Кубические уравнения, формулы и примеры

Кубические уравнения Далее получаем: Отсюда получаем: Далее из равенства получаем: Таким образом, мы нашли у уравнения вещественный корень .

Итак, возможны только 3 следующих случая: D > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня) D < 0 — уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней) D = 0 — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т. е.

мы имеем дело либо с уравнением с 2 умя совпадающими корнями, и еще 1 ним отличным от них, либо с уравнением с 3 емя совпадающими корнями. ( В любом случае все корни вещественные. ) Формула Кардано — это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комплексных чисел).

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида y 3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены: x= y — b/3 a (3) p= — b 2/3 a 2 + c/a q= 2 b 3/27 a 3 — bc/3 a 2 + d/a Найдем следующие величины: Q=(p/3)3 + (q/2)2 α = (-q/2 + Q 1/2)1/3 β = (-q/2 — Q 1/2)1/3 Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен D = — 108 Q Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом: y 1= α + β y 2= — (α + β)/2 + (31/2(α — β)/2)i y 3 =- (α + β)/2 — (31/2(α — β)/2)i

Если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y 1. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). Если Q

Внося это выражение в (2), получим Отсюда следовательно, Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение и учесть, получающееся в результате выражение для оказывается симметричным относительно знаков «+» и «-» , то окончательно получим

Уравнения 4 степени -Общее уравнение 4 -й степени. — Если положить то уравнение (1) можно привести к виду где p, q, r — некоторые коэффициенты, зависящие оt a, b, c, d, e. Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде: В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие , взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению

Выберем параметр t так, чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно y .

Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно y ), стоящего справа: Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить.

Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид: Отсюда, Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения (2), а, следовательно, и (1).

Метод Феррари состоит из двух этапов. На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного. На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4 -ой степени Разделим уравнение (1) на старший коэффициент. Тогда оно примет вид (2) где — произвольные вещественные числа. Сделаем в уравнении (2) замену (3) где — новая переменная.

Тогда, поскольку

Разложение на множители. Кубическая резольвента Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение Где — некоторое число, которое мы определим чуть позже.

из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид (6) Если теперь выбрать число так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения (7) то уравнение (6) примет вид (8)

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде или, раскрыв скобки, — в виде (8) Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4 -ой степени (5). Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов» .

Действительно,

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение (10) а также квадратное уравнение (11) Вывод метода Феррари завершен.

Пример: Решить уравнение (12) x 4 + 4 x 3 – 4 x 2 – 20 x – 5 = 0 Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену (13) Поскольку

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид (14) В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства (15) В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) которое при сокращении на 2 принимает вид: служит уравнение (16)

Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число (17) Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение корни которого имеют вид: Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение (18)

Источник: https://present5.com/kvadratnye-uravneniya-kubicheskie-uravneniya-formula-kardano-uravneniya-4/

Теорема Виета: для квадратного/кубического уравнения, обратная

В данной публикации мы рассмотрим теорему Виета, определяющую взаимосвязи между коэффициентами многочлена и его корнями, а также, научимся применять ее на практике для решения задач.

Формулировка теоремы

Если c1, c2…, cn являются корнями многочлена xn + a1xn−1 + a2xn−2 + … + an, где каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, то:

коэффициенты a1, a2…, an можно выразить в виде симметрических многочленов от корней, т.е.:

• a1 = −(c1 + c2 + … + cn)
• a2 = c1c2 + c1c3 + … + c1cn + c2c3 + … + cn−1cn
• a3 = −(c1c2c3 + c1c2c4 + … + cn−2cn−1cn)
• an−1 = (−1)n−1(c1c2 … cn−1 + c1c2 … cn−2cn + … + c2c3 … cn
• an = (−1)nc1c2 … cn

Другими словами, (−1)kak равняется сумме всех возможных произведений из k корней.

Примечание: теорема названа в честь французского маетиматика Франсуа Виета.

Квадратное уравнение

Для квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 с корнями x1 и x2 справедливо:

Если уравнение имеет вид x2 + px + c = 0 (приведенная форма при a = 1), то:

Кубическое уравнение

Для кубического уравнения p(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 с корнями x1, x2 и x3 справедливо:

Обратная теорема

Если для чисел x1 и x2 справедливы соотношения x1 + x2 = −p, а x1x2 = q, значит они являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + px + c = 0.

Примеры задач

Задание 1
Дано квадратное уравнение x2 − 70x + 600 = 0. Найдите его корни, используя теорему Виета.

Решение:
Используем соотношение корней для приведенного уравнения (т.к. a = 1):
x1 + x2 = 70
x1x2 = 600
Остается только подобрать числа x1 и x2, которые будут одновременно соответствовать данным уравнениям. В нашем случае – это 10 и 60.

Задание 2
Составьте уравнение, если известно, что его корни x1 и x2 равны 2 и −6, соответственно.

Решение:
Допустим, что у нас приведенное квадратное уравнение вида x2 + px + c = 0. В этом случае, исходя из установленных для него соотношений корней получаем:
p = −(x1 + x2) = −(2 + (−6)) = 4
q = x1x2 = 2 ⋅ (−6) = −12
Получаем уравнение, подставив найденные значения в формулу общего вида: x2 + 4x − 12 = 0.

Источник: https://MicroExcel.ru/teorema-vieta/

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения

Кубическим уравнением называется уравнение вида

• ax3 + bx2 + cx +d = 0 , (1)
• где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, а х — переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Δ= -4b3d + b2c2 — 4ac3 + 18abcd — 27a2d2  (Да, это дискриминант кубического уравнения)

Итак, возможны только 3 следующих случая:

• Δ > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
• Δ < 0 — уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
• Δ = 0 — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результант его и его второй производной равен нулю)

На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень α. Затем делим многочлен на (х- α), (если α корень, то он должен поделиться без остатка).

Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.

Формула Кардано решения кубических уравнений (нахождения корней)

Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

y3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

• x= y — b/3a (3)
• p= — b2/3a2 + c/a
• q= 2b3/27a3 — bc/3a2 + d/a

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

• Q=(p/3)3 + (q/2)2
• α = (-q/2 + Q1/2)1/3
• β = (-q/2 — Q1/2)1/3

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Δ = — 108Q

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

• y1= α + β
• y2= — (α + β)/2 + (31/2(α — β)/2)i
• y3 =- (α + β)/2 — (31/2(α — β)/2)i

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y1. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y2, y3 и подставьте их в (3).

Если Q0, то вычисляем

φ=(arccos(R/Q3/2))/3

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

• x1= — 2(Q)1/2cos(φ) — a/3
• x2= — 2(Q)1/2cos(φ+2π/3) — a/3
• x3= — 2(Q)1/2cos(φ-2π/3) — a/3

б) Если S

Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/Equations/cubeEquationsUniversalMethods/

Кубическое уравнение

Сегодня выполняем запрос пользователя Решение кубического уравнения.
Канонический вид кубического уравнения:

Решать кубическое уравнение мы будем по формуле Виета.
Формула Виета — способ решения кубического уравнения вида

Соответственно, чтобы привести к этому виду оригинальное уравнение первым шагом все введенные коэффициенты делятся на коэффициент а:

Калькулятор ниже, а описание формулы Виета — под ним

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Кстати сказать, на других сайтах почему-то для решения кубических уравнений используют формулу Кардано, однако я согласен с Википедией в том, что формула Виета более удобна для практического применения. Так что почему везде формула Кардано — непонятно, разве что лень людям Гиперболические функции и Обратные гиперболические функции реализовывать. Ну мне не лень было.

• Итак, формула Виета (из Википедии)
• Обратите внимание, что по представлению формулы Виета а — второй коэффициент, а коэффициент перед x3 всегда считается равным 1. Калькулятор позволяет ввести а как коэффициент перед х3, но сразу же на него и делит уравнение, чтобы получить 1
• Вычисляем:

2. Если S < 0, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны два случая в зависимости от знака Q
3. Q > 0:
4. (действительный корень)
5. (пара комплексных корней)
6. Q < 0:
7. (действительный корень)
8. (пара комплексных корней)
9. Если S = 0, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

По этим формулам калькулятор и работает. Решает вроде правильно, хотя решения с мнимой частью не проверял. Если что, пишите.

Источник: https://planetcalc.ru/1122/

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

• муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
• города Новосибирска  «Лицей № 185»
•                                                        Октябрьский район
•                                                        Секция математики
• Решение кубических уравнений. Формула Кардано
• Работу выполнили:
• ученицы   специализированного 10 класса
• Стрижкова Елизавета Евгеньевна,
• Блинкова Анастасия Андреевна
•                                                                                    Руководитель:
• Жуковец Наталия Валерьевна
• учитель математики
• высшая квалификационная категория
• Новосибирск 2016
• Содержание.

1.   Введение
2.   Историческая справка
3.   Определение кубического уравнения
4.   Методы решения кубических уравнений

4.1. Разложение на множители

4.2. Способ понижения степени уравнения

     4.3. Использование монотонности

     4.4. Графический способ

     4.5. Формула Виета

     4.6. Метод Кардано

     5.    Применение  дискриминанта кубического трехчлена

1.Введение

   «Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду» писал Л.Н.Толстой. И, действительно, решение кубических уравнений часто сводится к решению линейных и квадратных уравнений. Во многих задачах «торчат уши квадратного трехчлена» дает подсказку Черкасов О.Ю., обращаясь к  своим ученикам.

  Вот и мы, в школе на занятиях,  решая уравнения  третьей степени, то и дело в результате алгебраических преобразований получали линейные и квадратные уравнения. Линейные уравнения первой степени,  нас учили решать еще в первом классе. Есть формула  для  решения квадратных уравнений.

А вот интересно, существует ли формула корней кубического уравнения.

Нам стало интересно  узнать, не попытались ли известные  математики отыскать общую формулу, пригодную для решения  кубических  уравнений?  А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?

 Тогда мы решили проанализировать, какие способы решения кубических уравнений мы знаем, а также познакомиться с другими способами решения уравнений третьей степени.

Ведь должен быть способ или способы, которым можно было бы решить любое кубическое уравнений. Знакомство с данными решениями не только дополняет и углубляет знания, но и развивает интерес к предмету, любознательность и логическое мышление.

В этом заключается актуальность темы исследования. А начнем мы, пожалуй с исторической справки.

1. Цель работы:
2. Выявить и проанализировать способы решения уравнений третьей степени.
3. Задачи работы:

1. Познакомиться с историческими фактами, связанными с кубическими уравнениями.
2. Описать различные способы решения кубических уравнений.
3. Привести примеры различных способов решения таких уравнений.

• 2.  Определение кубического уравнения
• Кубическое уравнение – это алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид кубического уравнения:
• ax3  + bx2 + cx + d = 0, a  ≠ 0
• Это кубическое уравнение называется неприведённым, существуют также
• приведённые кубические уравнения:
• x3+px+q=0
• 3.История кубических уравнений

      Термин «кубическое уравнение» ввели Р. Декарт (1619 г.) и У. Оутред (1631г.). Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).

    Математики средневекового Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате доказательств задач алгебры и алмукабалы «Омара Хайя» (около 1070 года).

    В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1953 г.). Открытие независимо повторил Тарталья (1535 г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.

Он не испугался и тогда, когда обнаружил, что все 30 задач Фиоре содержат кубические уравнения при различных а и b . Тарталья думал, что Фиоре сам не умеет решать предложенные задачи и надеялся разоблачить его.

Когда уже почти истекли 50 дней, после которых надлежало сдать решения нотариусу, до Тартальи дошли слухи, что Фиоре обладает таинственным способом решения уравнения третьей степени.

Тарталья приложил титанические  усилия, и за восемь дней до назначенного срока (срок истекал 12 февраля 1535 года) желанный способ был найден. За два часа Тарталья решил все задачи. Его противник не решил ни одной.

   В конце XV в. Профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод был найден.

1. Методы решения кубических уравнений
2. Применение  дискриминанта кубического трехчлена
3. Заключение

4.1. Разложение на множители

Способ группировки

Пример 1.

1.      или    
2.                        
3.                                          
4. Ответ:
5. Пример 2.
6. Ответ:

4.2. Понижения степени уравнения.

• Способ основан на теореме Безу и делении многочленов.
• Теорема Безу:
•  Если число a является корнем многочлена P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an-1x + an , где a0  ≠ 0, то этот многочлен можно представить в виде произведения (x – a)×P1(x), где P1(x)  – многочлен (n – 1) –й степени.
•  (Этьенн Безу – французский математик XVIIIв., основные труды которого связаны с высшей алгеброй)
• Для подбора одного из корней кубического уравнения может быть полезно следующее утверждение: 
• Теорема:  Если уравнение имеет целые коэффициенты, причем свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.
• Пример:
• Решить уравнение: y3 – y2 – 8y + 12 = 0.

Ищем первый корень перебором чисел, являющимися делителями свободного члена:  ±12, ±6, ±4, ±3, ±2, ±1 и подстановкой в уравнение. В результате находим, что при y = 2 – корень уравнения.

1. Тогда, для понижения степени уравнения и сведения кубического уравнения к квадратному, делим левую часть этого уравнения на двучлен y – 2, и получаем:
2. y3 – y2 – 8y + 12        y – 2
3. y3 – 2y2
4.         y2 + y — 6
5. y2 – 8y +12
6. y2 – 2y
7. -6y + 12
8. -6y + 12
9.                0

Теперь, решая квадратное уравнение: y2 + y – 6 = 0, находим оставшиеся два корня: y1 = -3, y2 = 2. Итак, два корня совпадающих y = 2.

Ответ: 2; -3.

4.3. Использование монотонности.

•      Решим уравнение .
•      Рассмотрим функцию у = х3 + 3 х — 4 в виде суммы двух функций
• у = х3 и у = 3 х – 4.

Обе функции определены на множестве R  и являются возрастающими. Следовательно, их сумма – возрастающая функция. А так как всякая монотонная функция каждое своё значение может принимать лишь при одном значении аргумента, то и значение, равное нулю, она может принимать лишь при одном значении х.

     Значит, такое уравнение если имеет  действительный корень, то только один. Испытывая делители свободного члена, находим, что х = 1.

Ответ.  х = 1.

4.5. Графический.

Решить уравнение

Для решения уравнения запишем его в виде . Построим в одной системе координат графики функций  и . Графики пересекаются в точке, абсцисса которой приближенно равна 1,5

Ответ:

Этот способ не дает точного ответа. С его помощью можно определить лишь количество корней и их приближенное значение.

4.5.Формулы Виета

1. Если кубическое уравнение  имеет корни , , , то
2. Пример:
3. ,
4. ,
5. 1 – 2 – 5 + 6 = 0 ,  корень уравнения
6.           .

Ответ. , .

4.6.Формула Кардано.

•      Кубическое уравнение общего вида: 
• ах3+вх2+сх+d=0,  а≠0  (1)
•       Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

     I. Начнем с упрощения. Если кубическое уравнение общего вида 

1. ах3+bх2+сх+d=0, где а≠0,
2. разделить на х2, то коэффициент при х3 станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения
3. х3+Pх2+Qх+R=0  (2).
4. Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:
5. (а+b)3 =а3 +3а2 b + 3аb2 +b3
6. Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь а
7. на х  и перегруппируем слагаемые:
8. (х+b)3 =х3 +3х2 b + 3хb2 +b3 (3) .
9. Сравнивая коэффициенты при х2 в равенствах (2) и (3), получим .  
10. Сложим уравнения  (2) и (3) и приведем подобные:
11. (х+b)3 +(P-3b)х2 + (Q-3b2 )x +Rr-b3 =0.
12. Если учесть  и сделать замену у = х + b, получим кубическое уравнение относительно у без члена с у2 :
13. у3 + py+q=0.
14.       Итак, мы показали, что в кубическом уравнении с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида
15. у3 + py+q=0
16.  II. Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:
17. (а+b)3 =а3 +b3 + 3аb(а+b).
18. Пусть х=а+b тогда :
19.                   х3 = а3 +b3 + 3аbх, или   х3 — 3аbх — ( а3 +b3 ) = 0.
20. Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (1), достаточно решить систему уравнений :.
21.              или            .

  Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Выразим: a3 = -q – b3 . Подставив в первое уравнение системы, получим

• Отсюда, 
•                                         .
• Далее, выразив а3 , а и b через соответствующие кубические корни, получим искомое решение кубического уравнения:
• ,
• где    — дискриминант кубического уравнения.
•  Эта формула известная как формула Кардано.

  Кажется,  проблема решена.  Есть формула для  решения кубических уравнений. Формула есть, а вопросы остались: почему ее не используют в школе и как из нее получить три корня.

1. Рассмотрим примеры кубических уравнений, число корней которого нам заранее известно.
2. Пример 1.
3. х3-х-6=0 ( корень уравнения х=2)
4. p=-1
5. q=-6
6. Нашли дискриминант:

Это не тот корень, который мы ожидали: каждое из слагаемых представляет собой кубический корень. Кроме того, появилась новая задача: доказать, что выражение  — рациональное выражение.

• Пример 2.
• х3-3х+2=0
• или (х-1)2(х+2)=0  (корни уравнения х1=-2; х2/3=1)
• p=-3
• q= 2
• Нашли дискриминант:
• Получили один корень, а ведь уравнение имеет еще два совпадающих корня.
• Пример 3.
• х3 – 7х +6=0
• или (х-1)(х-2)(х+3)=0 (корни уравнения х1=1; х2=2; х3=-3)
• p= -7
• q = 6
• Нашли дискриминант:

Под знаком квадратного корня оказалось отрицательное число. В чем же дело, ведь уравнение имеет три действительных корня?

 Обратившись к справочной литературе, мы узнали, что для полного решения кубического уравнения  необходимо применение формулы Кордано для комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ. Однако, есть и полезные для нас выводы.

1. Число корней   кубического уравнения вида  х3+рх+q=0                                                                                                                        зависит от знака дискриминанта следующим образом:
2. если ∆>0, то уравнение имеет 1 решение;
3. если ∆
4. если ∆=0, то уравнение имеет 2 решение.

1. Применение  дискриминанта кубического трехчлена

Эти выводы помогли нам при решении некоторых задач с параметром.

1. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение

х3-3х+4=а  имеет 1 решение?                                                                                                             Уравнение переписали  в виде  х3-3х+4-а=0;                                                                                 р= -3;  q=4-а.

                                                                                                                          По условию оно должно иметь 1 решение, т.е. ∆>0.                                                          Найдем ∆.

                                                                                                                                     ∆ = ()2 +(-)3= +(-1)3= ==

• =                                а2 -8а+12>0
• _+_    -___+___                       а  (-∞;2) (6; ∞)
•      2        6        
• Наименьшее натуральное значение а из этого промежутка – это 1.
• Ответ. 1
• 2.  В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения   х3 – 3х – а=0

Решение. В уравнении р =-3; q = -а.                                                                                          ∆ = ()2  + ()3 =(-)2+(-1)3= -1=.

1. ___+_______-_________+_
2.              -2                2
3. При а  (-∞;-2)  (2;∞)  уравнение имеет 1 решение;
4. При а  (-2;2) уравнение имеет 3 корня;
5. При а = -2; 2 уравнение имеет 2 решения.

•     В процессе работы мы познакомились с историей изучения решения кубических уравнений.
•     Систематизировали известные   способы решения кубических уравнений и познакомились с новыми методами.
•    Мы увидели, насколько сложен вывод формулы для решения кубических уравнений и как долго к этому шли математики древности, математики эпохи Возрождения. Для них такие уравнения поначалу являлись новшеством.
•     Мы убедились в том, что формула решения уравнений третьей степени существует, но для полного решения кубического уравнения  необходимо применение формулы Кордано для комплексных чисел, о существовании которых мы узнали в ходе выполнения этой работы.

Мы уверены, что проделали полезную для себя работу, так как решение задач с помощью уравнений различных степеней всегда было и будет актуально.

1. Рыбников К.А. История математики. – М.: Изд-во МГУ, 1960.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. гл. к шк. учеб. 9 кл.- М.: Просвещение,1997

Интернет-ресурсы

1. http://www.referat-web.ru/
2. http://100formul.ru/
3. http://ru.convdocs.org/

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2017/04/17/reshenie-kubicheskih-uravneniy-formula

Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

• $5 (5 + 3х) — 10х = 8$
• Раскроем скобки.
• $25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

1. $15х — 10х = 8 — 25$
2. Приведем подобные слагаемые.
3. $5х = -17$ — это конечный результат преобразований.
4. После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$
5. $х=-{17}/{5}$
6. $х = — 3,4$
7. Ответ: $- 3,4$

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

• $a$ — старший коэффициент;
• $b$ — средний коэффициент;
• $c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

• $4х^2 — 5х = 0$
• Вынесем х как общий множитель за скобки:
• $х (4х — 5) = 0$
• Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
• $x = 0$ или $4х — 5 = 0$
• $х_1 = 0   х_2 = 1,25$
• Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

1. Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.
2. $ax^2 + c = 0$
3. $ax^2 = — c$
4. $x_2 = {-c}/{a}$
5. При решении последнего уравнения возможны два случая:
6. если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$
7. если ${-c}/{a} 0$. Тогда корни уравнения равны:

   $x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

   2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

   $x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

   3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

   1. $3х^2 — 11 = -8х$
   2. Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней
   3. $3х^2 + 8х — 11 = 0$
   4. $a = 3 ,b = 8, c = — 11$
   5. $D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$
   6. $x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$
   7. $x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$
   8. Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$

   Устные способы

   Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

   • $4х^2+ 3х — 7 = 0$
   • $4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$
   • Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$

   Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$

   1. $5х^2+ 7х + 2 = 0$
   2. $5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$
   3. Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$

   Кубические уравнения

   Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

   • $(x — 3)^3 = 27$
   • Представим обе части как основания в третьей степени
   • $(x — 3)^3 = $33
   • Извлечем кубический корень из обеих частей
   • $х — 3 = 3$
   • Соберем известные слагаемые в правой части
   • $x = 6$
   • Ответ: $х = 6$

   Дробно рациональные уравнения

   Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

   Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

   1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
   2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
   3. решить получившееся целое уравнение;
   4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
   1. $4x + 1 — {3}/{x} = 0$
   2. 1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
   3. $x≠0$
   4. 2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
   5. $4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$
   6. $4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$
   7. 3. решаем полученное уравнение
   8. $4x^2 + x — 3 = 0$

   Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

   Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

   4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

   Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

   При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

   Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$

   • ${3х-5}/{-2}={1}/{х}$
   • Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
   • $x≠0$
   • Воспользуемся основным свойством пропорции
   • $х (3х — 5) = -2$
   • Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения
   • $3х^2- 5х + 2 = 0$

   Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

   1. $a + b + c = 0$
   2. $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
   3. В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
   4. Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

   Источник: https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/kvadratnye_uravneniya