Логарифмические уравнения, формулы и примеры

На данном уроке мы повторим основные теоретические факты о логарифмах и рассмотрим решение простейших логарифмических уравнений.

• Определение:
• Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
• Напомним основное логарифмическое тождество.
• Выражение  (выражение 1) является корнем уравнения  (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:
• Итак мы видим, что каждому значению  ставится в соответствие значение . Обозначим b за х (), с за у, и таким образом получаем логарифмическую функцию:

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Еще раз обратим внимание, здесь , т. к. под логарифмом может стоять строго положительное выражение,  как основание логарифма.

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

График функции  при  изображен черным цветом. Рис. 1. Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности.

График функции  при  изображен красным цветом. Рис. 1.

Свойства данной функции:

Функция монотонна на всей своей области определения. При  монотонно (строго) возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При  монотонно (строго) убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Свойства логарифмической функции являются ключом к решению разнообразных логарифмических уравнений.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение, все остальные логарифмические уравнения, как правило, сводятся к такому виду.

1. Поскольку равны основания логарифмов и сами логарифмы, равны и функции, стоящие под логарифмом, но мы должны не упустить область определения. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:
2. Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.
3. Таким образом, мы получили смешанную систему, в которой есть уравнение и неравенство:

• Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.
• Сформулируем метод решения простейших логарифмических уравнений:
• Уравнять основания логарифмов;
• Приравнять подлогарифмические функции;
• Выполнить проверку.
• Рассмотрим конкретные примеры.
• Пример 1 – решить уравнение:

Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства первый логарифм:

1. Найдем корень и подставим его в неравенство:
2. Ответ:
3. Пример 2 – решить уравнение:
4. Данное уравнение отличается от предыдущего тем, что основания логарифмов меньше единицы, но это никак не влияет на решение:
5. Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:
6. Найдем корень и подставим его в неравенство:
7. Получили неверное неравенство, значит, найденный корень не удовлетворяет ОДЗ.
8. Ответ:
9. Пример 3 – решить уравнение:
10. Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:
11. Найдем корень и подставим его в неравенство:
12. Очевидно, что только первый корень удовлетворяет ОДЗ.
13. Ответ:

Итак, мы приступили к изучению важной темы – решение логарифмических уравнений. Мы рассмотрели методику решения простейших уравнений и несколько примеров ее применения. Далее мы перейдем к изучению более сложных логарифмических уравнений.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Reshit.ru (Источник).
2. Egesdam.ru (Источник).
3. Math.md (Источник).

• Домашнее задание
• 1. Решить уравнение:
• а) ; б) ; в) ; г) ;
• 2. Решить уравнение:
• а) ; б) ;
• в) ; г) ;
• 3. Решить уравнение:
• а) ; б) ;
• в) ; г) ;

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/logarifmicheskie-uravneniya

Как решить логарифмическое уравнение: подробное объяснение

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

• Воспользуемся определением логарифма и получим:
• 2х + 3 = 32
• Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:
• 2х + 3 = 9
• 2х = 6
• х = 3

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 32 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

1. Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:
2. 2х + 3 = 32
3. 2х + 3 = 9
4. 2х = 6
5. х = 3
6. Ответ: х = 3

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

• Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:
• 3х – 5 = 4
• 3х = 9
• х = 3

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень.

Ответ: х = 1

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

1. Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!
2. Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3-1. Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Ответ: х = 4.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, logx+1(х2+5х-5) = 2.

Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.

Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения.

Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

• 1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:
• 2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:
• Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х2+5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1)2, которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х2+5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать.

Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0.

Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 32=9, то  последнее выражение верно.

Ответ: х = 2

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид loga (f(x)) = loga (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Источник: http://yourrepetitor.ru/kak-reshit-logarifmicheskoe-uravnenie/

Тема 11. "Логарифмические уравнения". — Познавательное

• При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции
• y=logax, a > 0, a 1:
• 1) Область определения:  x > 0;
• 2) Область значений:  yR;
• 3)  logax1=logax2x1=x2;

4) При a>1 функция y=logax возрастает, при 0 < a < 1 функция y=logax убывает при всех x > 0, т.е.

a >1  и logax1>logax2x1>x2,0 < a < 1 и logax1>logax2x1 < x2;

При переходах от логарифмических уравнений (неравенств) к уравнениям (неравенствам), не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения (неравенства).

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени.

В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями.Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.

) заданного уравнения, т.к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З.

Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

1. Примеры.
2. Решить уравнения:
3. a) log3(5х – 1) = 2.
4. Решение:
5. ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5.log3(5х– 1) = 2,log3(5х – 1) = log332,5х — 1 =9,
6. х = 2.
7. Ответ: 2.
8. б) log2(х – 5) + log2(х + 2) = 3.
9. Решение:

log2(х– 5) + log2(х + 2) = 3,log2((х– 5)(х + 2)) = log223,(х – 5)(х + 2) = 8,

х2 – 3х – 18 = 0,

х1 = 6 (5; +);х2= –3 (5; +),

• следовательно, х= -3 — посторонний корень.
• Ответ: 6.
• в) log2х – 2 logх2 = –1
• Решение:
• ОДЗ: x > 0, х ≠ 1
• Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Обозначим

Ответ: 

Источник: https://www.sites.google.com/site/matematikafizik/algebra/tema-11-logarifmiceskie-uravnenia

Методы решения логарифмических уравнений

• Алгебра 11 класс
• Тема: «Методы решения логарифмических уравнений»
• Цели урока:
• образовательная: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;
• развивающая: развитие умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля;
• воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательного восприятия материала на уроке, аккуратности ведения записей.
• Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».  Французский математик и астроном П.С. Лаплас

Ход урока

I. Постановка цели урока

Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.

Запишите в тетради тему урока: «Методы решения логарифмических уравнений». Приглашаю всех к сотрудничеству.

II. Актуализация опорных знаний

Подготовимся к изучению темы урока. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать. Работайте в парах.

1) При каких значениях х имеет смысл функция:

(По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки)

2) Совпадают ли графики функций?

б)  и 

3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:

1. 4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:
2. 4 =
3. — 2 =
4. 0,5 =
5. 1 =

6) Попытайтесь восстановить или дополнить недостающие элементы в данных равенствах.

III. Ознакомление с новым материалом

Демонстрируется на экране высказывание:

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». Современный польский математик С. Коваль

Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма).

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: logа x = b (где а>0, a ≠ 1 ). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Запишите заголовок: Методы решения логарифмических уравнений

1. По определению логарифма.

• Так решаются простейшие уравнения вида .
• Рассмотрим № 514(а): Решить уравнение 
• Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма)

Решение. , Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

Ответ: 4.

В этом задании 2х – 4 > 0, так как > 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать. Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Рассмотрим  №519(г): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).

1. При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.
2. Решение: ОДЗ:
3. X2+8>0 лишнее неравенство
4. log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)
5. log5(x2+8)= log5 (8 x+8)
6. Потенцируем исходное уравнение 
7. x2+8= 8 x+8
8. получим уравнение x2+8= 8x+8
9. Решаем его: x2-8x=0
10. х=0, х=8
11. Ответ: 0; 8
12. В общем виде переходом к равносильной системе:
13. Уравнение 
14. (Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).

Вопрос классу: Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).

Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной.

Рассмотрим № 520(г). .

Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x) Ваши предложения? (Ввести новую переменную)

Решение. ОДЗ: х > 0.

Пусть , тогда уравнение примет вид:. Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета:.

• Вернемся к замене: или .
• Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:
• ; .
• Ответ: 27; 

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

1. Решить уравнение:.
2. Решение: ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
3. . Применим свойство логарифма степени:
4. (lgx + 3) lgx =
5. (lgx + 3) lgx = 4
6. Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4
7. , (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.
8. Вернемся к замене, получим: lgx = -4,; lgx = 1, .
9. Ответ: 0,0001; 10.

5. Приведение к одному основанию.

№ 523(в). Решите уравнение: 

Решение: ОДЗ: х>0. Перейдем к основанию 3.

 или ;.

Ответ: 9.

6. Функционально-графический метод.

№ 509(г). Решить графически уравнение: = 3 – x.

Как вы предлагаете решать? (Строить по точкам графики двух функций у = log2x и y = 3 – x и искать абсциссу точек пересечения графиков).

Посмотрите ваше решение на слайде.

Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из функций у = f(x)возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х.

Если корень имеется, то его можно угадать.

В нашем случае функция возрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как .

Ответ: 2

«Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на различных примерах».

Датский историк математики Г. Г. Цейтен

• IV. Домашнее задание
• П. 39 рассмотреть пример 3, решить № 514(б), № 529(б), №520(б), №523(б)
• V. Подведение итогов урока
• Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?

На следующих уроках рассмотрим более сложные уравнения. Для их решения пригодятся изученные методы.

Демонстрируется последний слайд:

«Что есть больше всего на свете? Пространство. Что мудрее всего? Время. Что приятнее всего? Достичь желаемого».

Фалес

Желаю всем достичь желаемого. Благодарю за сотрудничество и понимание.

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/metodi_resheniya_logarifmicheskih_uravnenij_111354.html