Решение уравнений с дробями, формулы и примеры

Линейные уравнения с дробями не содержат переменной в знаменателе. Чтобы решить линейное уравнение с дробями, удобно избавиться от знаменателей.

Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей и обе части уравнения умножить на это число.

   

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 6. Дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 3, к 5 — 6. Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:

•    
• В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем линейное уравнение, не содержащее дробей.
•    
• Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
•    
•    
•    
• Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
•    
• Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть
• Ответ: -4 6/7.
•    
• Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 20. Найдем дополнительный множитель к каждой дроби и умножим обе части уравнения на 20:
•    

Можно, конечно, сразу же умножить дополнительный множитель на числитель каждой дроби. Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Скобки — друзья ученика :). Поэтому лучше воспользоваться их помощью:

1.    
2. Особенно полезны скобки в случае, когда перед дробью стоит знак «минус».
3. После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.
4. Ответ: -34.
5. Здесь наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби и умножаем обе части уравнения на 12:
6. Раскрываем скобки и упрощаем
7. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
8. Ответ: -5.
9. Уравнения такого вида можно решить, использовать основное свойство пропорции (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов):
10. при делении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому минусы можно сразу же не писать.
11. Если это возможно, лучше ответ записать в виде десятичной дроби:
12. Ответ: 0,1875.

Источник: http://www.algebraclass.ru/linejnye-uravneniya-s-drobyami/

Матвокс ⋆ решение дробных уравнений. пример 8 ⋆ энциклопедия математики

Для решения этого уравнения не будем применять основное свойство пропорций.

Перенесем все в левую часть уравнения:

• На этом шаге нужно приводить все слагаемые к общему знаменателю.
• Если внимательно посмотреть на знаменатели дробей, то можно увидеть, что один из них – это квадратный трехчлен.
• В таких ситуациях нужно всегда пытаться разложить его на множители, так как это может позволить упростить поиск общего знаменателя.
• Таким образом, разложим на множители:

Для этого приравняем к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

Корнями квадратного уравнения будут:

И:

Разложим уравнение на множители:

Уравнение примет вид:

Очевидно, данное разложение на множители сильно упростило дальнейшие вычисления.

Приведем слагаемые к общему знаменателю и запишем в виде одной дроби:

Отсюда:

1. Упростим:
2. Отсюда:

В числителе записано выражение, а не число, значит переходим к шагу 7.

• Приравняем числитель к нулю и решим полученное уравнение:
• Так как можно все элементы уравнения делить на любое число, отличное от нуля, то разделим их на -2:
• Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
• Корнями квадратного уравнения будут:
• и
• Полученные корни не сложные для дальнейших вычислений, и, если посмотреть на знаменатель, то и он не сложный для нахождения ОДЗ.
• Поэтому в данном случае можно выбрать любой из вариантов алгоритма.

Найдем ОДЗ изначального уравнения. Поэтому переходим к шагу 9 алгоритма.

1. Найдем значения, при которых знаменатель изначального уравнения не равен нулю:
2. Произведение не равно нулю, когда каждый из множителей не равен нулю:
3. Отсюда:

• На этом шаге выберем корни уравнения, полученные на шаге 7, попадающие в ОДЗ.
• Итак:
• и
• При этом:
• и
• Таким образом, корень, равный -2 не попадает в ОДЗ, и значит его нужно исключить из ответа.

Можно провести проверку корня.

1. Ответ:
2. Корень дробного уравнения равен 1:

Источник: https://mathvox.ru/algebra/uravneniya-reshenie-uravnenii/glava-3-drobnie-uravneniya/reshenie-drobnih-uravnenii-primer-8/

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

• Например, как решить дробное уравнение:
  x/5+4=9
  Умножаем обе части на 5. Получаем:
  х+20=45
• x=45-20=25
• Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:
• b/x + c = d
• Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.
• Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

• значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
• нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

1/x + 2 = 5

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

1. Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х
2. 1 + 2x = 5х
3. И решаем обычное уравнение
4. 5x – 2х = 1
   3x = 1
5. х = 1/3
6. Ответ: х = 1/3
7. Решим уравнение посложнее:

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

• Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:
• 4 = х + 2
• х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ
• Ответ: х = 2.
• Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в х.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/Kak-reshat-uravneniya-s-drobyami

Уравнение неизвестный числитель дроби. Как решать уравнения с дробями по математике

Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой. Чаще всего используют буквы « x » [икс] и « y » [игрек].

Корень уравнения
— это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.

Решить уравнение
— значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

Информация для родителей

Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему «Отрицательные числа».

Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже.

Освежить знания по понятиям, связанным со сложением, вычитанием, умножением и делением вы можете в уроке «Законы арифметики».

Решение уравнений на сложение и вычитание

• Как найти неизвестноеслагаемое
• Как найти неизвестноеуменьшаемое
• Как найти неизвестноевычитаемое
• Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.
• x + 9 = 15x = 15 − 9x = 6
• Проверка
• x − 14 = 2x = 14 + 2x = 16
• Проверка
• 16 − 2 = 1414 = 14
• 5 − x = 3x = 5 − 3x = 2
• Проверка

Решение уравнений на умножение и деление

1. Как найти неизвестныймножитель
2. Как найти неизвестноеделимое
3. Как найти неизвестныйделитель
4. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
5. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
6. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
7. y · 4 = 12y = 12: 4y = 3
8. Проверка
9. y: 7 = 2y = 2 · 7y = 14
10. Проверка
11. 8: y = 4y = 8: 4y = 2
12. Проверка
13. Уравнение — это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти.

    Решение уравнения — это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство:

14. Напомним, что для решения уравнении
    надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство:
15. Из последнего равенства определим неизвестное по правилу: «один из множителей равен частному, деленному на второй множитель».
16. Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.

Порядок решения линейных уравнений

• Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).
• Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа — в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,
• Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax
  = b
  .
• Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х
  из равенства x
  = b
  : a
  ),
• Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.
• Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

Особые случаи решения уравнений

1. Если уравнение
   задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».

1. 27 (x
   — 3) = 0 27 не равно 0, значит x
   — 3 = 0
2. У второго примера два решения уравнения, так как это уравнение второй степени:
3. Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей.

   Для этого:

4. Найти общий знаменатель;
5. Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;
6. Умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);
7. Перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые — в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;
8. Привести подобные члены;

Основные свойства уравнений

• В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.
• Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.
• В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

Как решить уравнение с неизвестным в дроби

Иногда линейные уравнения принимают вид, когда неизвестное
оказывается в числителе одной или нескольких дробей. Как, например, в уравнении ниже.

В таких случаях подобные уравнения можно решить двумя способами.

I способ решения Сведение уравнения к пропорции

При решении уравнений способом пропорции необходимо выполнить следующие действия:

привести все дроби к общему знаменателю и сложить их как алгебраические дроби (в левой и правой части должно остаться только по одной дроби);

полученное уравнение решить по правилу пропорции.

Итак, вернемся к нашему уравнению. В левой части у нас и так стоит только одна дробь, поэтому в ней не нужны никакие преобразования.

Будем работать с правой частью уравнения. Упростим правую часть уравнения так, чтобы там осталась только одна дробь. Для этого вспомним правила сложения числа с алгебраической дробью.

Теперь используем правило пропорции и решим уравнение до конца.

Источник: https://svfan.ru/uravnenie-neizvestnyi-chislitel-drobi-kak-reshat-uravneniya-s-drobyami-po/

Действия с дробями 7 класс, повторение, сравнение, сокращение, решение уравнений

В начале первой четверти семиклассники на уроках математики активно повторяют все действия, как с обыкновенными, так и с десятичными дробями. И делают они это не просто так.

В 7 классе по программе обучения начинается алгебра. Дроби будут состоять уже из алгебраических выражений, многочленов. Все действия с такими уже дробями основываются на умении решать обыкновенные дроби в пятом шестом классе.

Дроби повторение 7 класс

Повторение начинается с самых простых примеров на все арифметические действия с обыкновенными дробями. Не забываем, что там где знаменатели разные следует найти общий, и только потом выполнять действия.

Сравнение дробей 7 класс

Для того, чтобы научиться сравнивать дроби, нужно узнать несколько способов по их сравнению, и выбрать для себя более понятный и удобный.

Основные правила сравнения дробей:

В первом правиле мы сравниваем только числители, так как знаменатели равны. Мы уже говорили, что знамен.-это общее количество долей, а числитель показывает сколько их взято из общего, следовательно, чем больше долей взято, тем и дробь соответственно больше.

При одинаковых числ-х сравнивают только знамен. Чем он меньше, тем больше дробь. Разберемся, почему так. К примеру разделите 10 на 5 и 10 на 2, очевидно, что второе частное больше первого. Поэтому, если сравнить 10/5 и 10/2, то 10/2 будет больше.

В десятичных дробях мы сравниваем их соответствующие целые части и дробные. Если первые равны, то мы сравниваем десятые, сотые и т.д. Поэтому для сравнения мы должны уравнивать количество дес.знаков.

Также можно сравнить две обыкн.дроби используя число, которое находится в ряду между ними. Какая из дробей окажется больше этого числа, та и будет большей в примере.

Вот несколько интересных способов, как можно сравнить дроби:

Если от вас требуется сравнить десятичную и обыкновенную дроби, можно перевести одну из них в более удобную для вас. И сравнивать вы уже будите либо обыкновенные, либо десятичные.

Можно использовать и перекрестное правило,  как в пропорции. Для этого умножаем смотрящие друг на друга числители и знаменатели.

Правила дробей 7 класс

• Начиная изучать рациональные дроби в седьмом классе, стоит познакомиться с рядом правил, которым подчиняются действия с ними.
• К рациональным дробям применяются те же правила, что и к обыкн-м.
• Для выполнения всех арифметических действий, следует знать несколько формул сокращенного умножения:
• Эти формулы понадобятся на уроках математики до 11 класса, поэтому их лучше выучить сразу в седьмом.

Действия с дробями 7 класс

Как в пятом и шестом, так же и в седьмом классе, дроби в основном складывают, вычитают, умножают и делят. Есть еще сокращение и сравнение. Рациональные дроби также называют алгебраическими.

Сложение и вычитание.

К примеру, b/3 + c/3. Это сумма рациональных или алгебраических дробей. Решением будет: b+c/3.

Еще пара примеров.

Умножение и деление.

Так же как и с обыкновенными дробями, умножать будем числитель на числитель, и знам. на знаменатель. Очень важно обратить внимание на то, что вы умножаете многочлены, поэтому каждый числитель и знаменатель лучше взять в скобки. Так вы сможете избежать ненужных ошибок.

И деление выполняется в точности также как и в обык.дробях. Первую дробь оставьте на месте без изменений, поменяйте частное на умножение, вторую дробь переверните.

Сложение и вычитание дробей 7 класс

Никогда не начинайте выполнять действия не упростив выражения. Выполните все возможные преобразования и пример решится намного легче и быстрее. Также числители второй и последующих дробей при сложении и вычитании стоит взять в скобки. Очень часто возникают ошибки только из-за одного неправильно поставленного знака. Будьте внимательны.

Если перед скобкой стоит , раскрываем ее, не меняя знаки внутри. Если >, то все меняем на противоположные.

Знаменатели совершенно одинаковые, находим сумму числ. Приведите подобные, это с и 2с, d и -d, которые в свою очередь взаимно уничтожаются, так как имеют разные знаки. В итоге остается с+2с = 3с. Ответ: 3с/2а.

Все намного проще, если знам. одинаковые. С разными нужно немного подумать.

В примере два знам. 15а и 3. Нам нужно найти общий. В этом случае проще домножить 3 так, чтобы получить 15а. Для этого 3 умножаем на 5а. Но чтобы действие было верным, применяем основное свойство дроби, и на 5а умножим еще и числитель. Далее складываем дроби с один.знам.

Деление и умножение дробей 7 класс

Разберем сразу примеры, так как правила уже обговорены выше.

В примере выше требуется разделить алгебраические дроби, содержащие выражения со степенью. Здесь важно вспомнить, что при сокращении степеней мы вычитаем из большей степени меньшую.

Первую дробь мы оставили без изменений, вторую перевернули, заменив действие на умножение. Теперь ищем, что можно сократить. Сначала смотри на числовые коэффициенты. Сокращаем 7 и 35, 9 и 18. Затем сокращаем буквенную часть.

Для удобства возьмите каждый многочлен в скобки. Мы видим, что сразу можно сократить скобку (7-х). Многие допускают ошибку, считая что (a-b)  и (a+b) сократимы, это большая ошибка. Ведь к примеру, 5-2 и 5+2 совершенно разные выражения.

Конечные десятичные дроби 7 класс

Десятичные дроби отличаются друг от друга по количеству знаков (цифр) после запятой. Соответственно своему названию, у конечной десятичной дроби после запятой, конечное число знаков: 5, 0235; 2,3654; 0,12 и т.д.

Любую такую дробь можно перевести обратно в обыкновенную. 2,36 = 2 целых 36/100. Но не каждую обыкновенную можно представить в виде конечной дес.дроби. В таком случае уже получается бесконечная дес.дробь.

Уравнения с дробями 7 класс на примерах с пояснением

Уравнения с дробями можно решить используя пропорцию, или светси решение к этому. Первое уравнение и ему подобные очень просто и быстро решается пропорцией. Используем умножение .

Бывают и более сложные уравнения, которые нужно преобразовать.

Здесь уже нужно вспомнить правило умножения скобки на число или раскрытие скобок. На число перед скобкой умножаем каждое слагаемое в скобке. Значит 7 умножим и на 2, и на (-х). Далее решаем как обычное линейное уравнение.

В следующем уравнении разберем два способа решения.

Первый вариант решения основывается на избавлении от знаменателей, дабы превратить дробное уравнение в линейное. Для этого умножаем каждое слагаемое на общий для дробей знаменатель. В нашем случае 45.

Сокращаем и получаем линейное уравнение. Раскрываем в нем скобки, находим подобные слагаемые.

Вторым вариантом будет приведение к общему знаменателю в правой части, и сведению решения к пропорции.

Сокращение дробей 7 класс

При сокращении рациональных дробей используем правило сокращения обык.др. Числитель и знаменатель делим на один многочлен.

Запомните, что разные буквенные части мы не сокращаем, только одинаковые.

Дроби, в числ. и знамен. которых стоит выражение (многочлен) тоже сократимы. В таких дробях можно сокращать только одинаковые многочлены. Многочлены разделены между собой умножением.

Также можно использовать формулы сокращ. умножения.

Еще пара примеров:

Источник: https://luckclub.ru/dejstviya-s-drobyami-7-klass-povtorenie-sravnenie-sokrashhenie-reshenie-uravnenij

10 Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части

К
числу нестандартных относятся методы
решения уравнений, которые содержат
целые и (или) дробные части действительных
чисел. В программе школьной математики
методы решения таких уравнений не
изучаются. В настоящем разделе применение
существующих методов и приемов
иллюстрируется на примерах решения
ряда уравнений.

Целой
частью действительного числа (илиАнтье)
называется
наибольшее целое число, не превосходящее
,
и это число обозначается.
Очевидно, что

png»>Разностьназывается дробной частью числа(илиМантисса)
и
обозначается через Из определения следует, что

png»>Кроме того, справедливо равенство

Отметим
некоторые свойства введенного выше
понятия целой части действительного
числа.

Задачи
и решений

Пример
10.1. Решить
уравнение

Решение.
Поскольку
являются целым числом, то- тоже целое число. Следовательно, число

png»>также является целым. В таком случаеи уравнение (10.3) принимает видЦелыми корнями последнего уравнения
являются

qmhj/img-Aj5vlr.png»>

Пример
10.2. Решить
уравнение

Решение.
Рассмотрим
последовательно три случая.

Если
,
т.е. решением уравнения (10.4) могут быть
только

Пусть
тогда из уравнения (10.4) следует, чтоТак
как,
то получаем систему неравенств

Если
Следовательно, уравнение (10.4) не имеет
корней среди

Пример
10.3. Решить
уравнение

Решение.
Используя
свойство (10.2), можно записать

Отсюда,
принимая во внимание уравнение (10.5),
следуют неравенства

Поскольку
в этом случае следует,
что.

Так как- целое число, то отсюда получаем, что

png»>Следовательно, имеем

Из
уравнения (10.5) следует, что – целое число. Так как

png»>то остается лишь проверить целые значенияНетрудно установить, что решениями
(10.5) являются

qmhj/img-kYkNrI.png»>

Пример
10.4. Решить
уравнение

(10.7)

Решение.
Из
формулы (10.1) следует, что В этой связи уравнение (10.7) можно
переписать, как

Отсюда
следует уравнение

(10.8)

Очевидно,
что является корнем уравнения (10.8). Положим,
чтоТогда разделим обе части уравнения
(10.9) наи получим уравнение

Рассмотрим
последовательно несколько случаем.

Если
В таком случае

Пример
10.5. Решить
уравнение

Решение.
Решая
тригонометрическое уравнение (10.10),
получаем

­(10.11)

где
– целое число. Из уравнения (10.11) получаем
совокупность двух уравнений

png»>Левые части обоих уравнений являются
целыми числами, в то время как их правые
части (за исключением случая

png»>в первом уравнении) принимают иррациональные
значения.

Следовательно,
равенство в уравнениях совокупности
может иметь место только в том случае,
когда правые их части являются
рациональными (точнее, целыми) числами.

А это возможно лишь в первом уравнении
при условии, что В этом случае получаем уравнение

png»>откуда следует

Ответ:

Пример
10.6. Решить
уравнение

Решение.
Левая
часть уравнения (10.12) принимает только
целые значения, поэтому число является целым.

Так
как то при любом целоммногочленпредставляет собой произведение трех
последовательно расположенных на
числовой оси

qmhj/img-b1a3G_.png»>целых чисел, среди которых имеется хотя
бы одно четное число и число, кратное
трем. Следовательно, многочленделится набез остатка, т.е.

png»>является целым числом.

В
этой связи и уравнение (10.12) принимает видили

Так
как то корнями уравнения (10.13) являются

Ответ:

Пример
10.7. Доказать
равенство

Доказательство.
Любое число можно представить или какгде- целое число и

Рассмотрим
два возможных случая.

1. Пусть Так как

Таким
образом, равенство (10.14) выполняется для
каждого из двух рассмотренных выше
случаем. Следовательно, равенство
(10.14) доказано.

Заключение

В
результате работы над дипломным проектом
был проведен анализ решения нестандартных
типов решения тестовых задач. Все
рассмотренные задачи, решаемые
нестандартными методами, классифицированы
по следующим типам:

1. метод функциональной подстановки

2. методы, основанные на применении численных неравенств,

3. метод тригонометрической подстановки;

4. методы, основанные на монотонности функций,

5. методы решения функциональных уравнений,

6. методы, основанные на применении векторов,

7. комбинированные методы,

8. методы, основанные на использовании ограниченности функций,

9. методы решения симметрических систем уравнений,

10. методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа.

• В
  каждом из этих типов рассмотрены
  конкретные примеры и методы их решения.
• Материал,
  содержащийся в дипломной работе,
  представляет собой основу методического
  пособия, которое можно при определенной
  доработке, внедрять как в школьный
  процесс, так и при подготовке абитуриентов
  к поступлению.
• Список
  использованных источников

1. Азаров, В.И. Функциональные методы решения задач [текст] : учебное пособие / В.И. Азаров, О.П. Тавгень, В.С. Федосенко. – Мн. :БГУ,1994.

2. Азаров, А.И Экзамен по математике: руководство к решению задач [текст] : справочное пособие / С.В. Пруцко, В.С. Федосенко. – Мн. :ТетраСистем, 2001.

3. Ивлев, Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа [текст] : учебное пособие / Б.М. Ивлев, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницин, С.И. Шварцбург. -М. :Просвещение, 1990.

4. Габринович, В.А. Решим любую задачу [текст] : учебное пособие / В.А. Габринович, В.И. Громак. – Мн. :Асар, 1996.

5. Мандрик, П.А. Экзамен по математике на пять [текст] : учебное пособие / П.А. Мандрик, В.И. Репников. – Мн. :тетраСистемс, 1999.

6. Олехник, С.Н. Нестандартные методы решений уравнений и неравенств [текст] : учебное пособие / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасаиченуо. – М. :МГУ, 1991.

7. Пруцко, С.В. Экзамен по математике [текст] : руководство к решению задач : учебное пособие / С.В. Пруцко, А.И. Азаров, В.С. Федосенко. – МН. :тетраСистемс, 2001.

8. Пруцко, С.В. руководство к решению конкурсных задач по математике [текст] : учебное пособие / С.В. Пруцко, А.И. Азаров, В.С. Федосенко. – МН. :тетраСистемс, 1999.

9. Сборник задач по математике для поступающих во втузы [текст] / под редакцией М.И.Сканави. – Мн. :Высшая школа, 1990.

10. Супрун, В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике [текст] / В.П. Супрун. Мн. :Полымя, 1998.

11. Супрун, В.П. Нестандартные методы решения задач по математике [текст] / В.П. Супрун. –Мн. :Полымя, 2000.

Источник: https://studfile.net/preview/5792561/page:8/