Область значений функции, теория и примеры

Время на чтение: 14 минут

У каждой функции y = f (x) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество (этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.

Существует несколько методов решения задач такого типа. К ним относятся следующие способы: автоматизированный и ручной. Решение первым подразумевает использование специальных программных оболочек и web-приложений, позволяющих найти область значения функции. Онлайн-калькулятор с решением применяется для тех, кто выполняет большое количество вычислений или проверку вычислений.

В различных дисциплинах необходимо исследовать поведение функций. Например, при проектировании какого-либо программного продукта. Программисты занимаются поиском «багов», при которых происходит некорректная работа приложения.

Если заданы недопустимые параметры независимой переменной, то произойдет ошибка. Это называется исключением, и его всегда следует обрабатывать.

При проектировании различных устройств нужно также уметь находить область значения функции.

Основные понятия

Руководствуясь некоторыми данными, можно сделать вывод: областью значений некоторой функции называются все ее допустимые значения. Обозначается она буквой «E», т. е. E (f) или E (y). Когда y = f (x) является сложной (w = f (x, y, z)), тогда можно ее обозначить «E (w)».

Независимая переменная, принимающая некоторые значения, называется аргументом. Для конкретного случая существует определенный алгоритм. Можно сразу определить E (f), но в некоторых ситуациях нужно выполнить некоторые преобразования.

Например, нужно найти область значений квадратичной функции y = 3x 2 — 2x — 1. Следует записать уравнение 3x 2 — 2x — 1 = 0. Ордината вычисляется таким образом: y0 = -D / 4a = -[b 2 — 4ac] / 4a = -[(-2)^2 — 4 * 3 * (-1)] / (4 * 3) = -16 / 12 = -4/3. Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, E (y) = (-4/3;+бесконечность).

Специалисты-математики утверждают, что важным аспектом является определение типа функции. Следовательно, следует разобраться в их классификации. Для этого необходимо знать их графики и названия.

Типы функций

Перед тем, как найти все допустимые значения, нужно знать область значения некоторых элементарных функций. Для каждой из них существует свой промежуток:

1. (-бесконечность;+бесконечность): y =kx + b, y = x^(2n+1), y = x^(1/(2n+1)), y = log (x) с основанием а, y = tg (x) и y = ctg (x).
2. [0;+бесконечность): y = x^(2n), y = x^(1/(2n)) и y = a^x.
3. (-бесконечность;0] U [0;+бесконечность) только для y = k / x (гипербола).
4. [-1;1]: y = sin (x) и y = cos (x).
5. [0;Pi]: y = arccos (x) и arcsin (x).
6. [-Pi/2;Pi/2]: y = arctg (x) и arcsin (x).

Если функция является многочленом четной степени, то для нее существует интервал [m;+бесконечность). Значение «m» — наименьшее значение многочлена. На промежутке (-бесконечность;n) число n — наибольшее его значение.

Довольно сложной задачей считается нахождение области значений тригонометрических функций. Примером одной из них считается y = cos (2x) + 2cos (x). Кроме того, при нахождении E (f) необходимо руководствоваться не только табличными значениями. Этих данных мало, поскольку нужно также знать о свойствах некоторых функций и способы нахождения E.

Важные свойства

Для качественного исследования нужно знать свойства простых функций: монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность или нечетность, периодичность, область определения и значения. Среди свойств можно выделить несколько основных:

1. В случае, когда функция f (x) является непрерывной, и наблюдается ее возрастание или убывание на отрезке [a;b], то множество значений — интервал [f (a);f (b)].
2. Если y = f (x) обладает непрерывностью на промежутке [a;b], и существует некоторое минимальное m и максимальное М ее значения, то множеством ее значений является интервал [m;M].
3. При непрерывности и дифференцируемости функции на промежутке [a;b], она имеет минимальное и максимальное значения на данном промежутке.

Последние два свойства применяются для непрерывных функций. Простое решение позволяет получить первое свойство. При этом очень важно доказать ее монотонность.

Задача существенно упрощается, когда удается доказать четность или нечетность функции, а также ее периодичность.

По необходимости следует проверять и использовать некоторые ее свойства: непрерывность (при разрыве нужно определить его точку или интервал), монотонность, дифференцируемость, периодичность, четность или нечетность и т. д.

Методы нахождения

Существует много способов нахождения области значений. Однако для решения задач нужно подбирать оптимальный метод, поскольку следует избегать лишних вычислений. Например, если функция является простой, то нет необходимости применять сложные алгоритмы решения. К методам нахождения относятся следующие:

1. Отдельное нахождение значений элементов сложной функции.
2. Оценочный.
3. Учет непрерывности и монотонности.
4. Взятие производной.
5. Использование max и min функции.

Для каждого из методов существует определенный алгоритм. Хотя встречаются случаи, когда целесообразно применить два простых метода. Нужно руководствоваться минимальным количеством вычислений и затраченным временем.

Для каждого элемента

Иногда в задачах следует найти E (f) при условии, когда функция является сложной.

Очень распространенная методика разбиения задачи на подзадачи, которая применяется не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но в экономике, бизнесе и других направлениях.

Решение с помощью метода последовательного нахождения E (f) каждой из функций. Алгоритм имеет такой вид:

1. Выполнить необходимые преобразования — упростить выражение.
2. Разбить выражение на элементы.
3. Выполнить поиск E (f) для каждого элемента.
4. Произвести замену.
5. Анализ.
6. Результат решения.

Однако довольно сложно ориентировать по данному алгоритму, поскольку нужно разобрать решение примера с его помощью. Дана функция y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x). Решается задача таким образом:

1. Упростить (выделить квадрат): y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x) = log0.5 [5 — (1 — 2 * 3^x — 9^x)] = log0.5 [5 — (3^x + 1)].
2. Разбить на элементарные функции: y = 3^x, y = 3^x + 1, y = [-(3^x + 1)]^2 и y = [5 — (3^x + 1)]^2.
3. Определить для каждого элемента E (f): E (3^x) = (0;+бесконечность), E (3^x + 1) = (1;+бесконечность), E ([-(3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;-1) и E ([5 — (3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;4).
4. Произвести замену: t = 5 — (3^x + 1)]^2 (-бесконечность

Источник: https://nauka.club/matematika/algebra/nakhozhdenie-oblasti-znacheniya-funktsii-i-primery-resheniy.html

Область значений функции

Всем здравствуйте! Тренируемся находить область значений функции! Кто еще не понял, что такое область определения (а она нам тоже понадобится непременно), тому сюда.

Что же такое область значений функции? Это та “часть” оси ординат, та область, где можно наткнуться на какие-либо точки, принадлежащие функции. То есть можно сказать, что если область значений найдена, то все точки функции находятся в ней, не выше и не ниже.

Это почти тоже самое, что и область определения, только теперь это “область определения по оси ординат”.

Ну, поехали!

Примеры.

Решение: функция – квадратичная, представляет собой параболу с положительным старшим коэффициентом, ветви направлены вверх. Понятно тогда, что весь график располагается выше координаты своей вершины (вершина – самая низшая точка). Ордината вершины: , тогда .

• Решение: область определения функции ( ] [).
• В точках (-7) и (3) двучлен обращается в ноль. Поскольку результат извлечения корня – величина положительная, то вся функция располагается выше оси абсцисс, и ее область значений [)
• 3. Найти область значений функции

Область определения – вся числовая ось, кроме ноля. Можем подставить любое число из области определения, при этом функция всегда отрицательна.

1. Из графика также видно, что
2. 4. Найти область значений функции:
3. Решение. Область определения:
4. На концах отрезка функция принимает значение 1, под корнем имеем квадратный двучлен, наибольшее значение он принимает в вершине, при , значит, функция будет принимать в этой точке наименьшее значение.
5. Подставив 1, получаем
6. Ответ:
7. 5. Найдите область значений функции:

Источник: https://easy-physic.ru/oblast-znachenij-funktsii/

Урок 1. область определения и множество значений тригонометрических функций — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс — Российская электронная школа

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №1. Область определения и множество значений тригонометрических функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• Овладение понятиями «область определения», «область определения тригонометрических функций», «множество значений функции», «множество значений тригонометрических функций»;
• Нахождение области определения и множества значений тригонометрических функций вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|, где f(x) — косинус, синус, тангенс или котангенс действительного числа от значения коэффициентов a, k, b.;
• Объяснение зависимости области определения и множества значений функции вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|,где f(x) — косинус, синус, тангенс или котангенс действительного числа от значения коэффициентов a, k, b.

Глоссарий по теме

Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Множеством значений функции y = sin x и y = cos x  является отрезок -1 ≤ y ≤ 1. Данные функции ограничены сверху и снизу.

Областью определения функции y = tg x  является множество чисел x ≠ π/2 + πk, kЄ Z.

Областью определения функции y = сtg x  является множество чисел x ≠ πk, kЄ Z.

Множеством значений функции y = tg x и y =сtg x  является множество R всех действительных чисел, т.к. уравнения tg x = a  и сtg x = a  имеют корни при любом действительном значении a. Функции неограниченные.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

• Теоретический материал для самостоятельного изучения
• Актуализация знаний
• Вопросы:

1. Что такое функция?
2. Что такое область определения функции? Чем является область определения функции геометрически?
3. Что такое множество значений функции? Чем является множество значений функции геометрически?

Ответы на вопросы:

1. Если каждому значению x из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по определенному правилу число y, то говорят, что на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией. Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают y=f(x).
2. Областью определения функции называют множество всех допустимых значений переменной x. Геометрически – это проекция графика функции на ось Ох.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически – это проекция графика функции на ось Оy.

1. Найдите область определения функции и множество значений функции:
2. 1) ; 2) ; 3) .
3. Ответы:
4. D(f): 1) ; 2) ; 3)
5. E(f): 1); 2) ; 3) .
6. Объяснение нового материала
7. С помощью единичной окружности сделайте выводы об области определения и множестве значений тригонометрических функций.

Заполните таблицу:

Функция

Область определения

Множество значений

Ответ:

Функция

Область определения

Множество значений

Итак, Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

 Множеством значений функции y = sin x и y = cos x  является отрезок -1 ≤ y ≤ 1. Данные функции ограничены сверху и снизу.

Областью определения функции y = tg x  является множество чисел x ≠ π/2 + πk, kЄ Z.

Областью определения функции y = сtg x  является множество чисел x ≠ πk, kЄ Z.

Множеством значений функции y = tg x и y =сtg x  является множество R всех действительных чисел, т.к. уравнения tg x = a  и сtg x = a  имеют корни при любом действительном значении a. Функции неограниченные.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1. Найти область определения функции .

• ;
• ;
• ;
• Ответ: −.
• Пример 2. Найти все решения уравнения
• ;
• ;
• Ответ:
• .

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6111/conspect/

[Билет 7] Функциональное соответствие (функция), способы задания. Область определения и множество значений функции

Функциональное соответствие (функция), способы задания.

Функция соответствие — соответствие f между элементами множеств X и Y называется функциональным или функцией, если каждому элементу множества X соответствует не более одного элемента множества Y
Табличный способ.

Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений.

Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами — наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом. Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде. Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно. Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания. Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r. Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x — [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q — r=q Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

Область определения и множество значений функции.

Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу x из множества X определенное число y, то говорят , что задана функция y = f(x) с областью определения X : y = f(x), D(f) = X.

Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения x принадлежит  D(f) .

Источник: http://fizmatinf.blogspot.com/2012/12/7.html

Презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему: Область определения и область значений функции. | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

функция. Область определения функции. Область значений функции. Алгебра 9 класс

Слайд 2

Давайте вспомним: Какую зависимость называют функцией? Как читают запись y = f(x) ? Что называют аргументом функции? Что такое область определения функции? Что называют значением функции? Как читают запись f(2) = 6 и что она означает? Что называют областью значений функции?

Слайд 3

Определение функции. Обозначение функции. у( х ) — функция х — аргумент зависимая переменная независимая переменная

• Слайд 4
• Область определения функции. Область определения функции у(х) это все значения аргумента — Х Обозначение области определения — D( у )
• Слайд 5
• Область значений функции. Область значений функции у(х) это все значения — У _ Обозначение области значений — Е ( у )
• Слайд 6
• x — 4 — 3 — 2 — 1 0 1 2 3 y -8 — 6 — 4 — 2 0 2 4 6
• Слайд 8
• g(2) = g(- 2) = g(x) = 0 при x = g(x) = 1 при х = или х = D(g) = E(g) =
• Слайд 9
• f(-3) = f(- 1) = f(x) = — 1,5 при x = f(x) = 2 при х = х = , x = D(f) = E(f) =
• Слайд 10

а) f(2) = ? б) D(f) = ? Решение: а) f( 16 ) = ? б) D(f) = ? Решение:

1. Слайд 11
2. График функции (х; у)- координаты точки в плоскости у( х )- функция х — аргумент у – ордината точки (координата оси ОУ ) х – абсцисса точки (координата оси ОХ )
3. Слайд 12

Область определения линейной функции y( х) = k x + b , k≠0 y x k > 0 y x k < 0 D( у ) = (-∞ ; + ∞) х Є (-∞ ; + ∞) -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О х < 0 х < 0 х > 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 13

Область значений линейной функции y( х ) = k x + b , k≠0 y x k > 0 y x k < 0 Е ( у ) = (-∞ ; + ∞) у(х) Є (-∞ ; + ∞) -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О у < 0 у < 0 у > 0 у > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 14

Область определения линейной функции y( х) = k x + b , k= 0 y x y( х) = b y x y( х) = -b D( у ) = (-∞ ; + ∞) х Є (-∞ ; + ∞) -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О х < 0 х < 0 х > 0 х > 0 I ч. II ч. III ч. IV ч.

Слайд 15

Слайд 16

Область определения прямой пропорциональности y( х) = k x y x k > 0 y x k < 0 D( у ) = (-∞ ; + ∞) х Є (-∞ ; + ∞) -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О х < 0 х < 0 х > 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 17

Область значений прамой пропорциональности y( х ) = k x y x k > 0 y x k < 0 Е ( у ) = (-∞ ; + ∞) у(х) Є (-∞ ; + ∞) -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О у < 0 у < 0 у > 0 у > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 18

Область определения обратной пропорциональности , х≠0 y x k > 0 y x k < 0 D( у ) = (-∞ ; 0) U (0 ; + ∞) х Є (-∞ ; 0) U (0 ; + ∞) -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О х < 0 х < 0 х > 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 19

Область значений обратной пропорциональности , х≠0 y x k > 0 y x k < 0 Е ( у ) = (-∞ ; 0) U (0 ; + ∞) у(х) Є (-∞ ; 0) U (0 ; + ∞) -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О y< 0 y< 0 y> 0 y > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 20

Область определения квадратичной функции , а≠0 y x а > 0 y x а < 0 D( у ) = (-∞ ; + ∞) х Є (-∞ ; + ∞) -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О х < 0 х < 0 х > 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Слайд 21

Область значений квадратичной функции , а≠0 y x а > 0 y x а < 0 Е ( у ) = [ о ; + ∞) у(х) Є [ о ; + ∞) -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О у > 0 y< 0 I ч. III ч. II ч. IV ч. Е ( у ) = ( — ∞ ;0] у(х) Є ( — ∞ ;0]

• Слайд 22
• Область определения функции , х ≥ 0 y x D( у ) = [0; + ∞) ; х Є [0; + ∞) + ∞ О х ≥ 0 I ч.
• Слайд 23
• Область значений функции , х ≥ 0 y x Е ( у ) = [0; + ∞) ; у(х) Є [0; + ∞) + ∞ О у ≥ 0 I ч.
• Слайд 24

Область определения функции у = l х l _ y x D( у ) = (- ∞ ; + ∞) ; х Є (- ∞ ; + ∞) + ∞ О х < 0 I ч. х ≥ 0 II ч. — ∞

Слайд 25

Область значений функции у = l х l _ y x Е ( у ) = [ 0 ; + ∞) ; у(х) Є [ 0 ; + ∞) + ∞ О I ч. у ≥ 0 II ч.

Слайд 26

Область определения функции у = х³ y x D( у ) = (-∞ ; + ∞) ; х Є (-∞ ; + ∞) + ∞ О х ≥ 0 I ч. III ч. х < 0 — ∞

Слайд 27

1. Слайд 28
2. Найдите по графику область определения функции — D( у ) -5 4 D( у )= [ -5 ; 4,5 ]
3. Слайд 29
4. Найдите по графику область значений функции — Е ( у ) -2 5 Е ( у )= [ -2 ; 5 ]
5. Слайд 30
6. По графику определите промежуток на котором определена данная функция -6 3 D( у )= [ -6 ; 3,5 ]
7. Слайд 31
8. По графику определите промежуток на котором определена данная функция -2 4 Е ( у )= [ -2 ; 4 ]
9. Слайд 32
10. Найдите по графику область определения функции -5 5 D( у )= [ -5 ; 5 ]
11. Слайд 33
12. Найдите по графику область определения функции -2 6 Е ( у )= [ -2 ; 6 ]
13. Слайд 34
14. Найдите область определения и значений функции -4 4 [ -4 ; 4) 3 ( — 1;3] а) б) в) г) д)
15. Слайд 35
16. Найдите область определения и значений функции 5 ( -1 ; 5 ] -3 4 [ — 3;4) а) б) в) г) д)
17. Слайд 36
18. Найдите область определения и значений функции -2 4 [ — 2;4) 4 [ — 1;4] а) б) в) г) д)
19. Слайд 37
20. Найдите область определения и значений функции б) в) г) — 4 2 [ -4 ; 2 ] 2 [ -1 ; 2 ] д) а)

Источник: https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2017/10/29/oblast-opredeleniya-i-oblast-znacheniy-funktsii