Сыныптағы хатқа/диалогқа сәйкес келетін тілдің стилі:
Стиль языка, подходящий для письмадиалога в классе:
Language style which is suitable for writing/dialogue in class:
Талқылау үшін сұрақтар:
Вопросы для обсуждения:
Questions for discussing:
Неге екендігін айта аласыңдар ма?

Можете ли вы сказать, почему….?

Canyousaywhy…?
Кеңестер:
Подсказки:
Tips:
Қайталанатын оқыту
Предыдущее обучение:
Previous learning
Степенная функция, её свойства и графики
Жоспар
План
Plan
Жоспарланатын мерзімдері
Планируемые сроки
Planned timings
Жоспарланатын әрекеттер
(төменде жоспарланған әрекеттермен жазбалар ауыстырылсын)
Планируемые действия (замените записи ниже запланированными действиями)
Planned actions (replace the entries below the planned actions)
Кешендері
Ресурсы
Resources
Сабақтың басталуы
Начало урока
Beginning of the lesson

1.Психологический настрой на урок.

2. Проверка домашнего задания и повторение.

3. Подготовка к ИАВ.

(задачи на функциональную грамотность)
презентация
Сабақтың ортасы
Середина урока
Middle of the lesson

4. Формирование новых знаний и формул.

Рассмотрим пример
Докажем, что
(Доказывает консультант у доски)
Решаем примеры.

(х2)’=2х2-1=2х
(х3)’=3х3-1=3х2
(х6)’=6х5
(х10)’=10х9

Для любого действительного показателя справедлива формула: (хn)’ = nxn-1

5. Работа с учебником.

№120, 121

Практическое применение теории.

Пример 1
Найдем производную функции
Используем правило дифференцирования сложной функции и формулу производной степенной функции. Получаем

Пример 2
Найдем первообразную функции
Применяя правило интегрирования сложной функции и формулу первообразной степенной функции, имеем

презентация
Сабақтың аяқталуы
Конец урока
Lesson ending
Контрольные вопросы

1. Дайте определение степенной функции.

2. Напишите формулу для производной степенной функции.

3. Приведите примеры графиков степенной функции.

4. Напишите формулу для первообразной степенной функции.

8. Домашнее задание

9. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Дополнительная информация

Additional information

Дифференциация. Как вы планируете поддерживать учащихся? Как вы планируете стимулировать способных учащихся?

Differentiation. How are you planning to support your learners?

How are you planning to stimulate learners’ abilities?

Оценивание. Как вы планируете увидеть приобретенные знания учащихся?

Assessment. How are you planning to check students’ learning?

Межпредметные связи соблюдение СанПин ИКТ компетентность. Связи с ценностями

Interdisciplinary communications. Health and safety check ICT links.

Рефлексия

Reflection

Были ли цели обучения реалистичными? Что учащиеся сегодня изучили? На что было направлено обучение? Хорошо ли сработала запланированная дифференциация? Выдерживалось ли время обучения? Какие изменения из данного плана я реализовал и почему?

Используйте пространство ниже, чтобы подвести урока. Ответьте на самые актуальные вопросы об уроке из блока слева

Use the space below to reflect on your lesson. Answer the most relevant questions from the box on the left about your lesson.

Источник: https://infourok.ru/differencirovanie-i-integrirovanie-stepennoy-funkcii-1490348.html

Степенная функция и корни — определение, свойства и формулы

Приведены основные свойства степенной функции, включая формулы и свойства корней. Представлены производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел степенной функции.

Степенная функция с показателем степени p – это функция f(x) = x p, значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p. Кроме этого, f(0) = 0 p = 0 при p > 0.

Для натуральных значений показателя , степенная функция есть произведение n чисел, равных x: . Она определена для всех действительных .

Для положительных рациональных значений показателя , степенная функция есть произведение n корней степени m из числа x: . Для нечетных m, она определена для всех действительных x. Для четных m, степенная функция определена для неотрицательных .

Для отрицательных , степенная функция определяется по формуле: . Поэтому она не определена в точке .

Для иррациональных значений показателя p, степенная функция определяется по формуле: , где a – произвольное положительное число, не равное единице: . При , она определена для . При , степенная функция определена для .

Непрерывность. Степенная функция непрерывна на своей области определения.

Свойства и формулы степенной функции при x ≥ 0

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции при неотрицательных значениях аргумента x.

Как указано выше, при некоторых значениях показателя p, степенная функция определена и для отрицательных значений x. В этом случае, ее свойства можно получить из свойств при , используя четность или нечетность.

Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Степенная функция, y = x p, с показателем p имеет следующие свойства: (1.1) определена и непрерывна на множестве при , при ; (1.2) имеет множество значений при , при ; (1.3) строго возрастает при , строго убывает при ; (1.4) при ; при ; (1.5) ; (1.5*) ; (1.6) ; (1.7) ; (1.7*) ; (1.8) ; (1.9) .

Доказательство свойств приводится на странице «Степенная функция (доказательство непрерывности и свойств)»

Корни – определение, формулы, свойства

Корень из числа x степени n – это число , возведение которого в степень n дает x : . Здесь n = 2, 3, 4, … – натуральное число, большее единицы.

Также можно сказать, что корень из числа x степени n – это корень (то есть решение) уравнения . Заметим, что функция является обратной к функции .

Квадратный корень из числа x – это корень степени 2: . Кубический корень из числа x – это корень степени 3: .

Четная степень

Для четных степеней n = 2m, корень определен при x ≥ 0. Часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x: . Для квадратного корня:

Здесь важен порядок, в котором выполняются операции – то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается неотрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.

Нечетная степень

Для нечетных степеней , корень определен для всех x: ; .

Свойства и формулы корней

Корень из x является степенной функцией: . При x ≥ 0 имеют место следующие формулы: ; ; , ; .

Эти формулы также могут быть применимы и при отрицательных значениях переменных . Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.

Частные значения

Корень 0 равен 0: . Корень 1 равен 1: . Квадратный корень 0 равен 0: . Квадратный корень 1 равен 1: .

Пример. Корень из корней

Рассмотрим пример квадратного корня из корней: . Преобразуем внутренний квадратный корень, применяя приведенные выше формулы:
.
.
.

Теперь преобразуем исходный корень: Итак,

Графики степенной функции

Графики степенной функции y = x p при различных значениях показателя p.

Здесь приводятся графики функции при неотрицательных значениях аргумента x. Графики степенной функции, определенной при отрицательных значениях x, приводятся на странице «Степенная функция, ее свойства и графики»

Обратная функция

Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p.

Если , то .

Производная степенной функции

Производная n-го порядка:

;

Вывод формул > > >

Интеграл от степенной функции

, p ≠ – 1; .

Разложение в степенной ряд

При – 1 < x < 1 имеет место следующее разложение:

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного переменного z: f(z) = z t. Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ ( r = |z| ): z = r e i φ. Комплексное число t представим в виде действительной и мнимой частей: t = p + i q. Имеем: Далее учтем, что аргумент φ определен не однозначно: ,

Рассмотрим случай, когда q = 0, то есть показатель степени — действительное число, t = p. Тогда .

Если p — целое, то и kp — целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций: . То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z, имеет только одно значение и поэтому является однозначной.

Если p — иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, …, то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.

Если p — рациональное, то его можно представить в виде: , где m, n — целые, не содержащие общих делителей. Тогда . Первые n величин, при k = k0 = 0, 1, 2, … n-1, дают n различных значений kp: .

Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k0 + n имеем: . Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2π, имеют равные значения.

Поэтому при дальнейшем увеличении k мы получаем те же значения z p, что и для k = k0 = 0, 1, 2, … n-1.

Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.

В частности, корень степени n имеет n значений. В качестве примера рассмотрим корень n – й степени действительного положительного числа z = x. В этом случае φ0 = 0, z = r = |z| = x, . . Так, для квадратного корня, n = 2, . Для четных k, (– 1)k = 1. Для нечетных k, (– 1)k = – 1. То есть квадратный корень имеет два значения: + и – .

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/stepennaya/