Параметрические уравнения и их решение

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  • Задача 1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
  •     Параметрические уравнения и их решение
  • Относительно величины имеет ровно 89 решений на полуинтервале .

В этом задании сразу понятно, что имеем корень на каждом полукруге, то есть тригонометрическая функция должна иметь два корня на полном обороте, или на , то есть тангенс принимает единственное значение. Следовательно, квадратное уравнение должно иметь одно решение, а так будет, например, если . Проверяем эту версию.

  1.     Параметрические уравнения и их решение
  2.     Параметрические уравнения и их решение
  3.     Параметрические уравнения и их решение
  4. Таким образом, значения параметра и .
  5. Теперь эти значения параметра необходимо проверить: подставим их в исходное уравнение. Подставляем :
  6.     Параметрические уравнения и их решение
  7. Значение параметра подходит, подставим :
  8.     Параметрические уравнения и их решение
  9.     Параметрические уравнения и их решение
  10. Это значение тоже подошло, исходное уравнение будет иметь единственный корень.

Ситуация, когда у уравнения два отрицательных корня, не равных друг другу, нам тоже могла бы подходить. В этом случае мы получили бы два различных значения тангенса, что нас и устроило бы. Но здесь корни не получаются отрицательными, так как один из них – квадрат, поэтому этот вариант отпадает.

Параметрические уравнения и их решение

  • Задача 2. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
  •     Параметрические уравнения и их решение
  • Относительно переменной   имеет ровно 120 решений на полуинтервале  .

В данном случае на каждом обороте нужно иметь четыре решения, то есть функция тангенса будет принимать два значения. Следовательно, в этой задаче нам необходимо, чтобы дискриминант был положителен – только тогда квадратное уравнение будет иметь два корня.

  1.     Параметрические уравнения и их решение

Видим, что дискриминант положителен, так как представляет собой полный квадрат. Поэтому уравнение будет всегда иметь два корня, за исключением случая, когда он равен нулю. Поэтому найдем точки, которые обращают дискриминант в ноль, и просто исключим их из решения:

  • Снова вариант с двумя различными отрицательными корнями отпал.
  • Ответ: .
  • Задача 3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
  • относительно величины имеет ровно 43 решения на отрезке .
Читайте также:  Предельные углеводороды

Задача аналогична предыдущим. Предлагаю вам решить ее самостоятельно, а потом уже посмотреть решение.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  1. Решение.
  2. [spoiler]
  3. Тангенс должен принимать два значения, чтобы на каждом обороте было бы 4 корня. Поэтому дискриминант должен быть положителен:

Видим, что дискриминант положителен, так как представляет собой полный квадрат. Вариант с двумя различными отрицательными корнями отпал.Поэтому уравнение будет всегда иметь два корня, за исключением случая, когда он равен нулю. Поэтому найдем точки, которые обращают дискриминант в ноль, и просто исключим их из решения:

  • Ответ: .[spoiler]

Источник: https://easy-physic.ru/trigonometricheskie-uravneniya-s-parametrom/

Параметрические уравнения

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим.

Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр . На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений.

Мы рассмотрим модуль параметрического уравнения и решение простых параметрических уравнений.

  • Задача 1 Решите уравнения в отношении к $x$
    A) $x + a = 7$
    B) $2x + 8a = 4$
    C) $x + a = 2a – x$
    D) $ax = 5$
    E) $a – x = x + b$
  • F) $ax = 3a$
  • Решение:
  • A) $x + a = 7 Leftrightarrow x = 7 – a$, то есть решение к данному уравнению найдено.
    Для различных значений параметров, решения есть $x = 7 – a$
  • B) $2x + 8a = 4 Leftrightarrow 2x = 4 — 8a Leftrightarrow x = 2 – 4a$
  • C) $x + a = 2a – x Leftrightarrow x + x = 2a – a Leftrightarrow 2x = a Leftrightarrow x = frac{a}{2}$
  • D) $ax = 5$, когда а отличается от 0 мы можем разделить обе части на a и мы получим $x = 5$
    Если $a = 0$, мы получим уравнение, такое как $0.x = 5$, и которое не имеет решения;
  • E) $a – x = x + b Leftrightarrow a – b = x + x Leftrightarrow 2x = a – b Leftrightarrow x = frac{a-b}{2}$

F) Когда a = 0 уравнение ax = 3a равно 0.x = 0
Поэтому, любое x является решением. Если a отличается от 0, тогда

  1. $ax = 3a Leftrightarrow x = frac{3a}{a} Leftrightarrow x = 3$
  2. Задача 2 Если a является параметром, решите уравнение:
    A) $(a + 1)x = 2a + 3$
    B) $2a + x = ax + 4$
    C) $a^2x – x = a$
  3. D) $a^2x + x = a$
  4. Решение:
Читайте также:  Размеры рамки для чертежа а1

A) Если $a + 1$ отлично от 0, то есть.. $a
eq -1$, тогда $x = frac{2a+3}{a+1}$;
если $a + 1 = 0$, i.e. $a = — 1$
уравнение принимает вид $0cdot x = (2)cdot(-1) + 3 Leftrightarrow$

  • $0cdot x = 1$, что не имеет решения;
  • B) $2a + x = ax + 4 Leftrightarrow$ $x – ax = 4 — 2a Leftrightarrow$
    $(1 – a)cdot x = 2(2 – a)$ Если $(1 – a)
    eq 0$, то есть a $
    eq 1$; решение будет
    $x = frac{2(2 — a)}{(1 — a)}$; Если $a = 1$ уравнение примет вид $0cdot x = 2(2 — 1) Leftrightarrow$
  • $0cdot x = 2$, что не имеет решения
  • C) $a^2x – x = a Leftrightarrow$
    $x(a^2 -1) = a Leftrightarrow$
    $(a — 1)(a + 1)x = a$
    Если $a — 1
    eq 0$ и $a + 1
    eq 0$ то есть $a
    eq 1, -1$,
    решением есть is $x = frac{a}{(a — 1)(a + 1)}$
  • Если $a = 1$ or $a = -1$, уравнение принимает вид is $0cdot x = pm 1$, что не имеет решения
  • D) $a^2x + x = a Leftrightarrow$
    $(a^2 + 1)x = a$ В этом случае $a^2 + 1
    eq 0$ для любого $а$, потому что это есть сумма позитивного числа (1) и одного негативного числа
  • $(a^2 geq 0)$ поэтому $x = frac{a}{a^2 + 1}$
  • Задача 3 Если a and b являются параметрами, решите уравнения:
    A) $ax + b = 0$
    B) $ax + 2b = x$
    C) $(b — 1)y = 1 – a$
    D) $(b^2 + 1)y = a + 2$
  • Решение:

A) $ax + b = 0 Leftrightarrow ax = -b$
Если $a
eq 0$, тогда решение есть $x = -frac{b}{a}$.
Если $a = 0, b
eq 0$, уравнение принимает вид $0cdot x = -b$ и не имеет решения.

Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0cdot x = 0$ и любое $x$ является решением;

B) $ax + 2b = x Leftrightarrow ax – x = -2b Leftrightarrow (a — 1)x = -2b$
Если $a — 1
eq 0$, i.e. $a
eq 1$, решение есть is $x = -frac{2b}{a-1}$

  1. Если $a — 1 = 0$, то есть $a = 1$, и $b
    eq 0$, уравнение принимает вид $0cdot x = — 2b$ и не имеет решения
  2. C) Если $b — 1
    eq 0$, то есть $b
    eq 1$,
    решением есть $y = frac{1-a}{b-1}$
    Если $b — 1 = 0$, то есть $b = 1$, но $1 – a
    eq 0$,
    то есть $a
    eq 1$, уравнение принимает вид $0cdot y = 1 – a$ и не имеет решения.
  3. Если $b = 1$ и $a = 1$ уравнение принимает вид $0cdot y = 0$ и любое $y$ является решением

D) $b^2 + 1
eq 0$ для любого $b$(почему?), поэтому
$y = frac{a+2}{b^2}$ является решением уравнения.

  • Задача $4$ Для каких значений $x$ следующие выражения имеют равные значения :
    A) $5x + a$ и $3ax + 4$
    B) $2x — 2$ и $4x + 5a$
  • Решение:
  • Чтобы получить одинаковые значения мы должны найти решения уравнений
    $5x + a = 3ax + 4$ и $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 Leftrightarrow$
$5x — 3ax = 4 – a Leftrightarrow$
$(5 — 3a)x = 4 – a$ Если $5 — 3a
eq 0$, т.e. $a
eq frac{5}{3}$, решения есть $x = frac{4-a}{5-3a}$
Если $5 — 3a = 0$, т.e. $a = frac{5}{3}$, уравнение принимает вид $0cdot x = 4 – frac{5}{3} Leftrightarrow$

  1. $0cdot x = frac{7}{3}$, что не имеет решения
  2. B) $2x — 2 = 4x + 5a Leftrightarrow$
    $-2 — 5a = 4x — 2x Leftrightarrow$
    $2x = — 2 — 5a Leftrightarrow$
  3. $x = -frac{2+5a}{2}$
  4. Задача 5 Решите параметрическое уравнение:
    A) $|ax + 2| = 4$
    B) $|2x + 1| = 3a$
  5. C) $|ax + 2a| = 3$
  6. Решение:
  7. A) $|ax + 2| = 4 Leftrightarrow ax + 2 = 4$ или $ax + 2 = -4 Leftrightarrow$
    $ax = 2$ или $ax = — 6$
    Если $a
    eq 0$, уравнения примут вид $x = frac{2}{a}$ or $x = -frac{6}{a}$
  8. Если $a = 0$, уравнения не имею решения
  9. B) Если $a < 0$, уравнение $|2x + 1| = 3a$ не имеет решения. Если $a > 0$, это эквивалентно $2x + 1 = 3a$
    или $2x + 1 = -3a Leftrightarrow 2x = 3a — 1 Leftrightarrow x = frac{3a-1}{2}$ or
  10. $2x = -3a — 1 Leftrightarrow x = frac{3a-1}{2} = -frac{3a-1}{2}$
  11. C) $|ax + 2a| = 3 Leftrightarrow ax + 2a = 3$ или $ax + 2a = — 3$,
    и мы находим $ax = 3 — 2a$ или $ax = -3 — 2a$
    Если a = 0, тогда нет решений, если $a
    eq 0$
  12. решениями есть: $x = frac{3-2a}{a}$ и $x = -frac{3+2a}{a}$
  13. Задача 6 Решите уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где a и b являются действительными параметрами. Найдите, для каких значениях a уравнение имеет в качестве решения натуральное число, если $b = 7$
  14. Решение:

Представим данное уравнение в следующем виде: $(2a — 1)x = 2(b — 1)$
Возможны следующие варианты:
Если $2a — 1
eq 0$, т.e.

$a
eq frac{1}{2}$, уравнение имеет единственное решение $x = frac{2(b-1)}{2a-1}$
Если $a = frac{1}{2}$ и $b = 1$, уравнение получает вид $0cdot x = 0$ и любое $x$ является решением
Если $a = frac{1}{2}$ и $b
eq 1$, мы получаем $0cdot x = 2(b — 1)$, где $2(b — 1)
eq 0$
В этом случае уравнение не имеет решения.

Если $b = 7$ и $a
eq frac{1}{2}$ является единственным решением $x = frac{2(7-1)}{2a-1} = frac{12}{2a-1}$
Если a целое число, тогда $2a — 1$ также есть целым числом и решением есть $x = frac{12}{2a-1}$ является натуральным числом когда
$2a — 1$ есть положительным делителем для числа $12$.

Чтобы a было целым числом, делитель числа $12$ должен быть нечетным. Но только $1$ и $3$ являются положительными нечетными числами, на которые делится12 Поэтому $2a — 1 = 3 Leftrightarrow a = 2$ или $2a — 1 = 1 Leftrightarrow$

$a = 1 a = 2$ или $2a — 1 = 1 Leftrightarrow a = 1$

Задача 7 Решите уравнение $|ax — 2 – a| = 4$, где a является параметром. Найдите, для каких значениях а корнями уравнения являются целые отрицательные числа.

Решение:

Из определения модуля мы получаем $|ax — 2 – x| = 4 Leftrightarrow ax — 2 – x = 4$ или $ax — 2 – x = — 4$ Из первого равенства мы получаем $x(a — 1) — 2 = 4 Leftrightarrow$
$(a — 1)x = 4 + 2 Leftrightarrow (a — 1)x = 6$
Из второго равенства мы получаем $(a — 1)x = -2$
Если $a — 1 = 0$, т.e.

$a = 1$, последнее уравнение не имеет решения.

Если $a
eq 1$ мы находим, что $x = frac{6}{a-1}$ или $x = -frac{2}{a-1}$
Чтобы эти корни были целыми отрицательными числами, должно выполняться следующее:
Для первого равенство $a — 1$ должно быть отрицательным делителем 6, и для второго — положительным делителям 2
Тогда $a — 1 = -1; -2; -3; — 6$ или $a — 1 = 1; 2$
Мы получаем $a — 1 = -1 Leftrightarrow a = 0; a — 1 = -2 Leftrightarrow$
$a = -1; a — 1 = -3 Leftrightarrow a = -2; a — 1 = -6 Leftrightarrow a = -5$
или $a — 1 = 1 Leftrightarrow a = 2; a — 1 = 2 Leftrightarrow a = 3$

  • Тогда $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3$ являются решениями задачи.
  • Задача 8 Решите уравнение:
    A) $3ax – a = 1 – x$, где a это параметр;
  • B) $2ax + b = 2 + x$, где a и b являются параметрами
  • Решение:

A) $3ax + x = 1 + a Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Если $3a + 1
eq 0$, т.e. $a
eq -11 /3 /3$ , решение есть
$x = frac{1+a}{3a+1}$

Если $a = -frac{1}{3}$ уравнение принимает вид $0cdot x = frac{1.1}{3}$, что не имеет решения.

B) $2ax – x = 2 – b Leftrightarrow (2a — 1)x = 2 – b$
Если $2a — 1
eq 0$, т.e. $a
eq frac{1}{2}, x = frac{2-b}{2a-1}$ является решением.
Если $a = frac{1}{2}$ уравнение принимает вид $0.x = 2 – b$

  1. Тогда, если $b = 2$, любое x является решением, если $b
    eq 2$, уравнение не имеет решения.
  2. Задача 9 Дано уравнение $6(kx — 6) + 24 = 5kx$ , где к — целое число. Найдите, для каких значений k уравнение:
    A) имеет корень $-frac{4}{3}$
    B) не имеет решения;
  3. C) имеет корень как натуральное число.
  4. Решение:
  5. Перепишем уравнение в виде $6kx — 36 + 24 = 5kx Leftrightarrow kx = 12$
  6. A) Если $x = -frac{4}{3}$, для k мы получим уравнение $-frac{4}{3k} = 12 Leftrightarrow k = — 9$
  7. B) Уравнение $kx = 12$ не имеет решения, когда $k = 0$

C) Когда $k
eq 0$ является корнем $x = frac{12}{k}$ и это натуральное число, если k есть целым положительным числом,
на которое делится 12, т.e. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

  • Задача 10 Решите уравнение:
    A) $2ax + 1 = x + a$, где a является параметром;
  • B) $2ax + 1 = x + b$, где a и b являются параметрами.
  • Решение:

A) $2ax + 1 = x + a Leftrightarrow 2ax – x = a — 1 Leftrightarrow$
$(2a — 1)x = a — 1$ Если $2a — 1
eq 0$, т.e. $a
eq frac{1}{2}$, единственным решением уравнения является $x = frac{a-1}{2a-1}$
Если $2a — 1 = 0$, т.e. $a = frac{1}{2}$, уравнение принимает вид

$0.x = frac{1}{2}- 1 Leftrightarrow 0.x = -frac{1}{2}$, что не имеет решения

B) $2ax + 1 = x + b Leftrightarrow$
$2ax – x = b — 1 Leftrightarrow$
$(2a — 1)x = b — 1$ Если $2a — 1
eq 0$, т.e. $a
eq frac{1}{2}$, решением является
$x = frac{b-1}{2a-1}$
Если $a = frac{1}{2}$, уравнения эквивалентно $0.x = b — 1$

  1. Если b = 1 любое x является решением, если $b
    eq 1$ тогда нет решения.
  2. Задача 11 Дано уравнение $3(ax — 4) + 4 = 2ax$, где параметром является целым числом. Найдите, для каких значений a уравнение в качестве корней имеет:
    А) $left(-frac{2}{3}
    ight)$
    B) целое число
    C) натуральное число
  3. Решение:
  4. A) Если $x = -frac{2}{3}$ есть решением уравнения, тогда должно быть истинным
    $3left[aleft(-frac{2}{3}
    ight) — 4
    ight] + 4 = 2aleft(-frac{2}{3}
    ight) Leftrightarrow$
    $-2a — 12 + 4 = -frac{4a}{3} Leftrightarrow$
    $frac{4a}{3} — 2a = 8 Leftrightarrow frac{4a-6a}{3} = 8 Leftrightarrow$
  5. $-frac{2a}{3} = 8 Leftrightarrow a = -12$
  6. B) $3(ax — 4) + 4 = 2ax Leftrightarrow 3ax — 2ax = 12 — 4 Leftrightarrow ax = 8$
    Если $a
    eq 0$ решением является $x = frac{8}{a}$, это целое число, если а является делимым числа $8$. Поэтому; $±2; ±4; ±8$
  7. Если $a=0$, уравнение не имеет решения
  8. C) Чтобы получить натуральное (целое положительное) число для этого решения $x=frac{8}{a}$ число должно равняться: $a=1, 2, 4, 8$
  9. Задача 12 Дано уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где $a$ и $b$ — параметры. Найдите, для каких значений a уравнение имеет решения в виде натурального числа, если $b = 7$
  10. Решение:

В уравнение мы подставляем $b = 7$ и получаем $2 – x = 2.7 — 2ax Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 Leftrightarrow (2a — 1)x = 12$
Если $2a -1
eq 0$, т.e.

$a
eq frac{1}{2}$, уравнение примет вид
$x = frac{12}{2a-1}$ и это будет натуральное число, если знаменатель $2a — 1$ есть положительным делимым $12$ и кроме того, чтобы оно было целым числом, необходимо, чтобы $2a — 1$ было нечетным числом.

Поэтому $2a — 1$ может быть $1$ или $3$ Из $2a — 1 = 1 Leftrightarrow 2a = 2 Leftrightarrow a = 1$ и $2a — 1 = 3$

  • $Leftrightarrow 2a = 4 Leftrightarrow a = 2$
  • Задача 13 Дана функция $f(x) = (3a — 1)x — 2a + 1$, где a — параметр. Найдите, для каких значений a график функции:
    А) пересекает ось абсцисс;
  • B) пересекает ось абсцисс
  • Решение:

Чтобы график функции пересёк ось абсцисс, необходимо, чтобы
$(3a — 1)cdot x -2a + 1 = 0$ имело решения и не имело решения для непересечения оси абсцисс. С уравнения мы получаем $(3a — 1)x = 2a — 1$
Если $3a — 1
eq 0$, т.e.

$a
eq frac{1}{3}$, уравнение имеет решения
$x = frac{2a-1}{3a-1}$, поэтому график функции пересекает ось абсцисс.
Если $a = frac{1}{3}$, мы получаем
$0.x = frac{2}{3} — 1 Leftrightarrow 0.x = -frac{1}{3}$, что не имеет решения.

  1. Поэтому, если $a = frac{1}{3}$, график функций не пересекает ось абсцисс.
  2. Задача 14 Решите параметрическое уравнение:
    A) $|x -2| = a$
    B) $|ax -1| = 3$
  3. C) $|ax — 1| = a — 2$
  4. Решение:
  5. A) Если $a < 0$, уравнение не имеет решения, если $a > 0$ мы получаем:
    $|x — 2| = a Leftrightarrow x — 2 = a$ или $x — 2 = -a$
    Из $x — 2 = a Rightarrow x = a + 2$, и из $x — 2 = -a Rightarrow x = 2 – a$
  6. Если $a = 0$, тогда $x — 2 = 0$ или $x = 2$
  7. B) $|ax — 1| = 3 Leftrightarrow ax — 1 = 3$ или $ax — 1 = -3$
    откуда $ax = 4$ или $ax = — 2$
    Если $a
    eq 0$ решения: $x = frac{4}{a}$ or $x = -frac{2}{a}$
  8. Если $a = 0$, здесь нет решения
Читайте также:  Физические и химические свойства серы

C) Если $a — 2 < 0$, т.e. $a < 2$, уравнение не имеет решения Если $a - 2 > 0$, т.e. $a > 2$ мы получаем
$|ax — 1| = a — 2 Leftrightarrow ax — 1 = a — 2$ или $ax — 1 = 2 – а$
Итак, мы получаем $ax = a — 1$ или $ax = 3 – a$
Потому что $a > 2, a
eq 0$, therefore $x = frac{a-1}{a}$ или $x = frac{3-a}{a}$.
Если $a = 2$, уравнения эквивалентно

  • $2x — 1 = 0 Leftrightarrow 2x = 1 Leftrightarrow x = frac{1}{2}$
  • Задача 15 Найдите, для каких значений параметра m (a), два уравнения эквивалентны:
    A) $frac{x+m}{2} = 1 – m$ и $(-x — 1) ^2 — 1 = x^2$
    B) $frac{x+m}{2} = 1 – m$ и $frac{x-m}{3} = 1 — 2m$
    C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ и $ax + 2a = 1 + x$, если $x > 3$
  • Решение:

A) Решим второе уравнение. Запишем его в виде: $(-x — 1)^2 — 1 = x^2 Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 — 1 = x^2 Leftrightarrow$
$x^2 + 2x + 1 — 1 = x^2 Leftrightarrow$
$2x = 0 Leftrightarrow x = 0$
Для первого мы получим $frac{x+m}{2} = 1 – m Leftrightarrow x + m = 2 — 2m Leftrightarrow x = 2 — 3m$
Эти два уравнения эквивалентны, если они имеют одинаковые корни, т.e.

  1. $2 — 3m = 0 Leftrightarrow$
    $m = frac{2}{3}$
  2. B) Для первого уравнения решением есть $х = 2 — 3m$ и для второго мы получим $x – m = 3 — 6m Leftrightarrow$
    $x = 3 – 5m$
    Они имеют одинаковые корни, когда
  3. $2 — 3m = 3 — 5m Leftrightarrow 5m — 3m = 3 — 2 Leftrightarrow 2m = 1 Leftrightarrow m = frac{1}{2}$

C) Так как $x > 3, 3 – x < 0,$ поэтому $|3 – x| = -(3 – x) = x - 3$ Первое уравнение будет выглядеть так: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 Leftrightarrow$ $x^2 - 4x – 0 Leftrightarrow x(x - 4) = 0 Leftrightarrow$ $x = 0$ или $x = 4$ С условием, что $х> 3$, поэтому только $x = 4$ есть решением. Для второго уравнения мы получаем $ax – x = 1 — 2a Leftrightarrow (a — 1)x = 1 — 2a$ Если $a — 1 = 0$, здесь нет решения (Почему?), если $a — 1
eq 0$, i.e. $a
eq 1$, решением есть

$x = frac{1-2a}{a-1}$ Эти два уравнения будут равны, если $4 = frac{1-2a}{a-1} Leftrightarrow$
$4(a — 1) = 1 — 2a Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 Leftrightarrow 6a = 5 Leftrightarrow a = frac{5}{6}$

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/parametricheskie-uravneneiya.html

Параметрическое уравнение — Parametric equation

Кривой бабочки может быть определена параметрическими уравнениями х и у.

В математике , А параметрическое уравнение определяет группу величин как функции одного или нескольких независимых переменных , называемых параметрами . Параметрические уравнения обычно используются , чтобы выразить координаты точек , которые образуют геометрический объект , такие как кривая или поверхность , причем в этом случае уравнение вместе называется параметрическое представление или параметризация (альтернативно , по буквам , как параметризация ) объекта.

Например, уравнение

Икс знак равно соз ⁡ T Y знак равно грех ⁡ T { Displaystyle { {начинаются выровнены} х & = соз т \ у & = грех т {конец выровнен}}}

образуют параметрическое представление единичной окружности , где т является параметром: точка ( х , у ) на единичной окружности , если и только если существует значение т таким образом, что эти два уравнения порождают эту точку. Иногда параметрические уравнения для отдельных скалярных выходных переменных объединяются в единое параметрическое уравнение в векторах :

( Икс , Y ) знак равно ( соз ⁡ T , грех ⁡ T ) , { Displaystyle (х, у) = ( соз т, грех т).}

Параметрические представления, как правило, неоднозначны (см «Примеры в двух измерениях» ниже), так что одни и те же величины могут быть выражены с помощью ряда различных параметризаций.

В дополнение к кривых и поверхностей, параметрические уравнения можно описать многообразия и алгебраические многообразия высших размерности , причем число параметров равна размерности многообразия или многообразия, а число уравнений, равной размерности пространства , в котором многообразие или многообразие считается (для кривых размерность один и один используется параметр, для поверхностей размерности два и два параметра, и т.д.).

Параметрические уравнения обычно используются в кинематике , где траектория объекта представлена уравнениями в зависимости от времени в качестве параметра.

Из — за это приложение, один параметр часто называют т ; Однако параметры могут представлять другие физические величины (такие , как геометрические переменные) или могут быть выбраны произвольно для удобства.

Параметризация не является уникальной; более чем один набор параметрических уравнений можно указать то же кривой.

Приложения

кинематика

В кинематике , пути объектов через пространство , как правило , описываются как параметрические кривые, причем каждый пространственная координаты зависимости явно от независимого параметра (обычно время).

Используется таким образом, набор параметрических уравнений для координат объекта в совокупности образует вектор-функцию для позиции. Такие параметрические кривые могут быть интегрированы и дифференцированы почленно.

Таким образом, если положение частицы в описывается параметрический

р ( T ) знак равно ( Икс ( T ) , Y ( T ) , Z ( T ) ) { Displaystyle mathbf {г} (т) = (х (т), у (т), г (т))}

то его скорость может быть найдена как

v ( T ) знак равно р ' ( T ) знак равно ( Икс ' ( T ) , Y ' ( T ) , Z ' ( T ) ) { Displaystyle mathbf {v} (т) = mathbf {г} '(т) = (х' (т), у '(т), г' (т))}

и его ускорение в

a ( T ) знак равно р » ( T ) знак равно ( Икс » ( T ) , Y » ( T ) , Z » ( T ) ) { Displaystyle mathbf {а} (т) = mathbf {г} '' (т) = (х '' (т), у '' (т), г '' (т))}
,

Системы автоматизированного проектирования

Другое важное использование параметрических уравнений в области систем автоматизированного проектирования (САПР). Например, рассмотрим следующие три представления, все из которых , как правило , используются для описания плоских кривых .

Тип

форма

пример

Описание

1. Явная Y знак равно е ( Икс ) { Displaystyle у = е (х) , !}

Y знак равно м Икс + б { Displaystyle у = х + Ь , !}

Линия
2. Неявные е ( Икс , Y ) знак равно 0 { Displaystyle е (х, у) = 0 , !}

( Икс — a ) 2 + ( Y — б ) 2 знак равно р 2 { Displaystyle слева (ха справа) ^ {2} + влево (Yb справа) ^ {2} = г ^ {2}}

Круг
3. Параметрический Икс знак равно г ( T ) вес ( T ) { Displaystyle х = { гидроразрыва {г (т)} {ш (т)}}}
; Y знак равно час ( T ) вес ( T ) { Displaystyle у = { гидроразрыва {ч (т)} {ш (т)}}}

Икс знак равно a 0 + a 1 T ; { Displaystyle х = а_ {0} + а_ {1} т;! , }
Y знак равно б 0 + б 1 T { Displaystyle у = b_ {0} + b_ {1} т , !}

Икс знак равно a + р соз ⁡ T ; { Displaystyle х = а + г , соз т;! , }
Y знак равно б + р грех ⁡ T { Displaystyle у = Ь + г , грех т , !}

линия Круг

Первые два типа известен как аналитические, или непараметрические, представления кривых; по сравнению с параметрических представлений для использования в приложениях САПР, непараметрические представления имеют недостатки.

В частности, непараметрическое представление зависит от выбора системы координат и не поддается хорошо геометрические преобразования , такие как вращения, переводы и масштабирование; Таким образом , непараметрические представления сделать его более трудным для создания точек на кривой.

Эти проблемы могут быть решены путем переписывания непараметрических уравнений в параметрической форме.

Целочисленная геометрия

Многочисленные проблемы в целочисленной геометрии могут быть решены с помощью параметрических уравнений.

Классическое такое решение Евклида параметризация «х прямоугольных треугольников таких , что длины их сторон , б и их гипотенуза с являются взаимно простыми целыми числами .

В и Ь не являются оба даже ( в противном случае , Ь и с не были бы взаимно просты), то можно заменить их , чтобы иметь даже и тогда параметризация

a знак равно 2 м N ,     б знак равно м 2 — N 2 ,     с знак равно м 2 + N 2 , { Displaystyle а = 2 млн, Ъ = т ^ {2} -п ^ {2}, с = т ^ {2} + п ^ {2}}

где параметры т и п являются положительными целыми числами , которые копервичные не являются оба нечетными.

Путь умножения на , б и гр произвольного положительным целого числа, получает параметризацию всех правильных треугольников , чьи трех сторон имеют целые длины.

Implicitization

Преобразование набора параметрических уравнений к одному неявного уравнения предусматривает исключение переменной из одновременных уравнений Этот процесс называется implicitization .

Если один из этих уравнений может быть решена за т , полученное выражение можно подставить в другое уравнение , чтобы получить уравнение, содержащее х и у только: Решение для получения и использования этого в дает явное уравнение в то время как более сложные случаи дадут неявное уравнение вида T { Displaystyle т}
Икс знак равно е ( T ) ,   Y знак равно г ( T ) , { Displaystyle х = е (т), у = г (т).}
Y знак равно г ( T ) { Displaystyle у = г (т)}
T знак равно г — 1 ( Y ) { Displaystyle т = г ^ {- 1} (у)}
Икс знак равно е ( T ) { Displaystyle X = F (T)}
Икс знак равно е ( г — 1 ( Y ) ) , { Displaystyle х = F (G ^ {- 1} (у)),}
час ( Икс , Y ) знак равно 0. { Displaystyle ч (х, у) = 0.}

Если параметризация задается рациональными функциями

Икс знак равно п ( T ) р ( T ) , Y знак равно Q ( T ) р ( T ) , { Displaystyle х = { гидроразрыва {р (т)} {г (т)}}, qquad у = { гидроразрыва {д (т)} {г (т)}}}

  • где р , д , г устанавливаются-мудрые взаимно простые полиномы, А полученное вычисление позволяет implicitize. Точнее, неявное уравнение является результирующим относительно т из хт ( т ) — р ( т ) и года ( т ) — д ( т )
  • В большей размерности (либо больше , чем две координаты более одного параметра), то implicitization рациональных параметрических уравнений может путем сделано с Гребнера основе вычислений; см Грёбнер основа § Implicitization в большей размерности .
  • Для того, чтобы взять пример окружности радиуса выше , параметрические уравнения

Икс знак равно a соз ⁡ ( T ) Y знак равно a грех ⁡ ( T ) { Displaystyle { {начинаются выровнены} х & = а соз (Т) \ у & = а sin (т) {конец выровнен}}}

может быть implicitized по х и у по пути Пифагора тригонометрического тождества :

Как

Икс a знак равно соз ⁡ ( T ) Y a знак равно грех ⁡ ( T ) { Displaystyle { {начинаются выровнены} { гидроразрыва {х} {а}} & = соз (т) \ { гидроразрыва {у} {а}} & = Sin (т) \ конец { выровнены}}}

а также

соз ⁡ ( T ) 2 + грех ⁡ ( T ) 2 знак равно 1 , { Displaystyle соз (т) ^ {2} + Sin (т) ^ {2} = 1,}

мы получаем

( Икс a ) 2 + ( Y a ) 2 знак равно 1 , { Displaystyle слева ({ гидроразрыва {х} {а}} справа) ^ {2} + влево ({ гидроразрыва {у} {а}} справа) ^ {2} = 1,}

и поэтому

Икс 2 + Y 2 знак равно a 2 , { Displaystyle х ^ {2} + у ^ {2} = а ^ {2}}

который является стандартным уравнением окружности с центром в начале координат.

Примеры в двух измерениях

парабола

Простейшее уравнение для параболы ,

Y знак равно Икс 2 { Displaystyle у = х ^ {2} ,}

может быть (тривиальным) параметрироваться с помощью свободного параметра т , и установки

Икс знак равно T , Y знак равно T 2 е о р — ∞

Источник: https://ru.qwe.wiki/wiki/Parametric_equation

Ссылка на основную публикацию