Признак делимости на 11, формула и примеры

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Например:
2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел четная;
3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел нечетная.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например:
471 — делится на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3;
532 — не делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3.

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.

Например:
4576 — делится на 4, так как число 76 (7·2+6=20) делится на 4;
9634 — не делится на 4, так как число 34 (3·2+4=10) не делится на 4.

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например:
462, 3456, 24642 — делятся на 6, так как они делятся одновременно и на 2 и на 3;
861, 3458, 34681 — не делятся на 6, так как 861 не делится на 2, 3458 не делится на 3, 34681 не делится на 2.

• Число делится на 7, если разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7.
• Например:

Число 296492
Берем последнюю цифру «2», удваиваем, получаем 4. Вычитаем 29649-4=29645. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру «5», удваиваем, получаем 10. Вычитаем 2964-10=2954. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.
Берем последнюю цифру «4», удваиваем, получаем 8. Вычитаем 295-8=287. Неизвестно, делится ли оно на 7. Поэтому проверим снова.

Берем последнюю цифру «7», удваиваем, получаем 14. Вычитаем 28-14=14. Число 14 делится на 7, значит и исходное число делится на 7

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.

1. Например:
2. 952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4+5*2+2=48
3. .

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например:
468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.

Например:
460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю;
234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.

Признак делимости на 11

• Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.
• Например, 9163627 делится на 11, так как  делится на 11.
• Другой пример — 99077 делится на 11, так как  делится на 11.

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся  и 

Признак делимости на 13

1. Признак 1: Число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
2. Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся  и 
3. Признак 2: Число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.
4. Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся 

Признак делимости на 17

• Число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.
• Например, 221 делится на 17, так как  делится на 17.
• Число делится на 17 тогда, когда модуль суммы числа десятков и числа двенадцать умноженной на кол-во единиц делится на 17.
• Например, 221 делится на 17, так как  делится на 17.

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся  и 

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Признаки делимости на 23

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся  и 

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как  делится на 23.

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например, 391 делится на 23, так как  делится на 23.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 27

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Признак делимости на 29

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Например, 261 делится на 29, так как  делится на 29.

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например: 510 делится на 30, а 678 — нет.

Признак делимости на 31

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как  делится на 31.

Признак делимости на 37

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится 

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.

Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится 

Признак делимости на 41

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369 делится на 41, так как  делится на 41.

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой.

Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить.

Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 50

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Признак делимости на 59

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся  и 

Признак делимости на 79

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся .

Признак делимости на 99

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 

Признак делимости на 101

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101.

Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится 

Источник: http://ychitelll.ucoz.ru/index/priznaki_delimosti/0-73

Признак делимости на 11

• Делимость на 11 зависит от соотношения сумм цифр, стоящих на чётных и нечётных местах в записи числа.
• Признак делимости на 11
• Натуральное число делится без остатка на 11, если сумма цифр, стоящих в записи числа на чётных местах:
• — равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах;
• — отличается от неё на 11.
• Например, для шестизначного числа признак делимости на 11 схематично выглядит так:

1. Примеры.
2. Определить, какие из чисел делятся на 11:
3. 572; 415; 2673; 6395; 1529; 88132; 70811; 717541; 619109.
4. Решение:
5. 572 делится на 11, так как сумма цифр, стоящих на нечетных местах 5+2, равна числу 7, стоящему на чётном месте.
6. 415 не делится на 11, так как сумма цифр 4+5=9, стоящих на нечётных местах, не равна числу 1, стоящему на чётном месте, и 1=(4+5)-8.
7. 2673 делится на 11, потому что сумма цифр 6+3=9, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр 2+7=9, стоящих на нечётных местах.

6395 не делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 3+5=8. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 6+9=15. Суммы отличаются на 7.

1529 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 1+2=3. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 5+9=14. Суммы отличаются на 11: 1+2=(5+9)-11.

88132 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 8+3=11. Равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, 8+1+2=11.

70811 не делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 0+1=1. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 7+8+1=16. Суммы отличаются на 15.

717541 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 1+5+1=7. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 7+7+4=18. Суммы отличаются на 11: (7+7+4)=(1+5+1)+11.

• Этот же признак делимости на 11 после изучения отрицательных чисел можно сформулировать иначе.
• Если сумма цифр числа, взятых с чередующимися знаками, делится на 11, то и само число делится на 11.
• Например, для шестизначного числа делимость на 11 в этом случае схематично можно изобразить так:

Для чисел из примера выше проверка делимости на 11, соответственно, выглядит так:

5-7+2=0. 0 делится на 11, значит, 572 также делится на 11.

4-1+5=8. 8 не делится на 11, поэтому 415 не делится на 11.

2-6+7-3=0. Так как 0 делится на 11, то и 2673 делится на 11.

6-3+9-5=7. 7 не делится на 11, следовательно, и 6395 не делится на 11.

1-5+2-9=-11. Поскольку -11 делится на 11, 1529 также делится на 11.

И так далее.

Источник: http://www.for6cl.uznateshe.ru/priznak-delimosti-na-11/

Признаки делимости на 4, 8, 11 и 25

«Детских» признаков делимости на 3 и на 9, как вы уже могли убедиться, маловато для решения задач, связанных с делимостью целых и натуральных чисел, но еще более «детскими» являются признаки делимости на 4, 8 и 25, а несколько более сложный признак делимости на 11 очень прост и полезен в применении — вы это также видели.

Признак делимости на 4 состоит в том, что

натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4

Этот признак вполне очевиден — если отбросить от заданного числа его две последние цифры, т.е. разбить его на соответствующие два слагаемых, то первое слагаемое будет оканчиваться на два нуля, т.е. делиться на 100, а значит, и на 4, и поэтому все зависит от второго, двузначного слагаемого.

Точно так же очевиден и аналогичный признак делимости на 8:

натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, состоящее из трех его последних цифр, делится на 8

Для его доказательства достаточно отбросить эти три цифры и заметить, что 1000 делится на 8.

Признак делимости на 11 можно сформулировать следующим образом:

натуральное число делится на 11 в том и только в том случае, когда на 11 делится разность между суммой его цифр, стоящих на четных местах, и суммой его цифр, стоящих на нечетных местах.

Проще всего его можно доказать (и даже придумать, вывести) с помощью сравнений (естественно, по модулю 11). Правда, тут возникает одна трудность эвристического характера: надо догадаться, что степень числа 10 с нечетным показателем плюс единица делится на 11.

это слагаемое делится на 11. Можно сослаться и на формулу суммы нечетных степеней, а еще проще заметить, что $10equiv-1 (mod 11)$, так что 10 в нечетной степени тождества сравнимо с -1, т.е.

102k-1 делится на 11.

Проведем доказательство: так как $10equiv-1 (mod 11)$, то при четном n $10^nequiv1$, а при нечетном n $10^nequiv-1$, и поэтому $c=a_{0} imes10^k+a_{1} imes10^{k-1}+a_{2} imes10^{k-2}+…+a_{k-1} imes10+a_{k}equiv a_{k}-a_{k-1}-a_{k-2}-a_{k-3}+…+a_1 imes(-1)^{k-1}+a_{0} imes(-1)^k$ множитель $(-1)^k$ обеспечивает здесь нужное чередование знаков, и показатель степени подобран так, чтобы при четном k последнее слагаемое $a_{0} imes(-1)^k$ совпадало с а0. Выражение, стоящее в правой части этого равенства, и есть разность между суммой s цифр, стоящих в числе с на четных и на нечетных местах. Ее удобно называть знакочередующейся суммой цифр числа с.

Мы доказали в результате, что с-s=0, т.е. число с и знакочередующаяся сумма его цифр в при делении на 11 дают одинаковые остатки, и мы получили более сильное утверждение, чем требовалось.

Признак делимости на 11 можно доказать, конечно, и без использования метода сравнений — как с применением формулы суммы нечетных степеней, так и не опираясь на «тяжелую артиллерию» алгебры.

Но и «азбучные» признаки делимости на 3 и на 9 на самом деле нуждаются в уточнении, и их можно формулировать примерно так:

натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3

И то же самое касается признака делимости на 9. В такой формулировке подчеркивается, что если сумма цифр числа не делится на 3, то и само число не делится на 3.

остаток от деления числа на 3 совпадает с остатком от деления суммы его цифр на 3; остаток от деления числа на 9 совпадает с остатком от деления суммы его цифр на 9.

Эти утверждения почти доказаны в 5-м классе — достаточно повторить проведенные там рассуждения и добавить к ним, что разность между числом и суммой его цифр делится на 3 и на 9, т.е. соответствующие остатки совпадают.

Ясно, что аналогичные утверждения верны и для признаков для 4 и 8.

(6

Источник: https://matemonline.com/2013/02/divisibility-by-4-8-11-and-25/

Признаки делимости на 11

Всего существует три важных признака делимости на 11.

1-й признак делимости на 11: число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11.

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Этот признак является наиболее простым и удобным. К тому же его проще всего запомнить.

Пример: проверить, делятся ли на 11 числа а) 1234321 б) 10101.

Решение: а) 1234321. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 = 0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11. Если не верите — возьмите калькулятор и проверьте! Вообще говоря, многие красивые числа делятся на 11. Ответ: делится.

б) 10101. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 0 + 1 − 0 + 1 = 3. Число 3 на 11 не делится, поэтому 10101 не делится на 11. Ответ: не делится.

Для формулировки оставшихся двух признаков делимости на 11 введём такое определение:

Определение. Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.

Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

2-й признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма его двузначных граней делится на 11.
3-й признак делимости на 11: число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 11.
Пример: проверить, делится ли на 11 число 1002001.

Решение: а) применим 2-й признак делимости на 11. Сумма двузначных граней числа 1002001 равна 1 + 20 + 0 + 1 = 22. Число 22 делится на 11, поэтому 1002001 делится на 11.

Ответ: делится.

Доказательство этих признаков строится на представлении чисел в десятичной системе счисления. Подробное доказательство приведено в этой статье.

Источник: https://umath.ru/theory/priznaki-delimosti-na-11/

Признаки делимости — Моя мастерская

При́знак дели́мости —
правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным
заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило,
основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе
счисления (обычно десятичной).

• Существуют несколько простых правил, позволяющих найти малые
  делители числа в десятичной системе счисления:
•  Признак делимости на 2
•  Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя
  цифра делится на 2, то есть является чётной.
•  Признак делимости на 3
•  Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его
  цифр делится на 3 (так как все числа вида 10n при делении на 3 дают в остатке
  единицу).
•  Признак делимости на 4
•  Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух
  последних его цифр (оно может быть двузначным, однозначным или нулём) делится
  на 4.
•  Признак делимости на 5
•  Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя
  цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
•  Признак делимости на 6
•  Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и
  на 2, и на 3.
•  Признак делимости на 7
•  Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат
  вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится
  на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7).
•  Признак делимости на 8
•  Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его
  последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.
•  Признак делимости на 9
•  Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его
  цифр делится на 9.
•  Признак делимости на 10
•  Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно
  оканчивается на ноль.
•  Признак делимости на 11
•  Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с
  чередующимися знаками равна 0 или делится на 11 (то есть 182 919 делится на 11,
  так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22 делится на 11) — следствие факта, что все
  числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.
•  Признак делимости на 12
•  Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится
  на 3 и на 4.
•  Признак делимости на 13
•  Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его
  десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845
  делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13).
•  Признак делимости на 14
•  Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится
  на 2 и на 7.
•  Признак делимости на 15
•  Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится
  на 3 и на 5.
•  Признак делимости на 17

 Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его
десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34.
Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17).

Признак не всегда
удобен, но имеет определенное значение в математике.

Есть способ немного проще
— число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его
десятков и упятерённым числом единиц кратна 17 (например,
32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не делится на 17, то и
32952 не делится на 17)

1.  Признак делимости на 19
2.  Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его
   десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится
   на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).
3.  Признак делимости на 23
4.  Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его
   сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23 (например,
   28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) =
   46 — очевидно, делится на 23).
5.  Признак делимости на 25
6.  Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние
   цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75).
7.  Признак делимости на 99

 Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой
левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их
двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само
число делится на 99.

 Признак делимости на 101

 Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой
левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными
знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только
тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так
как 59-05+47=101 делится на 101).

Источник: https://www.sites.google.com/site/jleibobl368/distancionnoe-obucenie/dla-ucasihsa

Признаки делимости

• Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
• «Средняя общеобразовательная школа № 7»
• Выполнила ученица 7 «Г» класса
•                                                                                               МОУ «СОШ №7» г. Когалыма
•                                                                                                    Шишхова Марьяна

Учитель: Маковская О.М.

г. Когалым, 2012 г.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

ВВЕДЕНИЕ	……………………………………………………………	3
ГЛАВА I	§ 1.1.  Признак делимости на 11 …………………………	5
§ 2.1.  Объединённый признак делимости на 7, 11 и 13 …	7
§ 3.1.  Упрощение признака делимости на 8 …………….	9
§ 4.1.  Объединённый признак делимости на 3, 7 и 19 ….	10
§ 5.1.  Старое и новое о делимости на 7 ………………….	11
§ 6.1.  Признак делимости на 13, 17 и 19 …………………	15
§7.1.  Обобщённый признак делимости …………………..	16
ГЛАВА II	Задачи ……………………………………………………….	18
ЗАКЛЮЧЕНИЕ	………………………………………………………………..	21
ЛИТЕРАТУРА	………………………………………………………………….	22

ВВЕДЕНИЕ

      Иногда возникает ситуация, когда нужно быстро определить, делится ли одно число на другое,  не прибегая к традиционному делению «уголком».  Для небольших делителей существуют простые признаки делимости на 2, 3, 4, 5 , 9, 10 и т.д. ,  известные нам из школьного курса.

Чтобы установить делится ли некоторое многозначное число на другое,  в ряде случаев совсем не надо прибегать к непосредственному делению данного числа. Очень часто оказывается, что решение поставленной задачи можно свести к решению другой задачи, более простой.

Здесь нам помогает знание признаков делимости.

        Из всех действий арифметики самое своенравное – это деление. Оно обладает особыми свойствами, можно сказать, особым «нравом». Возьмём хотя бы обращение с нулём. Для всех других арифметических действий нуль – равноправное число.

Его можно и прибавлять и вычитать; оно может быть множителем в действии умножения, но делителем никогда. Разделить на нуль вообще нельзя никакое число, никакое алгебраическое выражение.

Это – важная особенность деления, и если к ней отнестись невнимательно, то легко попасть впросак.

«Нрав» деления проявляется не только по отношению к нулю. Математическая теория уделяет много внимания свойствам целых чисел и законам, управляющим действиям над ними.

Так вот, если ограничиться множеством одних только целых (положительных и отрицательных) чисел, то опять-таки «капризничает» только одно действие: деление. Оно, как мы знаем, не всегда выполнимо в области целых чисел.

Принято считать так, что  целое число a делится на целое число b, если среди целых чисел найдётся такое число c, произведение которого на b даёт точно число a; если же такого числа нет, то a не делится на b.

      Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел.

      Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счёта или измерения. Основной объект теории чисел – натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость.

1.         Актуальность темы обусловлена важностью изучаемых признаков делимости чисел, их удивительными свойствами и историей, продолжающейся в наши дни.
2.         Целью реферата являлось изучение признаков делимости чисел,  которые не входят  в программу школьного курса.
3.         Для реализации этой цели были поставлены следующие задачи:

• изучить доступную литературу,  связанную с теорией делимости чисел;
• подобрать и обосновать примеры по данной теме.

        Практическая значимость работы: материалы можно использовать при работе со школьниками на дополнительных занятиях, спецкурсах  и кружках.

ГЛАВА I

§ 1.1.  Признак делимости на 11

      Один из важнейших приёмов решения задач таков: свести решение данной задачи к решению другой задачи, более простой.

      Требуется, предположим, установить: делится ли некоторое многозначное число на другое многозначное число? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, в ряде случаев совсем не надо прибегать к непосредственному делению данного числа.

Очень часто оказывается, что решение поставленной задачи можно свести к выявлению делимости некоторого другого, не многозначного числа, составленному по тому или иному правилу из цифр данного числа. Так и возникают признаки делимости чисел.

• Признак делимости на 11
•       Если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.
• Если же указанные суммы цифр через одну не равны между собой и их разность не делится на 11, то и данное число не делится на 11.

Пример. Делится ли  3528041 на 11?

Применяем признак:

S1 = 3 + 2 + 0 + 1 = 6,  S2 = 5 + 8 + 4 = 17,   S2 – S1 = 11. S2 – S1 делится на 11. Признак предсказывает:  число 3528041 обязательно должно делиться на 11.

Обосновать этот признак делимости нетрудно, если предварительно заметить, что числа такого вида, как, например, 10 + 1, 100 – 1, 1000 + 1, 10000 – 1, 100000 + 1 и т.д. делятся на 11.

Рассмотрим сначала разности: 100 – 1 = 99, 10000 – 1 = 9999 и т.д.; все они записываются чётным числом девяток и, следовательно, делятся на 11; делятся на 11 и все суммы указанного вида: 10 + 1 = 11, 1000 + 1 = 99 · 10 + 11, 100000 + 1 = =9999 · 10 + 11 и т.д., так как каждая сумма разлагается на два слагаемых, каждое из которых делится на 11.

1. Обратимся теперь к установлению признака делимости на 11.
2. Возьмём какое-нибудь многозначное число, например 3 516 282, и расчленим его следующим образом:
3. 2 + 8 · 10 + 2 · 100 + 6 · 1000 + 1 · 10000 + 5 · 100000 + 3 · 1000000.

Все вторые сомножители (единицы с нулями) преобразуем так, чтобы образовались рассмотренные выше суммы и разности: 10 + 1, 100 – 1 и т.д. Имеем:

• 3 516 282 = 2 + 8(10 + 1 – 1) + 2(100 — 1 + 1 ) + 6(1000 + 1 – 1 ) + 1(10000 – 1 + 1 ) +
• + 5(100000 + 1 – 1 ) + 3(1000000 – 1 + 1 ) = 2 + 8(10 + 1) – 8 + 2(100 – 1) + 2 +
• + 6(1000 + 1) – 6 + (10000 – 1 ) + 1 + 5(100000 + 1) – 5 + 3(1000000 – 1 ) + 3 =
• = (2 – 8 + 2 – 6 + 1 – 5 + 3) + [8(10 + 1) + 2(100 – 1) + 6(1000 + 1) + (10000 – 1) +
• + 5(100000 + 1) + 3(1000000 – 1)].

Все слагаемые, заключённые в квадратные скобки, непременно делятся на 11. Значит, делимость рассматриваемого числа на 11 полностью зависит от делимости на 11 числа, заключённого в первой круглой скобке: если оно делится ( не делится) на 11, то и рассматриваемое число делится (не делится) на 11.

Но в первой скобке записана разность сумм цифр данного числа через одну:

( 2 + 2 + 1 + 3) – ( 8 + 6 + 5) = -11. Так как эта разность, равная -11, делится на 11, то делится на 11 и данное число.

Так решение вопроса о делимости любого многозначного числа на 11 сводится к более лёгкому выяснению делимости на 11 разности сумм цифр числа через одну.

§ 2.1. Объединённый признак делимости на 7, 11, 13

      В таблице простых чисел числа 7, 11 и 13 расположены рядом. Их произведение равно 7·11·13 = 1001 = 1000 + 1. Заметим пока, что 1000 + 1 делится и на 7, и на 11,  и на 13. Далее, если любое трёхзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и  множимое, только повторёнными два раза.

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2016/11/07/priznaki-delimosti