Динамика движения системы связанных тел

Неопубликованная запись

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Динамика движения системы связанных тел

  • Динамика: движения системы связанных тел. 
  • Проецирование сил нескольких объектов.
  • Действие второго закона Ньютона на тела, которые скреплены нитью 
  • Если ты, дружок, позабыл, как силушку проецировать, советую мыслишки в своей головушке освежить.
  • А для тех, кто все помнит, поехали!

Задача 1. На гладком столе лежат два связанных невесомой и нерастяжимой ниткой бруска с массой 200 г левого и массой правого 300 г. К первому приложена сила 0,1 Н, к левому — в противоположном направлении сила 0,6 Н. С каким ускорением движутся грузы?

Динамика движения системы связанных тел

Движение происходит только на оси X. 

Т.к. к правому грузу приложена большая сила, движение данной системы будет направлено вправо, поэтому направим ось так же. Ускорение у обоих брусков будет направлено в одну сторону — сторону большей силы.

Динамика движения системы связанных тел

По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:

Динамика движения системы связанных тел

Сложим верхнее и нижнее уравнение. Во всех задачах, если нет каких-то условий сила натяжения у разных тел одинакова T₁ и Т₂.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Молярная масса йода (i), формула и примеры

Оценим за полчаса!

Динамика движения системы связанных тел

Выразим ускорение:

Динамика движения системы связанных тел

Ответ: 1 м/с²

Задача 2. Два бруска, связанные нерастяжимой нитью, находятся на горизонтальной плоскости. К ним приложены силы F₁ и F₂, составляющие с горизонтом углы α и β. Найти ускорение системы и силу натяжения нити.

Коэффициенты трения брусков о плоскость одинаковы и равны μ. Силы F₁ и F₂ меньше силы тяжести брусков. Система движется влево.Динамика движения системы связанных тел

Cистема движется влево, однако ось можно направить в любую сторону (дело лишь в знаках, можете поэксперментировать на досуге). Для разнообразия направим вправо, против движения всей системы, мы же любим минусы! Спроецируем силы на Ох (если с этим сложности — вам сюда ).

Динамика движения системы связанных тел

По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:

Динамика движения системы связанных тел

Сложим уравнения и выразим ускорение:

Динамика движения системы связанных тел

Выразим натяжение нити. Для этого приравняем ускорение из обоих уравнений системы:

Задача 3. Через неподивжный блок перекинуты нить, к которой подвешены три одинаковых груза (два с одной стороны и один с другой) массой 5 кг каждый. Найти ускорение системы. Какой путь пройдут грузы за первые 4 с движения? 

  1. В данной задаче можно представить, что два левых груза скреплены вместе без нити, это избавит нас от проецирования взаимно равных сил.
  2. Вычтем из первого уравнения второе:
  3. Зная ускорение и то, что начальная скорость равна нулю, используем формулу пути для равноускоренного движения:
  4. Ответ: 26,64 м

Задача 4. Два груза массами 4 кг и 6 кг соединены легкой нерастяжимой нитью. Коэффициенты трения между грузом и столом μ = 0,2. Определите ускорение, с которым будут двигаться грузы.

  • Запишем движение тел на оси, из Oy найдем N для силы трения (Fтр = μN):
  • (Если сложно понять, какие уравнения понадобятся для решения задачи, лучше запишите все)
  • Сложим два нижних уравнения для того, чтобы T сократилось:
  • Выразим ускорение:
  • Ответ: 2,8 м/с²

Задача 5. На наклонной поскости с углом наклона 45° лежит брускок массой 6 кг. Груз массой 4 кг присоединен к бруску при помощи нити и перекинут через блок. Определите натяжение нити, если коэффициент трения бруска о плоскость μ = 0,02. При каких значениях μ система будет в равновесии?

  1. Ось направим произвольно и предположим, что правый груз перевешивает левый и поднимает его вверх по наклонной плоскости.
  2. Из уравнения на ось Y выразим N для силы трения на ось Х (Fтр = μN):
  3. Решим систему, взяв уравнение для левого тела по оси Х и для правого тела по оси Y:
  4. Выразим ускорение, чтобы осталась одна неизвестная T, и найдем ее:
  5. Система будет в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на каждое из тел, будет равна нулю:

Получили отрицательный коэффициент трения, значит, движение системы мы выбрали неверно (ускорение, силу трения). Можно это проверить, подставив силу натяжения нити Т в любое уравнение и найдя ускорение. Но ничего страшного, значения остаются теми же по модулю, но противоположными по направлению.

  • Значит, правильное направление сил должно выглядить так, а коэффициент трения, при котором система будет в равновесии, равен 0,06.
  • Ответ: 0,06

Задача 6. На двух наклонных плоскостях находится по грузу массами 1 кг. Угол между горизонталью и плоскостями равен α = 45° и β = 30°. Коэффициент трения у обеих плоскостей μ = 0,1.  Найдите ускорение, с которым движутся грузы, и силу натяжения нити. Каким должно быть отношение масс грузов, чтобы они находились в равновесии.

  1. В данной задаче уже потребуются все уравнения на обе оси для каждого тела:
  2. Найдем N в обоих случаях, подставим их в силу трения и запишем вместе уравнения для оси Х обоих тел:
  3. Сложим уравнения и сократим на массу:
  4. Выразим ускорение:
  5. Подставив в любое уравнение найденное ускорение, найдем Т:
  6. А теперь одолеем последний пункт и разберемся с соотношением масс. Сумма всех сил, действующих на любое из тел, равна нулю для того, чтобы система находилась в равновесии:
  7. Сложим уравнения
  8. Все, что с одной массой, перенесем в одну часть, все остальное — в другую часть уравнения:
  9. Получили, что отношение масс должно быть таким:
  10. Однако, если мы предположим, что система может двигаться в другом направлении, то есть правый груз будет перевешивать левый, направление ускорения и силы трения изменится. Уравнения останутся такими же, а вот знаки будут другими, и тогда отношение масс получится таким:
  11. Тогда при соотношении масс от 1,08 до 1,88 система будет находиться в покое.

У многих может сложиться впечатление, что соотношение масс должно быть каким-то конкретным значением, а не промежутком. Это правда, если отстутвует сила трения. Чтобы уравновешивать силы тяжести под разными углами, найдется только один варинт, когда система находится в покое.

В данном же случае сила трения дает диапазон, в котором, пока сила трения не будет преодолена, движения не начнется.

Ответ: от 1,08 до 1,88

Задачи для закрепления.Система связанных тел.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого технического юмора.

Источник: https://ik-study.ru/ege_po_fizikie/sistiemy_sviazannykh_tiel_

Движение связанных тел

  • «Мыслящий ум не чувствует себя счастливым,
  • пока ему не удастся связать воедино
  • разрозненные факты, им наблюдаемые»

Г.Ч. де Хевеши

В данной теме будут рассмотрены задачи на движение связанных тел.

Задача 1. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой подвешены два тела массами 1 и 2 кг. Тела предоставлены сами себе, а их начальные скорости равны нулю. Определите перемещение тел за 5 с движения, а также возникающую при этом силу в нити. Трением в блоке и его массой пренебречь.

ДАНО: Динамика движения системы связанных тел Динамика движения системы связанных тел Динамика движения системы связанных тел Динамика движения системы связанных тел РЕШЕНИЕ: Динамика движения системы связанных тел Запишем второй закон Ньютона для первого и второго тела Динамика движения системы связанных тел Динамика движения системы связанных тел В проекциях на ось Оу Динамика движения системы связанных тел Таким образом, получили систему из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Для её решения необходимы еще два уравнения связи. Первое уравнение связи вытекает из условия о не растяжимости нити и отсутствия трения в блоке. Так как нить нерастяжима и в блоке нет трения, то: Динамика движения системы связанных тел

  1. Второе уравнение связи будет вытекать из условия о невесомости нити, которой наши тела связаны, и блока.
  2. Так как блок и веревка невесомы и нет трения в оси блока, то
  3. Перепишем уравнения движения в следующем виде:
  4. Для того чтобы решить полученную систему, вычтем из первого уравнения второе
  5. Преобразуем уравнение
  6. Кинематическое уравнение для правого тела:
  7. В момент времени t = τ:
  8. Тогда получаем
  9. Теперь определим силу натяжения нити

Ответ: s = 41,7 м; T1 =T2 = 13,3 Н.

Задача 2. На гладкой горизонтальной поверхности находятся три бруска массами 1, 2 и 3 кг, связанные невесомыми нерастяжимыми нитями. К бруску большей массы на нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешен груз массой 4 кг. Определите ускорение этой системы и силы натяжения всех нитей. Считать, что масса блока пренебрежимо мала и трение в блоке отсутствует.

  • ДАНО:
  1. ДАНО:
  2. Запишем второй закон Ньютона для всех четырёх связанных тел
  3. Так как нить нерастяжима, то:
  4. Так как нить невесома, то:
  5. В проекциях на оси координат:
  6. Для того, чтобы решить данную систему уравнений сложим три первых уравнения и вычтем четвёртое. Тогда получим
  7. Теперь силы натяжения нитей

Ответ: a = 20 м/с2; Т1 = 20 Н; Т2 = 60 Н; Т3 = 120 Н.

Задача 3. На гладком горизонтальном столе расположен брусок массой 5 кг, на котором находится брусок массой 3 кг. Оба бруска соединены легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Если к нижнему бруску приложена сила 55 Н, а коэффициент трения между брусками равен 0,3, то чему равно ускорение, с которым движется система брусков?

  • ДАНО:
  1. РЕШЕНИЕ:
  2. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела
  3. Так как нить нерастяжима и в блоке нет трения, то:
  4. Так как нить и блок невесомы, то:
  5. Согласно третьему закону Ньютона, модули сил трения, действующие на бруски, также должны быть равны
  6. В проекциях на ось Ох:
  7. Вычтем второе уравнение из первого. Тогда получим
  8. Преобразуем последнее уравнение и выразим из него ускорение
  9. Учтем, что сила трения определяется по выражению
  10. В проекциях на ось Оу:
  11. Тогда ускорение будет равно

Ответ: 4,6 м/с2.

Источник: https://videouroki.net/video/14-dvizhieniie-sviazannykh-tiel.html

Тема 3.1. Основные понятия и аксиомы динамики — Техническая механика

§1. Динамика точки. Основные понятия и определения.

В разделе кинематики исследовалось движение тел без учета причин, обеспечивающих это движение. Рассматривалось движение, заданное каким-либо способом и определялись траектории, скорости и ускорения точек этого тела.

В разделе динамики решается более сложная и важная задача. Определяется движение тела под действием сил приложенных к нему, с учетом внешних и внутренних условий, влияющих на это движение, включая самих материальных тел.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил.

Понятие о силе, как о величине, характеризующей меру механи­ческого взаимодействия материальных тел, было введено в статике. Но при этом в статике мы, по существу, считали все силы постоян­ными.

Между тем, на движущееся тело наряду с постоян­ными силами (постоянной, например, можно считать силу тяжести) действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются.

Сила – векторная физическая величина, характеризующая действие одного тела на другое, в результате чего у тела изменяется скорость, то есть появляется ускорение, или происходит деформация тела, либо имеет место и то, и другое. В том случае, когда тело при взаимодействии получает ускорение, говорят о динамическом проявлении сил. В том случае, когда тело при взаимодействии деформируется, говорят о статическом проявлении сил.  – векторная величина.

Как показывает опыт, переменные силы могут определенным об­разом зависеть от времени, от положения тела и от его скорости.В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при посте­пенном выключении или включении реостата; от положения тела зависит сила упругости пружины; от скорости движения зависят силы сопро­тивления среды (воды, воздуха).

К понятию об инертности тел мы приходим, сравнивая результаты действия одной и той же силы на разные материальные тела. Опыт показывает, что если одну и ту же силу приложить к двум разным, свободным от других воздействий покоящимся телам, то в общем случае по истечении одного и того же промежутка времени эти тела пройдут разные расстояния и будут иметь разные скорости.

Инертностьи представляет собой свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил. Если, например, при действии одина­ковых сил изменение скорости первого тела происходит медленнее, чем второго, то говорят, что первое тело является более инертным, и наоборот.

Количественной мерой инертности данного тела является фи­зическая величина, называемая массой тела. В механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

За единицу массы принят эталон – сплав платины и иридия, хранящийся в палате мер и весов в Париже: [m]=кг. Масса–величина аддитивная  и скалярная.

В общем случае движение тела зависит не только от его суммар­ной массы и приложенных сил; характер движения может еще зави­сеть от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц (т.е. от распределения масс).

Под материальной точкой понимают материальное тело столь малых размеров, что различием в движении отдельных его точек можно пренебречь и положение которого можно определить координатами одной из его точек.

Практически данное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела при его движении, очень велики по сравнению с размерами самого тела. Кроме того, как будет показано в динамике системы поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Наконец, материальными точками можно считать частицы, на кото­рые мы будем мысленно разбивать любое тело при определении тех или иных его динамических характеристик.

Точку будем называть изолированной, если на точку не оказывается никакого влияния, никакого действия со стороны других тел и среды, в которой точка движется. Конечно, трудно привести пример подобного состояния. Но представить такое можно.

При вращательном движении тела точки могут двигаться неодинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рассматривать как совокупность материальных точек.

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений над движением тел и проверенные обширной общественно-исторической практикой человечества. Систематически эти законы были впервые изложены И. Ньютоном. 

  • Первый закон (закон инерции), открытый Галилеем, гласит: существуют такие системы отсчета, относительно которых тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела или действие этих тел компенсировано.
  • или в другой формулировке
  • если сумма действующих на тело сил равна нулю, то тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое.
  • Движение, совершаемое точ­кой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи — пребывать неизменно в движении и устанавливает для материальных тел эквивалентность состояний покоя и движения по инерции.

Из него следует, что если F=0, то точка покоится или движется с постоян­ной по модулю и направлению скоростью  ( =const); ускорение точки при этом равно нулю:  = 0); если же движение точки не является равномерным и прямолинейным, то на точку действует сила.

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета (иногда ее условно называют неподвижной).

По данным опыта для нашей Сол­нечной системы инерциальной является система отсчета, начало кото­рой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды.

При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Системы отсчета, в которых не выполняется первый закон Ньютона, называются неинерциальными.Неинерциальными будут системы, движущиеся с ускорением, или вращающиеся.

Второй закон (основной закон динамики)  гласит:произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы (рис.1).

Динамика движения системы связанных тел

Рис.1. Второй закон Ньтона

Математически этот закон выражается векторным равенством.

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость  ma = F.       

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета.

 Из этого закона непо­средственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса кото­рой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот.

Известно, что вес тела и ускорение его свободного падения пустоте существенно зависят от места земной поверхности. В данной точке земли ускорение свободного падения всех тел одинаково и обозначается буквой g.

Экспериментально установлено, что отношение веса Р тела к ускорению его свободного падения g есть постоянная величина, не зависящая от места наблюдения. Это отношение m = P/g также определяет массу тела.

Таким образом, различают тяжелую массу m1 = P/g и инертную массу m2 = F/a. В классической механике считается, что m1=m2=m.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т.е. равнодействую­щей, равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражаю­щее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

 или .

Из второго закона также получим размерность силы: 1Н=1 кг∙1 м/с2.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между мате­риальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две ма­териальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны (рис.2).    

Динамика движения системы связанных тел

Рис.2. Третий закон Ньтона

Заметим, что силы взаимодействия между свободными материаль­ными точками (или телами), как приложенные к разным объектам, не образуют уравновешенной системы.

Проведём небольшой эксперимент. Попробуем перемещать тяжёлое тело по некоторой криволинейной траектории. Сразу обнаружим, что тело сопротивляется изменению направления движения, изменению скорости. Возникает сила со стороны тела, противодействующая силе , той, которую мы прикладываем к нему.

Эту силу, с которой материальная точка сопротивляется изменению своего движения, будем называть силой инерции этой точки — . По третьему закону она равна и противоположна действующей на точку силе, . Но на основании второй аксиомы . Поэтому .

  1. Итак, сила инерции материальной точки по величине равна произведению её массы на ускорение   Fин=ma.
  2. И направлена эта сила инерции в сторону противоположную вектору ускорения.
  3. Например, при движении точки по кривой линии ускорение . Поэтому сила инерции
  4. Динамика движения системы связанных тел.
  5. То есть её можно находить как сумму двух сил: нормальной силы инерции и касательной силы инерции.
  6. Динамика движения системы связанных тел

Рис.3. Сила инерции

Причём    Динамика движения системы связанных тел

Необходимо заметить, что сила инерции материальной точки, как сила противодействия, приложена не к точке, а к тому телу, которое изменяет её движение. Это очень важно помнить.

Третий закон динамики, как устанавливающий характер взаимодей­ствия материальных частиц, играет большую роль в динамике системы.

Четвертый закон (закон независимого действия сил). При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия  других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

  • Динамика движения системы связанных тел
  • Законы Ньютона в классической механике применимы для описания движения
  • а) макротел; 
  • б) для тел постоянной массы; 
  • в) при скоростях, значительно меньших скорости света.

§3. Силы в природе.

В природе существует много разных видов сил: тяготения, тяжести, Лоренца, Ампера, взаимодействия неподвижных зарядов и т.д., но все они в конечном счете сводятся к небольшому числу фундаментальных (основных) взаимодействий. Современная физика считает, что существует в природе лишь четыре вида сил или четыре вида взаимодействий:

  1. 1) гравитационное взаимодействие (осуществляется через гравитационные поля);
  2. 2) электромагнитное взаимодействие (осуществляется через электромагнитные поля);
  3. 3) ядерное (или сильное) (обеспечивает связь частиц в ядре);
  4. 4) слабое (отвечает за процессы распада элементарных частиц).
  5. В рамках классической механики имеют дело с гравитационными и электромагнитными силами, а также с упругими силами и силами трения.
  6. Гравитационные силы(силы тяготения) – это силы притяжения, которые подчиняются закону всемирного тяготения.

Сила тяжести– сила, с которой тело притягивается Землей. Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением , называемым ускорением свободного падения. По второму закону Ньютона, на всякое тело действует сила: , называемая силой тяжести.

Вес  сила, с которой тело, притягиваясь к Земле, действует на подвес или опору.

Сила тяжести  равна весу только в том случае, когда опора или подвес неподвижны относительно Земли. По модулю вес  может быть как больше, так и меньше силы тяжести . Эти силы приложены к разным телам:  – приложена к самому телу,   – к подвесу или опоре, ограничивающим свободное движение тела в поле земного тяготения.

В случае ускоренного движения опоры (например, лифта, везущего груз) уравнение движения (с учетом того, что сила реакции опоры равна по величине весу, но имеет противоположный знак ): Динамика движения системы связанных тел. Если движение происходит вверх P=m(g+a), вниз: P=m(g-a).

При свободном падении тела его вес равен нулю, т.е. оно находится в состоянии невесомости.

Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией. Упругая (квазиупругая) сила пропорциональна смещению частицы из положения равновесия и направлена к положению равновесия: .

Силы трения являются одним из проявлений контактного взаимодействия тел, в частности сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого:  и направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению данного тела относительно другого.

Упругие силы и силы трения определяются характером взаимодействия между молекулами вещества, которое имеет электромагнитное происхождение, следовательно они по своей природе имеют электромагнитные происхождения.

Гравитационные и электромагнитные силы являются фундаментальными – их нельзя свести к другим, более простым силам. Упругие силы и силы трения не являются фундаментальными.

Фундаментальные взаимодействия отличаются простотой и точностью законов.

§4.  Силы трения.

Трение является одним из проявлений контактного взаимодействия тел. Трение различают двух видов: внешнее и внутреннее.

Силы внешнего трения возникают на поверхности контакта двух тел. Внутреннее трение – это тангенциальное взаимодействие между слоями одного и того же тела. Если сила трения возникает при движении твердого тела в жидкой или газообразной среде, то ее относят к силам внутреннего трения.

Трение между поверхностями твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки или смазки называется сухим. Трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды называется вязким или жидким.

Рассмотрим сухое трение. Различают три его вида: трение покоя, трение скольжения и трение качения.

а) Сила трения покоя – это сила, действующая между соприкасающимися телами, находящимися в состоянии покоя, равная по величине и противоположно направленная силе, понуждающей тело к движению.

Силу трения покоя, равную по модулю внешней силе, при которой начинается скольжение данного тела по поверхности другого, называют максимальной силой трения покоя.

Французские физики Г.Амонтон и Ш.Кулон установили, что: максимальная сила трения покоя пропорциональна силе реакции опоры (нормального давления) и не зависит от площади соприкосновения трущихся тел:  F=µN

где μ – коэффициент трения покоя, зависит от физической природы соприкасающихся тел и обработки их поверхностей,

б) Трение скольжения. Если к телу приложить внешнюю силу, превышающую , то тело начинает скользить. Сила трения продолжает существовать и называется силой трения скольжения.

Силы трения скольжения действуют вдоль поверхности контакта двух тел. Они приложены к обеим трущимся поверхностям в соответствии с третьим законом Ньютона. Модуль силы трения скольжения зависит от материала тел, состояния поверхностей и от относительной скорости движения тел. 

в) Трение качения. При качении тела по поверхности другого возникает особая сила – сила трения качения, которая препятствует качению тела. Сила терния качения при тех же материалах соприкасаемых тел всегда меньше силы терния скольжения. Этим пользуются на практике, заменяя подшипники скольжения шариковыми или роликовыми подшипниками. 

Источник: https://www.sites.google.com/site/tehmehprimizt/lekcii/teoreticeskaa-mehanika/dinamika/aksiomy-dinamiki

Метод компьютерного моделирования динамики систем связанных твёрдых тел

1 Шимановский В.А. 1 1 ФГБОУ ВО «Пермский государственный национальный исследовательский университет»
Работа посвящена разработке методов компьютерного моделирования динамики сложных механических систем.

В статье представлен новый алгоритм разрешения уравнений движения систем абсолютно твердых тел со структурой дерева относительно ускорений, ориентированный на использование ЭВМ. Алгоритм основан на применении схемы Холецкого для решения системы дифференциально-алгебраических уравнений движения.

Получены рекуррентные формулы для определения всех кинематических и динамических переменных, входящих в уравнения. Вычислительная сложность решения системы уравнений с помощью данного алгоритма растёт по линейному закону в зависимости от числа тел в механической системе. Проведено сравнение предлагаемого алгоритма с классическим методом А. Ф. Верещагина.

На примерах интегрирования уравнений движения систем тел с большим числом степеней свободы показано преимущество разработанного алгоритма перед классическим методом.

математическое моделирование
1. Иванов В.Н., Домбровский И.В., Набоков Ф.В. и др.

Классификация моделей систем твердых тел, используемых в численных расчетах динамического поведения машиностроительных конструкций // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. – 2012. – № 2. – С. 139–155.
2. Wittenburg J. Dynamics of Multibody Systems. Berlin: Springer-Verlag, 2008. – 223 p.
3. Shabana A.A. Dynamics of Multibody Systems.

Cambridge University Press, 2005. – 385 p.
4. Шимановский В.А., Иванов В.Н. Методы составления уравнений движения систем связанных твердых тел в декартовых координатах // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. – 2007. – Вып. 39. – С. 248–262.
5. Верещагин A.Ф. Метод моделирования на ЦВМ динамики сложных механизмов роботов-манипуляторов // Изв.

АН СССР. Техническая кибернетика. – 1974. – № 6. – С. 89–94.
6. Golub G.H., Van Loan C.F. Matrix Computations // The Johns Hopkins University Press. – 2012. – 790 p.
7. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving ordinary differential equations I. Nonstiff Problems // Springer-Verlag. – 2011. – 528 p.

Компьютерное моделирование динамического поведения сложных технических устройств – мощное средство выявления рациональной кинематической схемы и эффективных алгоритмов управления проектируемых механизмов. Часто только с помощью моделирования можно получить ответы на вопросы, возникающие на всех этапах разработки, испытаний технических устройств, а также в процессе их эксплуатации. Компьютерное моделирование позволяет сократить время и стоимость новых разработок.

На стадии проектирования в качестве математической модели технического устройства часто используют систему связанных абсолютно твёрдых тел.

Разнообразие возможных конструкций, сложность математического описания движения многосвязной системы делают актуальным создание системы автоматизированного составления математической модели и компьютерного моделирования функционирования механической системы с заданной кинематической схемой.

Использование для этих целей классических подходов теоретической механики (например, уравнений движения в форме Лагранжа второго рода) приводит к созданию программ моделирования, требующих значительной оперативной памяти и высокого быстродействия ЭВМ.

В статье предлагается метод моделирования на ЭВМ динамики голономных механических систем большой размерности, расчётная схема которых может быть представлена в виде связки абсолютно твёрдых тел со структурой дерева, без явного формирования уравнений движения в виде системы дифференциальных уравнений.

Уравнения движения системы связанных твёрдых тел

Рассмотрим систему связанных абсолютно твёрдых тел со структурой дерева. Способы соединения тел определяются уравнениями связи. Будем предполагать, что кинематические связи, реализуемые в соединениях, голономны и идеальны.

Для каждого соединения тел в соответствии с видом уравнений связи введём матрицу-столбец локальных обобщённых координат (ni ≤ 6). Тогда элементы матриц ρi и Gi будут являться в общем случае функциями времени и выбранных координат относительного движения. В качестве обобщённых параметров системы примем совокупность локальных обобщённых координат .

Принимая движение i-го тела за относительное, а предшествующего ему ki-го тела за переносное, можно записать рекуррентные формулы для вычисления скоростей и ускорений тел механической системы [1]:

Динамика движения системы связанных тел

где матрицы Ci имеют вид

Ai – матрицы локального касательного базиса многообразия относительного движения в i-м сочленении;  – матрицы-столбцы составляющих относительных скоростей тел системы, не зависящих от обобщённых скоростей ; а в матрицы-столбцы вошли все члены переносного, кориолисова и относительного ускорений. Здесь и далее символ «∼» используется для обозначения кососимметричной матрицы [2].

  • Обозначим через fi и μi главный вектор и главный момент активных сил, действующих на i-е тело. Уравнения движения выпишем в форме уравнений Ньютона – Эйлера для свободного твёрдого тела [3]:
  • (3)
  • со следующими матрицами
  • где mi – масса i-го тела, Ji – тензор инерции i-го тела в связанной с телом системе координат,  – радиус-вектор центра масс i-го тела в связанной с ним системе координат, Ri – матрица-столбец реакции связей в i-м сочленении, .
  • Уравнения (2) и (3) замыкаются соотношениями
  • (4)

отражающими то обстоятельство, что при идеальности связей в сочленениях реакции являются ортогональными к конфигурационному многообразию относительных положений, определяемому параметрами qi. Таким образом, получается замкнутая система 12N + n скалярных дифференциальных и алгебраических уравнений (2)–(4) относительно такого же количества неизвестных величин wi, Ri и .

При интегрировании уравнений движения на ЭВМ численными методами необходимо на каждом шаге один или несколько раз вычислять ускорения при заданных координатах q и скоростях . В нашем случае определение ускорений сводится к простой алгебраической задаче решения системы линейных уравнений (2)–(4) с учётом соотношений (1).

  1. Запишем систему уравнений (2)–(4) в виде единого матричного уравнения. Для системы тел, имеющей структуру цепочки, оно будет иметь следующий вид:
  2. (5)
  3. где
  4. Нетрудно видеть, что матрица системы (5) является симметричной и имеет блочную трёхдиагональную структуру, которую можно эффективно использовать.
  5. Разрешение уравнений движения методом прогонки

Метод прогонки тел по существу является модификацией метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с ленточной структурой.

В данном методе при прямом ходе, который выполняется начиная с последнего тела системы, из группы уравнений (3) исключаются реакции связей носимых тел.

При обратном ходе по явным формулам вычисляются последовательно для каждого тела системы обобщённые ускорения , декартовые ускорения wi и реакции связей Ri.

  • Суть метода подробно изложена в статье [4]. Здесь же приведём только алгоритм метода прогонки, обобщённый на случай систем тел со структурой дерева:
  • for i = N:1
  • end
  • for i = 1: N
  • end
Читайте также:  Формула гидроксида калия в химии

Трудоёмкость вычислений по указанным рекуррентным формулам линейно растёт с ростом числа тел в системе.

При этом в алгоритме требуется обращение симметричных положительно определённых матриц , порядок которых равен числу степеней свободы в i-м сочленении, т.е. не превышает шести.

Этим и обуславливается высокая эффективность описанного выше алгоритма разрешения уравнений движения относительно ускорений.

Впервые подобные формулы были получены А.Ф. Верещагиным в 1974 г. [5] для пространственных механизмов, содержащих ряд звеньев, соединённых в цепь с одной степенью подвижности между звеньями.

Разрешение уравнений движения с помощью блочного LTDL-разложения

Идея исключения Гаусса – это преобразование исходной системы уравнений в эквивалентную треугольную систему с последующим её решением. В матричном виде это есть LU-разложение [6]. В случае симметричной матрицы системы уравнений (5) лучше использовать LTDL-разложение. Заметим, что при разложении ленточных систем треугольные множители L также являются ленточными.

  1. Первый шаг алгоритма блочного LTDL-разложения, применённого к блочной трёхдиагональной матрице системы (5), можно записать в виде
  2. со следующими матрицами
  3. где и  – факторы Холецкого симметричных положительно определённых матриц VN и соответственно, матрица VN находится из матричного уравнения , а матрица вычисляется по формуле .
  4. Нетрудно видеть, что матрица имеет ту же структуру, что и матрица DN, и, следовательно, процесс разложения матрицы на множители можно продолжить:
  5. где
  6. После того как матрица коэффициентов системы уравнений (5) разложена на произведение треугольных матриц, для нахождения решения этой системы необходимо последовательно решить две системы уравнений с треугольными матрицами:
  7. (6)
  8. (7)
  9. где
  10. , ,
  11. ,
  12. .
  13. Решая систему (6), начиная с последнего уравнения, получим
  14. где .
  15. Решая систему (7) и исключая переменные zi, yi, получим
  16. Обобщая полученные формулы на случай системы твёрдых тел со структурой дерева, можно записать следующий алгоритм решения расширенной системы уравнений (2)–(4):
  17. for i = N:1
  18. Найти фактор Холецкого матрицы
  19. end
  20. for i = 1: N
  21. end

Нетрудно видеть, что в полученном алгоритме, как и в алгоритме, основанном на методе прогонки, трудоёмкость вычислений растёт линейно с ростом числа тел в системе, но вместо обращения матриц обращаются их факторы Холецкого, которые являются треугольными матрицами. Поэтому трудоёмкость разрешения уравнений движения относительно обобщённых ускорений полученным алгоритмом оказывается ниже, чем в методе А.Ф. Верещагина.

Сравнение методов по эффективности

Приступая к сравнению рассмотренных выше методов разрешения системы дифференциально-алгебраических уравнений движения относительно ускорений, заметим, что метод прогонки неявно вычисляет LU-разложение матрицы системы. Это разложение не учитывает симметричность матрицы системы и, как известно, по числу арифметических операций практически в два раза уступает методу Холецкого, учитывающего эту особенность матрицы.

При численном интегрировании дифференциальных уравнений движения механических систем вычислительные затраты можно разделить на затраты собственно метода интегрирования и на затраты, связанные с вычислением правых частей.

Вычисление правых частей системы уравнений, то есть фактически вычисление обобщённых ускорений, можно разделить на две подзадачи. Первая – по известным обобщённым координатам и скоростям вычисляются скорости тел и силы, действующие на них.

Вторая – разрешение уравнений движения относительно обобщённых ускорений.

Сравнение алгоритмов разрешения уравнений движения проводилось с помощью компьютерного моделирования динамики механических систем, представляющих собой цепочки твёрдых тел, соединённых трёхстепенными шаровыми шарнирами.

При сравнении варьировалось число тел в цепочке. Дифференциальные уравнения решались методом Штёрмера [7] с порядком аппроксимации равным шести.

Эффективность методов измерялась временем выполнения одного шага этого численного метода.

На рис. 1 и 2 представлены зависимости затрат времени на выполнение одного шага интегрирования от числа тел в цепочке для рассматриваемых методов разрешения уравнений движения.

а) б)

Рис. 1. Зависимость затрат времени на выполнение одного шага интегрирования от числа тел в цепочке для рассматриваемых методов разрешения уравнений движения

Рис. 2. График отношения T1/T2

Анализ этих зависимостей подтверждает теоретические расчёты. Видно, что затраты времени растут линейно от числа тел в системе. Причём затраты времени на разрешение уравнений движения относительно ускорений занимают львиную долю всех временных затрат.

Для сравнительной оценки эффективности методов построим график отношения T1/T2 (рис. 2), где T1 и T2 – временные затраты на разрешение уравнений движения методом прогонки и методом LTDL-разложения соответственно.

Нетрудно видеть, что метод, основанный на симметричном LTDL-разложении, эффективнее метода прогонки, не учитывающего особенности уравнений движения системы тел. Из рис. 3 видно, что алгоритм LTDL-разложения в 1,6–2 раза сокращает временные затраты на разрешение уравнений движения по отношению к методу прогонки.

Заключение

Предложен новый рекуррентный алгоритм разрешения уравнений движения систем связанных твёрдых тел со структурой дерева относительно ускорений при их численном интегрировании.

Проведено сравнение предложенного алгоритма с классическим алгоритмом метода прогонки А.Ф. Верещагина, имеющим тот же порядок вычислительной сложности.

На примерах моделирования механических систем с различным числом степеней свободы показано, что предложенный алгоритм быстрее классического более чем в полтора раза.

Библиографическая ссылка

Шимановский В.А. Метод компьютерного моделирования динамики систем связанных твёрдых тел // Фундаментальные исследования. – 2017. – № 8-1. – С. 104-109;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=41629 (дата обращения: 01.04.2020).

Источник: https://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=41629

Динамика системы тел. Основные теоремы и понятия

Общие теоремы динамики системы тел. Теоремы о движении центра масс, об изменении количества движения, об изменении главного момента количества движения, об изменении кинетической энергии. Принципы Даламбера, и возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа.

Общие теоремы динамики – это теорема о движении центра масс механической системы, теорема об изменении количества движения, теорема об изменении главного момента количества движения (кинетического момента) и теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема о движении центра масс механической системы

  • Теорема о движении центра масс. Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:
  • .
  • Здесь M – масса системы: ; aC – ускорение центра масс системы: ; vC – скорость центра масс системы: ; rC – радиус вектор (координаты) центра масс системы: ; – координаты (относительно неподвижного центра) и массы точек, из которых состоит система.

Теорема об изменении количества движения (импульса)

  1. Количество движения (импульс) системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс или сумме количества движения (сумме импульсов) отдельных точек или частей, составляющих систему: .
  2. Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме.

    Производная по времени от количества движения (импульса) системы равна векторной сумме всех действующих на систему внешних сил:

  3. .
  4. Теорема об изменении количества движения в интегральной форме.

    Изменение количества движения (импульса) системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени:

  5. .

Закон сохранения количества движения (импульса).

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Если сумма проекций внешних сил на какую либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось будет постоянной.

Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов)

Главным моментом количества движения системы относительно данного центра O называется величина   , равная векторной сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра: . Здесь квадратные скобки обозначают векторное произведение.

Закрепленные системы

Следующая ниже теорема относится к случаю, когда механическая система имеет неподвижную точку или ось, которая закреплена относительно инерциальной системы отсчета. Например тело, закрепленное сферическим подшипником.

Или система тел, совершающая движение вокруг неподвижного центра. Это также может быть неподвижная ось, вокруг которой вращается тело или система тел.

В этом случае, под моментами следует понимать моменты импульса и сил относительно закрепленной оси.

Теорема об изменении главного момента количества движения (теорема моментов) Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно некоторого неподвижного центра O равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Закон сохранения главного момента количества движения ( момента импульса). Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно данного неподвижного центра O равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Если сумма моментов внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равна нулю, то момент количества движения системы относительно этой оси будет постоянным.

Произвольные системы

Следующая далее теорема имеет универсальный характер. Она применима как к закрепленным системам, так и к свободно движущимся. В случае закрепленных систем нужно учитывать реакции связей в закрепленных точках. Она отличается от предыдущей теоремы тем, что вместо закрепленной точки O можно выбрать произвольную точку C.

Теорема моментов относительно произвольного центра. Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно произвольного центра C равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

На практике, для свободного твердого тела, в качестве точки C следует выбирать его центр масс. В этом случае момент импульса наиболее просто выражается через главные моменты инерции тела и компоненты угловой скорости. В противном случае мы все равно придем к тем же уравнениям, но более сложным путем.

Закон сохранения момента импульса. Если сумма моментов всех приложенных к системе внешних сил относительно точки C равна нулю, то главный момент количества движения системы относительно этого центра будет постоянным. То есть все его проекции на оси координат будут сохранять постоянные значения.

Момент инерции тела

Если тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью ωz, то его момент количества движения (кинетический момент) относительно оси z определяется по формуле: Lz = Jz ωz, где Jz – момент инерции тела относительно оси z.

Момент инерции тела относительно оси z определяется по формуле: , где hk – расстояние от точки массой mk до оси z. Для тонкого кольца массы M и радиуса R или цилиндра, масса которого распределена по его ободу, Jz = M R2. Для сплошного однородного кольца или цилиндра,

.

Теорема Штейнера-Гюйгенса. Пусть Cz – ось, проходящая через центр масс тела, Oz – параллельная ей ось. Тогда моменты инерции тела относительно этих осей связаны соотношением: JOz = JCz + M a2, где M – масса тела; a – расстояние между осями.

В более общем случае: , где     – тензор инерции тела. Здесь     – вектор, проведенный из центра масс тела в точку с массой mk.

Теорема об изменении кинетической энергии

Пусть тело массы M совершает поступательное и вращательное движение с угловой скоростью ω вокруг некоторой оси z.

Тогда кинетическая энергия тела определяется по формуле: , где vC – скорость движения центра масс тела; JCz – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси вращения.

Направление оси вращения может меняться со временем. Указанная формула дает мгновенное значение кинетической энергии.

  • Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Дифференциал (приращение) кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме дифференциалов работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
  • .
  • Теорема об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме. Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил:
  • .
  • См. Пример решения задачи >>>
  • Работа, которую совершает сила   , равна скалярному произведению векторов силы и бесконечно малому перемещению точки ее приложения : , то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними.
  • Работа, которую совершает момент сил   , равна скалярному произведению векторов момента и бесконечно малого угла поворота : .

Принцип Даламбера

Суть принципа Даламбера состоит в том, чтобы задачи динамики свести к задачам статики. Для этого предполагают (или это заранее известно), что тела системы имеют определенные (угловые) ускорения.

Далее вводят силы инерции и (или) моменты сил инерции, которые равны по величине и обратные по направлению силам и моментам сил, которые по законам механики создавали бы заданные ускорения или угловые ускорения

Рассмотрим пример. Путь тело совершает поступательное движение и на него действуют внешние силы   . Далее мы предполагаем, что эти силы создают ускорение центра масс системы   . По теореме о движении центра масс, центр масс тела имел бы такое же ускорение, если бы на тело действовала сила . Далее мы вводим силу инерции: . После этого задача динамики:

.

Превращается в задачу статики:

;

.

Для вращательного движения поступают аналогичным образом. Пусть тело вращается вокруг оси z и на него действуют внешние моменты сил M ezk. Мы предполагаем, что эти моменты создают угловое ускорение εz. Далее мы вводим момент сил инерции M И = – Jz εz. После этого задача динамики: . Превращается в задачу статики:

;

.

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений применяется для решений задач статики. В некоторых задачах, он дает более короткое решение, чем составление уравнений равновесия. Особенно это касается систем со связями (например, системы тел, соединенные нитями и блоками), состоящих из множества тел

Принцип возможных перемещений. Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Возможное перемещение системы – это малое перемещение, при котором не нарушаются связи, наложенные на систему.

Идеальные связи – это связи, которые не совершают работы при перемещении системы. Точнее, сумма работ, совершаемая самими связями при перемещении системы равна нулю.

Общее уравнение динамики (принцип Даламбера — Лагранжа)

Принцип Даламбера — Лагранжа – это объединение принцип Даламбера с принципом возможных перемещений. То есть, при решении задачи динамики, мы вводим силы инерции и сводим задачу к задаче статики, которую решаем с помощью принципа возможных перемещений.

Принцип Даламбера — Лагранжа. При движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:

.

Это уравнение называют общим уравнением динамики.

См. Пример решения задачи >>>

Уравнения Лагранжа

Обобщенные координаты q1, q2 , …, qn – это совокупность n величин, которые однозначно определяют положение системы.

Число обобщенных координат n совпадает с числом степеней свободы системы.

Обобщенные скорости   – это производные от обобщенных координат по времени t.

Обобщенные силы Q1, Q2 , …, Qn. Рассмотрим возможное перемещение системы, при котором координата qk получит перемещение δqk. Остальные координаты остаются неизменными. Пусть δAk – это работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении. Тогда δAk = Qk δqk, или .

Если, при возможном перемещении системы, изменяются все координаты, то работа, совершаемая внешними силами при таком перемещении, имеет вид: δA = Q1 δq1 + Q2 δq2 + … + Qn δqn. Тогда обобщенные силы являются частными производными от работы по перемещениям:

  1. .
  2. Для потенциальных сил с потенциалом Π, .
  3. Уравнения Лагранжа – это уравнения движения механической системы в обобщенных координатах:

Здесь T – кинетическая энергия. Она является функцией от обобщенных координат, скоростей и, возможно, времени.

Поэтому ее частная производная     также является функцией от обобщенных координат, скоростей и времени. Далее нужно учесть, что координаты и скорости являются функциями от времени.

Поэтому для нахождения полной производной по времени нужно применить правило дифференцирования сложной функции: .

Использованная литература: С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Источник: https://1cov-edu.ru/termeh/dinamika_tel/

Ссылка на основную публикацию