Дифференциальные уравнения второго порядка

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

    Дифференциальные уравнения второго порядка

где p и q — действительные числа. Рассмотрим на примерах, как решаются однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейного однородного однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение — это уравнение k²+pk+q=0.

  • 1) Если корни характеристического уравнения — различные действительные числа:
  •     [{k_1} in R,{k_2} in R,{k_1} 
e {k_2},]
  • то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
  •     Дифференциальные уравнения второго порядка
  • 2) Если корни характеристического уравнения — равные действительные числа
  •     Дифференциальные уравнения второго порядка
  • (например, при дискриминанте, равном нулю), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка есть
  •     Дифференциальные уравнения второго порядка
  • 3) Если корни характеристического уравнения — комплексные числа
  •     Дифференциальные уравнения второго порядка
  • (например, при дискриминанте, равном отрицательному числу), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде
  •     Дифференциальные уравнения второго порядка
  • Примеры решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
  • Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:
  •     Дифференциальные уравнения второго порядка

Составляем характеристическое уравнение: k²-7k+12=0. Его дискриминант D=b²-4ac=1>0, поэтому корни — различные действительные числа.

  1.     Дифференциальные уравнения второго порядка
  2. Отсюда, общее решение этого однородного ДУ 2-го порядка есть
  3.     Дифференциальные уравнения второго порядка
  4. Составим и решим характеристическое уравнение:
  5. Корни действительные и различные. Отсюда имеем общее решение  данного однородного дифференциального уравнения:
  6. В этом случае характеристическое уравнение
  7. Корни различны и действительны. Поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения 2-го порядка здесь
  8. Характеристическое уравнение
  9. Поскольку корни действительны и равны, для этого дифференциального уравнения общее решение записываем как
  10. Характеристическое уравнение здесь
  11. Так как дискриминант — отрицательное число, корни характеристического уравнения — комплексные числа.
  12. Общее решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид
  13. Характеристическое уравнение
  14. Отсюда находим общее решение данного диф. уравнения:
  15. Примеры для самопроверки.
  16. Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:
  17. Показать решение

Источник: http://www.matematika.uznateshe.ru/odnorodnye-differencialnye-uravneniya-vtorogo-poryadka-s-postoyannymi-koefficientami/

10.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Основные понятия теории

Определение 1. Дифференциальным уравнением Второго по­рядка называется уравнение вида

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  График тангенса, с примерами построения

Оценим за полчаса!

Дифференциальные уравнения второго порядка

Где Х — независимая переменная, У — искомая функция, У' и У» — соответственно ее первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Как и в случае уравнения первого порядка, решением урав­нения (10.1) называется функция У = φ(X), определенная на некотором интервале (А, B), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется Интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности реше­ния уравнения второго порядка.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у') и ее частные производные и , непрерывны в некоторой обла­сти D пространства переменных (x, у, у'). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у'0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее ус­ловиям:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (X, Y0) на координатной плоскости Оху проходит Единствен­ная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом Y' касательной (рис. 10.1).

Дифференциальные уравнения второго порядка

Условия (10.3) называются Начальными условиями, а зада­чу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным началь­ным условиям называют Задачей Коши.

Общим решением уравнения (10.

2) в некоторой области D Называется функция У = φ(х, С1, С2), если она является реше­нием этого уравнения при любых постоянных величинах С1 и C2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением Уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С1 и C2: У = φ(х, С10, С20).

Рассмотрим для пояснения уравнение У» = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Где С1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy Проходит бесконечное число таких прямых.

Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку , y), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной.

Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Дифференциальные уравнения второго порядка

Т. е. нужно найти прямую, проходящую через точку M(l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка на­чальных условий в общее решение уравнения приводит к сис­теме двух линейных уравнений относительно постоянных С1 и C2

Дифференциальные уравнения второго порядка

Откуда С1 = 1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное реше­ние — это прямая У = х + 1.

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/osnovy-matematiki-i-ee-prilozheniia-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-m-s-chuprynov-b-p/10-1-differentcialnye-uravneniia-vtorogo-poriadka-osnovnye-poniatiia-teorii

Примеры решений дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа

Дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрены примеры решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом Лагранжа (вариации постоянных).

Содержание

Пример 1 ⇓   Шаг 1. Решение однородного уравнения ⇓   Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями ⇓      Решение системы уравнений ⇓Пример 2 ⇓   Шаг 1. Решение однородного уравнения ⇓   Шаг 2.

Вариация постоянных – замена постоянных функциями ⇓      Решение системы уравнений ⇓

Здесь мы применим метод вариации постоянных Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Читайте также:  Строение атома хрома (cr), схема и примеры

Подробное описание этого метода для решения уравнений произвольного порядка изложено на странице Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа >>>.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа: (1)  

Решение

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Вначале мы решаем однородное дифференциальное уравнение: (2)   Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение: Это уравнение второго порядка.

Решаем квадратное уравнение: . Корни кратные: . Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид: (3)   . Отсюда получаем общее решение однородного уравнения (2):

(4)   .

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Варьируем постоянные C1 и C2. То есть заменим в (4) постоянные и на функции: . Ищем решение исходного уравнения (1) в виде:

(5)   .

Находим производную: . Свяжем функции и уравнением: (6)   . Тогда

  • .
  • Находим вторую производную: . Подставляем в исходное уравнение (1):
  • (1)   ;

. Поскольку и удовлетворяют однородному уравнению (2), то сумма членов в каждом столбце последних трех строк дает нуль и предыдущее уравнение приобретает вид: (7)   . Здесь .

Вместе с уравнением (6) мы получаем систему уравнений для определения функций и : (6)   : (7)   .

Решение системы уравнений

Решаем систему уравнений (6-7). Выпишем выражения для функций и : . Находим их производные: ; .

Решаем систему уравнений (6-7) методом Крамера. Вычисляем определитель матрицы системы: . По формулам Крамера находим:

;

.

Итак, мы нашли производные функций: ; . Интегрируем (см. Методы интегрирования корней). Делаем подстановку ;   ;   ;   .

. .

  1. Общее решение исходного уравнения: ; .
  2. Ответ
  3. .

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянных Лагранжа: (8)  

Решение

Шаг 1. Решение однородного уравнения

  • Решаем однородное дифференциальное уравнение:
  • (9)   Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение: Это уравнение имеет комплексные корни:
  • .
  • (10)   .
  • (11)   .

Фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, имеет вид: Общее решение однородного уравнения (9):

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Теперь варьируем постоянные C1 и C2. То есть заменим в (11) постоянные на функции: . Ищем решение исходного уравнения (8) в виде:

(12)   .

Далее ход решения получается таким же, как в примере 1. Мы приходим к следующей системе уравнений для определения функций и : (13)   : (14)   . Здесь .

Решение системы уравнений

Решаем эту систему. Выпишем выражения функций и : . Из таблицы производных находим: ; .

Решаем систему уравнений (13-14) методом Крамера. Определитель матрицы системы: . По формулам Крамера находим:

;

.

Итак, мы нашли производные функций: ; . Интегрируем (см. Методы интегрирования тригонометрических функций).

Второй интеграл табличный (см. Таблица неопределенных интегралов). .

Первый интеграл немного сложней (см. Интегрирование тригонометрических рациональных функций). Делаем подстановку : . Поскольку , то знак модуля под знаком логарифма можно опустить. Умножим числитель и знаменатель на   : . Тогда

  1. .
  2. Общее решение исходного уравнения: .
  3. Ответ
  4. .

Источник: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/lineinie_postoyannie_koeffitsienti/neodnorodnie_lagranzha/primer1/

Лекция по высшей математике"Дифференциальные уравнения второго порядка"(для 26 гр.)

  • 1) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
  • Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную (искомую) функцию у(х), независимую переменную х, первую и вторую производные у', у'' или дифференциалы
  • Дифференциальное уравнение второго порядка символически можно записать в общем виде следующим образом:
  • или
  • Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной, имеет вид:
  • или

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает его в тождество. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет бесчисленное множество решений, которые можно представить в виде функции Эта совокупность решений называется общим решением.

Функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных С1 и С2, называется частным решением. Частное решение находится при помощи задания начальных условий: у(х=х)=у и у'(х=х)=у', где х0, у0, у'– конкретные числа.

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Коши. Практически задачу Коши решают следующим образом: находят общее решение, затем в него подставляют начальные условия, получают систему двух уравнений, определяют произвольные постоянные С1 и С2 и подставляют их конкретные значения в общее решение.

  1. 2) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
  2. ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
  3. Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, которые позволяют понизить порядок уравнения и привести его к уравнениям первого порядка.

2.1. Дифференциальное уравнение вида

Правая часть уравнения не содержит у и у'. Уравнение решается путем последовательного интегрирования. Найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):

Интегрируя еще раз, получим общее решение:

Пример 1. Найти частное решение уравнения при заданных начальных условиях у(х=)=1 и у'(х=)=1.

  • Решение. Последовательно интегрируя, найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):
  • (2.1)
  • Интегрируя еще раз, получим общее решение:
  • (2.2)

Так как мы интегрировали дважды, то получили две произвольные постоянные С1 и С2. Подставляя начальные условия в соотношения (2.1) и (2.2), получим С1=1 и С2=1. Следовательно, частное решение имеет вид:

2.2. Дифференциальное уравнение вида

Правая часть уравнения не содержит искомой функции у. Уравнение решается с помощью подстановки:

где z – функция от х. Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка: .

  1. Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
  2. или
  3. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
  4. Пример 2. Найти общее решение уравнения
  5. Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
  6. или
  7. Разделяем переменные: Интегрируем:
  8. Получаем промежуточное общее решение: или
  9. Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
  10. Разделяем переменные:
  11. Интегрируя, получим общее решение:
  12. Пример 3. Найти общее решение уравнения
  13. Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:

. (2.3)

Уравнение (2.3) является однородным и решается с помощью подстановки:

(2.4)

Подставляя (2.4) в (2.3), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

  • Сокращаем на х и разделяем переменные:
  • Интегрируем:
  • (2.5)
  • Интеграл в левой части равенства (2.5) вычисляем методом замены переменной:
  • После интегрирования (2.5) получаем промежуточное общее решение:
  • ; ;;
  • Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или .
  • Разделяем переменные и интегрируем: (2.6)
  • Интеграл, стоящий в правой части, вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
  • Тогда
  • После интегрирования (2.6) получим общее решение:
  • Пример 4. Найти общее решение уравнения
  • Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
  • или (2.7)
  • Уравнение (2.7) является линейным неоднородным и решается с помощью подстановки:
  • (2.8)

Подставляя (2.8) в (2.7), получим:

  1. (2.9)
  2. Квадратную скобку приравняем к нулю и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
  3. Разделяем переменные и интегрируем: Получаем: или
  4. Функцию подставляем в соотношение (2.9):
  5. Сокращаем на х, разделяем переменные и интегрируем:
  6. Находим z:
  7. Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
  8. Разделяем переменные и интегрируем:
  9. (2.10)
  10. Интеграл, стоящий в правой части (2.10), вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
  11. Тогда
  12. После интегрирования (2.10) получим общее решение:

2.3. Дифференциальное уравнение вида

Правая часть уравнения не содержит независимой переменной х. Уравнение решается с помощью подстановки: или

где z – функция от у, т.е. z= z[y(x)] – сложная функция от х . Тогда:

  • Исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
  • где z искомая функция, у – независимая переменная.
  • Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
  • или
  • Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
  • Пример 5. Найти общее решение уравнения
  • Решение. Сделаем подстановку:
  • Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
  • Сокращаем на z (z≠0) и разделяем переменные:
  • Интегрируем:
  • Получаем промежуточное общее решение: или
  • Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
  • или
  • Разделяем переменные: Интегрируя, получим общее решение:
  • 3) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
  1. Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , (1)

т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и — некоторые числа, а функция задана на некотором интервале .

Если на интервале , то уравнение (1) примет вид , (2)

и называется линейным однородным. В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным. Рассмотрим комплексную функцию , (3)

где и — действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть , и мнимая часть решения в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения. Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.

  1. Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:
  2. Если есть решение уравнения (2), то и функция , где С – произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);
  3. Если и есть решения уравнения (2), то и функция также будет решением уравнения (2);
  4. Если и есть решения уравнения (2), то их линейная комбинация также будет решением уравнения (2), где и – произвольные постоянные.
  5. Функции и называются линейно зависимыми на интервале , если существуют такие числа и , не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство
  6. . (4)
  7. Если равенство (4) имеет место только тогда, когда и , то функции и называются линейно независимыми на интервале .

Пример 1. Функции и линейно зависимы, так как на всей числовой прямой. В этом примере .

Пример 2. Функции и линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство возможно лишь в случае, когда и , и .

  1. Построение общего решения линейного однородного уравнения.

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и . Линейная комбинация этих решений , где и – произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения. Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать

в виде , (5) ,где – некоторое число. Тогда , . Подставим эти выражения в уравнение (2):

или .

Так как , то . Таким образом, функция будет решением уравнения (2), если будет удовлетворять уравнению . (6)

Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.

Пусть и есть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.

Пусть корни и характеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции и . Эти решения линейно независимы, так как равенство может выполняться лишь тогда, когда и , и . Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид , где и — произвольные постоянные.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет . Решив это квадратное уравнение, найдём его корни и . Функции и являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .

Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а называется мнимой единицей. Если , то число называется чисто мнимым. Если же , то число отождествляется с действительным числом .

Число называется действительной частью комплексного числа, а — мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными: ,

Пример 4. Решить квадратное уравнение .

Решение. Дискриминант уравнения . Тогда . Аналогично, . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные, т.е. , , где . Решения уравнения (2) можно записать в виде , или , . По формулам Эйлера: , .

Читайте также:  Of2, степень окисления кислорода и фтора в нем

Тогда , . Как известно, если комплексная функция является решением лин. одн. ур-я, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции и . Так как равенство

может выполняться только в том случае, если и , то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид ,

где и — произвольные постоянные.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни , . Функции и являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .

Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е. . Тогда решениями уравнения (2) являются функции и . Эти решения линейно независимы, так как выражение может быть тождественно равным нулю только тогда, когда и . Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид .

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции и . Общее решение имеет вид .

  1. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения: .

В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.

Пусть неоднородное уравнение имеет вид , (7)

т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m. Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степени m, т.е. .

Коэффициенты определяются в процессе нахождения частного решения.

Если же является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде .

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является

. Его характеристическое уравнение имеет корни и .

Общее решение однородного уравнения имеет вид .

Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции . Найдём производные этой функции , и подставим их в данное уравнение :

или . Приравняем коэффициенты при и свободные члены: Решив данную систему , получим , . Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид , а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:

Пусть неоднородное уравнение имеет вид (8)

Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Если же есть корень характеристического уравнения кратности k (k=1 или k=2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Его корни , . В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде .

Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Найдём производные первого и второго порядков: ,. Подставим в дифференциальное уравнение: +,

  • + , .
  • Приравняем коэффициенты при и свободные члены:
  • Отсюда , .
  • Тогда частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение
  • .

Источник: https://infourok.ru/lekciya-po-visshey-matematikedifferencialnie-uravneniya-vtorogo-poryadkadlya-gr-2311306.html

Дифференциальные уравнения второго порядка

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Определение 10. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и её вторую производную, то есть уравнение вида

  • где – независимая переменная, – искомая функция, – её первая производная, – вторая производная функции .
  • Линейные однородные дифференциальные уравнения
  • Второго порядка с постоянными коэффициентами
  • Определение 11.Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется дифференциальное уравнение, имеющее вид

где – искомая функция, а и – числа.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами может иметь множество решений. Однако среди них выделяют два базисных решения, по которым строится общее решение уравнения.

  1. Будем искать решение уравнения (11) в виде
  2. ,
  3. где – некоторое число. Подставляя эту функцию в само уравнение (11), получаем
  4. .
  5. Деля обе части уравнения на , имеем квадратное уравнение относительно :
  6. . (12)

Уравнение (12) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (11). Обозначим корни характеристического уравнения (12) через , .

  • Справедлива следующая теорема:
  • Теорема.1)Если корни характеристического уравнения вещественные и различны: , , то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) имеет вид
  • , .
  • 2) В случае, когда корни характеристического уравнения вещественные и равные: , общим решением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) является функция
  • , .
  • 3) Если корни характеристического уравнения комплексно сопряженные: , , , то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) имеет вид
  • , .
  • Примеры. Решим следующие дифференциальные уравнения:
  • 1) .

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: . Его корни вещественны и различны: , . Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид , .

Ответ: , .

2) .

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Корни характеристического уравнения вещественны и совпадают: . Поэтому общее решение исходного уравнения таково .

Ответ: , .

3) .

Корни характеристического уравнения заданного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами комплексно сопряжены: , . Следовательно, общее решение имеет вид .

  1. Ответ: , .
  2. Тема 2. РЯДЫ
  3. Понятие числового ряда
  4. Определение 12.Пусть дана числовая последовательность тогда выражение вида
  5. (13)
  6. называется числовым рядом или просто рядом.
  7. Числа называются членами ряда, первым, вторым и так далее, – общим или -ым членом ряда.
  8. Суммы конечного числа членов ряда
  9. ,
  10. ,
  11. ,
  12. ……………………
  13. носят название частичных сумм ряда (13).

Числовой ряд (13) называется сходящимся, если предел его частичных сумм конечен, то есть . Число называется суммой ряда (13): . Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд (13) называется расходящимся.

Пример. Покажем, что ряд сходится.

  • Составим частичную сумму первых членов ряда:
  • .
  • Чтобы упростить выражение для , разложим на элементарные дроби. Имеем
  • ,
  • .
  • Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в числителях дробей, получаем
  • , ;
  • , ,
  • поэтому
  • .
  • Следовательно,
  • .
  • Переходя к пределу, находим
  • .
  • Таким образом, ряд сходится и его сумма равна 1.
  • Важное место в теории рядов имеет теорема, отражающая необходимое условие сходимости ряда.

1.2. Необходимое условие сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .

Ряд из предыдущего примера сходится, и его общий член действительно стремится к нулю. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда.

  1. Пример.Докажем, что ряд
  2. ,
  3. который называется гармоническим рядом, расходится.

, то есть для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполнено. Докажем, что это ряд расходится методом от противного. Действительно, если бы этот ряд сходился, то обозначая его сумму через , мы бы имели

Но , то есть . Отсюда следует, что равенство невозможно, то есть гармонический ряд расходится.

Но, если для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то необходимый признак сходимости ряда позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.

1.2. Свойства сходящихся рядов

  • 1) На сходимость ряда не влияет отбрасывание, добавление или изменение конечного числа его членов.
  • 2) Пусть даны два сходящихся ряда и , тогда ряд сходится и .
  • 3) Пусть дан сходящийся ряд и постоянная , тогда ряд сходится и .

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://lektsia.com/3x75dd.html

§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное
однородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными
коэффициентами

png» width=»125″>имеет общее решение,
гдеи

Dz1t/img-dyi0Fd.png» width=»25″>линейно-независимые частные решения
этого уравнения.

Общий вид решений
однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами ,
зависит от корней характеристического
уравнения.

Корни характеристического уравнения Вид общего решения
Корни идействительные и различные
Корни ==действительные и одинаковые
Корни комплексные ,

Пример

Найти общее решение
линейных однородных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами:

Решение: Составим
характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем
корни ,действительные и различные. Следовательно,
общее решение имеет вид:.

Решение: Составим
характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем
корни действительные и одинаковые. Следовательно,
общее решение имеет вид:.

Решение: Составим
характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем
корни комплексные. Следовательно, общее
решение имеет вид:.

Линейное
неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными
коэффициентами
имеет
вид

,
где . (1)

Общее решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка имеет вид,
где

Dz1t/img-YHd3VH.png» width=»39″>– частное решение этого уравнения,– общее решение соответствующего
однородного уравнения, т.е. уравнения.

Вид частного
решения неоднородного уравнения (1) в зависимости
от правой части:

Правая часть Частное решение
–многочлен степени , где – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
, где – число, показывающее, сколько раз=является корнем характеристического уравнения.
, где – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с.
где – число корней характеристического уравнения, совпадающих с.

1.
Пусть правая часть имеет вид ,
где– многочлен степени.
Тогда частное решение

png» width=»39″>можно искать в виде,
где– многочлен той же степени, что и,
а

png» width=»16″>– число корней характеристического
уравнения, равных нулю.

Пример

Решение:

А) Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения .
Для этого запишем характеристическое
уравнение

png» width=»95″>.
Найдем корни последнего уравнения.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид

png» width=»128″>.

Б) Так как правая
часть уравнения является многочленом
первой степени и ни один из корней
характеристического уравнения не равен нулю (

png» width=»72″>),
то частное решение ищем в виде,
гдеи– неизвестные коэффициенты.

Дифференцируя
дваждыи подставляя,и

png» width=»39″>в исходное уравнение, находим.

Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в обеих частях равенства,

png» width=»87″>,
находим,.
Итак, частное решение данного уравнения
имеет вид

png» width=»80″>,
а его общее решение.

2.
Пусть правая часть имеет вид ,
где– многочлен степени.

Тогда частное решениеможно искать в виде,
где

png» width=»50″>– многочлен той же степени, что и,
а– число, показывающее, сколько раз

png» width=»18″>является корнем характеристического
уравнения.

Пример

Решение:

А) Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения .
Для этого запишем характеристическое
уравнение

png» width=»96″>.
Найдем корни последнего уравнения.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид

png» width=»141″>.

Б) Так как правая
часть уравнения есть функция ,
то контрольное число данного уравнения,
оно не совпадает с корнями

png» width=»90″>характеристического уравнения.
Тогда частное решение ищем в виде,
где– неизвестный коэффициент.

Дифференцируя
дваждыи подставляя,и

png» width=»39″>в исходное уравнение, находим.
Откуда,
то естьили

Dz1t/img-NmZ94Q.png» width=»46″>.

Итак, частное
решение данного уравнения имеет вид ,
а его общее решение.

3.
Пусть правая часть имеет вид ,
гдеи– данные числа.

Тогда частное решениеможно искать в виде,
гдеи

Dz1t/img-FV9_Pc.png» width=»20″>– неизвестные коэффициенты, а– число, равное числу корней
характеристического уравнения,
совпадающих с.

Если в выражение функциивходит хотя бы одна из функцийили

png» width=»47″>,
то внадо всегда вводитьобе
функции.

Пример

Решение:

А) Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения .
Для этого запишем характеристическое
уравнение

png» width=»86″>.
Найдем корни последнего уравнения.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид

png» width=»142″>.

Б) Так как правая
часть уравнения есть функция ,
то контрольное число данного уравнения

png» width=»157″>,
оно не совпадает с корнямихарактеристического уравнения.

Тогда частное решение ищем в виде

,
где и– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя
дважды

png» width=»179″>,
получими.
Подставляя,и

Dz1t/img-QaLNK2.png» width=»39″>в исходное уравнение, находим

  • .
  • Приводя подобные
    слагаемые, получим
  • .

Приравниваем
коэффициенты при ив правой и левой частях уравнения
соответственно.

Получаем систему.
Решая ее, находим,

png» width=»42″>.

Источник: https://studfile.net/preview/2854115/page:2/

Ссылка на основную публикацию