Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Инфоурок › Математика ›Презентации›Исследовательский проект логарифмическая функция

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

«Логарифмическая функция» .

2 слайд Описание слайда:

Содержание темы: 1. Краткий исторический экскурс. 2. Определение логарифма числа. 3. График логарифмической функции. 4. Линейные преобразования графиков логарифмической функции. 5. Свойства логарифмов. 6. Логарифмические уравнения. Классификация по методам решения.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Внешний угол треугольника, формула и примеры

Оценим за полчаса!

3 слайд Описание слайда:

Результатом изучения темы является: 1. Знание определения «Логарифм числа». 2. Знание свойств логарифмов. 3. Умение выполнять преобразования логарифмических выражений на основе применения свойств логарифмов. 4. Умение решать основные типы логарифмических уравнений. 5. Знание свойств логарифмической функции.

4 слайд Описание слайда:

Исторический очерк. XVI в. резко возрос объем работы, связанный с вычислениями. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, необычайно быстро вошли в практику.

5 слайд Описание слайда:

Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550—1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552—1632). Непер Джон.

6 слайд Описание слайда:

Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г.) были составлены по совету Непера английским математиком Г. Бриггсом (1561 —1630). Многие из них были найдены с помощью выведенной Бриггсом приближенной формулы:

7 слайд Описание слайда:

Непер Джон(1550—1617) —английский математик. Изобретатель логарифмов, составитель первой таблицы логарифмов, палочек Непера.

8 слайд Описание слайда:

Логарифм -определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.

9 слайд Описание слайда:

Вещественный логарифм Логарифм вещественного числа имеет смысл при а > 0, а ≠ 1, b > 0. Логарифм:

10 слайд Описание слайда:

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов: Натуральные: , основание: e (число Эйлера). Десятичные: , основание: число 10. Двоичные: , основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.

11 слайд Описание слайда:

Логарифмическая функция Функция вида f(x) = log a x, определённая при График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна в своей области определения.

12 слайд Описание слайда:

Графики логарифмических функций:

13 слайд Описание слайда:

Свойства функции: Область определения (0; +∞) Область значений: у R Чётность /нечётность: функция не является ни четной, ни нечетной Нули функции: y = 0 при x = 1 Промежутки знакопостоянства: если 0 < a < 1, то y > 0 при x (0; 1), y < 0 при x (1; ) если a > 1, то y > 0 при x (1; ), y < 0 при x (0; 1) Монотонность: при 0 < a < 1 функция убывает при x (0; +∞ ); при a > 1 функция возрастает при x (0; +∞ ) Экстремумов нет. График функции проходит через точку: (1; 0) Асимптота x = 0

14 слайд Описание слайда:

Параллельный перенос вдоль оси ОХ:

15 слайд Описание слайда:

Симметричное преобразование относительно оси у:

16 слайд Описание слайда:

Сжатие и растяжение вдоль оси y:

17 слайд Описание слайда:

Симметричное преобразование относительно оси х:

18 слайд Описание слайда:

Построение графика функции y = │log 2 х│

19 слайд
20 слайд Описание слайда:

Десятичные логарифмы Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений.

21 слайд Описание слайда:

Свойства логарифмов:

22 слайд Описание слайда:

Примеры заданий Единого Государственного Экзамена:

23 слайд Описание слайда:

Примеры заданий Единого Государственного Экзамена:

24 слайд Описание слайда:

Формула перевода логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию Пример:

25 слайд Описание слайда:

Логарифмическое уравнение. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Примеры:

26 слайд Описание слайда:

Уравнения: решаемые по определению логарифма; приводимые к квадратному.

27 слайд Описание слайда:

Метод потенцирования; Метод логарифмирования.

28 слайд Описание слайда:

Риманова поверхность: Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали.

Читайте также:  Формулы оксидов в химии

29 слайд Описание слайда:

Применение логарифма: Астрономия-величина блеска звёзд

30 слайд Описание слайда:

Логарифмическая спираль: Форму логарифмической спирали имеют не только объекты астрономии, но и, например, ракушки многих улиток, рога козлов, паутина паука, семечки подсолнуха.

31 слайд Описание слайда:

Применение логарифмической функции: Логарифмическая функция крайне важна в экономике, физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов, астрономии и др. Форма логарифмической спирали присуща многим природным объектам.

Физика — интенсивность звука (децибелы). Астрономия — шкала яркости звёзд. Химия — активность водородных ионов (pH). Сейсмология — шкала Рихтера. Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.

История — логарифмическая шкала времени.

Скрыть

Важно! Узнайте, чем закончилась проверка учебного центра «Инфоурок»?

Общая информация

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Источник: https://infourok.ru/issledovatelskiy-proekt-logarifmicheskaya-funkciya-2225045.html

Какую шкалу графика выбрать

При подготовке инструкции по работе с графиками на сайте Stockcharts.com я не уточнила такой важной момент, как выбор шкалы. Уточняю. Если вы посмотрите на график движения цены, то увидите на нем две оси. По горизонтальной оси X отложено время, по вертикальной оси Y – цена.

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Для оси X используется арифметическая (линейная) шкала. Для оси Y может применяться как арифметическая, так и логарифмическая шкала. В чем их отличие?

Арифметическая шкала показывает простое изменение цены в количестве пунктов или долларов. Логарифмическая шкала показывает не абсолютное изменение цены, а относительное, то есть не в количестве пунктов или долларов, а в процентном соотношении. 

На арифметической шкале все единичные отрезки имеют одинаковую длину. Интервалы логарифмической шкалы не равны, так как с ростом цены процентные изменения уменьшаются и, как следствие, отрезки становятся уже, а деления чаще.

Принцип построения арифметической шкалы

Арифметическая шкала строится от нуля и с помощью сложения и вычитания. При перемещении вправо от нуля значения складываются, а при перемещении влево от нуля – вычитаются.

 Значение показателя по мере продвижения оси изменяется на равную величину.

В результате отрезок шкалы 10-20 будет равен отрезку 100-110, несмотря на то, что в первом варианте изменение составит 100% (2 раза), а во втором – лишь 10%.

Принцип построения логарифмической шкалы

В логарифмической шкале равным отрезкам соответствует одинаковое процентное изменение показателя. Например, отрезок шкалы 10-20 будет равен отрезкам 20-40 и 40-80, т.е. изменение показателя во всех случаях составит 2 раза.

Данная шкала строится от единицы с помощью умножения и деления. И для того чтобы переместиться на такое же расстояние как в арифметической шкале, например, на 10, необходимо 1 умножить на 10.

В свою очередь, для перемещения на 10 влево, нужно 1 разделить на 10.

Отображение графиков с разной шкалой

При работе с графиками на коротких интервалах времени разница между арифметическим и логарифмическим способами шкалирования едва заметна.

 Однако при больших ценовых колебаниях и длительных периодах различия существенны. Эта хорошо видно на рисунке ниже. На нем я наложила графики индекса NYSE Composite ($NYA) за более чем 20-летний период.

Менее четкая линия – это линия графика, построенного по логарифмической шкале.

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

График индекса NYSE Composite ($NYA), построенный по арифметической и логарифмической шкале

Живая версия графиков доступна здесь и здесь.

Обратите внимание, что диапазон колебаний на графике с арифметической шкалой выше, чем с логарифмической. Кроме этого, на графике с арифметической шкалой есть ощущение более существенного движения и изменения.

Поэтому такой способ построения любят СМИ: он позволяет преувеличить значения показателей и раздуть новость. Этого не происходит, когда данные отображаются на логарифмической шкале.

И именно ее я рекомендую использовать при работе с графиками, охватывающими данные за длительный период.

Оксана Гафаити, автор MindSpace.ru и Trades.MindSpace.ru Понравился???? пост? Оставьте свой комментарий ниже????.

Получайте мои идеи по рынку в Telegram????: @Mindspace_ru

Источник: https://mindspace.ru/30441-kakuyu-shkalu-grafika-vybrat/

Логарифмическая шкала — Logarithmic scale

Логарифмическая шкала позволяет легко сравнивать значения, которые охватывают большой диапазон, например, в этой карте

Логарифмическая шкала является нелинейной шкалой используется , когда существует большой диапазон величин. Общие применения включают в себя силу землетрясения , громкость звука , интенсивность света , и рН растворов .

Он основан на порядки , а не стандартной линейной шкалы , так что значение , представленное каждой равноудаленной отметкой на шкале это значение на предыдущей метки , умноженное на константу.

Логарифмические шкалы также используются в правилах скольжения для умножения или деления чисел путем сложения или вычитания длины на весах.

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений

Две логарифмические шкалы логарифмической линейки

Общие обычаи

График по логарифмической шкале

Ниже приведены примеры наиболее часто используемый логарифмического масштаб, где большее количество приводит к более высокому значению:

Ниже приведены примеры наиболее часто используемых логарифмическом масштабе, где большее количество приводит к более низким (или отрицательное) значение:

Некоторые из наших чувств работают в логарифмической моды ( закон Вебера-Фехнера ), что делает логарифмические шкалы для этих входных величин особенно уместно. В частности , наше чувство слуха воспринимает равные отношения частот , как равные различия в поле.

Кроме того, исследования детей младшего возраста в изолированном племени показали , логарифмические шкалы , чтобы быть наиболее естественным отображением чисел в некоторых культурах.

Он также может быть использован для географических целей , например , для измерения скорости землетрясений.

Графическое представление

Различные весы: лин-Lin , лин-лог , лог-Lin и лог-лог . Plotted графики: у  = 10 х ( красный ), у  =  х ( зеленый ), у  = войти е ( х ) ( синий ). 

Верхний левый график линеен в X и Y оси, а ось у находится в диапазоне от 0 до 10. Шкала лог-база 10 используется для оси Y нижнего левого графа, а ось Y находится в диапазоне от 0,1 до 1000.

Верхний правый график использует шкалу лог-10 для только оси X, а нижний правый график использует шкалу лог-10 как для оси X и оси Y.

Представление данных по логарифмической шкале может быть полезно, когда данные:

  • охватывает большой диапазон значений, так как использование логарифмов значений, а не фактических значений уменьшает широкий диапазон до более приемлемого размера;
  • могут содержать экспоненциальные законы или законы питания , так как они будут отображаться как прямые линии.

Логарифмическая линейка имеет логарифмические шкалы, и номограммы часто используют логарифмические шкалы. Среднее геометрическое двух чисел на полпути между числами. До появления компьютерной графики, логарифмическая миллиметровка была широко используются научным инструментом.

Билогарифмические участки

Участок на логарифмическом масштабе уравнения линии.

Если обе вертикальные и горизонтальные оси сюжета масштабируются логарифмически, участок называется логарифмической .

Semi-логарифмические графики

Если только ордината или абсцисса масштабируется логарифмический, сюжет упоминаются как пол-логарифмическом.

логарифмические единицы

Логарифмическая единица представляет собой блок , который может быть использован , чтобы выразить величину ( физический или математический) в логарифмическом масштабе, то есть, как пропорционально значение логарифма функции , примененное к соотношению количества и эталонное количеству тот же тип. Выбор единицы обычно указывает тип количества и основание логарифма.

Примеры

Примеры включают в себя логарифмические единицы единицы емкости для хранения данных ( бит , байт ), из информации и информационной энтропии ( физ , Shannon , запрет ), уровень сигнала ( в децибелах , бель, непер ).

Логарифмические частотные величины используются в электронике ( десятилетие , октаву ) и для музыки тангажа интервалов ( октава , полутона , процентов и т.д.).

Другие логарифмические единицы шкалы включают величины шкалы Рихтера точку.

Единицы измерения информации

  • бит , байт
  • хартли
  • натуральный
  • Shannon

Единицы уровня или уровня разницы

Единицы частотного интервала

  • десятилетие , decidecade , Савара
  • октав , тон , полутон , цент

мотивация

Мотив концепции логарифмических единиц, что определение количества по логарифмической шкале в терминах логарифма к определенному основанию составляет делая (полностью произвольный) выбор единицы измерения для этого количества, тот, который соответствует конкретному (и в равной степени произвольно) логарифм базы, который был выбран. Из-за идентичности

журнал б ⁡ a знак равно журнал с ⁡ a журнал с ⁡ б , { Displaystyle лог _ {Ь} а = { гидроразрыва { _ {войти с} а} { _ {войти с} б}}}

логарифмы любого заданного числа а в двух различных оснований (здесь б и с ) отличаются лишь постоянный множитель лог гр  б .

Этот постоянный множитель можно считать для представления коэффициента преобразования для преобразования числового представления чистой (неопределенной) логарифмической величины входа ( ) от одной произвольной единицы измерения (кнопки [войти  гр ] блок) к другому ([войти  Ь ] блок), так как

Журнал ⁡ ( a ) знак равно ( журнал б ⁡ a ) [ журнал ⁡ б ] знак равно ( журнал с ⁡ a ) [ журнал ⁡ с ] , { Displaystyle OperatorName {} Log (а) = ( _ войти {Ь} а) [ лог-Ь] = ( _ {войти с} а) [ войти с].}

Например, Больцман «ы стандартного определения энтропии S = K  Ln  W (где W представляет собой число способов организации системы и K является постоянной Больцмана ) можно записать более просто , как только что S  = Log ( Ш ), где» Вход»здесь обозначает неопределенный логарифм, и пусть к  = [войти е]; то есть, мы определяем физический блок энтропии K с математическим блоком [LOG е]. Это тождество работает , потому что

пер ⁡ W знак равно журнал е ⁡ W знак равно Журнал ⁡ ( W ) журнал ⁡ е , { Displaystyle пер W = _ войти {е} W = { гидроразрыва { OperatorName {Log} (W)} { войти е}}.}

Таким образом, мы можем интерпретировать постоянную Больцмана как просто выражение (в терминах более стандартных физических единиц) абстрактной логарифмической единица [LOG е] , который необходим для преобразования безразмерного чистого числа величины Ln  W (который использует произвольный выбор основание, а именно , е) к более фундаментальным чисто логарифмические величины log ( W ), который не предполагает никакого особого выбора базы, и , следовательно , нет конкретного выбора физической единицы для измерения энтропии.

Смотрите также

  • Математика портал
  • Энтропия
  • Энтропия (теория информации)
  • pH
  • магнитуда землетрясения
  • Деан, Станислас; Изард, Вероники; Spelke, Элизабет ; Pica, Пьер (2008). «Вход или линейная? Distinct интуиции звукоряда количества в западных и амазонских туземец культурах» . Наука . 320 на (5880): 1217-20. Bibcode : 2008Sci … 320.1217D . DOI : 10.1126 / science.1156540 . PMC  2610411 . PMID  18511690 .
  • Tuffentsammer, Карл; Шумахер, P. (1953). «Normzahlen — умирают einstellige Logarithmentafel де INGENIEURS» [числа Предпочтительные — одной цифры логарифм таблицу инженера]. Werkstattechnik унд Maschinenbau (на немецком языке ). 43 (4): 156.
  • Tuffentsammer, Карл (1956). «Das Dezilog, сделайте Брюкк Zwischen Logarithmen, Dezibel, непер унд Normzahlen» [decilog, мост между логарифмами, децибелами, непером и предпочтительными числами]. VDI-Zeitschrift (на немецком языке ). 98 : 267-274.
  • Риес, Clemens (1962). Normung пасЬ Normzahlen [ стандартизации предпочтительных чисел ] (на немецком языке ) (1 — е изд.). Берлин, Германия: Дункер & Humblot Verlag  [ де ] . ISBN  978-3-42801242-8 . (135 страниц)
  • Паулин, Евгений (2007-09-01). Logarithmen, Normzahlen, Dezibel, непер, Phon — natürlich verwandt! [ Логарифмы, предпочтительные числа, децибелы, непер, Phon — естественный образом связаны! ] (PDF) (на немецком языке ). Архивировано (PDF) с оригинала на 2016-12-18 . Источник 2016-12-18 .

Источник: https://ru.qwe.wiki/wiki/Logarithmic_scale

В чем разница между логарифмической ценовой шкалой и линейной? — 2020

Логарифмическая шкала, рисунок и примеры решений a:

Интерпретация биржевой диаграммы может варьироваться у разных трейдеров в зависимости от типа шкалы цен, используемой при просмотре данных. Как предполагает этот вопрос, два наиболее распространенных типа шкалы цен: 1) логарифмический (также называемый log) и 2) линейный (также называемый арифметикой).

Читайте также:  Цирконий и его характеристики

На стороне диаграммы нанесена линейная шкала цен, так что существует равное расстояние между ценами, и каждое изменение единицы на графике представлено одним и тем же вертикальным расстоянием на шкале, независимо от того, какой уровень цен актив происходит при изменении. Напротив, построена логарифмическая шкала цен, так что цены в шкале не расположены на равном расстоянии; вместо этого масштаб накладывается таким образом, что два равных процента изменения отображаются как одно и то же вертикальное расстояние по шкале.

Как видно из приведенных выше графиков, повышение цены с $ 10 до $ 15 аналогично увеличению с $ 20 до $ 25 на линейной диаграмме, поскольку оба сценария представляют собой увеличение на 5 долларов.

Однако логарифмическая шкала цен покажет вертикальное расстояние между $ 10 и $ 15, которое будет отличаться от расстояния $ 5 между $ 20 и $ 25.

Причиной этого является то, что изменение в 5 долларов США (когда цена составляет 10 долларов США) представляет собой увеличение на 50%, а переход от 20 до 25 долларов — на 25%.

Поскольку увеличение на 50% более важно, чем 25%, чартисты будут использовать большее расстояние между ценами, чтобы четко показать величину изменений.

При использовании логарифмической шкалы вертикальное расстояние между ценами в масштабе будет равным, когда процентное изменение между значениями будет одинаковым. Используя приведенный выше пример, расстояние между $ 10 и $ 15 будет равно расстоянию между $ 20 и $ 30, потому что оба они представляют собой повышение цены на 50%. В общем, большинство трейдеров и программ диаграмм используют логарифмический масштаб, но всегда полезно исследовать другие подходы, чтобы определить, какой из них наиболее подходит для вашего стиля торговли.

Чтобы узнать больше, см. Наш Технический анализ Учебное пособие .

Источник: https://ru.talkingofmoney.com/what-is-difference-between-logarithmic-price-scale-and-linear-one

Сделано в СССР — Различные логарифмические линейки — Сообщество «Взгляд в Прошлое» на DRIVE2

Сегодня я покажу вам, подборку купленных на барахолке логарифмических линеек, от мини и макси, пластиковые-деревянные и заканчивая круглыми. Ну и раз мне запрещено без текста публиковаться, то окунемся в историю этих самых линеек.

В 1622 году Уильям Отред (William Oughtred 5 марта 1575—30 июня 1660) создает, пожалуй, один из самых успешных аналоговых вычислительных механизмов — логарифмическую линейку.

Отред является одним из создателей современной математической символики — автор нескольких стандартных в современной математике обозначений и знаков операций:Знак умножения — косой крестик: ×Знак деления — косая черта: /Символ параллельности: ||Краткие обозначения функций sin и cos (раньше писали полностью: Sinus, Cosinus)Термин «кубическое уравнение».«Все его мысли были сосредоточены на математике, и он все время размышлял или чертил линии и фигуры на земле… Его дом был полон юных джентльменов, которые приезжали отовсюду, чтобы поучиться у него».Неизвестный современник ОтредаОтред внёс решающий вклад в изобретение удобной для пользования логарифмической линейки тем, что предложил использовать две одинаковые шкалы, скользящие одна вдоль другой. Саму идею логарифмической шкалы ранее опубликовал валлиец Эдмунд Гюнтер, но для выполнения вычислений эту шкалу нужно было тщательно измерять двумя циркулями.

Гюнтер ввел также общепринятое теперь обозначение log и термины косинус и котангенс. В 1620 году вышла книга Гюнтера, где дано описание его логарифмической шкалы, а также помещены таблицы логарифмов, синусов и котангенсов.

Что же касается самого логарифма, то его изобрел, как известно, шотландец Джон Непер.

Видя недоумение Форстера, высоко ценившего данное изобретение, Отред показал своему ученику два изготовленных им вычислительных инструмента — две логарифмические линейки.

Логарифмическая шкала Гюнтера являлась прародителем логарифмической линейки и подвергалась многократным доработкам. Так в 1624 году Эдмунд Уингейт издал книгу, в которой описал модификацию шкалы Гюнтера, позволяющую легко возводить числа в квадрат и в куб, а также извлекать квадратные и кубические корни.

Дальнейшие усовершенствования привели к созданию логарифмической линейки, однако, авторство этого изобретения оспаривают два ученых Уильям Отред и Ричард Деламейн.

Первая линейка Отреда имела две логарифмические шкалы, одна из которых могла смещаться относительно другой, неподвижной. Второй инструмент представлял собой кольцо, внутри которого вращался на оси круг. На круге (снаружи) и внутри кольца были изображены “свернутые в окружность” логарифмические шкалы.

Обе линейки позволяли обходиться без циркулей.

В 1632 году в Лондоне вышла книга Отреда и Форстера “Круги пропорций” с описанием круговой логарифмической линейки (уже иной конструкции), а описание прямоугольной логарифмической линейки Отреда дано в книге Форстера “Дополнение к использованию инструмента, называемого “Кругами пропорций”, вышедшей в следующем году.

Линейка Ричарда Деламейна (который был в свое время ассистентом Отреда), описанная им в брошюре “Граммелогия, или Математическое кольцо”, появившейся в 1630 году, тоже представляла собой кольцо, внутри которого вращался круг. Потом эта брошюра с изменениями и дополнениями издавалась еще несколько раз.

Деламейн описал несколько вариантов таких линеек (содержащих до 13 шкал). В специальном углублении Деламейн поместил плоский указатель, способный двигаться вдоль радиуса, что облегчало использование линейки. Предлагались и другие конструкции.

Деламейн не только представил описания линеек, но и дал методику градуировки, предложил способы проверки точности и привел примеры использования своих устройств.

А в 1654 году англичанин Роберт Биссакер предложил конструкцию прямоугольной логарифмической линейки, общий вид которой сохранился до нашего времени…

В 1850 году девятнадцатилетний французский офицер Амедей Маннхейм создал прямоугольную логарифмическую линейку, ставшую прообразом современных линеек и обеспечивающую точность до трех десятичных знаков.

Этот инструмент он описал в книге «Модифицированная вычислительная линейка», изданной в 1851 году. В течение 20-30 лет эта модель выпускалась только во Франции, а затем ее стали изготавливать в Англии, Германии и США.

Вскоре линейка Маннхейма завоевала популярность во всем мире.

Логарифмическая линейка долгие годы оставалась самым массовым и доступным прибором индивидуального вычисления, несмотря на бурное развитие вычислительных машин.

Естественно, она обладала небольшой точностью и скоростью решения по сравнению с вычислительными машинами, однако, на практике большинство исходных данных были не точные, а приближенные величины, определенные с той или иной степенью точности.

А, как известно, результаты вычислений с приближенными числами будут всегда приближенные. Этот факт и высокая стоимость вычислительной техники позволили Логарифмической линейке просуществовать практически до конца 20 столетия.

Источник: https://www.drive2.ru/c/470205873814242020/

Шкала ощущений

Слово «логарифм» читателю знакомо, известны ему также логарифмическая функция и логарифмическая линейка. Зато может удивить то, что человек, оценивая параметры внешних раздражителей, зачастую подсознательно их логарифмирует. Например, так происходит с громкостью звука и яркостью света.

В XIX веке на основе многочисленных опытов был сформулирован закон Вебера—Фехнера. В нём изменения ощущений человека количественно связаны с изменением внешних раздражителей.

В частности, было установлено, что человек оценивает изменение громкости звукового воздействия в относительной шкале: важно не абсолютное значение «новой громкости», а его отношение к значению «начальной громкости».

Получается, что организм человека настроен природой на восприятие изменений «в разы» (скажем, он чувствует рост в $1,2$ раза), а не «на сколько‐то».

Например, в экспериментах Вебера было обнаружено, что если добавить к 60 горящим свечам ещё одну, то наблюдатель заметит изменение яркости. А при 120 горящих свечах изменение яркости будет замечено только при добавлении двух свечей.

Обычно создание шкалы величин основывается на «аддитивном» принципе: сколько шагов длины $a$ надо сделать, чтобы пройти расстояние $b$? Иначе говоря, сколько раз надо сложить c собой $a$, чтобы получить $b$? А можно использовать «мультипликативный» принцип: сколько раз надо умножить на себя величину $a$ (в какую степень надо возвести $a$), чтобы получить $b$?

Второй подход приводит к понятию логарифма: по определению $log_a b=m$, если $a^m=b$. В термине «логарифм» один из создателей логарифмов Джон Непер, математик и астроном, соединил два слова из древнегреческого: $lambdaacuteογοvarsigma$ — отношение (в нашем, «мультипликативном» смысле) и $α
ho iotamkern1mu heta μ acute ο varsigma$ — число.

  • Одним из основных свойств логарифмов является следующее:
    $$
    log_a (bc)=log_a b+log_a c.
  • $$

Это соотношение устанавливает связь между операциями сложения и умножения — логарифм произведения равен сумме логарифмов. Сложение — более простая, более «быстрая» операция, чем умножение, а приведённое свойство позволяет свести вычисление произведения чисел к сложению их логарифмов.

Исторически первая вычислительная роль логарифмов была связана с этим свойством. Если у вычислителя есть таблица, в которой «подробно», с малым шагом, представлены числа и их логарифмы (по фиксированному основанию, например, при $a=10$), то вычисление произведения $bc$ распадается на последовательность несложных шагов.

В таблице находим числа $b$ и $c$ (или близкие к ним), определяем по таблице их логарифмы, складываем эти логарифмы и по таблице подбираем число, логарифм которого близок к найденному значению. Появление такого способа приближённого умножения было особо оценено астрономами, работавшими с «астрономически» большими числами.

«Механическая» реализация этой идеи, заменяющая работу с напечатанными таблицами, — логарифмическая линейка. Основа конструкции — две прилегающие и скользящие вдоль друг друга линейки с одинаковыми логарифмическими шкалами.

Это означает, что на линейках штрихами обозначены логарифмы (десятичные) чисел, но в подписях к штрихам указаны сами числа, а не их логарифмы. Таким образом, на каждой линейке представлена таблица логарифмов.

Относительное перемещение частей линейки механически складывает «штрихи‐логарифмы», а цифровые подписи позволяют переходить от чисел к логарифмам и обратно.

С помощью логарифмической линейки можно не только умножать числа, но и делить их, а дополнительные шкалы линейки позволяют возводить в степень и извлекать корни, находить значения специальных функций (в частности, тригонометрических). Простота конструкции и удобство в использовании сделали логарифмическую линейку главным вычислительным инструментом учёных и инженеров докомпьютерной эпохи.

Ещё одно важное свойство логарифмов, объясняющее их особую роль в вычислениях и аналитических исследованиях: логарифм большого числа намного меньше самого числа. Например, число атомов в наблюдаемой части Вселенной оценивается как $10^{80}$ — огромное число. А десятичный логарифм этого числа вполне «осязаем»: 80.

У быстро растущих функций, таких как $y=10^{kx}$, есть несколько неприятных особенностей.

Во‐первых, при больших значениях $x$ график функции так быстро убегает вверх, что и на книжной странице, и на экране монитора от него останется лишь небольшой, узкий кусочек, а остальная часть окажется вне страницы или экрана.

Во‐вторых, в повседневной жизни человек редко сталкивается с большими изменениями чего‐либо за небольшое время, исторически к этому не подготовлен (катастрофы типа извержений вулканов или землетрясений — редкие исключения).

Неудивительно, что при встрече с резкими перепадами значений показательной функции ($y=a^x$) возникает желание сгладить эти перепады, заменить функцию более «спокойной», пологой. По обеим приведённым причинам удобно от функции $y=10^{kx}$ перейти к функции $z=lg y = kx$.

В естествознании многие законы записываются с использованием показательных функций.

Подобные формулы возникают, если закон относится к процессу, в математическом описании которого основную роль играют линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Переход к логарифмам делает запись таких законов более «дружелюбной», график линейной функции $z=kx$ (прямая) не просто проще графика показательной функции $y=10^{kx}$, его простота становится действенным инструментом исследования.

Рассмотренное понятие логарифма позволяет привести аналитическую формулировку закона Вебера—Фехнера: $S=klg frac{P}{P_0}$. В этой формуле $S$ — интенсивность ощущения человека, $P$ — сила внешнего раздражителя, $P_0$ — нижнее пороговое значение силы раздражителя (т. е. при $P

Источник: https://book.etudes.ru/toc/scale/

Ссылка на основную публикацию