Частная производная функции нескольких переменных

  • Каждая частная производная (по x и по y) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:
  • (где y = const),
  • (где x = const).

Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число — тогда можно будет быстрее вычислить частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть на место константу (переменную с фиксированном значением).

Описанное выше свойство частных производных следует из определения частной производной, которое может попасться в экзаменационных вопросах. Поэтому для ознакомления с определением ниже можно открыть теоретическую справку.

Теоретическая справка (открыть/закрыть)

Понятие непрерывности функции z = f(x, y) в точке определяется аналогично этому понятию для функции одной переменной.

  1. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке если
  2.                   (1)
  3. где

Частная производная функции нескольких переменных

Разность (2) называется полным приращением функции z (оно получается в результате приращений обоих аргументов).

Пусть заданы функция z = f(x, y) и точка

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Устойчивость относительной частоты

Оценим за полчаса!
  • Если изменение функции z происходит при изменении только одного из аргументов, например, x, при фиксированном значении другого аргумента y, то функция получит приращение
  • Частная производная функции нескольких переменных              (3)
  • называемое частным приращением функции f(x, y) по x.   

Рассматривая изменение функции z в зависимости от изменения только одного из аргументов, мы фактически переходим к функции одной переменной.

Если существует конечный предел

Частная производная функции нескольких переменных

то он называется частной производной функции f(x, y) по аргументу x и обозначается одним из символов

Частная производная функции нескольких переменных

т.е.

Частная производная функции нескольких переменных

Аналогично определяются частное приращение z по y:

Частная производная функции нескольких переменных

и частная производная f(x, y) по y:

Частная производная функции нескольких переменных

  1. Пример 1. Найти частные производные функции
  2. Решение. Находим частную производную по переменной «икс»:
  3. (y фиксировано);
  4. Находим частную производную по переменной «игрек»:
  5. (x фиксировано).

Как видно, не имеет значения, в какой степени переменная, которая фиксирована: в данном случае это просто некоторое число, являющееся множителем (как в случае обычной производной) при переменной, по которой находим частную производную. Если же фиксированная переменная не умножена на переменную, по которой находим частную производную, то эта одинокая константа, безразлично, в какой степени, как и в случае обычной производной, обращается в нуль.

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.

  • Пример 2. Дана функция
  • Найти частные производные
  • (по иксу) и (по игреку) и вычислить их значения в точке А (1; 2).
  • Решение. При фиксированном y производная первого слагаемого находится как производная степенной функции (таблица производных функций одной переменной):

Частная производная функции нескольких переменных

  1. При фиксированном x производная первого слагаемого находится как производная показательной функции, а второго – как производная постоянной:
  2. .
  3. Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А (1; 2):

Частная производная функции нескольких переменных

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.

  • Пример 3. Найти частные производные функции
  • .
  • Решение. В один шаг находим
  • (y фиксировано и является в данном случае множителем при x, как если бы аргументом синуса было 5x: точно так же 5 оказывается перед знаком функции);
  • (x фиксировано и является в данном случае множителем при y).

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.

Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных.

Если каждому набору значений (x; y; …; t) независимых переменных из множества D соответствует одно определённое значение u из множества E, то u называют функцией переменных x, y, …, t и обозначают u = f(x, y, …, t).

Для функций трёх и более переменных геометрической интерпретации не существует.

Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.

  1. Пример 4. Найти частные производные функции
  2. .
  3. Решение. y и z фиксированы:
  4. ,
  5. x и z фиксированы:
  6. ,
  7. x и y фиксированы:

Найти частные производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 5. Найти частные производные функции .

Пример 6. Найти частные производные функции .

Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной, — это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.

  • Пример 8. Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией
  • где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстоянии между пунктами.
  • Частная производная функции П по R, равная
  • показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.
  • Частная производная П по N, равная
  • показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Функции нескольких переменных

Полный дифференциал

Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так:

и т.д.

Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством

          (7)

  1. Пример 9. Найти полный дифференциал функции
  2. Решение. Результат использования формулы (7):

Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

Найти полный дифференциал самостоятельно, а затем посмотреть решение

Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот.

Сформулируем без доказательств достаточное условие дифференцируемости функции.

  • Теорема. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные
  • и
  • в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой (7).
  1. Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид
  2.  (8)
  3. где α и β – бесконечно малые при и .

Частные производные высших порядков

Частные производные и функции f(x, y) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называются частными производными высших порядков.

  • При этом употребляются следующие обозначения:
  • — производные от
  • по x и y.

Эти же производные можно записать и в другой форме:

Все эти производные являются частными производными второго порядка от функции f(x, y). От них можно опять взять производные. Например,

есть  частная производная третьего порядка функции f(x, y), взятая один раз по x и один раз по y.

Новых правил для составления частных производных высших порядков не требуется: производные составляются постепенно одна за другой, причём для смешанных частных производных справедлива следующая теорема.

Читайте также:  Теорема пифагора, формула и доказательство

Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в некоторой открытой области, то они совпадают.

Другими словами, для непрерывной смешанной частной производной порядок дифференцирования не играет роли.

Пример 11. Найти частные производные и функции и убедиться в равенстве этих частных производных.

  1. Решение:
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. .
  6. Как видно из решения, смешанные частные производные равны.
  • Пример 12. Для функции
  • вычислить частную производную
  • Решение. Первое и второе дифференцирование производим по x:
  • а третье – по y:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Функции нескольких переменных

Поделиться с друзьями

Функции нескольких переменных

Источник: https://function-x.ru/derivative5.html

§ 44. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

Знання → Вища математика →

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Додати до моєї бази знань  Математика

44.1. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование

Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆хz. Итак,

  • Δхz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).
  • Аналогично получаем частное приращение z по у:
  • Δуz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).
  • Полное приращение Δz функции z определяется равенством
  • Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).
  •  Если существует предел

Частная производная функции нескольких переменных

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частная производная функции нескольких переменных

Частные производные по х в точке М0(х0;у0) обычно обозначают символами Частная производная функции нескольких переменных

Аналогичноопределяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:

Частная производная функции нескольких переменных

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + ех2-у +1. Решение:

Частная производная функции нескольких переменных

Частная производная функции нескольких переменныхГеометрический смысл частных производных функции двух переменных

Графиком функции z= ƒ (х; у) является некоторая поверхность (см. п. 12.1). График функции z = ƒ (х; у0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = уо.

Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. п. 20.

2), заключаем, что ƒ'x(хо;уо) = tg а, где а — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z = ƒ (х; у0) в точке Мо(хо;уо; ƒ(хо;уо)) (см. рис. 208).

Аналогично, f'y (х0;у0)=tgβ.  

44.2. Частные производные высших порядков

Частные производныеЧастная производная функции нескольких переменныхназывают частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Частная производная функции нескольких переменных

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Частная производная функции нескольких переменных

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

Пример 44.2. Найти частные производные второго порядка функции z = x4-2x2y3+y5+1.

  1. Решение: Так както
  2. Оказалось, что

Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема 44.1 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В настности, для z=ƒ(х; у) имеем:

 

 

44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

  • Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:
  • Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz=A*Δx+B*Δy.     (44.2)

Выражения А•Δх и В•Δу называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде

dz=Adx+Bdy.     (44.3)

Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные dz/dx и dz/dy, причем dz/dx = А, dz/dy = В.

Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (44.1). Отсюда вытекает, что Это означает, что функция непрерывна в точке М. Положив Δу = 0, Δх ≠ 0 в равенстве (44.1), получим: Δz = А • Δх + а • Δх. Отсюда находимПереходя

  1. к пределу при Δх → 0, получим
  2. Таким образом, в точке М существует частная производная ƒ'x(х;у) = А. Аналогично доказывается, что в точке М существует частная производная
  3. Равенство (44.1) можно записать в виде
  4. где g=аΔх+βΔу→0 при Δх → 0, Δу → 0.

Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функцияне дифференцируема в точке (0;0).

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:

  • или
  • где— частные дифференциалы функции z=ƒ(х;у).

Теорема 44.3 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные z'x и z'y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).

  1. Примем теорему без доказательства.
  2. Отметим, что для функции у=ƒ(х) одной переменной существование производной ƒ'(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.
  3. Чтобы функция z=ƒ(х;у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
  4. Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

  • Из определения дифференциала функции z=ƒ (х; у) следует, что при достаточно малых |Δх| и |Δу| имеет место приближенное равенство
  • Так как полное приращение Δz=ƒ(х+Δх;у+Δу)-ƒ(х;у), равенство (44.6) можно переписать в следующем виде:

Формулой (44.7) пользуются в приближенных расчетах.

Пример 44.3. Вычислить приближенно 1,023,01.

Решение: Рассмотрим функцию z = ху. Тогда 1,023,01 = (х + Δх)у+∆у, где х = 1, Δх = 0,02, у = 3, Δу = 0,01. Воспользуемся формулой (44.7), предварительно найдя Следовательно,

Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим: 1,023,01 ≈ 1,061418168.

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.

44.5. Дифференциалы высших порядков

Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциалом первого порядка.

Пусть функция z=ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле (d2z = d(dz). Найдем его:

  1. Отсюда:Символически это записывается так:
  2. Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка:
  3. где
  4. Методом математической индукции можно показать, что
  5. Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z = ƒ(х;у) являются независимыми.

Пример 44.4. (Для самостоятельного решения.) Найти d2z, если z=х3у2.

Ответ: d2z=бху2dx2+12х2уdxdy+2х3dy2.

44.6. Производная сложной функции. Полная производная

Пусть z=ƒ(х;у) — функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные переменные.

Теорема 44.4. Если z = ƒ(х;у) — дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

Дадим независимой переменной t приращение Δt. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δх и Δу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.

Так как по условию функция z — ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде

где а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δz на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Тогда Δх→0 и Δу→0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы — они дифференцируемые). Получаем:

т. е.

  • или

Частный случай: z=ƒ(х;у), где у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) — сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:

Формула (44.9) носит название формулы полной производной.

Общий случай: z=ƒ(х;у), где x=x(u;v), у=у(u;v). Тогда z= f(x(u;v);y(u;v)) — сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производныеможно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в нейсоответствующими частными производными

  1. Аналогично получаем:
  2. Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Пример 44.5. Найтиесли z=ln(x2+у2), х=u•v, у=u/v.

  • Решение: Найдем dz/du (dz/dv — самостоятельно), используя формулу (44.10):
  • Упростим правую часть полученного равенства:

т. е.

44.7. Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z=ƒ(х;у) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть z=ƒ(х;у), где х и у — независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид

(формула (44.5)).

Рассмотрим сложную функцию z=ƒ(х;у), где х = x(u;v), у = y(u;v), т. е. функцию z = f(x(u;v);y(u;v)) = F(u;v;), где u и v — независимые переменные. Тогда имеем:

  1. Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = х(u;v) и y = y(u;v). Следовательно, и в этом случае,

44.8. Дифференцирование неявной функции

Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию ƒ (х; у), получим тождество F(x;у;ƒ (х; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

  • откуда
  • Замечания.

а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х2+у2+z2-4=0 определяет функцииопределенные в круге х2+у2≤4,определенную в полукруге х2+у2 ≤ 4 при у≥ 0 и т. д., а уравнение cos(x + 2у +3z)- 4 = 0 не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x; у; z) и ее производные F'x(x; у; z), F'y(x; у; z), F'z(x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M0(x0;y0;z0), причем F(x0;y0;z0)=0, а F'z(x0;y0;z0)≠0, то существует окрестность точки М0, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z=ƒ(х;у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х0;у0) и такую, что ƒ(х0;у0)=z0.

б) Неявная функция у=ƒ(х) одной переменной задается уравнением F(x;у)=0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

Пример 44.6. Найти частные производные функции z, заданной уравнением ez+z-х2у+1=0.

Решение: Здесь F(x;y;z)=ez+z-х2у+1, F'x=-2ху, F'y = -х2, F'z=ez+1. По формулам (44.12) имеем:

Пример 44.7. Найти если неявная функция у=ƒ(х) задана уравнением у3+2у=2х.

Решение: Здесь F(x;у) = у3+2у-2х, F'x=-2, F'y = 3у2+2. Следовательно,

загрузка…

Источник: http://www.znannya.org/?view=proizvodnue-duferen-dvox-perem

Частные производные функций двух переменных

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, y).

Частной производной функции двух переменных z = f(x, y) по х в точке (х, у) называется предел Частная производная функции нескольких переменных , если он существует. Частная производная есть обычная производная от функции f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной х при фиксированному.

Аналогично определяется частная производная по ув точке (х,у):

Частная производная функции нескольких переменных .

Если у функции существует частная производная снова по переменной х, то ее называют частной производной второго порядка от функции f(x,y) по переменной х и обозначают . Таким образом, .

Читайте также:  График параболы, с примерами построения

Аналогично для переменной у: Частная производная функции нескольких переменных .

Если существует частная производная от функции по переменной у, то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции z = f(x, y) и обозначают Частная производная функции нескольких переменных .

В курсе высшей математики доказывается теорема о том, что если функция двух переменных определена вместе со своими частными производными в окрестности некоторой точки, причем смешанные частные производные непрерывны в этой точке, то в этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, т. е. .

  • ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
  • Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, y). Если эта функция дифференцируема в точке (х,у), то для нее существует производная по направлению любого единичного вектора `n0 = (Cosa, Cosb), выражаемая формулой ,
  • где a и b — углы, которые вектор `n0 составляет с осями хи у.
  • Если же необходимо найти производную по направлению произвольного вектора `n = a`i + в`j , то его необходимо сначала пронормировать и найти направляющие косинусы по формулам а потом воспользоваться приведенной выше формулой.
  • ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ
  • Градиентом функции z = f(x, y) в точке М(х0, у0) называется вектор grad z, координаты которого равны частным производным функции z = f(x, y), вычисленным в точке М(х0, у0)
  • .
  • ЗАДАЧА № 9
  • Найти частные производные функции z = f(x,y):
  • ЗАДАЧА № 10
  • Найти градиент и производную по направлению
  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
  • ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

При изучении дифференцированного исчисления решалась следующая задача: дана функция F(x), найти ее производную F¢(x) (в дальнейшем производную F¢(x) будем обозначать f(x)).

Интегральное исчисление решает задачу обратную: для непрерывной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы тождественно равна функции f(x). Функция F(x) называется первообразной, f(x) — подынтегральной.

Ясно, что если F¢(x) = f(x), то и [F¢(x) + C]¢ = f(x). Здесь С — произвольная постоянная величина.

Определение:

Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, производная которой равна подынтегральной функции f(x), т.е.

= F(x) + C, если [F(x) + C]¢ = f(x).

Подынтегральное выражение f(x)dx есть дифференциал для всех первообразных, т.е. d[F(x) + C] = f(x)dx.

Из определения следует, что процесс нахождения неопределенного интеграла сводится к нахождению первообразной данной функции.

Вообще, используя таблицу производных, можно составить таблицу основных интегралов:

1. 9.
2. 10.
2¢. 11.
3. 12.
3¢. 13.
4. 14.
5. 15.
6. 16.
7. 17.
8. 18.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. , т.е. знаки d и ò, стоящие перед некоторой функцией, друг друга уничтожают. Так .

2. , т.е. постоянный множитель можно выносить за знаки интеграла.

3. , т.е. неопределенный интеграл от суммы некоторых функций равен сумме интегралов от этих функций.

  1. ЗАДАЧА № 11
  2. Найти неопределенный интеграл .
  3. =
  4. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ
  5. Метод заключается в том, что вместо переменной x вводят новую переменную, например t. Так, если положить х = j(t), то

Получаемый интеграл должен быть значительно проще данного. В противном случае следует искать другую форму введения новой переменной. Часто переменную t вводят так: t = j(x), а dt = j¢(x)dx. Это удобно, если данное подынтегральное выражение содержит дифференциал j¢(x)dx.

  • ЗАДАЧА № 12
  • Найти неопределенный интеграл .
  • =
  • ЗАДАЧА № 13
  • Найти неопределенный интеграл .
  • .
  • ЗАДАЧА № 14
  • Найти неопределенный интеграл .
  • =
  • ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
  • Идея метода состоит в том, что подынтегральное выражение f(x)dx нужно представить в виде произведения U*dV , где U(x) и V(x) — дифференцируемые функции и воспользоваться формулой .
  1. При этом вновь полученный интеграл должен быть проще данного.
  2. ЗАДАЧА № 15
  3. Найти неопределенный интеграл .
  4. =
  5. ЗАДАЧА № 16
  6. Найти неопределенный интеграл .
  7. =



Источник: https://infopedia.su/4x78ce.html

Частные производные функции нескольких переменных

Предел и непрерывность функций нескольких переменных

О: Число, в случае когда для любого числа существует такое число, что для всех т. кроме, быть может т. , верно неравенство

Частная производная функции нескольких переменных

Главные теоремы о пределах функции одной переменной (см. разд. 7.5) верны и для функций двух и большего числа переменных.

О: Функция именуется непрерывной в т., если: 1) она определена в т .и её окрестности, 2) . Частная производная функции нескольких переменных

О: Точка именуется точкой разрыва функции , когда для неё неверно хотя бы одно условие 1), 2). Точки разрыва могут являться изолированными, а также формировать линии разрыва.

  • Примеры: 1) .
  • ◄Функция не определена в тех точках, где знаменатель становится нулём — линия разрыва ►
  • ◄ т. — точка разрыва ►
  • В случае трёх и более переменных определения предела и непрерывности остаются подобными приведённым.
  • О: Число A называется пределом функции существует такое, что из условия следует
  • Частные производные функции нескольких переменных

Пусть М(х1, х2, …, хm) внутренняя точка области определения функции u=f(x1, …, xm). Пусть xk — приращение k-ой координаты в данной фиксированной т.М, ему соответствует частное приращение функции

xku f(x1, …, xk-1, xk + xk, xk+1, …, xm) — f(x1, …, xm).

Рассмотрим отношение , которое зависит от xk и определено при всех достаточно малых xk, отличных от нуля.

Определение 1. Если существует , то он называется частной производной функции u=f(x1, …, xm) в т. М(x1, …, xm) по аргументу xk и обозначается одним из символов: . Таким образом, .

Замечание. Так как изменяется только xk + xk, т.е. k-я координата аргумента функции f, то частная производная является обыкновенной производной функции f как функции только k-й переменной (при фиксированных остальных переменных). Это позволяет вычислить частные производные по одной из переменных по обычным формулам дифференцирования, если зафиксировать все остальные переменные.

  1. Пример 1. u = x2 + 3xy — y
  2. вычисляем при условии, что y = const
  3. вычисляем при условии, что x = const
  4. Выясним теперь, насколько полную информацию дают частные производные функции в данной точке о поведении функции в окрестности этой точки.

Сразу отметим, что частные производные в т.М0 могут дать информацию о поведении функции только на прямых, проходящих через т.М0 и параллельных координатным осям.

Конечно, этой информации совсем не достаточно, чтобы судить о поведении функции в целой окрестности т.М0 (и, в частности, на других лучах, проходящих через т.М0).

  • Пример 3. Функции показывает, что частные производные ее
  • (аналогично )

существуют и обращаются в нуль не только в т. (0,0), но и всюду на координатных осях, а сама функция не имеет в т. (0,0) предела (см. тему 4). Заметим, что в одномерном случае из существования производной следовала непрерывность функции.

Таким образом, мы приходим к необходимости ввести более сильное условие, чем существование частных производных, чтобы оно было аналогом дифференцируемости функции одной переменной. Это условие должно быть связано с полным приращением функции в точке.

Источник: https://megaobuchalka.ru/7/29612.html

Примеры решения частных производных с ответами

Алгоритм решения частных производных

Проще говоря, чтобы найти частную производную функции по переменной ,переменную будем считать константой (производная константы равна нулю), после чего находим производную функции по с помощью таблицы производных элементарных функций – . Готово!

Примеры решения частных производных

Задача 1

Задача

Решение

Частная производная функции по независимой переменной :

Производная суммы равна сумме производных. Производная от вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент считается константой. Производная от слагаемого вычисляется как производная от константы.

Частная производная функции по независимой переменной :

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается ).

Производная от слагаемого вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент считается константой, а – независимым аргументом.

Вычисление производной от слагаемого осуществляется по правилам вычисления производных функций с одним аргументом.

Ответ

Задача 2

  • Задача
  • Найти частные производные функции .
  • Решение
  • Найдём частную производную функции по независимой переменной :

Функция является сложной. Производной показательной функции с основанием является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что является константой и равна . Производная функции равна произведению и . В результате получаем:

  1. .
  2. Найдём частную производную функции по независимой переменной :
  3. По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции и показателя её степени :
  4. Считая постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу :

Ответ

Задача 3

  • Задача
  • Найти частные производные функции .
  • Решение

Частная производная функции по независимой переменной будет равна производной от . Производная от слагаемого при этом будет равна нулю как производная от константы.

  1. Частная производная функции по независимой переменной находится аналогичным образом, при этом предполагается, что является константой.
  2. Ответ

Задача 4

  • Задача
  • Найти частные производные функции .
  • Решение

Частная производная функции по независимой переменной определяется слагаемым . Производная второго слагаемого – равна нулю, как производная от константы.

  1. В свою очередь, частная производная функции по независимой переменной будет определяться обоими слагаемым:
  2. Таким образом, окончательно получаем:
  3. Ответ

Задача 5

  • Задача
  • Найти частные производные функции .
  • Решение
  • При нахождении производной по независимой переменной , функцию следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:

Производная по независимой переменной находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная входит в показатель степени виде функции .

  1. Производная показательной функции равна:
  2. Производная показателя степени равна:
  3. В результате получаем:
  4. Ответ

Задача 6

  • Задача
  • Найти частные производные функции .
  • Решение
  • Частная производная по независимой переменной находится как сумма слагаемых:
  • Частная производная по независимой переменной находится как сумма слагаемых:
  • Ответ

Задача 7

  1. Задача
  2. Найти частные производные функции .
  3. Решение
  4. По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая как независимый аргумент:

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – следует домножить на производную подкоренного выражения: .

  • Рассматривая в качестве независимого аргумента, получаем:
  • По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – следует домножить на производную подкоренного выражения: .
  • Ответ

Задача 8

  1. Задача
  2. Найти частные производные функции .
  3. Решение
  4. Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.

Производная показательной функции с основанием равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени: . В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: . Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций: и .

  • Нахождение частной производной функции по аргументу :
  • Нахождение частной производной функции по аргументу :
  • Ответ

Задача 9

  1. Задача
  2. Найти частные производные первого и второго порядков функции .
  3. Решение
  4. Найдём частную производную первого порядка по аргументу :
  5. Найдём частную производную второго порядка по аргументу :
  6. Найдём частную производную первого порядка по аргументу :
  7. Найдём частную производную второго порядка по аргументу :
  8. Ответ

Задача 10

  • Задача
  • Найти частные производные первого и второго порядков функции .
  • Решение
  • Найдём частную производную первого порядка по аргументу :
  • Найдём частную производную второго порядка по аргументу :
  • Найдём частную производную первого порядка по аргументу :
  • Найдём частную производную второго порядка по аргументу :
  • Ответ

Примеры решения частных производных с ответами обновлено: 18 декабря, 2019 автором: Научные Статьи.Ру

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/primery-resheniya-chastnyh-proizvodnyh/

Частная производная онлайн

Понятие частной производной применимо только к функциям многих переменных. Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y). Частные производные по переменным x и y записываются в виде и соответственно. Сами частные производные и также являются функциями двух переменных: и , поэтому от них тоже можно взять производные:

Производные и – являются вторыми частными производными функции z по переменным x и y соответственно. Производные и – называются смешанными производными функции z по переменным x, y и y, x соответственно. При условии, что функция z и её смешанные производные и определены в некоторой окрестности точки M(x0,y0) и непрерывны в этой точке, выполняется равенство:

По аналогии, можно ввести производные более высоких порядков, например, запись означает, что мы должны продифференцировать функцию z по переменной x два раза, а затем по переменной y три раза, т.е. фактически:

Иногда, для обозначения частных производных некоторой функции z=f(x,y) используют запись вида: fx'(x,y) и fy'(x,y), указывая переменную по которой происходит дифференцирование.

Таким образом можно обозначать и смешанные производные: fxy''(x,y) и fyx''(x,y) а также вторые производные и производные более высокого порядка: fxx''(x,y) и fxxy'''(x,y) соответственно. Следующие обозначения эквиваленты:

В нашем онлайн калькуляторе для обозначения частных производных используются символы: ; ; . Пример подробного решения, выдаваемого нашим онлайн сервисом, можно посмотреть .

Мы в социальных сетях:

© Mathforyou 2020 Контакты: support@mathforyou.net

Источник: https://mathforyou.net/online/calculus/derivative/partial/

Ссылка на основную публикацию