- Трапеция –четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны
- Виды трапеции: равнобедренная и прямоугольная
- Первое свойство равнобедренной трапеции – у равнобедренной трапеции боковые стороны равны
- Второе свойство равнобедренной трапеции – у равнобедренно трапеции углы при основании равны
Определение прямоугольника. Свойство прямоугольника. Признак прямоугольника.
- Прямоугольник –параллелограмм, у которого все углы прямые
- Свойство прямоугольника – диагонали прямоугольника равны
- Признак прямоугольника – если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник
Определение ромба. Свойство ромба.
- Ромб –параллелограмм, у которого все стороны равны
- Свойство ромба – диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам
Определение квадрата. Свойства квадрата.
- Квадрат –прямоугольник, у которого все стороны равны
- Первое свойство квадрата – все углы квадрата прямые
- Второе свойство квадрата – диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам
Понятие площади многоугольника. Единица измерения площадей. Свойства площадей. Площадь квадрата.
Площадь многоугольника –это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник
Единицы измерения площадей: квадратный сантиметр (см2), квадратный метр (м2), квадратный миллиметр (мм2) и т. д.
- Первое свойство площади – равные многоугольники имеют равные площади
- Второе свойство площади – если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
- Площадь квадрата – площадь квадрата равна квадрату его стороны (S=a2)
Определение высоты параллелограмма. Площадь параллелограмма.
Высота параллелограмма –перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание
Площадь параллелограмма –
- произведение основания на высоту
- произведение сторон на синус угла между ними
- полупроизведение диагоналей на синус угла между ними
Определение высоты трапеции. Площадь трапеции.
- Высота трапеции –перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. Площадь трапеции –площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту S= h
- произведение средней линии на высоту
- полупроизведение диагоналей на синус угла между ними
Площадь ромба (через диагонали). Площадь прямоугольника.
- Площадь ромба –площадь ромба равна половине произведений его диагоналей
- Площадь прямоугольника – площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон S=ab
- Теорема Пифагора и обратная ей.
- Теорема Пифагора –в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
- c2 = a2 + b2
- Теорема, обратная теореме Пифагора – если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный
Площадь прямоугольного треугольника. Теорема об отношениях площадей треугольников: с равными высотами; имеющих по равному углу.
- Площадь прямоугольного треугольника –площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
- Теорема об отношениях площадей треугольников имеющих по равному углу –если угол одного треугольника равен углу другого, то площади треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы
- Теорема об отношениях площадей треугольников с равными высотами –если площади двух треугольников равны, то их площади относятся как основания
Определение подобных треугольников. Теоремы об отношениях периметров и площадей подобных треугольников.
Подобные треугольники –два треугольника, углы которых соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
Теорема об отношении площади подобных треугольников – отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
Источник: https://infopedia.su/3x4e1.html
Методика изучения свойств трапеции
Сохрани ссылку в одной из сетей:
Г.И. Ковалева
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СВОЙСТВ
ТРАПЕЦИИ
В материалах различных контрольных
работ и экзаменов очень часто встречаются
задачи на трапецию, решение которых
требует от учащихся знаний «непрограммных»
свойств трапеции. (Программными считаются
свойство средней линии трапеции, свойства
диагоналей и углов равнобедренной
трапеции.) Какими же замечательными
свойствами обладает трапеция? Где и
когда их изучать в школьном курсе
геометрии?
После изучения свойства средней
линии трапеции можно сформулировать и
доказать свойство отрезка,
соединяющего середины диагоналей
трапеции. Отрезок,
соединяющий середины диагоналей
трапеции, равен полуразности оснований.
 |
MO – средняя линия треугольник ABC и равна . MQ – средняя линия треугольника ABD и равна . Тогда  , следовательно,  . |
Отрабатывая основной прием
решения задач на трапецию «провести
две высоты», учащимся необходимо
предложить задачу: «Пусть BT
– высота равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD.
,
.
Найдите длины отрезков AT
и TD».
 |
Решение задачи не вызывает у учащихся затруднения, главное усилие педагога должно быть направлено на отработку свойства высоты равнобедренной трапеции, проведенной из вершины тупого угла: высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований. |
Тема «Подобие фигур» очень
благодатна для изучения свойств трапеции.
Например, диагонали трапеции разбивают
ее на четыре треугольника, причем
треугольники, прилежащие к основаниям,
подобны, а треугольники, прилежащие к
боковым сторонам, равновелики.
Назовем
это утверждение свойством
треугольников, на которые разбивается
трапеция ее диагоналями.Причем первая часть
утверждения доказывается очень легко
через признак подобия треугольников
по двум углам.
Вторую часть можно
предложить учащимся в виде задачи.
 |
Треугольники BOC иCOD имеют общую высоту, если принять за их основания отрезкиBO иOD. Тогда  . Следовательно,  . |
Аналогично, треугольникиBOC
и АОВ имеют
общую высоту, если принять за их основания
отрезки CO
и OA.
Тогда 
и 
.
Из этих двух предложений следует,
что .
Было бы замечательно не
останавливаться на сформулированном
утверждении, а найти связь
между площадями треугольников, на
которые разбивается трапеция ее
диагоналями, предложив
учащимся решить задачу: «Пусть O
– точка пересечения диагоналей трапеции
ABCD
с основаниями BC
и AD.
Известно, что площади треугольников
BOC
и AOD
равны соответственно
и .
Найдите площадь трапеции».
Так как .
Отсюда 
,
из подобия треугольников BОC
и AOD
следует, что .Следовательно,
.
Тогда
С использованием подобия
доказывается и свойство
отрезка, проходящего через точку
пересечения диагоналей трапеции
параллельно основаниям.
Предлагаем учащимся решить задачу:
«Пусть O
– точка пересечения диагоналей трапеции
ABCD
с основаниями BC
и AD.
,
.
Найдите длину отрезка PK,
проходящего через точку пересечения
диагоналей трапеции параллельно
основаниям. На какие отрезки делится
PK
точкой О».
| Из подобия треугольников AOD и BOC следует, что . Из подобия треугольников AOP и ACB следует, что . |
Отсюда .
Аналогично, из подобия треугольников
DOK
и DBC,
следует, что .
Отсюда
и .
Добиваемся от учащихся осознания
доказанного свойства: отрезок, параллельный
основаниям трапеции, проходящий через
точку пересечения диагоналей и соединяющий
две точки на боковых сторонах, делится
точкой пересечения диагоналей пополам.
Его длина есть среднее гармоническое
оснований трапеции.
Следующее свойство
четырех точек: в трапеции
точка пересечения диагоналей, точка
пересечения продолжения боковых сторон,
середины оснований трапеции лежат на
одной линии.
| Треугольники BSC и ASD подобны и в каждом из них медианы ST и SG делят угол при вершине S на одинаковые части. Следовательно, точки S, T и G лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой расположены точки T, O и G. Это следует из подобия треугольников BOC и AOD. Значит, все четыре точки S, T, O и G лежат на одной прямой. |
Знакомя учащихся с подобием
фигур (не треугольников), можно предложить
найти длину отрезка разбивающего
трапецию на две подобных.
| Если трапеции ALFD и LBCF подобны, то . Отсюда . |
Таким образом, отрезок
разбивающий трапецию на две подобные
трапеции, имеет длину равную среднему
геометрическому длин оснований.
После вывода формулы площади
трапеции полезно доказать свойство
отрезка, делящего трапецию на две
равновеликие.
|
- Составим систему
- Решение системы .
- Таким образом, длина
отрезка, делящего трапецию на две
равновеликие, равна
(среднему квадратичному длин оснований). - Итак, для трапецииABCD
с основаниями AD
и BC
(,
)
доказали, что отрезок - 1) MN,
соединяющий середины боковых сторон
трапеции, параллелен основаниям и равен
их полусумме (среднему арифметическому
чисел a
и b); - 2) PK,
проходящий через точку пересечения
диагоналей трапеции параллельно
основаниям, равен
(среднему гармоническому чисел a
и b); - 3) LF,
разбивающий трапецию на две подобные
трапеции, имеет длину равную среднему
геометрическому чисел a
и b,
; - 4) EH,
делящий трапецию на две равновеликие,
имеет длину
(среднее квадратичное чисел a
и b).
Чтобы учащиеся осознали связь
между указанными отрезками, необходимо
попросить построить их для данной
трапеции. Без труда учащиеся построят
среднюю линию трапеции и отрезок,
проходящий через точку пересечения
диагоналей трапеции параллельно
основаниям. Где будет лежать третий и
четвертый отрезок? Ответ на этот вопрос
должен привести учащихся к открытию
связи между средними величинами.
Признак и свойство вписанного
и описанного четырехугольника должны
быть конкретизированы для всех известных
учащимся четырехугольников, в том числе
и для трапеции.
| Свойство вписанной трапеции: трапеция может быть вписана в окружность в том и только в том случае, когда она равнобедренная. |
Свойства описанной трапеции.
Около окружности можно
описать трапецию тогда и только тогда,
когда сумма длин оснований равна сумме
длин боковых сторон.
| Полезно осознание следствий того, что в трапецию вписана окружность: 1. Высота описанной трапеции равна двум радиусам вписанной окружности. 2. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом. |
Первое очевидно. Для доказательства
второго следствия необходимо установить,
что угол COD
прямой, что так же не составляет большого
труда. Зато знание этого следствия
позволяет при решении задач использовать
прямоугольный треугольник.
Конкретизируем следствия для
равнобедренной описанной
трапеции:
| высота равнобедренной описанной равнобедренной трапеции есть среднее геометрическое оснований трапеции. . |
Рассмотрим основные принципы
методики изучения свойств трапеции.
Во-первых, это использование
задачного подхода.
Нет необходимости вводить в теоретический
курс геометрии новые свойства трапеции.
Эти свойства открываются и формулируются
учащимися через решение задач (лучше
систем задач). Важно, чтобы учитель знал,
какие задачи должны быть поставлены и
в какой момент учебного процесса.
Кроме
того, каждое свойство может быть ключевой
задачей в системе задач.
Во-вторых, «спиральная»
организация изучения свойств трапеции.
К отдельным свойствам можно возвращаться
несколько раз, тогда есть вероятность,
что учащиеся их запомнят. Например,
свойство четырех точек можно доказать
при изучении подобия и потом с помощью
векторов.
Равновеликость треугольников,
прилежащих к боковым сторонам трапеции,
можно доказать, используя как свойство
треугольников, имеющих равные высоты,
проведенные к сторонам, лежащим на одной
прямой, так и формулу .
Можно отрабатывать свойства прямоугольного
треугольника на описанной трапеции,
теорему синусов на вписанной трапеции
и так далее.
Предложенное включение
«непрограммных» свойств трапеции в
содержание школьного курса геометрии,
задачная технология их изучения,
неоднократное обращение к свойствам
трапеции при изучении других тем позволят
учащимся более глубоко познать трапецию
и обеспечат успешность решения задач
на применение ее свойств.
Источник: https://gigabaza.ru/doc/160943.html
Диагонали трапеции
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
- Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
- Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
- Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
- Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
- Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции
Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции.
Данный отрезок параллелен основаниям трапеции.
Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.
LM = (AD — BC)/2 или
LM = (a-b)/2
Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными. Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны. Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).
Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.
Что из этого следует?
Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.
Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.
- Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований.
- Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:
- Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
- Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника
Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции ( BC/AD ).
KO / ON = BC / AD
Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).
Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:
- Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
- Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)
Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами, углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения задач по геометрии на тему «диагонали трапеции»
- Далее, в формулах используются следующие обозначения:
- a, b — основания трапеции
- c, d — боковые стороны трапеции
- d1 d2 — диагонали трапеции
- α β — углы при большем основании трапеции
Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:
1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема
2. Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.
- 3. Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ
- Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.
- Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.
Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме.
- Задача.
- Решение.
- Ответ: 16 см
- Задача.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см. Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам. Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых. Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть AO / OC = AD / BC 9 / 6 = 24 / BC BC = 24 * 6 / 9 = 16 В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.
- Решение.
- обозначим
- не путать с обозначениями в формуле
- h2 + (24 — a)2 = (5√17)2
- h2 + (24 — b)2 = 132
- h2 + (24 — 16 + b)2 = 425
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то длину AM = a, длину KD = b ( нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник. Значит AD = AM+BC+KD a + 8 + b = 24 a = 16 — b Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора и Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении h2 = 425 — (8 + b)2 Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b)2 + (24 — b)2 = 169
-(64 + 16b + b)2 + (24 — b)2 = -256 -64 — 16b — b2 + 576 — 48b + b2 = -256 -64b = -768 b = 12 Таким образом, KD = 12 Откуда
h2 = 425 — (8 + b)2 = 425 — (8 + 12)2 = 25
h = 5 Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см2
Ответ: площадь трапеции равна 80 см2.
0
Трапеция (задачи про основания) | Описание курса | Прямоугольная трапеция
Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson181/
math-public:trapeciya [Президентский ФМЛ №239]
math-public:trapeciya
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^circ$.
Действительно, так как основания трапеции параллельны, а боковая
сторона является секущей, то углы при боковой стороне являются
внутренними односторонними углами при параллельных прямых, и,
следовательно, их сумма равна $180^circ$.
-
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
-
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов равен $90^circ$.
-
Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
-
Диагонали равнобедренной трапеции равны.
-
Диагонали равнобедренной трапеции, пересекаясь, образуют два равных и два равнобедренных треугольника.
-
Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований.
- Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, $AB=CD$.
- Докажем, что $angle A=angle D$.
- Проведем из точек $B$ и $C$ высоты $BE$ и $CF$.
- Треугольники $ riangle ABE$ и $ riangle CFD$ равны по катету и гипотенузе ($AB=CD,
BE=CF$). - Следовательно, $angle A=angle D$.
- В равнобедренной трапеции $ABCD$ рассмотрим треугольники $ riangle ABD$ и $ riangle ACD$.
- Они равны по первому признаку ($AB=CD$, $AD$ – общая, $angle A=angle D$ по
первому пункту). - Следовательно, $AC=BD$.
Пусть диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажем, что треугольники $ riangle AOD$ и $ riangle BOC$ – равнобедренные, а треугольники $ riangle AOB$ и $ riangle COD$ равны.
- Действительно, во втором пункте уже было доказано, что $ riangle ABD= riangle ACD$.
- Следовательно, $angle 1=angle 2$, а так как они накрест лежащие с углами $angle 3$ и $angle 4$ соответственно, то $angle 3=angle 4$, что
и означает, что треугольники $ riangle AOD$ и $ riangle BOC$ – равнобедренные. - Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$, и как следствие, $ riangle AOB= riangle COD$ по
третьему признаку равенства треугольников.
Так как $ riangle AEB= riangle CFD$ (по катету и
гипотенузе), то $AE=FD$.
Кроме того, $EF=BC$, следовательно, $AE=dfrac{AD-BC}{2}$ и
$AF=dfrac{AD-BC}{2}+BC=dfrac{AD+BC}{2}$.
-
Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
-
Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
- Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $angle A=angle D$.
- Докажем, что тогда $AB=CD$, то есть трапеция равнобедренная.
- Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$ параллельный стороне $AB$.
- Тогда $angle A=angle CED$, как соответственные углы.
- Следовательно, $angle CED=angle D$, а тогда $ riangle CED$ – равнобедренный.
- А поскольку $AB=CE$ ($ABCE$ – параллелограмм), то $AB=CD$.
Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой $AC=BD$.
Докажем, что тогда $AB=CD$.
Построим из точки $C$ прямую, параллельный диагонали $BD$. Пусть она пересекает прямую $AD$ в точке $F$.
- Тогда $BD=CF$, так как $BCFD$ – параллелограмм по определению.
- Тогда $ riangle ACF$ – равнобедренный, так как $AC=CF$.
- Следовательно $angle OAD=angle ODA$, и $ riangle AOD$ – равнобедренный.
- Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$.
- Следовательно, $ riangle BOA= riangle COD$ по первому признаку ($angle BOA=angle COD$ — как вертикальные).
- Следовательно, $AB=CD$.
В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями
высота равна средней линии.
Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, в которой $ACperp BD$.
Докажем, что в такой трапеции высота $CH$ равна средней линии то есть полусумме оснований.
Действительно, $ riangle AOD$ – равнобедренный и прямоугольный, следовательно, $angle OAD = 45^circ$. Тогда $ riangle AHC$ – равнобедренный, то есть $AH=CH$.
Но отрезок $AH$ равен полусумме оснований.
math-public/trapeciya.txt · Последние изменения: 2016/04/13 23:56 — labreslav
Источник: http://wiki.sch239.net/math-public/trapeciya
