Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия

• Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия”
• Цель урока: ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
• Задачи:
• формулирование начального представления о пределе числовой последовательности; знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
• развитие интеллектуальных качеств личности школьников такие, как логическое мышление, способность к оценочным действиям, обобщению;
• воспитание активности, взаимопомощи, коллективизма, интереса к предмету.
• Оборудование: компьютерный класс, проектор, экран.
• Тип урока: урок – усвоение новой темы.
• Ход урока

I. Орг. момент. Сообщение темы и цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся. 1. Проверка домашнего задания.

1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Два ученика готовят записи формул у доски.

2) Остальные учащиеся выполняют математический диктант по теме «Формулы суммы».

Задания:

№1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен 6 (1-й вариант), -20 (2-й вариант), а пятый член -6 (1-й вариант), 20 (2-й вариант).

№2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен -20(1-й вариант), 6 (2-й вариант), а разность равна 10(1-й вариант), -3(2-й вариант).

№3. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её первый член равен 1(1-й вариант), -1 (2-й вариант), а знаменатель равен -2(1-й вариант), 2(2-й вариант).

1. По окончании диктанта, выборочно, у двоих учеников работы проверяются на оценку, остальные выполняют самопроверку по готовым решениям, записанным на отворотах доски.
2. Решения:
3.     
4. Задания

1. Арифметическая прогрессия задана формулой an = 7 – 4n. Найдите a10. (-33)

2. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите a4. (4)

3. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите a17. (-35)

5. Для геометрической прогрессии найдите пятый член.

6. Для геометрической прогрессии найдите n-й член.

7. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b4. (4)

8. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b1иq.

9. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите S5. (62)

III. Изучение новой темы (демонстрация презентации).

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.

Например, последовательность площадей квадратов:

. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

при .

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

• Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
• Фронтальная работа.
• Определение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. .

1. С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
2. Задача
3. Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:
4. ; .
5. Решение:

. Найдем q.

• ; ; ; .
• данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
• б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

1. Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.  
2. Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
3. Рассмотрим сумму n первых слагаемых.
4. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .
5. Если n неограниченно возрастает, то

или . Поэтому , т.е. .

• Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S1, S2, S3, …, Sn, … .
• Например, для прогрессии ,
• имеем
• Так как
• Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле .

III. Осмысление и закрепление (выполнение заданий).

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.

Решение:

Задача №3. учебник [1], стр. 160, №433(1)

1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 
2. Решение:

Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.

1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… /•10         2-й способ. 0,(5)=0,555…=

Задача №5. учебник [1], стр. 162, №445(3) (самостоятельное решение)

• Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.
• Ответ: 0,(12)= 4/33.

IV. Подведение итогов.

1. С какой последовательностью сегодня познакомились?
2. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
3. Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?
4. Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

V. Домашнее задание.

Источник: https://infourok.ru/urok-po-teme-beskonechno-ubivayuschaya-geometricheskaya-progressiya-3888259.html

Геометрическая прогрессия

Справочник по математике

Алгебра

Последовательности чисел

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

•       Определение 1. Числовую последовательность
• b1 ,  b2 , … bk , …
• все члены которой отличны от нуля, называют геометрической прогрессией, если справедливы равенства

1.       Определение 2. Если последовательность чисел
2. b1 ,  b2 , … bk , …
3. является геометрической прогрессией, то число  q , определенное формулой

называют знаменателем этой геометрической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 следует, что для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член геометрической прогрессии b1 и знаменатель геометрической прогрессии   q . Если числа   b1   и   q   известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

b2 = b1 q , b3 = b2 q , … bk = bk – 1 q …

(1)

      По этой причине многие задачи на геометрическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел   b1   и   q.

      Из формул (1) вытекает общая формула

bk = b1qk – 1,       k = 1, 2, 3, …

(2)

позволяющая по любому номеру   k   вычислить член bk  геометрической прогрессии, зная первый член и знаменатель прогрессии. Эта формула носит название формулы общего члена геометрической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство формулируется так: — «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство

(3)

•       В случае, когда
•   b1 > 0   и   q > 0  
• все члены геометрической прогрессии будут положительными, и формулу (3) можно переписать в другом виде:

(4)

1.       Равенство (4) означает, что каждый член такой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому своих соседних членов.
2.       Если для суммы первых   k   членов геометрической прогрессии ввести обозначение
3. Sk = b1 + b2 + … + bk  ,       k = 1, 2, 3, …
4. то, воспользовавшись равенствами (1), получаем
5. q Sk == b1q + b2q + … + bk q == b2 + b3 + … + bk +1 .
6.       Следовательно,
7. Sk – q Sk = b1 – bk +1 .
8.       Таким образом , при будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых k членов геометрической прогрессии.

      В случае, когда   q = 1, все члены геометрической прогрессии равны, что не представляет особого интереса.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

•       Определение 3. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если её знаменатель удовлетворяет неравенству
•   | q | < 1 .
•       В этом случае выполнено равенство
• а величину  S называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
•       Более подробно с понятием предела числовой последовательности можно ознакомиться в в разделе «Пределы числовых последовательностей» нашего справочника.
•       С примерами решений различных задач по теме «Геометрическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

   На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/gprog.htm

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Напомним, что геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, , , …, , …, где, что для всех натуральных  выполняется равенство, где . Число называется знаменателем геометрической последовательности, число –первым её членом, а число– общим её членом.

• , , , , …, , …,
• , , , , …, , …,
• Также напомним, что ­­—ый член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле
• А сумму первых ­­ членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле , если ;
•  , если .

Однако среди геометрических прогрессий особый интерес вызывают так называемые бесконечно убывающие геометрические прогрессии. Давайте познакомимся с такими прогрессиями.

Начнём с примера. Итак, перед вами изображены квадраты.

1. Сторона первого, самого большого квадрата равна , сторона второго равна  , сторона третьего квадрата – , сторона четвёртого квадрата –  , сторона пятого квадрата –  и так далее.
2. Обратите внимание! Стороны наших квадратов образуют геометрическую прогрессию: , , , , , …
3. Перепишем эту геометрическую прогрессию в таком виде: , , , , , …, , …
4. Знаменатель этой геометрической прогрессии равен  .
5. Заметим, что и площади этих квадратов также образуют геометрическую прогрессию:
6. , , , , , …
7. , , , , , …, , …

Хотелось бы отметить, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера   становятся всё меньше и всё больше приближаются к. Так вот, каждую из прогрессий, что мы с вами записали, называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

• А теперь давайте рассмотрим следующую геометрическую прогрессию:
• , , , , …, , …
• Здесь, , , , … , знаменатель нашей геометрической прогрессии  .

Видим, что с возрастанием номера члены этой прогрессии приближаются к. Значит, эта прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Обратите внимание! .

1. Запомните: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.
2. А теперь давайте перейдём к выводу формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Итак, на экране вы видите квадрат со стороной равной единице. Разделим этот квадрат пополам. Заштрихуем обе части нашего квадрата, как показано на экране. Продолжим делить пополам наши квадраты и штриховать их. Заметим, что площади заштрихованных прямоугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:  , , , , , …

Если мы заштрихуем все получающиеся таким образом прямоугольники, то понятно, что весь квадрат покроется штриховкой. Разумеется, сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников будет равна единице. То есть  …

Обратите внимание: в левой части нашего равенства стоит сумма бесконечного числа слагаемых.

Давайте рассмотрим сумму первых слагаемых. Применяя формулу суммы членов геометрической прогрессии, имеем  …. Получим, что .

Заметим, что если  неограниченно возрастает, то  будет как угодно близко приближаться к 0. Это выражение записывают следующим образом:  при , а читают так: «единица делённая на два в степени эн стремится к нулю при эн стремящемся к бесконечности, или предел единицы делённой на два в степени эн при эн стремящемся к бесконечности равен нулю».

Так как  при , то  при , то есть  или . Поэтому бесконечную сумму   ….

• В этом случае говорят, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности  , , , …, , …
• Например, если мы возьмём бесконечно убывающую геометрическую прогрессию , , , , …, , …
• Где ,.
• ,
• ,
• , …,
• , …
• Так как , то .
• А теперь выведем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
• Мы помним, что сумму первых  членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле  .
• Перепишем эту формулу таким образом:  .
• Так как , то ,.
• Следовательно, .
• Таким образом, сумму  бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: .
• Из этой формулы при  имеем .
• Это равенство обычно записывают следующим образом:
•   … … .
• Обратите внимание: это равенство справедливо при , в частности при .
• Задание 1.
• Докажите, что геометрическая прогрессия:
•  … , является бесконечно убывающей.
• Решение.
•  , .
• Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
• Задание  2.
• Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии  …
• Решение.
• , .
• Задание 3.
• Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если , .

Решение. По условию нам даны и  прогрессии.

1. , .

Источник: https://videouroki.net/video/3-beskonechno-ubyvayushchaya-geometricheskaya-progressiya.html

math4school.ru

• Числовые последовательности (основные понятия)
• Арифметическая прогрессия
• Геометрическая прогрессия
• Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
• Связь арифметической и геометрической прогрессий

Числовые последовательности (основные понятия)

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число an, то говорят, что задано числовую последовательность:

a1, a2, a3, . . . , an, . . .  .

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a1 называют первым членом последовательности, число a2 — вторым членом последовательности, число a3 — третьим и так далее. Число an называют n-м членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

1. Из двух соседних членов an и an+1 последовательности член an+1 называют последующим (по отношению к an), а an — предыдущим (по отношению к an+1).
2. Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.
3. Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена, то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности  по его номеру.
4. ► Например,
5. последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой
6. an = 2n –1,
7. а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой
8. bn = (–1)n+1. ◄        
9. Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.
10. ► Например,
11. если  a1 = 1,  а  an+1 = an + 5, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
12. a1 = 1,
13. a2 = a1 + 5 = 1 + 5 = 6,
14. a3 = a2 + 5 = 6 + 5 = 11,
15. a4 = a3 + 5 = 11 + 5 = 16,
16. a5 = a4 + 5 = 16 + 5 = 21.
17. Если  а1 = 1,  а2 = 1,  an+2 = an + an+1,  то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:
18. a1 = 1,
19. a2 = 1,
20. a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2,
21. a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3,
22. a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5,
23. a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8,
24. a7 = a5 + a6 = 5 + 8 = 13. ◄
25. Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной, если она имеет бесконечно много членов.

► Например,

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

• бесконечная. ◄
• Последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.
• Последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.
• ► Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;

1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n, . . . — убывающая последовательность. ◄

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью. 

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

Иначе,

a1, a2, a3,  . . .  , an, . . .

1. является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:
2. an+1 = an + d,
3. где  d — некоторое число.
4. Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а2 – a1 = а3 – a2 = . . . = an+1 – an = d.

• Число d называют разностью арифметической прогрессии.
• Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.
• ► Например,
• если  a1 = 3,  d = 4, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
• a1 =3,
• a2 = a1 + d = 3 + 4 = 7,
• a3 = a2 + d = 7 + 4 = 11,
• a4 = a3 + d = 11 + 4 = 15,
• a5 = a4 + d = 15 + 4 = 19. ◄
• Для арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d её n-й член может быть найден по формуле:
• an = a1 + (n – 1)d.
• ► Например,
• найдём тридцатый член арифметической прогрессии

1, 4, 7, 10, . . .

1. Имеем,
2. a1 =1,  d = 3,
3. a30 = a1 + (30 – 1)d =1 + 29·3 = 88. ◄
4. Так как
5. an–1 = a1 + (n – 2)d,
6. an = a1 + (n – 1)d,
7. an+1 = a1 + nd,
8. то, очевидно,
9. то есть,
10. каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
11. Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:
12. числа a, b и c  являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.
13. ► Например,
14. докажем, что последовательность, которая задаётся формулой  an = 2n – 7, является арифметической прогрессией.
15. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:
16. an = 2n – 7,
17. an–1 = 2(n – 1) – 7 = 2n – 9,
18. an+1 = 2(n + 1) – 7 = 2n – 5.
19. Следовательно,

an+1 + an–1	=	2n – 5 + 2n – 9	= 2n – 7 = an,
2	2

• что и доказывает нужное утверждение. ◄
• Отметим, что n-й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a1, но и любой предыдущий ak, для чего достаточно воспользоваться формулой
• an = ak + (n – k)d.
• ► Например,
• для  a5  можно записать
• a5 = a1 + 4d,
• a5 = a2 + 3d,
• a5 = a3 + 2d,
• a5 = a4 + d. ◄
• Так как
• an = an–k + kd,
• an = an+k – kd,
• то, очевидно,
• то есть,
• любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.
• Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:
• am + an = ak + al,
• если
• m + n = k + l.
• ► Например,

в арифметической прогрессии  1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

1. 1) a10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a9 + a11)/2;
2. 2) 28 = a10 = a3 + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;
3. 3) a10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a7 + a13)/2;
4. 4) a2 + a12 = a5 + a9, так как
5.     a2 + a12 = 4 + 34 = 38,
6.     a5 + a9 = 13 + 25 = 38. ◄ 
7. Сумма

Sn = a1 + a2+ a3 + . . .+an,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

ak, ak+1,  . . . , an,

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

Sn – Sk–1 = ak + ak+1 + . . . + an =	ak + an	· (n – k + 1) .
2

► Например,

в арифметической прогрессии  1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S10 – S3 = (10 + 28) · (10 – 4 + 1)/2 = 133. ◄

Если дана арифметическая прогрессия, то величины  a1,  an,  d,  n  и  Sn  связаны двумя формулами:

an = a1 + (n – 1)d    и    Sn  =	a1 + an	· n .
2

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

• если d > 0, то она является возрастающей;
• если d < 0, то она является убывающей;
• если d = 0, то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Иначе,

b1, b2, b3, . . .  , bn, . . .

• является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:
• bn+1 = bn · q,
• где q ≠ 0 — некоторое число.
• Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

b2/b1 = b3/b2 = . . . = bn+1/bn = q.

1. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
2. Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.
3. ► Например,
4. если  b1 = 1,  q = –3, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
5. b1 = 1,
6. b2 = b1 · q = 1 · (–3) = –3,
7. b3 = b2 · q = –3 · (–3) = 9,
8. b4 = b3 · q = 9 · (–3) = –27,
9. b5 = b4 · q = –27 · (–3) = 81. ◄
10. Для геометрической прогрессии с первым членом  b1 и знаменателем q её n-й член может быть найден по формуле:
11. bn = b1 · qn–1.
12. ► Например,

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

• Имеем,
• b1 = 1,  q = 2,
• b7 = b1 · q6 = 1 · 26 = 64. ◄
• Так как
• bn–1 = b1 · qn–2,
• bn = b1 · qn–1,
• bn+1 = b1 · qn,
• то, очевидно,
• bn2 = bn–1 · bn+1,
• то есть,
• каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.
• Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:
• числа  a, b и c  являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.
• ► Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой  bn = –3 · 2n, является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

1. bn = –3 · 2n,
2. bn–1 = –3 · 2n–1,
3. bn+1 = –3 · 2n+1.
4. Следовательно,
5. bn2 = (–3 · 2n)2 = (–3 · 2n–1) · (–3 · 2n+1) = bn–1 · bn+1,
6. что и доказывает нужное утверждение. ◄
7. Отметим, что n-й член геометрической прогрессии можно найти не только через b1, но и любой предыдущий член bk, для чего достаточно воспользоваться формулой
8. bn = bk · qn–k.
9. ► Например,
10. для  b5  можно записать
11. b5 = b1 · q4,
12. b5 = b2 · q3,
13. b5 = b3 · q2,
14. b5 = b4 · q. ◄
15. Так как
16. bn = bk · qn–k,
17. bn = bn–k · qk,
18. то, очевидно,
19. bn2 = bn–k · bn+k
20. то есть,
21. квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.
22. Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:
23. bm · bn = bk · bl,
24. если
25. m + n = k + l.
26. ► Например,

в геометрической прогрессии  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

• 1) b62 = 322 = 1024 = 16 · 64 = b5 · b7;
• 2) 1024 = b11 = b6 · q5 = 32 · 25 = 1024;
• 3) b62 = 322 = 1024 = 8 · 128 = b4 · b8;
• 4) b2 · b7 = b4 · b5,  так как
•     b2 · b7 = 2 · 64 = 128,
•     b4 · b5 = 8 · 16 = 128. ◄ 
• Сумма

Sn = b1 + b2 + b3 + . . . + bn

1. первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0  вычисляется по формуле:
2. А при q = 1 — по формуле
3. Sn = nb1
4. Заметим, что если нужно просуммировать члены

bk, bk+1,  . . . ,bn,

то используется формула:

Sn – Sk–1  =  bk + bk+1 + . . . + bn  =  bk ·	1 – qn–k+1	.
1 – q

► Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 – 210) / (1 – 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S10 – S6 = 64 · (1 – 210–7+1) / (1 – 2) = 960. ◄

Если дана геометрическая прогрессия, то величины  b1,  bn,  q,  n  и  Sn  связаны двумя формулами:

bn = b1 · qn–1  и  Sn = b1 ·	1 – qn	.
1 – q

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности:

• прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

b1 > 0  и  q > 1;

b1 < 0  и  0 < q  0  и  0 < q 1.

Если  q

Источник: http://math4school.ru/arifmeticheskaia_i_geometricheskaia_progressii