Директриса параболы, формула и примеры

Дисциплина – «Элементы высшей математики»

Практическая работа

Тема: «Кривые второго порядка. Парабола»

Цель: формирование умений составлять уравнения параболы, исследовать форму и расположение параболы;

формирование общих компетенций, включающими в себя способность:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой  директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершинойэтой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Каноническое уравнение параболы впрямоугольнойсистеме координат:

 (или , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии  от обоих.

Парабола, заданная квадратичной функцией

Квадратичная функция  при  также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и  но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

 где  — дискриминант квадратного трёхчлена.

Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант  равен нулю.

Пример 1. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением .

Решение. Из данного канонического уравнения параболы следует, что , т.е. ,откуда .Значит, точка  — фокус параболы, а   — уравнение ее директрисы.

Пример 2. Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты  .

Решение. Согласно условию, фокус параболы расположен на отрицательной полуоси  , т.е. ее уравнение имеет вид: x2= — 2py

Так как , то , откуда .Итак, уравнение параболы есть , а уравнение ее директрисы .

Пример 3. Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной оси Ох   и проходящей через точку  .

Решение. Из условия заключаем, что уравнение параболы следует искать в виде .

• Так как точка  принадлежит параболе , то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: 36= — 2р*(-3); 2р=12.
• Итак, уравнение параболы имеет вид .
• Пример 4. Парабола симметрична относительно оси Ox, проходит через точку 

A(4, -1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.

Решение.Так как парабола проходит через точку A(4, -1) с положительной абсциссой, а ее осью служит ось Ox, то уравнение параболы следует искать в виде y2 = 2px. Подставляя в это уравнение координаты точки A, будем иметь

1. искомым уравнением будет
2. Эскиз этой параболы показан на рисунке

Пример 5.Парабола y2 = 2px проходит через точку A(2, 4). Определить ее параметр p.

Решение. Подставляем в уравнение параболы вместо текущих координат координаты точки A (2, 4). Получаем

• 42 = 2p*2; 16 = 4p; p = 4.
• Пример 6. Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы 
• y = 2x2 + 4x + 5 и найти координаты ее вершины.
• Решение. Уравнение y = 2x2 + 4x + 5 преобразуем, выделив в правой части полный квадрат:
• y = 2(x2 + 2x) + 5,
• y = 2[(x + 1)2 — 1] + 5,
• y = 2(x + 1)2 + 3,
• y — 3 = 2(x + 1)2;
• пусть теперь x1 = x + 1, y1 = y — 3. Из сравнения с формулами
• координаты нового начала: x0 = -1; y0 = 3. Уравнение параболы примет вид 
• Эскиз параболы показан на рисунке.

Пример 7.Упростить уравнение параболы y = x2 — 7x + 12, найти координаты ее вершины и начертить эскиз кривой.

1. Решение. Выделим в правой части уравнения y = x2 — 7x + 12 полный квадрат по способу, указанному выше в задаче, и получим
2. или
3. Положим
4. Отсюда из сравнения с формулами

координаты нового начала, т. е. вершины параболы, будут . После переноса начала координат в точку уравнение параболы примет наиболее простой вид . Эскиз кривой представлен на рисунке.

Пример 8. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой  и окружности  и симметрична относительно оси  .

Решение. Найдем точки пересечения заданных линий, решив совместно их уравнения:

В результате получим два решения  и  . Точки пересечения  и  . Так как парабола проходит через точку  и симметрична относительно оси  , то в этой точке будет находиться вершина параболы. Поэтому уравнение параболы имеет вид  . Так как парабола проходит через точку  , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы:  ,  , 

Итак, уравнением параболы будет  , уравнение директрисы  или  , откуда 

Ответ.  ; 

Пример 9. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр  этой параболы, зная, что пролет арки равен , а высота 

Решение.Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина параболы (мостовой арки) находилась в начале координат, а ось симметрии совпадала с отрицательным направлением оси  .

В таком случае каноническое уравнение параболы имеет вид  , а концы хорды арки  и  .

Подставив координаты одного из концов хорды (например,  ) в уравнение параболы и решив полученное уравнение относительно  , получим 

• Ответ. 
• Задание 1.
• а) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением у2=16р. 
• б) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением
• у2= —18р. 
• Задание 2.
• а) Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты  (0; -7).
• б) Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты  (0; 4).
• Задание 3.

а) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку  А (-2; — 4). Начертить эскиз данной кривой.

б) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку  А (3; — 5). Начертить эскиз данной кривой.

Задание 4.

а) Парабола y2 = 2px проходит через точку A(4; 8). Определить ее параметр p.

б) Парабола y2 = —2px проходит через точку A(-4; -8). Определить ее параметр p.

Задание 5.

а) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 2x2 + 8x + 5 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз данной кривой.

б) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 4x2 + 16x +10 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз данной кривой.

Задание 6.  а) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 2х + 2у=0  и окружности х2+у2 – 4х=0  и симметрична относительно оси Оу.

б) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 3х + 3у=0  и окружности 2х2 + 2у2 — 8х=0 и симметрична относительно оси Ох.

Задание 7. а) Арка здания имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 12 м, а высота 4 м.

б) Арка дома имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 14 м, а высота 6 м.

Отчет о практической работе

Тема практической работы

1. Цель практической работы

2. Умения

В ходе выполнения практической работы я научился (закрепил умения) вычислять…

Я получил (совершенствовал) практические навыки…

• • В ходе практической работы я получил новые знания. Узнал, что …

Мне было сложно выполнять…, потому, что…

Мне было несложно выполнять…, потому, что…

Источник: https://infourok.ru/prakticheskaya-rabota-po-visshey-matematike-na-temu-parabola-reshenie-zadach-4004542.html

Построение параболы по ее директрисе и фокусу

Построение параболы по ее директрисе и фокусу состоит из следующих этапов:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Основы черчения Комментировать

Источник: http://chertegik.ru/postroenie-paraboli-po-directrise-i-focusu/

Директриса параболы

Определение 1

Директрисой параболы называют такую прямую, кратчайшее расстояние от которой до любой точки $M$, принадлежащей параболе точно такое же, как и расстояние от этой же точки до фокуса параболы $F$.

Рисунок 1. Фокус и директриса параболы

Основные понятия параболы

Отношение расстояний от точки $M$, лежащей на параболе, до этой прямой и от этой же точки до фокуса $F$ параболы называют эксцентриситетом параболы $ε$.

Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета:
$ε =frac{MF}{MM_d}$, где точка $M_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c прямой $d$.

Определение 2

Каноническая парабола задается уравнением вида $y^2 = px$, где $p$ обязательно должно быть больше нуля.

$y = ax^2 + bx + c$, при этом коэффициент $a$ не равен нулю.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Чтобы найти директрису такой параболы, необходимо от такой формы перейти к канонической, ниже в примерах показано, как это сделать.

Расстояние от фокуса до директрисы параболы называется её фокальным параметром $p$.
Уравнение директрисы канонической параболы имеет следующий вид: $x=-p/2$

Алгоритм составления уравнения директрисы параболы, заданной не каноническим уравнением

Чтобы составить уравнение директрисы параболы, вершина которой не находится на пересечении осей координат, достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Перенесите все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ — в правую.
2. Упростите полученное выражение.
3. Введите дополнительные переменные чтобы прийти к каноническому виду уравнения.

Пример 1

Составьте уравнение директрисы параболы, описанной уравнением $4x^2 + 24 x – 4y + 36 = 0$

1. Переносим все слагаемые с $y$ в левую часть и избавляемся от множителя, получаем:

   $y^2 = x^2 + 6x – y + 9$

2. Приводим в форму квадрата:

   $(x + 3)^2 = y$

3. Вводим дополнительные переменные $t = x + 3$ и $y = z$

4. Получаем следующее уравнение: $t^2 = z$
5. Выражаем $p$ из канонического уравнения параболы, получаем $p = frac{y^2}{2x}$, следовательно, в нашем случае $p = frac{1}{2}$.
6. Уравнение директрисы приобретает следующий вид: $t = -frac{1}{4} cdot t$. Подставляем $t$ и получаем следующее уравнение директрисы $x = -3frac{1}{4}$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/parabola/direktrisa_paraboly/

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

• Cтраница 1
• Директриса параболы пересекает эллипс 9Р»: 2 20Рі / 2 324 РІ точках ( — 4; 3) Рё ( 4; 3), Р° расстояние СЌС‚ этих точек РґРѕ фокуса параболы равно 2 РЈ5 Составить уравнение параболы.  [1]
• Директрисой параболы, вершина которой нахо.  [2]
• Директрисой параболы называется прямая СЃ уравнением С… — СЂ / 2 РІ канонической системе координат.  [3]
• Директрисой параболы называется прямая СЃ уравнением С… — — СЂ / 2 РІ канонической системе координат.  [4]

Таким образом директрисой параболы (9.

6), которая называется параболой метацентров или параболой устойчивости, является критическая РѕСЃСЊ контура, Р° ее фокусом — фокус контура.

�мея параболу метацентров, достаточно провести касательную к ней, перпендикулярную к направлению скорости на бесконечности, чтобы получить линию действия силы, действующей на контур.

Но известно, что основание перпендикуляра, опущенного из фокуса параболы на касательную, лежит на касательной к параболе, проходящей через вершину параболы.

Поэтому можно дать следующее простое правило построения линии действия силы: через середину перпендикуляра РёР· фокуса РЅР° директрису проведем РїСЂСЏРјСѓСЋ, параллельную директрисе, тогда линия действия силы будет проходить через точку пересечения этой РїСЂСЏРјРѕР№ СЃ РїСЂСЏРјРѕР№, параллельной направлению скорости РЅР° бесконечности Рё проходящей через фокус параболы, Рё будет перпендикулярна направлению скорости РЅР° бесконечности. РўРѕ или РґСЂСѓРіРѕРµ направление силы РЅР° линии ее действия может быть определено либо РїРѕ правилу Р–СѓРєРѕРІСЃРєРѕРіРѕ, либо РёР· знака момента Lp.  [5]

Особенно простой случай представляет директриса параболы.

РћРґРЅР° РёР· вершин параболы является несобственной точкой Р’, поэтому другая вершина параболы Рђ ( собственная вершина) должна делить отрезок FG пополам ( черт. Следовательно, фокус F Рё директриса / всегда находятся РЅР° одинаковом расстоянии РѕС‚ вершины параболы. Заметим еще, что для окружности фокус совпадает СЃ центром. Поэтому директрисой окружности является несобственная прямая.  [6]

Пусть даны F-фокус Рё d — директриса параболы.  [7]

Параметр параболы СЂ есть расстояние РѕС‚ директрисы параболы РґРѕ фокуса. Расстояние РѕС‚ фокуса РґРѕ вершины равно половине параметра.  [9]

1. Заметим, что расстояние РѕС‚ начала координат РґРѕ директрисы параболы зависит только РѕС‚ величины начальной скорости точки.  [10]
2. Величина СЂ, равная расстоянию между фокусом Рё директрисой параболы, называется параметром параболы.  [11]
3. Величина СЂ, равная расстоянию между фокусом Рё директрисой Параболы, называется параметром параболы.  [12]
4. Величина СЂ, равная расстоянию между фокусом Рё директрисой параболы, называется параметром параболы.  [13]
5. Касательные, проведенные РёР· любой точки, лежащей РЅР° директрисе параболы, Рє этой параболе перпендикулярны.  [14]
6. Точка F называется фокусом, Р° прямая / — директрисой параболы.  [15]
7. Страницы:      1    2    3    4

Источник: https://www.ngpedia.ru/id4746p1.html