Интегралы в математике, основные понятия и определения

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции.

Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры.

Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в х.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Автор

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник: https://Zaochnik-com.ru/blog/integraly-dlya-chajnikov-kak-reshat-pravila-vychisleniya-obyasnenie/

Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников

Почему вы не знаете, как решать интегралы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

• вычисление площади фигуры.
• вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
• определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
• и др.

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

Метод исчерпывания для определения площади круга

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.

Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

• Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.
• Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».
• Пример решения неопределенного интеграла.

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Пример решения определенного интеграла

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Примеры вычисления интегралов

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.

Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/integraly-dlya-chajnikov-kak-reshat-primery-i-obyasnenie/

Понятие и свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов

Факт 1. Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F '(x)=f(x), то есть данная функция f(x) является производной от первообразной функции F(x)..

Например, функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x)' = (cos x).

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись

• ∫ 
• f(x)dx
• где знак ∫  называется знаком интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.

,

1. Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) , то
2. ∫ 
3. f(x)dx = F(x) +C
4. где C — произвольная постоянная (константа).

,                 (1)

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция — «быть дверью». А из чего сделана дверь? Из дерева.

Значит, множеством первообразных подынтегральной функции «быть дверью», то есть её неопределённым интегралом, является функция «быть деревом + С», где С — константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева.

Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции «сделана» из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную.

В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых «сделаны» эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов.

В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

Факт 2.

Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C, а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C, например, так: 5x³+С. Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x³+4 или 5x³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).

• Пример 1.Найти множество первообразных функции
• Решение. Для данной функции первообразной является функция
• так как

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если производная F(x) равна f(x), или, что одно и то же, дифференциал F(x) равен f(x) dx, т.е.

или

Следовательно, функция — первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

1. и вообще

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема (формальное изложение факта 2). Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + C , где С – произвольная постоянная.

В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

• Пример 2.  Найти множества первообразных функций:
• 1)
• 2)
• 3)

Решение. Находим множества первообразных функций, из которых «сделаны» данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3,  имеем

1. 3) Так как
2. то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f, а её произведение на дифференциал dx. Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

, ;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x, а во втором — как функция от z.

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F'(x). Значит, нужно найти такую функцию F(x), для которой F'(x)=f(x).

Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x). Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых.

y=F(x) — одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy.

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F'(x)=f(x), то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых, как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C.

Свойства неопределённого интеграла

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функции f(x) с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

Факт 7. Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

  (5)

Таблица основных неопределённых интегралов

Факт 8. Пользусь таблицей неопределённых интегралов, свойствами неопределённого интеграла и методами интегрирования, можно отыскать неопределённый интеграл любой функции.

• Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными интегралами:
• (6)
• (7)
• (8)
• (9)
• (10)
• (11)
• (12)
• (13)
• (14)
• (15)
• (16)
• (17)
• (18)
• (19)
• (20)
• (21)
• (22)
• (23)
• (24)
• (25)

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Интеграл

Продолжение темы «Интеграл»

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры Метод замены переменной в неопределённом интеграле Интегрирование подведением под знак дифференциала Метод интегрирования по частям Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегрирование тригонометрических функций Площадь плоской фигуры с помощью интеграла Объём тела вращения с помощью интеграла Вычисление двойных интегралов Длина дуги кривой с помощью интеграла Площадь поверхности вращения с помощью интеграла Определение работы силы с помощью интеграла

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/integral01.html

Определение определённого интеграла и его свойства

Пусть функция у = ƒ(x) определена и непрерывна на отрезке [а, b]. Разобьём отрезок [а, b] на n частей точками а = х0 < х1 < х2 < … < хn = b. Выберем на каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] произвольную точку ξi и обозначим через Δхi = хi — хi-1  длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции у = ƒ(x) на отрезке [а, b] называется сумма вида:

Определённым интегралом от функции у = ƒ(x) на отрезке [а, b] называется предел интегральной суммы при Δхi  —> 0, не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b] на части, ни от выбора точек ξi в них.

Обозначение:

где х — переменная интегрирования, а и b — нижний и верхний пределы интегрирования.

Теорема существования определённого интеграла: Если функция у = ƒ(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

Свойства определенного интеграла
Аддитивность по области интегрирования
Аддитивность по функции
Однородность
Интегрирование неравенств
Теорема «о среднем»
Перестановка пределов интегрирования
Производная от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования

Источник: https://infotables.ru/matematika/61-integralnoe-ischislenie-funktsij/600-opredeljonnyj-integral-opredelenie-i-svojstva

Статья на тему "Примеры применения интегралов в математике"

Примеры применения интегралов в математике

Задачу нахождения площади фигур люди ставили перед собой с древних времен, это связано с сугубо практическим характером. Вычисление площадей простейших фигур (прямоугольников, многоугольников, кругов) не составляет труда: надо в известные формулы подставить исходные данные.

А как быть, если фигура имеет сложные формы? Итак, задача: Дана фигура сложной формы. Вычислить её площадь. Например, в начальной школе учат использовать палетку: на фигуру накладывается клетчатая прозрачная бумага или плёнка (палетка), и подсчитывается количество квадратиков, попавших в фигуру.

В этой модели предполагается, что чем меньше клетки, тем точнее будет результат, независимо от того, каким образом наложить палетку на фигуру.

Задание:

Сколько места занимает фигура А на плоскости? Другими словами, какова ее площадь?

Ответ на этот вопрос мы можем дать лишь приблизительно, указав границы, в которых находится площадь фигуры А. Площадь фигуры больше 6 клеток, но меньше 16.

6 < S < 16

Внутри фигуры А расположены 6 целых клеток, а остальные 10 клеток входят в нее частично: иногда меньшая часть клеток, а иногда – большая. Поэтому всего в фигуре А содержится примерно…

• 6 + 10 : 2 = 6 + 5 = 11 ед.
• 6 < 11 < 16
• Площадь данной фигуры приблизительно 11 квадратных единиц.

Все это смогли вычислить благодаря тому, что фигура  А  была разбита на клетки. Если таких клеток нет, нужно самим расчертить фигуру на квадраты.

Чтобы ускорить работу, люди придумали приспособление для определения площади фигур – палетку.

Аналогично рассуждают, когда находят площадь такой фигуры, как криволинейная трапеция. В этом помогает понятие определенного интеграла и формула Ньютона – Лейбница.

Фигура ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции f(х), осью абсцисс и прямыми  х=а, х=b называется криволинейной трапецией. Отрезок [a; b] называют основанием криволинейной трапеции.

С помощью какого понятия вычисляют площадь криволинейной трапеции? (вычисление площади криволинейной трапеции сводиться к отысканию первообразной F(x) функции f(x), т.е. к интегрированию функции f(x)).

1. Что значит эта формула S = F(b)– F(a)? (вычисляется площадь криволинейной функции)
2. Что называют интегрированием? (операция нахождения первообразной)
3. Что называют интегралом? (Разность F(b) – F(a) называют интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] )
4. Прочитать формулу: a∫b f(x)dx = F(b) – F(a).
5. Как называют эту формулу? (Формула Ньютона-Лейбница,)
6. В честь кого названа эта формула? (в честь создателя дифференциального и интегрального исчисления)
7. Алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции

1. Построить графики функций

2. Спроецировать точки пересечения графиков на ось абсцисс

3. Заштриховать фигуру, полученную при пересечении графиков

4. Найти криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура.

5. Вычислить площадь

• Решим задачи на вычисление площади криволинейной трапеции:
• Задача 1.
• Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функцииy=, прямымиx= 1,x= 2 и осьюOX.
• Сначала изобразим криволинейную трапецию, заданную указанным образом. Построим график квадратичной функции;

Проведем прямые x= 1, x = 2 .

Затем, используя формулу Ньютона-Лейбница a ∫b f(x)dx = F(b) – F(a), найдем площадь фигуры:

S = 1 ∫2  =  │ =  — =  =  кв.ед.

1. Ответ: квадратных единиц.
2. Задача 2.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
4.  ,  
5. Построим графики данных функции:
6. Из чертежа видно, что верхний предел .

Но чему равен нижний предел? Это не целое число, но какое?

• Найдем точки пересечения прямой  и параболы .
• Для этого решаем уравнение:, 
• .
• Ответ:8/27 квадратных единиц.
• Задача 3.
• Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=2х+1 и у=-2.
• Решение:
• Выполним чертеж:
• 

Ответ: кв.ед.

Это статья поможет систематизировать материал по нахождению площади криволинейной трапеции.

Источник: https://infourok.ru/statya-na-temu-primeri-primeneniya-integralov-v-matematike-3836014.html

Первообразная. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Таблица интегралов. Примеры решения задач

Справочник по математике

Элементы математического анализа

Интегралы

•       Определение 1. Функцию   F (x) ,   определенную на интервале   (a, b),   называют первообразной функции   f (x) ,   определенной на интервале   (a, b),   если для каждого выполнено равенство
• F' (x) = f (x) .
•       Например, из справедливости равенства
• (sin 2x)' = 2 cos 2x
• вытекает, что функция   F (x) = sin 2x   является первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x .

      Замечание. Функция   F (x) = sin 2x   не является единственной первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x ,   поскольку функция   F (x) = sin 2x + 10 ,   или функция   F (x) = sin 2x – 3 ,   или функции вида   F (x) = sin 2x + c ,   где   c   – любое число, также являются первообразными функции   f (x) = 2 cos 2x .

1.       Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.
2.       Теорема 1. Если функция   F (x)   является первообразной функции   f (x)   на интервале   (a, b) ,   то любая другая первообразная функции   f (x)   на интервале   (a, b)   имеет вид
3. F (x) + с ,
4. где   c   – некоторое число.

Неопределенный интеграл

      Определение 2. Множество всех первообразных функции   f (x)   называют неопределенным интегралом от функции   f (x)   и обозначают

(1)

      Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции   f (x)   по   dx» .

      Если   F (x)   является первообразной   f (x) ,   то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

(2)

      Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде

(3)

• подразумевая, но не указывая специально, что   c   – любое число.
•       В формуле (3) функцию   f (x)   называют подынтегральной функцией, выражение   f (x) dx   нызывают подынтегральным выражением, а число   c   называют постоянной интегрирования.
•       Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

      Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

      Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

1. где   k   – любое число.
2.       Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.
3.       Правило 2 (интеграл от суммы функций). Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

      Правило 3 (интеграл от разности функций). Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.

      Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной). Из справедливости формулы

вытекает, что      

(4)

если все входящие в формулу (4) функции   f (φ (x)),   φ' (x),   F (φ (x))   определены.

      Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):

•       Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.
•       Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция   φ (x)   является линейной функцией, то есть
• φ (x) = kx + b ,
• что   k   и   b   – произвольные числа, .
•       В этом случае
• φ' (x) = k ,
• и формула (4) принимает вид

(5)

      Формула (5) часто используется при решении задач.

Таблица интегралов

      Следующая таблица неопределенных интегралов составлена на основе таблицы производных часто встречающихся функций, а также на основе таблицы производных сложных функций

Основная формула	Обобщения
, где   k – любое число
где   n – любое число, не равное   – 1	,где   n, k, b – любые числа, ,
где   n – любое число,
,   x > 0	,где   k, b – любые числа, , kx + b > 0
где   φ (x) > 0
,где   k, b – любые числа,
где   a – любое положительное число, не равное 1	,где  a – любое положительное число, не равное 1,   k, b – любые числа,
,где  a – любое положительное число, не равное 1
,где   k, b – любые числа,
,где   k, b – любые числа,
,где   k, b – любые числа, ,
,
,где   k, b – любые числа, ,
,
| x |  0
Основная формула: Обобщения: , где   k, b – любые числа, _____
Основная формула: , где   a – любое положительное число, не равное 1 . Обобщения: , где  a – любое положительное число, не равное 1,   k, b – любые числа, _____ , где  a – любое положительное число, не равное 1
Основная формула: Обобщения: , где   k, b – любые числа, _____
Основная формула: Обобщения: , где   k, b – любые числа, _____
Основная формула: где   Обобщения: , где   k, b – любые числа, , _____ , где
Основная формула: где   Обобщения: , где   k, b – любые числа, , _____ ,
Основная формула:   | x |

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/antiderivative.htm

Интеграл простыми словами

Интегралы начинают изучать еще в школе. Но никто из учителей не говорит, зачем это нужно, как использовать эти знания в жизни. Мало кто вообще способен объяснить простыми словами, что такое интеграл, даже в университете. А мы попробуем.

• Простое объяснение
• Зачем он нужен
• Примеры из жизни

Простыми словами…

Если коротко — интеграл, это сумма маленьких частей. Да, точно так же как и сложение 2+2, только части бесконечно маленькие, естественно и количество их — бесконечно.

Знак интеграла ∫ — это вытянутая буква s (длинная «эс» существовала до начала 19-ого века писалась так — ſ). Первая буква слова summa.

Интегрирование — это сложение бесконечного количества частей бесконечно маленького значения

Почему обычного «плюсования» не достаточно? Просто в алгебре нет никаких бесконечно малых или больших.

Бесконечно малая величина, это не какое-то конкретное число. Это абстракция, в реальном мире аналогов просто нет. Мы придумали так для удобства.  Что-то настолько маленькое, что измерять его бессмысленно, но в расчетах использовать можно.

Лучше всего показать «на пальцах», точнее на примере. Предположим, мы хотим узнать площадь фигуры как на картинке (она называется криволинейная трапеция, потому, что одна из сторон создана кривой линией). Зачем нам это нужно? Например, это часть крыла самолета и нужно знать его площадь.

Можно, конечно, разбить фигуру на две, прямоугольник и треугольник.

Но останется «пробел», площадь которого будет неизвестна. Чтобы увеличить точность, можно разделять на большее количество фигур, но все равно будет оставаться какая-то, пусть и небольшая, но «не закрашенная» область. Фигуры будут становиться все меньше и меньше… Очевидно, что процесс измельчения будет бесконечным, по крайней мере в воображении.

Но, в реальности, бесконечный процесс попросту не нужен. На самом деле вычислить такие вещи как площадь круга, длину диагонали квадрата или объем пирамиды невозможно, значение будет бесконечным, естественно, практического смысла бесконечные числа не имеют и мы их «округляем» до нужного предела точности — приблизительно.

Такой метод в Древней Греции назывался «исчерпание».

Аналогия с водой тут очень уместна, если представить, что черпаешь из ведра при помощи кружки, то сначала кружки будут полные, но чем ближе ко дну, тем меньший объем будет попадать в кружку.

Первой известной личностью «взявшей интеграл» был Архимед, он фактически решил задачу по нахождению площади круга и площади параболы ничего не зная ни про пределы, но даже про число «пи».

Чем больше будет фигур, тем больше будет и точность расчета и тем меньше будут сами фигурки. Если площадь маленьких фигурок будет бесконечно малой, то есть стремится к нулю (но не равняться ему), сумма всех этих площадей будет равна сумме большой фигуры с бесконечно большой точностью.

То же самое происходит при интегрировании:

Фигура на картинке разбивается на столбцы бесконечно маленькой ширины. Ширина у нас Х. Бесконечно малое число обозначается d. То есть dx — это бесконечно малый «икс».

Сложение бесконечного числа частей бесконечно маленького размера это и есть интегрирование.

Чтобы узнать площадь фигуры нужна еще высота, а это y. Высота везде не одинаковая, она постоянно меняется. И мы знаем как именно! Ведь кривая может быть (а может и не быть, но в нашем случае так и есть) функцией y=f(x), то есть значение у меняется по закону (буква f об этом говорит) зависимому от х. Поэтому «эф от икс». Значит высота это f(x). Функция, кстати, тоже бесконечная.

Высота конкретного прямоугольничка, это значение функции в этой конкретной точке (почему точке, потому, что ширина полоски у нас бесконечно маленькая, мы так договорились в самом начале).

Площадь, это высота умноженная на ширину. За высоту можем брать и y и f(x), они равны. За ширину у нас играет dx. Итак, момент истины:

f(x)*dx или f(x)dx

f(x)dx — площадь нашего маленького столбика. В если собрать из все вместе, будет сумма бесконечно маленьких столбиков.

∫ f(x)dx

Осталось только указать, что интересуемся мы конкретным значением. Наша кривая, это часть параболы f(x)=x2.

∫ x2dx

А площадь нужна не бесконечной фигуры, а той что начинается от 1 и закачивается на 5. Если написать эти цифры над и под значком интеграла, получится определенный интеграл.

Собственно и все, интеграл — это сумма бесконечно малых приращений (то есть значений) какой-то функции. Не сложно и не страшно, если не усложнять.

Что мы делаем? Разрезаем фигуру на «ленточки» изменяем площадь этих ленточек и собираем все обратно (суммируем).

Интересно, везде идет речь о сумме, а площадь считается умножением. Парадокс? Нет, умножение это ведь то же самое, что и сложение: 2+2+2+2=2*4. То же самое происходит и с площадью. Чтобы выяснить какова площадь прямоугольника со сторонами 5 и 4, перемножаем 5 на 4, или разделяем прямоугольник на 5 полосок шириной в «единицу» и складываем 4+4+4+4+4=5*4=20.

Никакого противоречия здесь нет. Вот только умножение работает в случае одинаковых величин, простых фигур или прямолинейного движения без ускорения. В остальных случаях — интегрирование.

Зачем нужен интеграл

Из примера выше уже понято, что одна из полезных задач интегрирования — это расчет площади криволинейных фигур. В любой сложной ситуации, если сложность эта заключается криволинейности или неравномерности мы используем интеграл.

Источник: https://interesnye-istorii.in.ua/integral-simple-words/

Первообразная. Неопределённый и определённый интегралы

Первообразная

Определение. Непрерывная функция F(x) называется первообразной функции f(x), если на промежутке X, если для каждого .

• Операция нахождения первообразной функции f(x), называется интегрированием.
• Неопределенный интеграл
• Неопределённый интеграл-это совокупность всех первообразных функции f(x). В общем случае, нахождение неопределённого интеграла выглядит следующим образом:

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал,  C-константа интегрирования. Неопределённый интеграл представляет собой, как бы, «пучок» первообразных, из-за наличия постоянной интегрирования.

1. Дифференциал-произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины.
2. Свойства неопределённого интеграла
4. Таблица основных неопределённых интегралов
5. В виде
6. ,
7.  где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал,  C-константа интегрирования. 
9. Определённый интеграл
10. Определенный интеграл— Приращение одной из первообразных функции f(x) на отрезке [a;b]. 
11. Общий вид определённого интеграла: 
12. где  f(x)–подынтегральная функция, a и b-пределы интегрирования, dx-дифференциал

Свойства определённого интеграла: см. св-ва определённого интеграла.

•  Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона –Лейбница:
• Применение определённого интеграла:
• 1. Нахождение площади криволинейной трапеции

2. Нахождение величины скорости v по заданному закону ускорения a(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е 

Пример: Точка движется по закону ускорения a(t)=t+1. Найти величину ее скорости за промежуток времени [2;4] секунд.

Решение:

3. Нахождение пути S по закону изменения скорости v(t)  за промежуток времени [t1;t2], т.е. 

Пример: Найти путь, который проделала материальная точка за промежуток  времени  [2;4], двигаясь со скоростью, которая изменялась по закону: v(t)=2t+2.

Решение: 

Стоит отметить, что, на сегодняшний день, интегральное и дифференциальное исчисление занимают лидирующие позиции в математике. Советую вам ознакомиться, более подробно, с широким применением интегралов в естествознании.

Источник: https://ya-znau.ru/znaniya/zn/116