Равнобедренный треугольник, формулы и примеры

• РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
• Равные стороны называются боковыми, третья сторона – основанием.
• 
• ТЕОРЕМА: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА: Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный.
• ТЕОРЕМА: В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
• 
• Свойства равнобедренного треугольника

1. В равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.

1. В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны.

1. В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к боковым сторонам, равны.

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника

1. У равностороннего треугольника все углы равны 60°.

1. В равностороннем треугольнике медианы, проведённые из всех вершин являются биссектрисами и высотами.

1. Длины высот, медиан и биссектрис, проведённых к каждой из сторон равностороннего треугольника, равны.

(рисунок сверху)

1. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром равностороннего (правильного) треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

1. Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности (рисунок сверху).

2. Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности (рисунок сверху).

3. Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе:

1. Радиус описанной около равностороннего треугольника со стороной а окружности вычисляется по формуле:

1. Радиус вписанной в равносторонний треугольник со стороной а окружности вычисляется по формуле:

1. Высота равностороннего треугольника со стороной а окружности вычисляется по формуле:

1. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формулам (а – сторона треугольника, – высота, r – радиус вписанной окружности,R– радиус описанной окружности):

1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
2. Прямоугольным называется треугольник, у которого один угол прямой (равен 90°).
3. Стороны, составляющие прямой угол называются катетами, третья сторона называется гипотенузой.
4. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
5. ТЕОРЕМА: Если гипотенуза и один острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и одному острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
6. ТЕОРЕМА: Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
7. ТЕОРЕМА: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
8. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА:В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
9. Свойства прямоугольного треугольника

1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90° (рисунок сверху).

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов (рисунок сверху).

3. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30° равен половине гипотенузы.

4. Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.

1. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.

1. Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности или радиус описанной окружности, прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.

2. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности (AO – медиана)

1. Длина медианы, проведённой из вершины прямого угла (к гипотенузе), равна половине гипотенузы.

2. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу (h – высота, проведённая к гипотенузе, а – гипотенуза, bи с — катеты)

1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит его на подобные треугольники.

1. Высота, проведённая к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу ( т.е. между проекциями катетов на гипотенузу)

1. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

1. Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух радиусов вписанной и четырёх радиусов описанной окружностей.

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

• ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
• В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
• Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Источник: https://infourok.ru/ravnobedrenniy-ravnostoronniy-i-pryamougolniy-treugolniki-2832541.html

Особенности равнобедренного треугольника, формула и площадь, расчет / математика

равнобедренный треугольник Это трехсторонний многоугольник, где два из них имеют одинаковое измерение, а третья сторона — другое измерение. Эта последняя сторона называется базой. Из-за этой характеристики ему было дано это имя, которое в переводе с греческого означает «равные ноги».

Треугольники — это многоугольники, которые считаются простейшими в геометрии, потому что они образованы тремя сторонами, тремя углами и тремя вершинами. Это те, которые имеют наименьшее количество сторон и углов относительно других многоугольников, однако его использование очень обширно.

индекс

• 1 Характеристика равнобедренных треугольников
• 2 свойства
  • 2.1 Внутренние углы
  • 2.2 Сумма сторон
  • 2.3 Конгруэнтные стороны
  • 2.4 Конгруэнтные углы
  • 2.5 Высота, медиана, биссектриса и биссектриса совпадают
  • 2.6 Относительные высоты
  • 2.7 Ортоцентр, барицентр, стимулятор и окрицентр совпадают
• 3 Как рассчитать периметр?
• 4 Как рассчитать высоту?
• 5 Как рассчитать площадь?
• 6 Как рассчитать основание треугольника?
• 7 упражнений
  • 7.1 Первое упражнение
  • 7.2 Второе упражнение
  • 7.3 Третье упражнение
• 8 ссылок

Характеристика равнобедренных треугольников

Равнобедренный треугольник был классифицирован с использованием меры его сторон в качестве параметра, поскольку две его стороны являются конгруэнтными (они имеют одинаковую длину).

По амплитуде внутренних углов равнобедренные треугольники классифицируются как:

• Прямоугольный равнобедренный треугольник: две его стороны равны. Один из его углов прямой (90или) и остальные одинаковы (45или каждый)
• Равнобедренный тупой угол треугольника: две его стороны равны. Один из его углов тупой (> 90или).
• Равнобедренный острый угловой треугольник: две его стороны равны. Все его углы острые (< 90или), где два имеют одинаковую меру.

компоненты

• Медиана: линия, которая выходит из средней точки одной стороны и достигает противоположной вершины. Три медианы совпадают в точке, называемой центроид или центроид.
• Биссектриса: это луч, который делит угол каждой вершины на два угла одинакового размера. Вот почему он известен как ось симметрии, и этот тип треугольников имеет только один.
• Посредник: это сегмент, перпендикулярный стороне треугольника, который начинается в середине этого. В треугольнике три медиатека, и они совпадают в точке, которая называется circuncentro..
• Высота: линия, идущая от вершины к противоположной стороне, а также эта линия перпендикулярна этой стороне. Все треугольники имеют три высоты, которые совпадают в точке, называемой ортоцентром.

свойства

Равнобедренные треугольники определены или идентифицированы, потому что у них есть несколько свойств, которые представляют их, возникшие из теорем, предложенных великими математиками:

Внутренние углы

Сумма внутренних углов всегда равна 180или.

Сумма сторон

Сумма мер двух сторон всегда должна быть больше меры третьей стороны, a + b> c.

Конгруэнтные стороны

Равнобедренные треугольники имеют две стороны с одинаковой мерой или длиной; то есть они совпадают, и третья сторона отличается от этих.

Конгруэнтные углы

Равнобедренные треугольники также известны как треугольники изо-углов, потому что они имеют два угла, которые имеют одинаковую меру (конгруэнтность). Они расположены в основании треугольника, напротив сторон, которые имеют одинаковую длину.

Из-за этого теорема, которая устанавливает, что:

«Если треугольник имеет две конгруэнтные стороны, углы, противоположные этим сторонам, также будут конгруэнтными». Поэтому, если треугольник равнобедренный, углы его оснований конгруэнтны.

пример:

На следующем рисунке показан треугольник ABC. Прослеживая его биссектрису от вершины угла B до основания, треугольник делится на два треугольника, равных BDA и BDC:

Таким образом, угол вершины B также был разделен на два равных угла. Биссектриса теперь является стороной (BD), общей для этих двух новых треугольников, в то время как стороны AB и BC являются конгруэнтными сторонами. Таким образом, у вас есть случай конгруэнтной стороны, угла, стороны (LAL).

Это показывает, что углы вершин A и C имеют одинаковую меру, также как можно показать, что поскольку треугольники BDA и BDC являются конгруэнтными, стороны AD и DC также конгруэнтны..

Высота, медиана, биссектриса и биссектриса совпадают

• Линия, проведенная от вершины, противоположной основанию, до середины основания равнобедренного треугольника, представляет собой одновременно высоту, медиану и биссектрису, а также биссектрису относительно противоположного угла основания.
• Все эти сегменты совпадают в одном, представляющем их.
• пример:
• На следующем рисунке показан треугольник ABC со средней точкой M, который делит основание на два сегмента BM и CM.

Когда вы рисуете сегмент от точки M до противоположной вершины, по определению вы получаете медиану AM, которая относится к вершине A и стороне BC.

Поскольку сегмент AM делит треугольник ABC на два равных треугольника AMB и AMC, это означает, что будет выбран случай совпадения стороны, угла, стороны и, следовательно, AM также будет биссектрисом BÂC..

Вот почему биссектриса всегда будет равна медиане и наоборот.

Сегмент AM образует углы, которые имеют одинаковую меру для треугольников AMB и AMC; то есть они являются дополнительными таким способом, которым мера каждого из них будет:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180или

1. 2 * Med. (AMC) = 180или
2. Med. (AMC) = 180или ÷ 2
3. Med. (AMC) = 90или
4. Может быть известно, что углы, образованные сегментом AM относительно основания треугольника, являются прямыми, что указывает на то, что этот сегмент полностью перпендикулярен основанию.
5. Следовательно, он представляет высоту и биссектрису, зная, что М — это середина.
6. Поэтому прямая AM:

• Представляет высоту БК.
• Это средний.
• Содержится в медиатрике Британской Колумбии.
• Это биссектриса угла вершины

Относительные высоты

Высоты, которые относятся к равным сторонам, имеют ту же меру также.

Поскольку равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, их две соответствующие высоты также будут равны.

Ортоцентр, барицентр, стимулятор и круговой центр совпадают

Поскольку высота, медиана, биссектриса и биссектриса по отношению к основанию, представлены в одно и то же время одним и тем же сегментом, ортоцентр, центроцентрический стимулятор и круговой центр будут коллинеарными точками, то есть они будут находиться на одной линии:

Как рассчитать периметр?

• Периметр многоугольника рассчитывается по сумме сторон.
• Так как в этом случае равнобедренный треугольник имеет две стороны с одинаковой мерой, его периметр рассчитывается по следующей формуле:
• P = 2*(сторона а) + (сторона б).

Как рассчитать высоту?

Высота — это линия, перпендикулярная основанию, делит треугольник на две равные части, простираясь до противоположной вершины..

Высота представляет противоположную ногу (а), половину основания (b / 2) к соседней ноге, а сторона «а» представляет гипотенузу..

1. Используя теорему Пифагора, вы можете определить значение высоты:
2. в2 + б2 = с2
3. где:
4. в2 = высота (ч).
5. б2 = б / 2.
6. с2 = сторона а.
7. Подставляя эти значения в теорему Пифагора, и очищая высоту, мы имеем:
8. час2 + (б / 2)2 = в2
9. час2 + б2 / 4 = в2
10. час2 = в2 — б2 / 4
11. h = √ (в2 — б2 / 4).
12. Если угол, образованный конгруэнтными сторонами, известен, высоту можно рассчитать по следующей формуле:

Как рассчитать площадь?

Площадь треугольников всегда рассчитывается по одной и той же формуле, умножая основание на высоту и деля на два:

Есть случаи, когда известны только измерения двух сторон треугольника и угла, образованного между ними. В этом случае для определения площади необходимо применять тригонометрические соотношения:

Как рассчитать основание треугольника?

Поскольку равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, для определения значения его основания необходимо знать хотя бы меру высоты или один из его углов..

• Зная высоту, теорема Пифагора используется:
• в2 + б2 = с2
• где:
• в2 = высота (ч).
• с2 = сторона а.
• б2 = b / 2, неизвестно.
• Мы очистили б2 формулы и мы должны:
• б2 = а2 — с2
• б = √ а2 — с2
• Поскольку это значение соответствует половине основания, его необходимо умножить на два, чтобы получить полную меру основания равнобедренного треугольника:
• б = 2 * (√ а2 — с2)

В случае, когда известны только значения его равных сторон и угла между ними, применяется тригонометрия, проводящая линию от вершины до основания, которая делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника..

Таким образом, половина базы рассчитывается с помощью:

Также возможно, что известно только значение высоты и угла вершины, противоположной основанию. В этом случае по тригонометрии можно определить основание:

обучение

Первое упражнение

Найдите площадь равнобедренного треугольника ABC, зная, что две его стороны имеют размер 10 см, а третья сторона имеет размер 12 см..

решение

Чтобы найти площадь треугольника, необходимо рассчитать высоту по формуле площади, связанной с теоремой Пифагора, поскольку значение угла, образованного между равными сторонами, неизвестно..

У нас есть следующие данные равнобедренного треугольника:

• Равные стороны (а) = 10 см.
• Основание (б) = 12 см.

Значения в формуле заменяются:

Второе упражнение

Длина двух равных сторон равнобедренного треугольника составляет 42 см, объединение этих сторон образует угол 130или. Определите значение третьей стороны, площадь этого треугольника и периметр.

решение

В этом случае измерения сторон и угла между ними известны.

Чтобы узнать значение отсутствующей стороны, то есть основания этого треугольника, перпендикулярно к нему рисуется линия, разделяющая угол на две равные части, по одной на каждый сформированный прямоугольный треугольник..

• Равные стороны (а) = 42 см.
• Угол (Ɵ) = 130или

1. Теперь по тригонометрии вычисляется значение половины основания, что соответствует половине гипотенузы:
2. Чтобы вычислить площадь, необходимо знать высоту этого треугольника, которую можно вычислить с помощью тригонометрии или теоремы Пифагора, теперь, когда значение основания уже определено.
3. По тригонометрии это будет:
4. Периметр рассчитывается:
5. P = 2*(сторона а) + (сторона б).
6. P = 2* (42 см) + (76 см)
7. P = 84 см + 76 см
8. P = 160 см.

Третье упражнение

• Рассчитайте внутренние углы равнобедренного треугольника, зная, что угол основания равен 55или
• решение
• Чтобы найти два недостающих угла (Ê и Ô), необходимо запомнить два свойства треугольников:

• Сумма внутренних углов каждого треугольника всегда будет = 180или:

В + Ê + Ô = 180 или

• В равнобедренном треугольнике углы основания всегда совпадают, то есть имеют одинаковую меру, поэтому:

1. Â = Ô
2. 55 = 55или
3. Чтобы определить значение угла Ê, подставьте значения других углов в первое правило и очистите Ê:
4. 55или + 55или + 180 = 180 или
5. 110 или + 180 = 180 или
6. 180 = 180 или — 110 или
7. 70 = 70 или.

ссылки

1. Альварес Э. (2003). Элементы геометрии: с многочисленными упражнениями и геометрией компаса. Университет Медельина.
2. Альваро Рендон, A.R. (2004). Технический чертеж: тетрадь деятельности.
3. Ангел А.Р. (2007). Элементарная алгебра Пирсон Образование.
4. Артур Гудман, Л. Х. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Пирсон Образование.
5. Балдор А. (1941). Алгебра. Гавана: культура.
6. Хосе Хименес, Л.Дж. (2006). Математика 2.
7. Тума, J. ​​(1998). Инженерно-математический справочник. Wolfram MathWorld.

Источник: https://ru.thpanorama.com/articles/matemticas/tringulo-issceles-caractersticas-frmula-y-rea-clculo.html

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренным треугольником называется фигура с двумя равными сторонами. В этом случае третья сторона считается основанием, а равные стороны – боковыми.

Если все стороны треугольника равны, то он считается правильным. Правильный треугольник также является равнобедренным.
Равнобедренный треугольник отличается следующими свойствами:

• Углы (α) при основании равны;
• Биссектрисы, медианы и высоты, исходящие из этих углов также равны между собой;
• Центры описанной и вписанной окружности лежат на одной прямой;
• Биссектриса, медиана и высота, проведенные из угла β к основанию b, равны между собой.

Существует множество способов нахождения площади равнобедренного треугольника. Для начала рассмотрим классический метод, для которого потребуется высота и основание. Зная эти параметры можно применить формулу площади равнобедренного треугольника:

То есть площадь равнобедренного треугольника равняется произведению высоты на половину длины основания.

Рассмотрим пример расчета площади равнобедренного треугольника.
Задача: дан треугольник, в котором основание равно 4 см, а высота 6 см. Найдите площадь.
Подставляем данные в формулу:
Площадь треугольника равняется 12 кв. см

Также найти площадь можно по формуле площади через три стороны, или как еще говорят – формуле Герона. Во многих случаях это значение находится через радиус вписанной окружности.
Найти площадь фигуры через стороны, применив метод Герона, можно по этой формуле.

Это выражение можно преобразовать в сокращенную формулу:

Рассмотрим на примере.
В равнобедренном треугольнике основание b= 3 см, а сторона a= 6 см. Подставим значения в формулу:
или
Зная стороны, мы легко определили, что S = 8,7 кв. см

Для вычислений можно использовать две равные стороны и угол между ними.

Источник: https://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-ravnobedrennogo-treugolnika/