Газовые законы, все формулы и примеры решений

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Газовые законы, все формулы и примеры решений Газовые законы, все формулы и примеры решений Газовые законы, все формулы и примеры решений

Графические задачи часто трудно даются моим ученикам. Думаю, эти задачи вообще труднее расчетных. Но этот пробел можно закрыть: всякое умение тренируется. Не устаю повторять: опыт решения делает из “задач-врагов” –  “задачи – старые знакомые”, “задачи- детективы”, “задачи – открытия”.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Задача 1. Изобразить на и диаграммах  процесс, проводимый с идеальным газом, приведенный на рисунке 1.

Газовые законы, все формулы и примеры решений Рисунок 1

Рассмотрим внимательно рисунок. Сначала определимся с процессом 1-2. Из рисунка видно, что соблюдается пропорциональность: единичному объему соответствует  единичная температура, а двойному объему – удвоенная.

Следовательно, прямая пересечет начало координат (это важно – если бы выяснилось, что прямая через начало координат не проходит, это заставило бы нас задуматься о характере процесса) и перед нами – изобара (температура растет и с ее ростом растет объем).

Тогда на диаграмме можно нарисовать горизонтальный участок, следя за тем, чтобы величины объемов относились бы как – «вышли» из точки , «пришли» в точку .

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Составление химических формул по валентности

Оценим за полчаса!

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Рисунок 2

Участок 2-3: температура неизменна. Следовательно, перед нами изотерма. Как мы знаем, изотерма в осях имеет вид гиперболы. Внимательно посмотрим на исходный график: объем уменьшается! Следовательно, к этому привело увеличение давления. Значит, в осях мы будем двигаться по гиперболе вверх, и должны продолжать подъем, пока не будет достигнут первоначальный объем :

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Рисунок 3

  • Давление при этом, согласно объединенному закону,
  •     Газовые законы, все формулы и примеры решений
  • Следовательно, давление увеличилось вдвое.

Участок 3-4: объем постоянен.  Однако температура растет, следовательно, молекулы становятся «быстрее» и сильнее бьют по стенкам сосуда: давление растет. При неизменном объеме линия в осях имеет вид вертикали. Температура на протяжении этого процесса выросла вдвое, следовательно, и давление также выросло вдвое, и стало равно :

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Рисунок 4

Теперь попробуем нарисовать то же в осях  . Теперь мы можем пользоваться двумя «подсказками» – тем графиком, что дан в задаче и своим собственным, построенным ранее.

Участок 1-2: давление постоянно, температура выросла вдвое, рисуем горизонталь:

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Рисунок 5

Участок 2-3: температура неизменна. Изотерма в осях – вертикаль. Так как мы вернулись в точке 3 к тому же объему, что и в точке 1, следовательно, эти точки лежат на одной изохоре. В данных осях изохора – прямая, выходящая из начала координат. Построим эту прямую и найдем точку пересечения изохоры с изотермой процесса 2-3. Пересечение – это и будет точка 3.

Рисунок 6

Участок 3-4: объем постоянен.  То есть далее мы должны двигаться по той же изохоре, а, поскольку температура растет, то и давление тоже: то есть двигаемся вверх, пока температура не станет равна :

Рисунок 7

Задача 2. Изобразить на и диаграммах  процесс, проводимый с идеальным газом, приведенный на рисунке 8.

Рисунок 8

Проанализируем происходящее пошагово. Сначала участок 1-2: очевидно, что это изотерма. В то же время давление на протяжении участка выросло вчетверо, следовательно, объем уменьшился во столько же раз. На – диаграмме такой процесс – стандартного вида изотерма, то есть гипербола, и мы двигаемся по ней вверх. Внимательно следим за соответствием величин на концах участка, в точках 1 и 2.

Рисунок 9

Участок 2-3: Из рисунка видно, что соблюдается пропорциональность: единичному давлению соответствует  единичная температура, а учетверенному объему – учетверенная.

Следовательно, прямая пересечет начало координат (это важно – если бы выяснилось, что прямая через начало координат не проходит, это заставило бы нас задуматься о характере процесса) и перед нами – изохора (падают и температура, и давление, причем давление сравнивается с изначальным, следовательно, двигаемся вертикально вниз по изохоре до начального давления).

Рисунок 10

Участок 3-4 – вот тут понадобится анализ, потому что данная прямая не является изохорой, и в осях , вероятно, этот участок не будет изображаться прямолинейным отрезком.

Давайте запишем уравнение прямой, совпадающей с отрезком 3-4. Общее уравнение прямой , а у нас будет . Так как по уравнению Менделеева-Клапейрона

  1. То, подставляя , получим
  2. И зависимость давления от объема тогда

Так как зависимость обратная, то график должен выглядеть как гипербола. Но как ее изобразить? Понятно, что подниматься по ней следует до уровня , а каков будет при этом объем?

  • Для точки 3 справедливо:
  • Для точки 4:
  • Делаем вывод, что в точке 4 объем вдвое меньше, чем в точке 3.

Рисунок 11

Наконец, рисуем весь процесс:

Теперь все то же повторим, чтобы изобразить процесс в осях . Изотерму участка 1-2 изобразим вертикальной прямой, так как температура неизменна, а давление растет – следовательно, объем падает:

Рисунок 12

Участок 2-3 – изохора – будет изображена нами горизонтальной линией.  В точке 3 давление,  по условию,  равно давлению в точке 1, поэтому они должны оказаться на  одной изобаре:

Рисунок 13

Для участка 3-4 нужно получить зависимость объема от температуры.

Из (1) можно получить, аналогично (2), что зависимость будет обратная – гиперболическая. Так как объем, как мы выяснили ранее, уменьшится в процессе 3-4 вдвое, то выглядеть кусочек такой гиперболы будет так:

Рисунок 14

Задача 3. Изобразить на и диаграммах  процесс, проводимый с идеальным газом, приведенный на рисунке 15.

Рисунок 15

  1. Здесь, глядя на график, мы сразу понимаем, что легко не будет: процесс 1-2   не будет изображаться прямой линией в осях .
  2. Но сначала займемся рисованием в осях . Для точки 1
  3. Для точки 2
  4. Или
  5. Рисуем:

Рисунок 16

  • Участок 2-3 – изохора. Давление падает в три раза, следовательно,
  • Или
  • Рисуем горизонталь:

Рисунок 17

Участок 3-1 – изобара, я это подчеркнула на графике:

Рисунок 18

  1. Теперь рассмотрим оси  . На участке 1-2 объем линейно зависит от давления:
  2. Подставим:
  3. Зависимость температуры от давления – парабола, ветвями вверх. Но тогда зависимость будет выглядеть иначе, мы как бы взглянем на эту параболу из-за изображения, следовательно, парабола как бы ляжет на бок:

Рисунок 19

Рисунок 20

Участок 2-3, как было указано ранее, изохора. Тогда точку 2 соединим с началом координат, намечая направление, и проведем участок 2-3 до достижения давления .

Рисунок 21

После этого останется дополнить наш график горизонтальным участком – изобарой 3-1.

Рисунок 22

Источник: https://easy-physic.ru/gazovye-zakony-graficheskie-zadachi/

Глава 13. Газовые законы

Задачи на газовые законы часто предлагаются школьникам на едином государственном экзамене.

Для решения этих задач вполне достаточно знать уравнение состояния идеального газа (закон Клапейрона-Менделеева) и уметь использовать его алгебраически и геометрически (для построения графиков зависимости одних параметров газа от других) в простейших ситуациях. Кроме того, нужно понимать, как описываются смеси идеальных газов (закон Дальтона).

Уравнение, связывающее параметры газа друг с другом, называется уравнением состояния. Для идеального газа, взаимодействие молекул которого мало, уравнение состояния имеет вид

(13.1)

где — давление газа, — концентрация молекул газа (число молекул в единице объема), — постоянная Больцмана, — абсолютная (в шкале Кельвина) температура. Учитывая, что , где — число молекул газа, — объем сосуда, в котором находится газ (часто говорят объем газа), получим из (13.1)

(13.2)

Число молекул можно связать с количеством вещества газа : , где — число Авогадро. Поэтому формулу (13.2) можно переписать в виде

Газовые законы, все формулы и примеры решений (13.2)

где произведение постоянных Авогадро и Больцмана обозначено как . Постоянная = 8,31 Дж/(К•моль) называется универсальной газовой постоянной. Количество вещества газа можно также выразить через его массу и молярную массу этого газа

(13.3)

С учетом (13.3) закон (13.2) можно переписать и в таком виде

Газовые законы, все формулы и примеры решений (13.4)

Уравнение состояния идеального газа (13.1)-(13.4), которое также называется уравнением (или законом) Клапейрона-Менделеева, позволяет связывать параметры идеального газа и проследить за их изменением в тех или иных процессах.

В школьном курсе физики рассматриваются три изопроцесса, в которых один из трех параметров газа (давление, температура и объем) не изменяется. В изобарическом процессе не изменяется давление газа, в изотермическом — температура, в изохорическом — объем. Изопроцессам отвечают следующие графики зависимости давления от объема, давления от температуры, объема от температуры.

Для изобарического процесса

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Первые два графика очевидны. Последний получается так. Из закона Клапейрона-Менделеева следует, что зависимость объема от температуры при постоянном давлении имеет вид

Газовые законы, все формулы и примеры решений (13.5)

где — постоянная. Графиком функции (13.5) является прямая, продолжение которой проходит через начало координат.

Для изохорического процесса

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Второй график следует из соотношения

Газовые законы, все формулы и примеры решений (13.6)

где — постоянная при постоянном объеме.

Для изотермического процесса

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Первый график следует из закона Клапейрона-Менделеева, который при постоянной температуре газа можно привести к виду

Газовые законы, все формулы и примеры решений (13.7)

где — постоянная. Отсюда следует, что графиком зависимости от в изотермическом процессе является гипербола.

Важнейшее свойство уравнения состояния идеального газа (13.1)-(13.4) заключается в том, что «индивидуальность» газа никак не проявляется в этих законах — единственный параметр собственно газа, входящий в уравнение состояния, — это число молекул.

Например, 1 моль гелия и 1 моль азота, находящиеся в одинаковых объемах и имеющие одинаковые температуры, оказывают одинаковое давление.

Отсюда следует, что и давление смеси идеальных газов определяется суммарным числом молекул всех компонент смеси:

Газовые законы, все формулы и примеры решений (13.8)

Газовые законы, все формулы и примеры решений

В задаче 13.1.1 из уравнения состояния в форме (13.1), получаем для давления в конце процесса :

т.е. давление газа увеличилось в 6 раз (ответ 1).

Применяя закон Клапейрона-Менделеева (13.2) к первому и второму газам (задача 13.1.2), получаем

где — искомый объем. Сравнивая первую и вторую формулы, заключаем, что (ответ 1).

Закон Клапейрона-Менделеева для газа в начальном и конечном состояниях (задача 13.1.3) дает

где — неизвестная температура. Из сравнения этих формул получаем , т.е. температуру газа в сосуде нужно повысить вдвое (ответ 2).

Из закона Клапейрона-Менделеева для начального и конечного состояний газа в задаче 13.1.4 имеем

Отсюда , т.е. количество вещества газа в сосуде увеличилось в 1,25 раза (ответ 3).

Первым, кто понял, почему жидкость поднимается вместе с трубкой (задача 13.1.5), и почему «природа боится пустоты» (Аристотель), но только до определенного предела, был знаменитый итальянский физик, современник Г. Галилея Э. Торричелли. Давайте рассмотрим рассуждения Торричелли подробно.

Основная идея Торричелли заключалась в том, что атмосферный воздух оказывает давление на все поверхности, с которыми он контактирует. В равновесии жидкость занимает такое положение, чтобы все воздействия на каждый ее элемент компенсировались. Если бы трубка была открыта (см. левый рисунок), то жидкость не поднялась бы в трубке.

Действительно, в этом случае на бесконечно малый элемент жидкости в трубке около поверхности (выделен на рисунке) действовали бы сила со стороны атмосферного воздуха в трубке, направленная вниз.

С другой стороны, атмосферный воздух действует и на остальную поверхность жидкости, и это воздействие благодаря закону Паскаля передается выделенному элементу жидкости в трубке снизу.

Таким образом, воздействие воздуха на поверхность жидкости в трубке и на свободную поверхность жидкости компенсируют друг друга, если уровень жидкости в трубке совпадает с уровнем жидкости в остальном сосуде.

Если же мы поднимаем трубку, выпустив из нее воздух, на рассматриваемый элемент жидкости воздух сверху не действует (его нет в трубке), поэтому воздействие воздуха на свободную поверхность жидкости приведет к тому, что жидкость войдет в трубку и заполнит ее. При вытаскивании трубки жидкость будет подниматься вслед за ней.

Однако при дальнейшем поднятии трубки наступит такой момент, когда воздействие воздуха на свободную поверхность и столба жидкости в трубке сравняются (в этот момент атмосферное давление будет равно гидростатическому давлению жидкости в трубке на уровне свободной поверхности). Дальнейший подъем трубки уже не приведет к поднятию жидкости — атмосферное давление не сможет «держать» столб жидкости большей высоты. Для воды этот столб составляет около 10 м, для ртути, с которой и экспериментировал Э. Торричелли, — 76 сантиметров. Таким образом, жидкость в трубке поднимается благодаря давлению атмосферного воздуха на поверхность воды в сосуде и закону Паскаля (ответ 4).

Сравнивая графики процессов 1, 2, 3 и 4, данные в условии задачи 13.1.6, с графиками изопроцессов, приведенными во введении к настоящей главе, заключаем, что: процесс 1 — изотермический, 2 — изохорический, 3 — изобарический. В процесс 4 меняются и давление, и объем, и температура газа (ответ 4).
В изотермическом процессе давление зависит от объема как ; на диаграмме этот процесс изображается гиперболой. Поэтому изотермическими являются процессы 1 и 3 (задача 13.1.7), но в процессе 1 объем газа убывает. Следовательно, изотермическим расширением является процесс 3 (ответ 3).
Изохорическим охлаждением в задаче 13.1.8 является процесс 4 (см. рисунок) В двух последних задачах этого варианта нужно с помощью закона Клапейрона-Менделеева вычислить один из параметров газа, если даны остальные параметры. В задаче 13.1.9 из закона Клапейрона-Менделеева

получим

(ответ 1).

В задаче 13.1.10 при вычислениях следует не забыть перевести температуру газа в Кельвины. Из закона Клапейрона-Менделеева находим

(ответ 1).

Из уравнения состояния в форме (13.2) следует, что при одинаковых объемах и температурах давление идеального газа определяется только полным числом молекул. Поэтому отношение давления водорода и гелия в задаче 13.2.1 равно 2 (ответ 2).

Поскольку перегородка в задаче 13.2.2 подвижная и находится в равновесии, давления газа в отсеках сосуда слева и справа от перегородки равны. Применяя к ним при этом условии закон Клапейрона-Менделеева, получим

для гелия для азота

где температуры и массы газов по условию одинаковы. Деля эти уравнения друг на друга, находим отношение объемов частей сосуда

(ответ 4).

Если бы точки, отвечающие состояниям 1 и 2 в задаче 13.2.

3, лежали на одной прямой, продолжение которой проходит через начало координат, то эти состояния принадлежали бы одной и той же изохоре, и, следовательно, объем газа в этих состояниях был одинаковым (см. формулу (13.6)).

Читайте также:  Свойства окружности описанной около треугольника

Поэтому для сравнения объемов этих состояний построим изохоры, проходящие через точки 1 и 2, и сравним отвечающие им объемы (см. рисунок; изохоры, проходящие через точки 1 и 2, показаны пунктиром).

Из формулы (13.6) следует, что чем больше объем, тем меньше коэффициент перед в зависимости (13.6), и, следовательно, меньше наклон соответствующей изохоры к оси температур. Поэтому изохоре 1 отвечает больший объем, чем изохоре 2, и, следовательно, объем газа в процессе 1-2 уменьшается (ответ 2).

Аналогичные рассуждения в задаче 13.2.4 показывают, что наибольшему давлению отвечает изобара, проходящая через точку (поскольку соответствующая прямая имеет наименьший наклон к оси температур; см. рисунок ниже). Поэтому правильный ответ в этой задаче — 3.

В закон Клапейрона-Менделеева входит абсолютная температура газа, поэтому данные в задаче 13.2.5 значения нужно перевести в Кельвины. В результате для отношения давлений газа в конечном и начальном состояниях получаем

(ответ 4).

Как следует из опыта, при приведении тел в тепловой контакт выравниваются их температуры. Это же касается и частей одного тела или даже компонент смеси газов (задача 13.2.6).

Поэтому температуры компонент смеси будут одинаковы (ответ 1).

Что касается парциальных давлений, плотностей или концентрации компонент смеси, то их значения зависят от количества молекул каждой компоненты смеси и могут быть различны.

Парциальное давление компонент смеси – это давление, которое оказывают только молекулы каждой компоненты. Как следует из формулы (13.

8) парциальное давление любой компоненты можно найти, применяя только к ней закон Клапейрона-Менделеева и считая, что она имеет такую же температуру, как и вся смесь, и занимает такай же объем, как и вся смесь газов.

Поэтому отношение парциальных давлений отдельных компонент смеси равно отношению количеств вещества (или числа молекул) этих компонент. Поэтому для отношения парциальных давлений углекислого газа и гелия в сосуде в задаче 13.2.7 имеем (ответ 2).

Как следует из закона Дальтона, давление смеси газов определяется полным количеством молекул в ней.

Поэтому для анализа изменения давления смеси газов при протекании в ней химической реакции (задача 13.2.8) необходимо исследовать изменение числа молекул.

Гелий не участвует в химической реакции — один моль гелия был и в начальном, и в конечном состоянии смеси. С озоном происходила реакция

т.е. из двух молекул озона в результате реакции получились три молекулы кислорода. Поэтому два моля озона превратились в три моля кислорода, и общее количество вещества смеси стало равно четырем молям. Поэтому давление смеси увеличивается в 4/3 раза (ответ 2).

Поскольку объемы и температуры газов одинаковы (задача 13.2.9), для сравнения их давлений необходимо сравнить число молекул в них.

По условию в одном сосуде находится один моль азота, в другом 1 г водорода (т.е. половина моля) и 3 • 1023 молекул гелия (тоже половина моля).

Поэтому и в одном и в другом сосуде находятся одинаковые количества молекул, и, следовательно, давление газов в них одинаково (ответ 3).

Плотность газа (задача 13.2.10) можно найти из следующей цепочки формул

(ответ 4). Здесь — масса газа, — масса одной молекулы газа.

Источник: https://online.mephi.ru/courses/sge/data/reference_book/13/p13.html

Основные газовые законы: описание, формулы и примеры решений :

Среди всех агрегатных состояний вещества газ имеет самое простое строение — хаотичное расположение составляющих его частиц, находящихся в постоянном движении. В термодинамике для описания этого хаоса существуют несколько газовых законов, которые были установлены экспериментально. Рассмотрим основные из них подробнее в статье.

Особенности газов. Газ идеальный

Как известно, газы в отличие от жидкостей и твердых тел легко изменяют занимаемый ими объем. Достаточно газу предоставить абсолютно любое пространство, как он быстро займет его все. Как и жидкости, газы изменяют свою форму.

В общем случае в физике выделяют реальные и идеальные газы. В первых частицы взаимодействуют друг с другом, обладают некоторым объемом, а столкновения между ними не носят абсолютно упругий характер. Все названные условия не соблюдаются для идеальных газов.

В действительности, все газы являются реальными, однако с очень хорошим приближением можно считать, что при атмосферном давлении и температуре, которая выше комнатной (300 К), газовые тела по своим свойствам очень близки к идеальным.

Например, воздух можно полагать идеальной газовой смесью.

Как описывают газы в физике?

Поскольку изучаемое агрегатное состояние вещества не обладает определенной структурой, то остается единственный способ его описания — использование макроскопических параметров. Последние характеризуют газовые тела в общем, не вникая в их структуру.

Важными термодинамическими макроскопическими характеристиками являются следующие:

  • Температура — мера энергии кинетической молекул и атомов газа. Измеряется в Кельвинах (К).
  • Давление — мера количества движения, которое передает стенкам сосуда частица при столкновении с ними. Эта величина зависит от температуры и числа частиц в заданном объеме. Измеряется оно в Паскалях (Па).
  • Объем — геометрическая макроскопическая характеристика, отражающая часть пространства, занимаемую газом. Измеряется в кубических метрах (м3).

Существует еще один параметр, с которым необходимо познакомиться — это количество вещества. Оно отражает число частиц, которое содержит 1 грамм атомарного водорода или 2 грамма молекулярного водорода H2. Измеряется количество вещества в молях. Один моль равен числу Авогадро (NA = 6,02*1023).

Закон Бойля-Мариотта

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Все газовые законы были получены в результате экспериментальных исследований. Первым из них был открыт закон Роберта Бойля и Эдма Мариотта в середине XVII века. Оба ученых в процессе анализа экспериментальных данных пришли к выводу, что у газов различной природы при постоянной температуре наблюдается обратно пропорциональная зависимость между давлением и объемом. Причем константа этой зависимости при данном количестве вещества газа и данной температуре является конкретной величиной, не зависящей от химического состава. Математически закон Бойля-Мариотта записывается в виде:

P*V = const при T, n = const.

На графике зависимость P(V) представляет собой гиперболу.

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Закон Шарля-Гей-Люссака

Спустя два века после открытия закона Бойля-Мариотта, была экспериментально установлена еще одна зависимость для идеальных газов. Открыл ее Шарль, а впервые опубликовал несколькими годами позже Гей-Люссак.

Оба ученых независимо друг от друга установили, что если нагревать сосуд с газом, сохраняя при этом постоянным давление, то объем будет увеличиваться прямо пропорционально.

Этот факт записывается математически следующим образом:

V/T = const при P, n = const.

Для этого газового закона температура зависит линейно от объема. Любой газовый процесс, идущий с неизменным давлением, называется изобарным.

Закон Гей-Люссака

После того как Гей-Люссак опубликовал в 1802 году изложенный выше закон, в том же году он представляет аналогичный результат только для изохорного процесса, то есть процесса, который идет с постоянным объемом.

Ученый установил экспериментально, что при постоянном объеме определенное количество газа независимо от его химической природы реагирует на увеличение его температуры прямо пропорциональным повышением давления, то есть:

P/T = const при V, n = const.

Как и в случае изобары, изохора на графике P(T) представляет собой прямую наклонную линию.

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Принцип Авогадро

Когда рассматривают газовые законы, во многих случаях забывают упомянуть принцип Авогадро. Установлен он был итальянцем Амедео Авогадро приблизительно в 10-х годах XIX века. Этот принцип гласит, что любое увеличение количества вещества в системе приводит к прямо пропорциональному ее расширению, если давление и температура системы поддерживаются постоянными, то есть:

n/V = const при T, P = const.

Принцип Авогадро говорит о том, что одинаковые количества вещества различных газов при одном и том же давлении и одной температуре занимают одинаковые объемы. Очевидно, что график n(V) представляет собой прямую линию, наклонную к оси абсцисс.

Принцип Авогадро, по сути, является фундаментальной формулировкой закона Дальтона для газовых смесей.

Газовый закон Менделеева-Клапейрона

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Мы не зря поместили обсуждение этого закона в конец статьи. Дело в том, что он объединяет все изложенные и описанные выше формулы, поэтому носит название универсального газового закона. Приведем соответствующее выражение:

P*V = n*R*T.

Видно, что это выражение объединяет все четыре макроскопических параметра (n, P, V, T), которые фигурируют в описанных ранее газовых законах. Универсальная газовая постоянная R — это величина, которая показывает значение работы, выполняемой 1 моль идеальным газом во время его расширения при нагреве на 1 К. Она равна 8,314 Дж/(моль*К).

Нетрудно догадаться, что полагая константой ту или иную величину, можно получить все предыдущие формулы для идеального газа.

Уравнение состояния было получено в первой половине XIX века французским физиком и инженером Эмилем Клапейроном, поэтому оно часто носит только его фамилию.

Однако сам Клапейрон, анализируя экспериментальные данные, сформулировал это уравнение с использованием нескольких констант.

Впоследствии русский химик Дмитрий Менделеев ввел понятие универсальной газовой постоянной, выразив ее через другие известные константы:

R = NA*kB.

Где kB — это постоянная Больцмана (1,38*10-23 Дж/К).

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Получить газовый закон Клапейрона можно не только в результате обобщения экспериментальных данных, но также с помощью теоретических положений молекулярно-кинетической теории. В этом случае уравнение записывают в виде:

P*V = N*kB*T.

Где N — количество частиц.

Пример задачи

Водород массой 0,5 кг закачали в баллон объемом 100 литров при температуре 300 К. Необходимо определить давление в баллоне, которое будет создавать газ.

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Прежде чем воспользоваться универсальным уравнением, следует привести все единицы измерения к СИ и рассчитать количество вещества n водорода. Значение объема в СИ составит:

V = 100 л = 0,1 м3.

Количество вещества n газа можно определить по следующей формуле:

n = m/MH2 = 500 г/(2 г/моль) = 250 моль.

Здесь MH2 — молярная масса молекулярного водорода.

Теперь можно воспользоваться универсальным уравнением:

P*V = n*R*T =>

P = n*R*T/V = 250*8,314*300/0,1 = 6235500 Па.

Полученное давление соответствует значению 61,5 атмосферы. При таком давлении некоторые приближения идеального газа могут не выполняться.

Источник: https://www.syl.ru/article/456705/osnovnyie-gazovyie-zakonyi-opisanie-formulyi-i-primeryi-resheniy

Газовые законы — Класс!ная физика

«Физика — 10 класс»

Состояние какого газа описывает уравнение Менделеева—Клапейрона. Можно ли универсальную газовую постоянную считать фундаментальной постоянной?

  • С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса газа и один из трёх параметров — давление, объём или температура — остаются неизменными.
  • Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном значении третьего называют газовыми законами.
  • Процессы, протекающие при неизменном значении одного из параметров, называют изопроцессами.
  • Слово «изопроцесс» — сложное слово, первая часть которого происходит от греческого слова isos — равный, одинаковый.

Отметим, что в действительности ни один процесс не может протекать при строго фиксированном значении какого-либо параметра. Всегда имеются те или иные воздействия, нарушающие постоянство температуры, давления или объёма.

Лишь в лабораторных условиях удаётся поддерживать постоянство того или иного параметра с высокой точностью, но в действующих технических устройствах и в природе это практически неосуществимо.

Изопроцесс — это идеализированная модель реального процесса, которая только приближённо отражает действительность.

  1. Изотермический процесс.
  2. Процесс изменения состояния системы макроскопических тел (термодинамической системы) при постоянной температуре называют изотермическим.
  3. Слово «изотермический» происходит от греческих слов isos — равный, одинаковый и therme — теплота.

Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплом с большой системой — термостатом. Иначе при сжатии или расширении температура газа будет меняться.

Термостатом может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса. Согласно уравнению состояния идеального газа (10.

4), если масса газа не изменяется, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на его объём остаётся постоянным:

pV = const при Т = const.         (10.6)

Этот вывод был сделан английским учёным Р. Бойлем (1627—1691) и несколько позже французским учёным Э. Мариоттом (1620—1684) на основе эксперимента. Поэтому он носит название закона Бойля—Mapuoттa.

Для газа данной массы произведение давления газа на его объём постоянно.

Закон Бойля—Мариотта справедлив обычно для любых газов, а также и для их смесей, например для воздуха. Лишь при давлениях, в несколько сотен раз больших атмосферного, отклонения от этого закона становятся существенными.

Кривую, изображающую зависимость давления газа от объёма при постоянной температуре, называют изотермой.

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Изотерма газа изображает обратно пропорциональную зависимость между давлением и объёмом. Кривую такого рода в математике называют гиперболой (рис. 10.1).

Различным постоянным температурам соответствуют различные изотермы. При повышении температуры газа давление согласно уравнению состояния (10.4) увеличивается, если V = const. Поэтому изотерма, соответствующая более высокой температуре Т2, лежит выше изотермы, соответствующей более низкой температуре Т1 (см. рис. 10.1).

Для того чтобы процесс происходил при постоянной температуре, сжатие или расширение газа должно происходить очень медленно.

Дело в том, что, например, при сжатии газ нагревается, так как при движении поршня в сосуде скорость и соответственно кинетическая энергия молекул после ударов о поршень увеличиваются, а следовательно, увеличивается и температура газа.

Именно поэтому для реализации изотермического процесса надо после небольшого смещения поршня подождать, когда температура газа в сосуде опять станет равной температуре окружающего воздуха.

Кроме этого, отметим, что при быстром сжатии давление под поршнем сразу становится больше, чем во всём сосуде.

Если значения давления и температуры в различных точках объёма разные, то в этом случае газ находится в неравновесном состоянии и мы не можем назвать значения температуры и давления, определяющие в данный момент состояние системы.

Если систему предоставить самой себе, то температура и давление постепенно выравниваются, система приходит в равновесное состояние.

  • Равновесное состояние — это состояние, при котором температура и давление во всех точках объёма одинаковы.
  • Параметры состояния газа могут быть определены, если он находится в равновесном состоянии.
  • Процесс, при котором все промежуточные состояния газа являются равновесными, называют равновесным процессом.
  • Очевидно, что на графиках зависимости одного параметра от другого мы можем изображать только равновесные процессы.
  • Изобарный процесс
  • Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным.
  • Слово «изобарный» происходит от греческих слов isos — равный, одинаковый и baros — вес, тяжесть.
  • Согласно уравнению (10.4) в любом состоянии газа с неизменным давлением отношение объёма газа к его температуре остаётся постоянным:

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Этот закон был установлен экспериментально в 1802 г. французским учёным Ж. Гей-Люссаком (1778—1850) и носит название закона Гей-Люссака.

  1. Закона Гей-Люссака:
  2. Для газа данной массы при постоянном давлении отношение объёма к абсолютной температуре постоянно.
  3. Согласно уравнению (10.7) объём газа при постоянном давлении пропорционален температуре:

V = const • Т.         (10.8)

Прямую, изображающую зависимость объёма газа от температуры при постоянном давлении, называют изобарой.

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Разным давлениям соответствуют разные изобары (рис. 10.2). Проведём на рисунке произвольную изотерму. С ростом давления объём газа при постоянной температуре согласно закону Бойля— Мариотта уменьшается. Поэтому изобара, соответствующая более высокому давлению р2, лежит ниже изобары, соответствующей более низкому давлению p1.

В области низких температур все изобары идеального газа сходятся в точке Т = 0. Но это не означает, что объём реального газа обращается в нуль. Все газы при сильном охлаждении превращаются в жидкости, а к жидкостям уравнение состояния (10.

4) неприменимо. Именно поэтому, начиная с некоторого значения температуры, зависимость объёма от температуры проводится на графике штриховой линией. В действительности таких значений температуры и давления у вещества в газообразном состоянии быть не может.

Изобарным можно считать расширение газа при нагревании его в цилиндре с подвижным поршнем, если внешнее давление постоянно. Давление в цилиндре постоянно и равно сумме атмосферного давления и давления mпg/S поршня.

  • Изохорный процесс
  • Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объёме называют изохорным.
  • Слово «изохорный» происходит от греческих слов isos — равный, одинаковый и chora — место, пространство, занимаемое чем-нибудь.
  • Из уравнения состояния (10.4) вытекает, что в любом состоянии газа с неизменным объёмом отношение давления газа к его температуре остаётся постоянным:
Читайте также:  Непредельные углеводороды. ацетилен

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Этот газовый закон был установлен в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем (1746—1823) и носит название закона Шарля.

Для газа данной массы отношение давления к абсолютной температуре постоянно, если объём не меняется.

Согласно уравнению (10.9) давление газа при постоянном объёме пропорционально температуре:

р = const • Т.         (10.10)

Прямую, изображающую зависимость давления газа от температуры при постоянном объёме, называют изохорой.

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Разным объёмам соответствуют разные изохоры. Также проведём на рисунке произвольную изотерму (рис. 10.3). С ростом объёма газа при постоянной температуре давление его, согласно закону Бойля— Мариотта, падает. Поэтому изохора, соответствующая большему объёму V2, лежит ниже изохоры, соответствующей меньшему объёму V1.

В соответствии с уравнением (10.10) все изохоры идеального газа начинаются в точке Т = 0. Значит, давление идеального газа при абсолютном нуле равно нулю.

Увеличение давления газа в любом сосуде или в электрической лампочке при нагревании можно считать изохорным процессом. Изохорный процесс используется в газовых термометрах постоянного объёма.

В заключение составим опорную схему (рис. 10.4) и покажем логические переходы, связывающие различные законы и уравнения.

Газовые законы, все формулы и примеры решений

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Назад в раздел «Физика — 10 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский»

Основные положения МКТ. Тепловые явления — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Почему тепловые явления изучаются в молекулярной физике — Основные положения молекулярно-кинетической теории. Размеры молекул — Примеры решения задач по теме «Основные положения МКТ» — Броуновское движение — Силы взаимодействия молекул. Строение газообразных, жидких и твёрдых тел — Идеальный газ в МКТ.

Среднее значение квадрата скорости молекул — Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов — Примеры решения задач по теме «Основное уравнение молекулярно-кинетической теории» — Температура и тепловое равновесие — Определение температуры. Энергия теплового движения молекул — Абсолютная температура.

Температура — мера средней кинетической энергии молекул — Измерение скоростей молекул газа — Примеры решения задач по теме «Энергия теплового движения молекул» — Уравнение состояния идеального газа — Примеры решения задач по теме «Уравнение состояния идеального газа» — Газовые законы — Примеры решения задач по теме «Газовые законы» — Примеры решения задач по теме «Определение параметров газа по графикам изопроцессов»

Источник: http://class-fizika.ru/10_a198.html

Основы теплотехники



Превращение теплоты в механическую работу в тепловых установках происходит при участии рабочего тела, которым обычно является газ или пар. Газы, которые существуют в природе, называют реальными. Молекулы этих газов имеют конечный объем, между ними существуют силы притяжения, существенно влияющие на их энергетические параметры. Газовые законы, все формулы и примеры решений Молекулы реального газа находятся в непрерывном хаотическом движении, т. е. обладают кинетической энергией движения. А поскольку между молекулами существует гравитационная, а зачастую и электромагнитная силовая связь, то они обладают и потенциальной энергией взаимодействия, которая зависит от расстояния между молекулами.

Для простоты изучения свойств газообразного рабочего тела введено понятие идеального газа – воображаемого газа, в котором молекулы рассматриваются, как материальные точки, обладающие некоторой массой, но силы взаимодействия между этими точками при анализе состояния рабочего тела и происходящих в нем процессов не учитываются.

При больших объемах и малых давлениях, когда расстояние между молекулами во много раз больше собственных размеров молекул, а также при высоких температурах, когда интенсивность хаотического движения молекул велика, и поэтому они слабо взаимодействуют между собой, складываются условия, при которых реальный газ можно с некоторым приближением считать идеальным.

Это позволяет вести расчеты для реальных газов по уравнениям и зависимостям, выведенным для идеальных газов, что упрощает сами расчеты и понимание сущности процессов, происходящих в газах. В связи с этим изучение термодинамических свойств идеальных газов имеет не только теоретическое, но и большое практическое значение.

***

Газовые законы термодинамики

Основными законами для идеальных газов, применяемыми в термодинамике, являются закон Бойля — Мариотта, закон Гей-Люссака, закон Шарля и закон Авогадро.

Эти законы устанавливают зависимости между основными параметрами газов – давлением, объемом, температурой и молекулярной массой.

Впоследствии газовые законы, описывающие процессы в термодинамических системах с одним неизменным и двумя переменными параметрами газа, были объединены учеными Клайпероном и Менделеевым в уравнениях, описывающей процессы системы при всех переменных параметрах рабочего тела.

Закон Бойля — Мариотта

Закон Бойля — Мариотта утверждает, что произведение абсолютного давления газа на его удельный объем в изотермическом процессе (при постоянной температуре) есть величина постоянная:

pv = const.

Чтобы понять смысловую суть этого закона следует представить термодинамическую систему, состоящую из цилиндра с подвижным поршнем, заполненного в надпоршневом пространстве газом (рис. 1). Система термоизолирована — тепло к ней не подводится и не отводится.

Газовые законы, все формулы и примеры решений Тогда при очень медленном перемещении поршня влево или вправо будет уменьшаться или увеличиваться объем газа в цилиндре, при этом изменение объема приведет к обратно пропорциональному изменению давления. Т. е. при уменьшении объема в два раза, давление возрастет в два раза и т. п. Очень медленное перемещение поршня в этом случае необходимо для того, чтобы не вызывать изменение температуры газа в процессе сжатия или расширения.

Закон справедлив для термодинамических систем с идеальным рабочим телом, в которых неизменным параметром является температура, а переменными — давление и объем. Подобные процессы (протекающие при постоянной температуре) называют изотермическими — абсолютная температура рабочего тела в системе постоянна.

Это не означает, что исключен подвод (или отвод) тепла к термодинамической системе в целом, однако тепловая энергия в этом случае не должна оказывать влияние на температуру газа (рабочего тела), а использоваться, например, для выполнения работы путем преобразования в другой вид энергии.

Процессы, при которых полностью исключается подвод и отвод тепла к термодинамической системе носят название адиабатных процессов.

Закон Бойля — Мариотта — один из основных газовых законов, открытый в 1662 году английским ученым Робертом Бойлем. В 1676 году, независимо от выводов Р. Бойля, закон был вторично описан французским физиком Эдмом Мариоттом, поэтому носит двойное название по фамилиям авторов.

Закономерность, установленная Р. Бойлем и Э. Мариоттом, справедлива для идеальных газов, но может быть с высокой степенью точности применима и для разреженных газов. Для сжатых газов применение закона Бойля — Мариотта приводит к большим погрешностям.

Следует отметить, что применение закона Бойля — Мариотта, связывающего начальные и конечные величины давления и объёма газа друг с другом, не ограничивается изотермическими процессами.

Он с достаточной степенью точности справедлив и в тех случаях, когда в ходе термодинамического процесса температура изменяется, но начальная и конечная температура газа в результате процесса оказываются равными.

***

Закон Гей-Люссака

Закон Гей-Люссака гласит, что при постоянном давлении (изобарный процесс) удельный объем газообразного вещества (объем постоянной массы газа) изменяется прямо пропорционально изменению абсолютных температур:

v1/v2 = T1/T2.

Для простоты рассмотрим, опять же, термодинамическую систему, состоящую из цилиндра с абсолютно подвижным (трение между стенками цилиндра и поршнем отсутствует) и невесомым поршнем. Над поршнем в цилиндре поместим газ.

Очевидно, что при нагреве газа поршень переместится в сторону увеличения объема газа.

При этом изменение объема газа будет прямо пропорционально изменению его абсолютной температуры, поскольку мы исключили изменение давления за счет отсутствия сил трения и тяжести, действующих на поршень.

Закон носит имя одного из своих первооткрывателей — французского физика и химика Жозефа Луи Гей-Люссака, описавшего его в 1802 году.

В разных источниках (особенно, зарубежных) этот закон нередко упоминается под названием закон Шарля, по имени француза Жака Шарля, который описал его в неопубликованной работе, датируемой 1787 годом.

Авторство приписывают, также, таким видным ученым конца XVII — начала XVIII века, как английский физик Джон Дальтон и французский ученый Гийом Амонтон.

В русскоязычных учебниках этот закон обычно называют по имени Гей-Люссака, который первым продемонстрировал его применимость ко всем газам, а также к парам летучих жидкостей при температуре выше точки кипения.

Закономерность, описанная Ж. Л. Гей-Люссаком, справедлива в системах с одним неизменным параметром — давлением, и переменными параметрами — температура — удельный объем. Такие термодинамические процессы (протекающие при постоянном давлении) называют изобарными (иногда — изобарическими).

  • ***
  • Закон Шарля, который иногда называют вторым законом Гей-Люссака, заключается в том, что при неизменном удельном объеме абсолютные давления газа изменяются прямо пропорционально изменению абсолютных температур:
  • p1/p2 = T1/T2.

 Газовые законы, все формулы и примеры решений

Смысловое содержание закона Шарля проще понять, представив герметичный абсолютно жесткий сосуд, заполненный газом. Тогда при нагреве газа его давление будет увеличиваться прямо пропорционально увеличению абсолютной температуры, т. е. при увеличении абсолютной температуры в три раза, давление газа тоже возрастет в три раза и т. п.

Экспериментальным путем зависимость давления газа от температуры при постоянном объёме установлена в 1787 году Жаком Шарлем, который исследовал термодинамические процессы имеющие место в идеальных газах.

Труды Шарля опубликованы не были, но его идеи были подхвачены видными физиками — Гей-Люссаком, Гильомом Амонтоном и другими, поэтому вопросы авторства некоторых основных законов термодинамики являются предметом спора между специалистами до сих пор.

Закономерность, открытая и описанная Ж. Шарлем, справедлива в системах с неизменным параметром — удельным объемом, и переменными параметрами — температура — давление. Такие термодинамические процессы (протекающие при постоянном объеме) называют изохорными (иногда — изохорическими).

***

Закон Авогадро

  1. Закон Авогадро утверждает, что все газы при одинаковом давлении и температуре содержат в равных объемах одинаковое число молекул.

    Из этого закона следует, что массы двух равных объемов различных газов с молекулярными массами μ1 и μ2 равны соответственно:

  2. М1 = m1N    и    М2 = m2N,
  3. где: m1 и m2 – соответственно масса одной молекулы рассматриваемых газов; N – число молекул во взятом объеме.

  4. Массы молекул пропорциональны молекулярным массам:
  5. m1 = zμ1;      m2 = zμ2,
  6. где z – коэффициент пропорциональности.
  7. Тогда можно записать:
  8. M1 = zNm1    и    M2 = zNm2,
  9. откуда получим пропорциональную зависимость:
  10. M1/M2 = μ1/μ2.

  11. Поскольку мы взяли равные объемы газов, то, разделив числитель и знаменатель левой части уравнения на объем, получим:
  12. ρ1/ρ2 = μ1/μ2.
  13. где: ρ1 и ρ2 – плотность рассматриваемых газов.

Так как удельный объем v является величиной, обратной плотности, т. е. v = 1/ρ, то можно записать полученную зависимость в следующем виде:

v1μ1 = v2μ2,

т. е. произведение удельного объема на молекулярную массу постоянно для любого газа при одинаковых условиях (давлении и температуре).

  • Закон Авогадро можно сформулировать и так: объем киломоля различных газов при аналогичных физических условиях одинаков.
  • Этот закон был описан в 1811 году итальянским физиком Амедео Авогадро.
  • ***

Закон Дальтона

Рабочее тело, используемое в термодинамических установках, обычно представляет собой смесь нескольких газов. Например, в двигателях внутреннего сгорания в состав продуктов сгорания, являющихся рабочим телом, входят водород, кислород, азот, окись углерода, углекислый газ, водяные пары воды и некоторые другие газообразные вещества.

В 1801 году английский физик Джон Дальтон установил закон, согласно которому давление, оказываемое смесью равно сумме парциальных давлений отдельных газов, входящих в состав смеси. Парциальным давлением называют давление компонента смеси, которое он создавал бы, находясь один в занимаемой смесью объеме при температуре смеси.

рсм = р1 + р2 + р3 + … + рn = Σ рi,

Это утверждение легко доказать основываясь на выводах из закона Бойля — Маритта, рассматривая парциальные компоненты газовой по отдельности и в смеси. Закон Дальтона применим для идеальных газов, и может быть использован для реальных газов, имеющих близкие к идеальным физические свойства и параметры.

***

Уравнение состояния газа

Газовые законы, описанные в начале статьи, справедливы для систем, в которых хотя бы один параметр рабочего тела в процессе остается неизменным. Такие процессы, в зависимости от того, какой из параметр постоянен, называют изотермическими, изобарными или изохорными.

На практике обычно приходится наблюдать термодинамические процессы, во время которых изменяются все основные параметры рабочего тела — политропные процессы.

Для описания политропных процессов учеными Клайпероном и Менделеевым были предложены уравнения состояния газа, полученные, на основе анализа рассмотренных ранее газовых законов Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля и Авогадро.

Предположим, что 1 кг газа переходит из состояния, характеризующегося параметрами p1, v1, T1 в другое состояние – с параметрами p2, v2, T2. Допустим, что этот переход происходит сначала при постоянной температуре Т1 до промежуточного удельного объема v’, а затем при постоянном давлении р2 до конечного удельного объема v2.

  1. Тогда по закону Бойля — Мариотта имеем:
  2. p1v1 = p2v’    или    v’ = p1v1/p2.
  3. Следующая часть процесса протекает при постоянном давлении, начинается параметрами газа p2, v’, T1 и заканчивается параметрами газа v2, T2 и p2 (последний параметр остался неизменным после первого перехода). Тогда, в соответствии с законом Гей-Люссака, можно получить выражение при p = const:
  4. v’/v2 = T1/T2    или    v’ = v2T1/T2.
  5. Приравняв найденное выражение для v' в первой и второй частях (переходах) процесса, получим:
  6. p1v1/p2 = v2T1/T2.
  7. Преобразовав это равенство, имеем:
  8. p1v1/T1 = p2v2/T2    или    pv/T = const.
  9. На основании полученного в результате уравнения, можно сделать вывод, что отношение произведения абсолютного давления газа на его удельный объем к абсолютной температуре есть величина постоянная. Для 1 кг газа эту величину называют удельной газовой постоянной и обозначают R:
  10. pv/T = R или pv = RT.

Полученное уравнение называют уравнением состояния идеального газа или уравнением Клайперона. Впервые это уравнение предложил французский физик и инженер Бенуа Поль Эмиль Клайперон, который долгое время жил и работал в России. Исследуя известный термодинамический цикл Карно, Клайперон в 1834 году вывел уравнение состояния идеального газа, которое носит его имя.

Так как R – величина постоянная для каждого газа, можно определить любой основной параметр газа, если известны два других его параметра. Удельные газовые постоянные для большинства известных газов приведены в соответствующих справочных таблицах. Так, например, удельная газовая постоянная кислорода равна 259,8 Дж/(кг×К), углекислого газа — 188,9 Дж/(кг×К) и т. п.

***

Уравнение Менделеева — Клайперона

  • Если обе части уравнения состояния идеального газа (уравнения Клайперона) умножить на массу газа М, получим следующее выражение:
  • pvM = MRT,
  • или, учитывая, что произведение массы на удельный объем это полный объем газа: Mv = V, получим:
  • pV = MRT.
  • Заменив в полученном уравнении объем газа его молекулярным объемом Vμ, а массу газа – молекулярной массой μ, получим уравнение состояния для 1 киломоля газа:
  • pVμ = μRT.

Уравнение состояния идеального газа в таком виде предложил в 1874 году Д. И.

Менделеев, и, поскольку оно является частным случаем уравнения Клайперона, то носит название уравнения Менделеева — Клайперона для идеального газа (иногда его называют уравнением Клайперона — Менделеева).

  1. Из уравнения Менделеева — Клайперона можно определить универсальную газовую постоянную:
  2. μR = pVμ/T.
  3. При нормальных физических условиях величина универсальной газовой постоянной равна
  4. R0 = μR = p0Vμ0/T0 = 101325×22,4/273,15 = 8315   Дж/(кмоль×К).
  5. Используя универсальную газовую постоянную, легко определить величину удельной газовой постоянной для любого газа по формуле:
  6. R = R0/μ = 8315/μ    Дж/(кг×К).
  7. ***
  8. Примеры решения задач с использованием газовых законов
  9. Скачать теоретические вопросы к экзаменационным билетам по учебной дисциплине «Основы гидравлики и теплотехники»
  10. (в формате Word, размер файла 68 кБ)
  11. Скачать рабочую программу по учебной дисциплине «Основы гидравлики и теплотехники» (в формате Word):
  12. Скачать календарно-тематический план по учебной дисциплине «Основы гидравлики и теплотехники» (в формате Word):



Главная страница

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Источник: http://k-a-t.ru/teplotexnika/2_gaz_zakony/

Ссылка на основную публикацию