Производная интеграла

Производная неопределенного интеграла. Первая основная теорема математического анализа
Сейчас мы обсудим удивительную взаимосвязь, которая существует между интегрированием и дифференцированием.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Связь между этими двумя действиями аналогична в какой-то мере связи между операциями возведения в квадрат и извлечения квадратного корня.

Если мы возведем положительное число в квадрат и затем возьмем положительное значение квадратного корня, то в результате опять получим исходное число.

Аналогичным образом, если мы возьмем неопределенный интеграл от некоторой непрерывной функции f, мы получим новую функцию, производная которой даст нам опять исходную функцию f.
Например,
если f(x) = x2, то неопределенный интеграл A(x) определяется следующим образом
$A(x)=intlimits_c^x f(t) dt = intlimits_c^x t^2 dt = frac{x^3}{3} — frac{c^3}{3},$

где c — константа интегрирования. Дифференцируя эту функцию, мы получаем A'(x) = x2 = f(x). Этот пример — хорошая иллюстрация важной теоремы, лежащей в основе математического анализа.
Она формулируется следующим образом:

Пусть функция f интегрируема на [a, x] для любого x на промежутке [a, b]. Пусть c удовлетворяет условию a ≤ c ≤ b . Определим новую функцию A следующим образом:
$A(x)=intlimits_c^x f(t) dt, qquad qquad a leq x leq b$
Тогда A'(x) существует в каждой точке x из открытого интервала (a, b), где f непрерывна, и для таких x мы имеем
(5.1)           A'(x) = f(x).

Сначала приведем геометрическую иллюстрацию истинности этой теоремы, а затем проведем строгое аналитическое доказательство.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Как убрать лишнюю страницу в ворде

Оценим за полчаса!

Геометрическая иллюстрация. На рисунке 5.1 изображен график функции f на промежутке [a, b].

Здесь h положительно, и
$intlimits_x^{x+h} f(t) dt = intlimits_c^{x+h} f(t) dt — intlimits_c^x f(t) dt = A(x+h) — A(x)$
Здесь функция непрерывна на интервале [x, x + h].

Следовательно, по теореме о среднем значении для интегралов, получим A(x + h) — A(x) = hf(Z), где x ≤ z ≤ x + h.Следовательно,
(5.2)            [A(x + h) — A(x)]/h = f(z),

Производная интеграла
Поскольку x ≤ z ≤ x + h, получаем, что f(z) → f(x) когда h → 0 для всех положительных значений. Аналогичные рассуждения справедливы, если h → 0 для всех отрицательных значений. Следовательно, A'(x) существует и равно f (x).

Эти рассуждения предполагали, что функция
f непрерывна в некоторой окрестности точки x. Однако формулировка теоремы требует непрерывности только в точке x. Следовательно, для доказательства теоремы при этом, более слабом, условии, мы должны использовать иной метод.

Аналитическое доказательство. Пусть функция непрерывна в точке x. В этой точке определим следующее выражение [A(x + h) — A(x)]/hДля доказательства теоремы необходимо доказать, что это выражение стремится к пределу f(x), когда h → 0.

Числитель этого выражения имеет вид:
$A(x+h) — A(x) = intlimits_c^{x+h} f(t) dt — intlimits_c^x f(t) dt = intlimits_x^{x+h} f(t) dt.$
Если в последний интеграл подставить выражение f(t) =f(x) + [f(t) -f(x)] , получаем откуда находим(5.

3)
$frac{A(x+h) — A(x)}{h} = f(x) + frac{1}{h} intlimits_x^{x+h} [f(t) — f(x)] dt $
Следовательно, для завершения доказательства (5.1) нужно доказать, что $limlimits_{h
ightarrow 0} frac{1}{h} intlimits_x^{x+h} [f(t) — f(x)] dt = 0$
Эта часть доказательства использует условие непрерывности в точке x.

Обозначим второе слагаемое в правой части (5.3) через G(h). Необходимо доказать, что G(h) -f 0 когда h —f 0. Используя определение предела, мы должны показать, что для дюбого ε > 0 существует δ > 0 такое, что
(5.4)          |G(h)| < ε, когда 0 < |h| < δ.

Из непрерывности функции f в точке x следует, что если дано ε, то существует положительное δ такое, что
(5.5)           |f(t) -f(x)| < ε/2когда (5.6)          x - δ < t < x + δ. Если h выбрано таким образом, что 0 < h < δ, тогда любое t в промежутке [x, x + h] удовлетворяет (5.6), следовательно, (5.5) справедливо для любого t.

Используя соотношение
$|int limits_x^{x+h} g(t) dt| leq int limits_x^{x+h} |g(t)| dt$
для g(t) =f(t) -f(x), мы видим, что из неравенства в (5.5) следует соотношение
$|int limits_x^{x+h} [f(t) — f(x)] dt | leq int limits_x^{x+h} |f(t) — f(x)| dt leq int limits_x^{x+h} frac{1}{2} epsilon dt = frac{1}{2} h epsilon < h epsilon$

Разделив его на h, мы видим, что (5.4) справедливо для 0 < h < δ. Если h < 0, аналогично доказывается, что (5.4) справедливо для 0 < |h| < δ, и тем самым доказательство завершено.

Теорема о нулевой производной

Если функция f постоянна на открытом интервале (a, b), ее производная равна нулю везде на интервале (a, b). Это было доказано раньше как прямое следствие из определения производной. Мы также доказали (часть (с) теоремы 4.7) обратное утверждение, которое мы сформулируем здесь в виде теоремы.

Теорема 5.2. Теорема о нулевой производной. Если f'(x) = 0 для любого x на открытом интервале I, тогда f постоянна на I. Эта теорема, вместе с теоремой о производной интеграла по верхнему пределу, приводит ко второй важнейшей теореме математического анализа, которая и описана в следующей главе.

5.3 Первообразная функция и формула Ньютона-Лейбница (или основная теорема анализа)

Функция P называется первообразной функции f на открытом интервале I, если производной P является f, то есть если P'(x) = f (x) для любого х из I.

Например, функция синус является первообразной функции косинус на любом интервале, поскольку производная синуса равна косинусу.

Функция имеет не единственную первообразную, а множество, поскольку, если Р является первообразной некоторой функции, то и P + k будет тоже являться первообразной той же функции для любой постоянной k.

И наоборот, любые две первообразные P и Q одной функции f могут отличаться только на константу, поскольку их разность P — Q имеет производнуюP'(x) — Q'(x) = f(x) — f(x) = 0для любого x из I и, следовательно, по Теореме 5.2, P — Q является константой на множестве Z.

Теорема о производной интеграла по верхнему пределу говорит, что мы всегда можем записать первообразную для непрерывной функции в виде интеграла. Этот факт вместе с тем, что две первообразные одной функции отличаются только на константу, приводит ко второй важнейшей теореме математического анализа.

Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема анализа)

Предположим, что f непрерывна на открытом интервале I, и P — любая первообразная на I. Тогда для любых c и x из I имеем
(5.7)          $P(x) = P(c) + int limits_c^x f(t) dt$

Доказательство. Пусть
$A(x) = int limits_c^x f(t) dt$.
Так как f непрерывна для любого x из I, первая теорема говорит, что A'(x) = f(x) для всех x из Z. Другими словами, A является первообразной на Z.

Поскольку две первообразные могут отличаться только на константу, должно выполняться условие A(x) — P(x) = k для некоторой константы k. Когда x = c, из этой формулы следует -P(c) = k, поскольку A(c) = 0.

Следовательно, A(x) — P(x) = -P(c), и мы получаем (5.7).

Теорема 5.3 говорит нам, как найти все первообразные P непрерывной функции f. Мы просто интегрируем f от фиксированной точки c до произвольной точки x и прибавляем P(c), получая тем самым P(x).

Читайте также:  Формула напряжения электрического поля

Но основное значение теоремы станет очевидным, когда мы запишем уравнение (5.7) в виде:
(5.8)            $int limits_c^x f(t) dt = P(x) — P(c)$
Отсюда следует, что мы можем вычислить величину интеграла простым вычитанием, если мы знаем первообразную P.

Таким образом, проблема оценки интеграла превращается в другую проблему: как найти первообразную P. С практической точки зрения, вторая проблема решается гораздо проще, чем первая.

Каждая формула дифференцирования, прочитанная в обратном порядке, дает нам пример первообразной некоторой функции f, и это, в свою очередь, ведет к интегралу от этой функции.

Из тех формул дифференцирования, с которыми мы уже познакомились, мы можем вывести следующие формулы для интегрирования как следствия формулы Ньютона-Лейбница.

ПРИМЕР 1. Интегрирование степенных функций. Формула интегрирования
(5.9) $int limits_a^b x^n dx = frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}$       (n = 0, 1, 2, . . .)
была доказана в главе 1.

23 непосредственно из определения интеграла. Этот результат может быть выведен и обобщен на дробные показатели степени с использованием формулы Ньютона-Лейбница.

Прежде всего, заметим, что функция P, определенная уравнением

(5.10)         P(x) = (xn + 1)/(n + 1)

имеет производную P'(x) = xn, если n — любое неотрицательное целое число. Поскольку это справедливо для всех действительных x, используем (5.8), чтобы записать $int limits_a^b x^n dx = P(b) — P(a) = frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}$
для всех интервалов [a, b]. Эта формула, доказанная для всех целых n ≥ 0, также справедлива для всех отрицательных целых значений, кроме n = -1. Это значение исключается, поскольку n + 1 расположено в знаменателе. Чтобы доказать (5.9) для отрицательных n, достаточно показать, что из (5.10) следует P'(x) = xn, когда n отрицательно и не равно — 1. Это легко подтверждается дифференцированием P как степенной функции. Безусловно, когда n отрицательно, и P(x), и P'(x) не определены при x = 0, и когда мы используем (5.9) для отрицательных n, важно исключить те интервалы [a, b], которые содержат точку x = 0.Результат из примера 3 в главе 4.5 позволяет распространить (5.9) на все рациональные показатели степени (кроме -l) с условием, что подынтегральная функция определена везде на рассматриваемом интервале [a, b].
Например, если 0 < a < b и n = -1/2, мы получаем $int limits_a^b frac{1}{sqrt{x}} dx = int limits_a^b x^{-frac{1}{2}} dx = frac{x^{frac{1}{2}}}{frac{1}{2}}|_a^b = 2(sqrt{b} - sqrt{a})$ Этот результат был доказан ранее с использованием аксиом о площади. Теперь же мы не использовали в доказательстве эти аксиомы.

В следующей главе мы определим общую показательную функцию f такую, что f(x) = xc для любого действительного показателя c. Мы покажем, что эта функция имеет производную f'(x) = cxc — 1 и первообразную P(x) = xc + 1/(с + 1)б если c ≠ — 1. Это позволит нам распространить (5.9) на все действительные показатели, кроме — 1.

Отметим, что мы не можем получить P'(x) = 1/x дифференцированием функции вида P(x) = xn. Тем не менее, существует функция P, производная которой P'(x) = 1/x. Чтобы найти такую функцию, мы должны записать соответствующий неопределенный интеграл, например $P(x) = int limits_x^c frac{1}{t} dt qquad qquad если x > 0$

Этот интеграл существует, поскольку подынтегральная функция монотонна. Функция, определенная таким образом, называется логарифмом или, точнее, натуральным логарифмом. Ее свойства подробно рассмотрены в главе 6.

ПРИМЕР 2. Интегрирование функций синуса и косинуса. Поскольку производной синуса является косинус, а производной косинуса — синус со знаком «-«, вторая теорема дает нам следующее:
$int limits_a^b cos x dx = sin x |_a^b = sin b — sin a \ int limits_a^b sin x dx = (-cos x) |_a^b = cos a — cos b$

Эти формулы также были доказаны непосредственно из определения интеграла. Примеры формул интегрирования можно также получить из примеров 1 и 2 определением конечных сумм членов вида Ax'“, B sin x, C COS x, где A, B, C — константы.

5.4 Свойства функций, выведенные из свойств их производных

Если функция f имеет непрерывную производную f' на открытом интервале Z, формула Ньютона-Лейбница говорит, что(5.11)
$f(x) = f(c) + int limits_c^x f'(t) dt$
для любых точек x и c в Z. Эта формула, выражающая f через ее производную f', позволяет нам вывести свойства функции из свойств ее производной.

Хотя следующие свойства и обсуждались ранее в главе 4, интересно видеть, что их можно получить как простое следствие уравнения (5.11).
Пусть функция f' непрерывна и неотрицательна на I. Если x > c, то
$int limits_c^x f'(t) dt geq 0$
и, следовательно, f(x) ≥ f(c).

Другими словами, если производная непрерывна и неотрицательна на Z, то функция возрастает на Z.

В теореме 2.9 мы доказали, что неопределенный интеграл от возрастающей функции является выпуклым. Следовательно, если f' непрерывна и возрастает на I, уравнение (5.11) доказывает, что f — выпуклая на Z. Аналогично, f будет вогнутой на тех интервалах, где f' непрерывна и убывает.

Упражнения

В каждом из упражнений 1-10 найдите первообразную для f; то есть, найдите функцию P такую, что P'(x) = f(x), и используйте формулу Ньютона-Лейбница, чтобы оценить
$int limits_a^b f'(x) dx$1. f(x) = 5×3.            6. f(x) = √2x + √x/2, x > 0.2.

f(x) = 4×4 — 12x.            7. f(x) = [2×2 — 6x + 7]/2√2x, x > 0.3. f(x) = (x + 1)(x3 — 2).            8. f(x) = 2×1/3 — x-1/3, x > 0.4. f(x) =[x4 +x — 3]/x3 , x ≠ 0.            9. f(x) = 3sinx + 2×5.5. f(x) = (1 + √x)2, x > 0.            10. f(x) = x4/3 — 5cosx.

11. Докажите, что не существует полинома f, производная которого дается формулой f'(x) = 1/x.

12. Покажите, что $int limits_0^x |t| dt = frac{1}{2} x |x|$ для всех действительных х.

13. Покажите, что $int limits_0^x (t + |t|)^2 dt = frac{2x^2}{3} (x + |x|)$ для всех действительных x.

14. Функция f непрерывна везде и удовлетворяет уравнению $int limits_0^x f(t) dt = -frac{1}{2} + x^2 + xsin 2x + frac{1}{2} cos 2x$

для всех x. Вычислите f(π/4) и f'(π/4).

15. Найдите функцию f и значение константы c такие, что$int limits_c^x f(t) dt = cos x — frac{1}{2}$ для всех действительных x.

16. Найдите функцию f и значение константы c такие, что$int limits_c^x tf(t) dt = sin x — xcos x — frac{1}{2}x^2$ для всех действительных x.

17. Пусть функция f непрерывна, определена на всех действительных x, и удовлетворяет уравнению$int limits_0^x f(t) dt = int limits_x^1 t^2f(t) dt + frac{x^{16}}{8} + frac{x^{18}}{9} +c$
где c — константа. Найдите явную формулу для f (x) и значение константы c.

  • 18. Функция f определена для всех действительных x по формуле$f(x) = 3 + int limits_0^1 frac{1 + sin t}{2 + t^2} dt$
  • Без вычисления интеграла найдите квадратичный полином p(x) = a + bx + cx2 такой, что p(0) = f(0), p'(0) =f'(0), и p''(0) =f''(0).

19. Дана функция g непрерывная везде и такая, что g( 1) = 5 и $int limits_0^1 g(t) dt = 2$. Пусть f(x) = $frac{1}{2} int limits_0^x (x-t)^2 g(t) dt$. Докажите,что$f'(x) = x int limits_0^x g(t) dt — int limits_0^x tg(t) dt$

и вычислите f''( 1) и f'''( 1).

20. Без вычисления следующих неопределенных интегралов найдите производную f'(x), если f(x) равна$int limits_0^{x^2} (1+t^2)^{-3} dt$.

21. Без вычисления интеграла найдите f'(x), если f задана формулой$f(X) = int limits_{x^3}^{x^2} frac{t^6}{1+t^4} dt$

22. Вычислите f(2), если f непрерывна и удовлетворяет следующему условию для всех x ≥ 0:$int limits_0^{f(x)} t^2 dt = x^2 (1+x)$

23. Основание твердого тела — множество ординат неотрицательной функции f' на интервале [0, a]. Все поперечные сечения, перпендикулярные этому интервалу — квадраты. Объем этого тела равен a3 — 2acosa + (2 — a2)sinaдля любого a ≥ 0. Предположите, что f непрерывна на [0, a], и вычислите f(a).

24. Механизм толкает частицу вдоль прямой линии. Он устроен так, что смещение частицы в момент времени t относительно начальной точки 0 на линии выражается формулой f(t) = t2/2 + 2tsint. Механизм работал идеально до момента времени t = π , когда случилась поломка.

После этого частица движется с постоянной скоростью (ее скоростью в момент времени t = π). Вычислите следующее: (a) ее скорость в момент времени t = π; (b) ее ускорение в момент времени t = π/2; (c) ее ускорение в момент времени t = 3π/2; (d) ее перемещение от 0 до t = 5π/2.

(e) Найдите то время t > π, когда частица вернется в начальную точку 0, или докажите, что она никогда не вернется в 0.

25. Частица движется вдоль прямой линии. Ее координата задается функцией f(t). Когда 0 ≤ t ≤ 1, ее координата дается интегралом$f(t) = int limits_0^t frac{1+2sin XX cos pi x}{1+x^2} dx$

(не пытайтесь вычислить этот интеграл.) Когда t ≤ 1,частица движется с постоянным ускорением (ее ускорением на момент времени t = 1). Вычислите следующее: (a) ее ускорение в момент времени t = 2; (b) ее скорость в момент времени t = 1; (c) ее скорость для t > 1; (d) разность f(t) -f(l), когда t > 1.

26.

Для каждого варианта найдите функцию f с непрерывной второй производной f'', которая удовлетворяет всем заданным условиям, или покажите, почему такая функция не существует:(a) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f'(1) = 0.(b) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f'( 1) = 3.(c) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f(x) ≤ 100 для всех x > 0.

(d) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f(x) ≤ 100 для всех x < 0.

Источник: https://www.math10.com/ru/vysshaya-matematika/integrirovanie-diferencirovanie.html

прикладная математика

     Производная от интеграла по его верхнему пределу.

     I. Интеграл с переменным верхним пределом. Будем считать нижний предел интеграла постоянным, а верхний переменным.

Придавая верхнему пределу различные значения, будем получать соответствующие значения интеграла; следовательно, при рассматриваемом условии интеграл является функцией своего верхнего предела.

     Независимая переменная в верхнем пределе обычно обозначается той же буквой, скажем (x), что и переменная интегрирования. Таким образом, например, записывают $$I(x)=int_{a}^{x}{f(x)dx}.

$$
     Однако переменная (x) в подынтегральном выражении служит лишь вспомогательной переменной — переменной интегрирования, пробегающей в процессе составления интеграла (суммирования) значения от (a) до (x) — верхнего предела интеграла.

Если нам нужно вычислить частное значение функции (I(x)), например при (x=b), т.е. (I(b)), то мы подставим (b) вместо (x) в верхний предел интеграла, но, разумеется, не будем подставлять (b) вместо переменной интегрирования. Поэтому нагляднее было бы употреблять такую запись: $$I(x)=int_{a}^{x}{f(t)dt},$$ взяв для переменной интегрирования какую-нибудь другую букву (здесь (t)).
     Свойства интеграла относятся и к интегралу с переменным верхним пределом.

     II. Производная от интеграла. Весьма важно изучить связь между функцией (I(x)) и данной подынтегральной функцией (f(x)).

     Теорема о производной интеграла по верхнему пределу. Производная от интеграла по его верхнему пределу равна подынтегральной функции

$$I'(x)=(int_{a}^{x}{f(x)dx})'=f(x).$$ (1)

Иными словами: интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции.

     Доказательство. Придадим аргументу (x) приращение (Delta x). Тогда наращенное значение функции (I(x)) будет $$I(x+Delta x)=int_{a}^{x+Delta x}{f(x)dx}.$$

Значит, $$Delta I=I(x+Delta x)-I(x)=int_{a}^{x+Delta x}{f(x)dx}-int_{a}^{x}{f(x)dx}.$$
     Применяя к первому интегралу справа теорему о разбиении интервала интегрирования, получим $$Delta I=int_{a}^{x}{f(x)dx}+int_{x}^{x+Delta x}{f(x)dx}-int_{a}^{x}{f(x)dx}=int_{x}^{x+Delta x}{f(x)dx}.$$ Последний интеграл по теореме о среднем равен $$Delta I=f(xi )(x+Delta x-x)=f(xi )Delta x,$$ где (xi) — точка, лежащая между (x) и (x+Delta x.)
     По определению производной имеем $$I'(x)=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{Delta I}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}frac{f(xi )Delta x}{Delta x}=lim_{Delta x
ightarrow 0}f(xi ).$$ Но если (Delta x
ightarrow 0), то (x+Delta x) стремится к (x); поэтому и подавно (xi
ightarrow x), а так как (f(x)) — непрерывная функция, то $$lim_{Delta x
ightarrow 0}f(xi )=lim_{xi
ightarrow x}f(xi )=f(x),$$ что и требовалось доказать.

     Из теоремы также следует, что

$$dint_{a}^{x}{f(x)dx}=f(x)dx.$$ (2)

     Необходимо заметить, что результаты в формулах (1) и (2) не зависят от обозначения переменной интегрирования; имеют место, например, такие равенства:

$$frac{d}{dx}int_{a}^{x}{f(t)dt}=f(x),$$ $$dint_{a}^{x}{f(t)dt}=f(x)dx.$$

Производная интеграла

     Геометрический смысл теоремы. Функция (I(x)) выражает переменную площадь криволинейной трапеции с переменным основанием ([a,x]), ограниченной линией (y=f(x)).

В теореме утверждается, что производная от площади трапеции по абсциссе равна ординате линии, ограничивающей трапецию (отрезок (AB=f(x)) на рис.

1), или что дифференциал площади трапеции равен площади прямоугольника (ABDE) со сторонами, равными соответственно приращению основания трапеции и ординате линии в крайней точке.

Нравится | +25

2012-11-06 • Просмотров [ 19310 ]

Источник: http://primat.org/publ/spravochnye_materialy/proizvodnaja_ot_integrala_po_ego_verkhnemu_predelu/37-1-0-720

Производная дифференциал и интеграл (стр. 1 из 5)

Контрольная работа

по высшей математике Содержание:

Читайте также:  Формула мощности

1. Пределы последовательностей и функций. 2

2. Производная и дифференциал. 3

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4

4. Неопределенный интеграл. 7

5. Определенный интеграл. 9

6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений. 11

Литература. 12

Числовой последовательностью

называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: .

В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности

, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер , зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е. при .

Если последовательность

имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом: .

Пусть функция

определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А называется пределом функции

в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е. .

  • Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при
  • Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке
  • Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при
  • Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке
  • Примеры
  • Найти предел функции

, если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности будет меньше e, когда абсолютная величина разности будет меньше , но больше нуля , если при . ». , если для любого числа существует такое число d, что при всех справедливо неравенство : . , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Решение: Имеем неопределенность вида

. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Пусть функция

определена в некоторой окрестности точки .

Производной функции

в точке называется предел отношения , когда (если этот предел существует). Производная функции в точке обозначается .

Например, выражение

следует понимать как производную функции в точке .

Определение производной можно записать в виде формулы

. (4.1)

Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция

не имеет производной в точке . Если предел (4.1) равен , то говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.

В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции

интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что – это тангенс угла наклона касательной к графику в точке .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.

Если функции

дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и справедливы следующие формулы

Источник: https://mirznanii.com/a/314378/proizvodnaya-differentsial-i-integral

Для чего был изобретен интеграл и дифференциал, какое математическое действие лежит в их основе и их значение для естественных и технических наук?

Давайте начнем с дифференциала, а точнее с производной, потому что о ней речь заходит у всех еще в школе. Из школьного определения мы знаем «Производная это отношение приращения функции к приращению аргумента». Проще говоря это отношение изменения функции к изменению аргумента, но эта фраза тоже может быть понятна не всем.

Функция это некая величина, которая меняется в некоторой зависимости от другой величины — аргумента. Таким образом производная показывает нам во сколько раз функция изменяется быстрее (или медленнее), чем аргумент. Теперь уточним что такое «приращение».

Вообще производная это отношение дифференциалов, а дифференциал некоторой величины это бесконечно малое ее изменение, то есть разница между некоторым начальным и конечным значением, только эти значения мы берем максимально близко друг к другу, как бы изучая изменение функции на каждом максимально маленьком ее участке.

Самое очевидное приложение в естественно научной области это описание зависимости изменения расстояния, пройденного некоторым объектом от времени.

Разделив бесконечно малое изменение расстояния на соответствующий ему бесконечно малый момент времени (dS/dt, где буква d обозначает что мы берем не абсолютные величины а дифференциалы) мы получим так называемую мгновенную скорость, то есть скорость, которую имел объект в конкретный момент времени.

Естественно что эта скорость в другой момент времени может отличаться и тут уже находит свое приложение интеграл. Интегрируя какое то дифференциальное уравнение мы проводим суммирование по некоторой переменной.

Обращаясь к нашему примеру со скоростью проинтегрировав по dt в определенных пределах (эти пределы это тоже значения времени но уже не бесконечно близко стоящие друг к другу а какие то реальные, пусть от 0 секунд до 60, например) мы получим среднюю скорость объекта, которую он имел на протяжении этой минуты. Приложение дифференциалов и интегралов в естественных науках невероятно велико и данный пример с скоростью движения просто простейшая иллюстрация, переоценить вклад этого математического аппарата в естественные науки невозможно.

Вообще дифференциально-интегральные исчисления это огромная часть математики именуемая математическим анализом, она несет в себе гораздо гораздо больше чем я написал, это целые курсы лекций как на естественно-научных специальностях, так и на непосредственно математических.

Добавлю так же что описное мной выше станет гораздо понятнее если обратится к какому нибудь учебнику, наверное даже, по школьной физике или математике, в котором будут графики зависимости расстояния от времени и на них будут схематично изображены дифференциалы, там же должны быть приведены схожие с моими рассуждения.

  • Добавлю к вышесказанному.
  • Давайте попробуем определить скорость объекта, который движется из пункта А в пункт Б, между которыми расстояние 100 метров.
  • Для примера возьмем, что объект прошел это расстояние за 10 сек. Следовательно, средняя скорость равно 100 / 10 = 10 м/с
  • Но ведь объект мог двигаться не с постоянной скорость, а следующим образом:
  • Первые 50 метров объект мог проехать за 8 сек, а следующие 50 метров за 2 сек.

Получается, что ср. скорость на первых 50 метрах была равна 6.25 м/с (50 / 8), а ср. скорость последующих 50 метров была равна 25 м/с (50 / 2).

Логично, что скорость объекта могла меняться и еще чаще. Возьмем вторую половину пути (50 метров пройдены за 2 сек.).

Теперь представим, что 25 м из этих 50 объект прошел за 1.5 сек, а вторые 25 метров за 0.5 сек.

Высчитываем среднюю скорость для первых 25 метров 25 / 1.5 = 16.7 м/с, а для последующих 25 метров скорость равна 25 / 0.5 = 50 м/с

У меня бы возник вопрос, а вот если взять и в какой — нибудь момент остановить время и объект замрет. Вот теперь у объекта есть некая скорость, с которой он тут же поедет, если снова разморозить время. Это и называется мгновенной скоростью.

Теперь представте, что вы замораживаете время в разные моменты пути и у объекта мгновенная скорость всегда будет различаться.

Вот производная и является этой мгновенной скоростью. То есть производная высчитывается для каждой точки (момента на пути) отдельно.

Производная показывает скорость изменения функции. Самый элементарный пример — это расстояние, скорость, ускорение. Если мы движемся с постоянной скоростью, 5 м/с, то в первую секунду мы будем находиться на расстоянии 5 м от начала, во вторую 10 м от начала и т.д., а производная от нашего места положения — это и есть скорость 5 м/с.

Если же у нас неравномерное (равнопеременное) движение, например — свободное падения в гравитационном поле Земли, то в первую секунду наша скорость будет 9,81 м/с, во вторую 9,81*2 и т.д.

В данном случае скорость — производная от места положения (не является прямой, и наклонной), а производная от неё — ускорение (в данном случае ускорение свободного падения), показывает, как быстро изменяется скорость за единицу времени.

Интеграл — это обратное действие производной, как деление — это обратное действие умножения. Проинтегрировав функцию скорости и зная место положения в начальный момент времени, мы получим функцию координат, проитегрировав ускорение — скорость и т.д.

Употребляется везде в более сложных вычислениях, будь то строительство, проектирование, моделирование, электроника и т.д.

Например, незаурядный ландшафт, и задание — построить дорогу наименьшего расстояния от точки А до точки Б, но так, чтобы она не проходила по впадинам; производная из функции мощности источника тока покажет наиболее эффективное значение тока; расчет формы провисания моста, формы опор, утолщение (утончение) опорных столбов и т.д. в целях 100% надежности и наименьшей затратности. И т.д. и т.п.

Этот ответ написан и доступен на

Этот ответ написан и доступен на Яндекс Кью

В отличие от других ответчиков я начну с интеграла, а не с производной. Интеграл в жизни имеет конкретный физический смысл. Это площадь фигуры ограниченной осью абцисс Х и графиком функции. Далеко от жизни? Сейчас приблизим. Представим себе машину, которая едет.

Отложим по оси Х время в пути, а по Y — скорость в каждый, конкретный момент времени, и начертим график скорости от времени. Если скорость постоянная — это будет горизонтальная прямая. Фигура ограниченная этой прямой и осью Х — будет прямоугольником. Ширина прямоугольника — время в пути, а высота — скорость машины. Ширина*высота=площадь. Но при этом время*скорость=расстояние. Т.е.

расстояние равно площади! И пройденное расстояние — это интеграл скорости.

А теперь начинается магия математики. Как посчитать путь, который пройдет машина, если у неё непрерывно меняется скорость, и её график извилистая кривая? А очень просто.

Ведь ничего не изменилось — надо только найти площадь фигуры на графике! Как мы будем искать эту площадь — не важно. Можно просто посчитать клеточки на бумаге (это будет численным интегрированием, которое всегда приблизительное).

А если скорость описана функцией от времени — можно найти её интеграл и сразу получить точный ответ.

А диференцирование — это это действие обратное интегрированию. Если продиференцировать функцию расстояния от времени, которую получили интегрированием скорости — мы обратно получим скорость. Ту самую скорость, с которой меняется пройденный путь машины.

Сейчас скорость большая, километровые столбы мелькают, и пройденный путь быстро растет, а когда скорость падает и пройденные километры набираются медленно. На графике пути от времени, скорость это наклон самого графика. Грфик идет вверх — скорость положительная, мы едем вперед и расстояние растет.

График пошел вниз — скорость отрицательная, мы едем обратно, а расстояние до точки старта уменьшается. График горизонтальная линия (наклона нет) -скорость равна нулю, мы стоим и расстояние неизменно.

Немного решил дописать.

Вообще интеграл в изменяющихся физических процессах очень востребован. А любой процесс описывает какую-то жизненную ситуацию.

Это сколько воды натекло через трубу в пресловутый бассейн при переменном напоре. Сколько киловатт накрутил электросчетчик при переменной нагрузке на сеть. До какой температуры нагрелась вода в кастрюле, если в процессе нагрева мы регулировали мощность плиты.

Любой процесс изменяемый во времени можно интегрировать и получить полезный результат. То же касается и дифенциала, который показывает скорость изменения общего результата.

Источник: https://TheQuestion.ru/questions/69129/dlia_chego_byl_izobreten_integral_i_kakoe_2ade3dcf

Ссылка на основную публикацию