Ограниченные последовательности, формулы и примеры

Лекция

Тема:Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности.

• Цели: создание благоприятных условий для изучения понятия числовой последовательности; ввести определение предела последовательности и предела функции; познакомить с правилами вычисления пределов функции в точке и на бесконечности.
• Теоретический материаЛ
• Определение№1: множество чисел, каждое из которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью.

Элементы этого числового множества называются членами последовательности и обозначают: первый член — а 1, второй — а 2 , n- й член — аn и т.д. Вся последовательность обозначается : а 1, а 2, а 3, …, аn или (аn ).

Числовая последовательность представляет собой не что иное, как множество нумерованных чисел, упорядоченных наподобие натурального ряда, т.е. располагаемое в порядке возрастания номеров. Последовательность может содержать как конечное, так и бесконечное число членов.

Последовательность, состоящая из конечного числа членов, называется конечной, а последовательность, состоящая из бесконечного числа членов, — бесконечной последовательностью.

Иногда бесконечную числовую последовательность вводят, используя понятие функции:

Определение №2: Функцию у = f(x), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f(n), или у1, у2, у3…, уn или у(n).

Последовательности можно задавать различными способами, например, словесно, когда правило задавания последовательности описано словами, без указания формулы. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…

1. Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.
2. Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена.
3. Приведем три примера.

1. уn= n2. Это аналитическое задание последовательности

1,4,9,16,…, n2, …

Указав конкретное значение n, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если. Например, n= 9, то у9 = 92 = 81, если

1. уn= С. Здесь речь идет о последовательности С, С, С, …., С, …. . Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

2. уn= 2n . Это аналитическое задание последовательности 2, 22, 23, ….,2n, …

• Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n— й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (аn), заданная рекуррентно соотношениями:
• а 1, = а, аn+1 = аn+ d
• (а и d – заданные числа, d – разность арифметической прогрессии)
• Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность (bn)? Заданная рекуррентно соотношениями:
• b 1, =b, bn+1 = bn·q
• (b и q – заданные числа, b≠0, q ≠ 0; q знаменатель геометрической прогресси прогрессии).
• Пример: Выписать первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:у1 =1; у2 = 1; уn = уn-2 + уn-1

Решение. n –й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов. Значит, последовательно получаем:

у1 =1; у2 = 1; у3 =1+1 = 2; у4 = 1+ 2 = 3; у5 =2+3 =5; и т.д.

Ограниченные последовательности.

• Последовательность (хn) называется ограниченной, если существуют такие два числа m и М, что для всех nN выполняется неравенство m≤ хn ≤М.
• Последовательность (хn) называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех nN выполняется неравенство хn ≤М.
• Последовательность (хn) называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех nN выполняется неравенство m≤ хn

Например: последовательность (хn), заданная формулой общего члена хn= n, ограничена снизу (например, число 0) и не ограничена сверху.

Монотонные последовательности.

Последовательность (хn) называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство хn+1 > хn.

Последовательность (хn) называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство хn+1 < хn.

Последовательность (хn) называется неубывающей, если каждый ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство хn+1 ≥ хn.

1. Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей.
2. Предел числовой последовательности.
3. Рассмотрим для числовые последовательности – (уn) и (xn).
4. (уn): 1, 3,5, 7, 9, … 2n – 1, …;
5. (xn): 1,
6. Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой.

0 1 3 5 7 9 11 у

• 0 0,25 0,5 1
• Замечаем, что члены последовательности (xn) как бы «сгущаются» около точки 0 – говорят последовательность сходятся , а у последовательности (уn) такой точки сгущения нет – и говорят, что последовательность расходится.
• Математики не используют термин точка сгущения, а они говорят предел последовательности.
• Определение: Число b называется пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
• Пишут так: уn→b или читают так: предел последовательности уn при стремлении n к бесконечности равен b.
• На практике используется еще одно истолкование равенства , связанное с приближенными вычислениями: если последовательность уn = f(n) сходится к числу b, то выполняется приближенное равенство f(n)≈b, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
• Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:
• Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.
• Достаточное условие сходимости последовательности.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. (теорема К.Вейерштрасса)

Свойства сходящихся последовательностей

1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Если , то последовательность уn= qn расходится.

Теоремы о пределах последовательностей.

1. 
2. 

3. Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение:

4. 
5. 
6. 
7. 

1. Нахождение пределов последовательности:
2. Найти предел последовательности:
3. а) хn = б) хn = в)
4. Решение: а) применив правило «предел произведения», получим:

б) применим правило «предел суммы» и получим:

в) в подобных случаях применяют искусственный прием: делят числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n2 . Имеем: (здесь мы применили правило «предел дроби»).

Пределы функций. Нахождение пределов функции в точке и на бесконечности.

• Теория пределов позволяет определить характер поведения функции у = f(x) при заданном изменении аргумента.
• Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки х =х0, за исключением, быть может, самой точки х0.
• Число А называется пределом функции f(х) в точке х0, если для любого числа >0 найдется такое положительное число , что для любого х х0, удовлетворяющего неравенству | х — хо | 0, найдется такое число , что для всех х, заключенных между х0 + , и х0 — (кроме, быть может, самой точки хс), график функции у = f(x) лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А + и у = А- (рис.1)
• Рисунок 1
• Таким образом, понятие предела функции дает возможность ответить на вопрос, к чему стремятся значения функции, когда значения аргумента стремятся к х0
• Число А называют пределом функции f(x) при х, стремящимся к х0, если разность f(x) — А по абсолютной величине есть величина бесконечно малая.
• Практическое приложение темы «Предел функции в точке».
• а) б) в) г) д);
• 2. Вычислите пределы следующих функций:
• а)
• б)
• в).
• 3. Используя разложение на множители преобразовать дроби и вычислить предел функции в точке:
• а) б) в) г) д)
• е) ;
• ж) ;
• з).

4. Найти предел функции в точке, используя способ избавления знаменателя(числителя) от иррациональности (помножить на сопряженное выражение):а) ; б) ; в) .

Вопросы для самоконтроля.

1. Сформулируйте определение предела функции в точке.

2. Повторите основные теоремы о пределах.

3. Повторите способы преобразования дробных выражений, используя материалы практических занятий, справочную литературу.

4. Вычислите пределы функции в точке:

1. а) ; в) ;
2. б) ; г) .
3. а) ; б) ; в) ; г) ; д).
4. а);
5. а) .
6. Контрольные вопросы:
7. Дайте определение числовой последовательности.
8. Перечислите способы задания последовательностей.
9. Какие последовательности называют ограниченными?
10. Сформулируйте определение предела числовой последовательности.
11. Сформулируйте необходимые условия сходимости последовательности.
12. Сформулируйте достаточные условия сходимости последовательности
13. Дайте определение предела функции в точке.
14. Перечислите основные теоремы о пределах функции в точке.

Источник: https://infourok.ru/teoreticheskiy-material-po-teme-posledovatelnosti-sposobi-zadaniya-i-svoystva-chislovih-posledovatelnostey-ponyatie-o-predele-po-2096004.html

Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

На этом уроке вы узнаете, что такое числовая последовательность, какие бывают способы задания числовой последовательности. Подробно рассмотрите аналитический способ задания числовой последовательности, а также предел числовой последовательности. Изучите теорему Вейерштрасса, решите примеры по данной теме

• Пусть  – числовое множество.
• Числовая функция  – закон, который каждому элементу из  сопоставляет единственное число.
• Множество  называется областью определения функции .
• Числовая последовательность – это числовая функция, у которой область определения есть множество  всех натуральных чисел.
• Числовая последовательность может быть задана разными способами:

1. Аналитический
2. Словесный
3. Рекуррентный

1. Необходимо указать формулу, по которой можно вычислить любой член последовательности.
2. Имеем формулу , где  
3. Пример:
4. График последовательности – это множество всех пар , где  пробегает все натуральные значения.

Эта ветвь – гипербола, и на этой ветви лежат все точки графика нашей последовательности, если , то и .

Первая точка  вторая точка  и т. д.

Рис. 1. График функции

• Функция , следовательно, .
• Рассмотрим множество значений данной последовательности:

Нарисуем ось , отметим 1 и 0 на оси , а также значения данной последовательности (рис. 2).

Рис. 2.Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности

Множество значений расположено на интервале от 0 (не включая) до 1 (включая). Данная последовательность меняется в этих пределах.

1. .
2. Последовательность ограничена сверху: .
3. Последовательность ограничена снизу: .
4. Верхняя граница – число 1 достижимо: .
5. Нижняя граница – число 0 не достижимо, но число 0 играет важную роль для данной последовательности, пока что мы видим, что члены последовательности «сгущаются».

• Нарисуем ось  (рис. 3):

 – получили окрестность точки 0 (рис. 3). В любой окрестности точки 0 содержится хотя бы 1 член данной последовательности. Начиная с этого члена, все остальные члены последовательности содержатся в –окрестности.

Рис. 3.Ось у. –окрестность точки 0 

Пример:

;

Какие точки последовательности находятся в –окрестности?

Это  ; , замечаем, что все члены последовательности после 101 находятся в –окрестности точки 0, т. е. они как бы «сгущаются» в точке 0 (рис. 4).

Рис. 4. Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности

Любой, даже один, член попадает в – окрестность точки 0, а за ним весь остальной хвост последовательности попадает в эту окрестность.

Можно взять любой , получается очень малая окрестность точки 0, но, начиная с некоторого номера, все члены последовательности находятся в этой –окрестности точки 0, т. е. мы знаем, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, приблизительно равны своему пределу, т. е. равны 0.

1. Как найти, с какого номера все члены последовательности помещаются в заданнойокрестности?
2. Допустим, задали маленькое число :
3. Тогда решим неравенство ; .
4. Пример:
5. Пусть , тогда
6. Все члены, начиная с этого номера, умещаются в данной окрестности точки 0.

Как бы близко мы ни встали около точки 0 вверх, всегда найдется член, который находится еще ближе, и все остальные члены будут ближе к точке 0 (рис. 5). 

Рис. 5.Ось У, на которой нанесены точки числовой последовательности

Число  называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки  содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера (рис. 6).

Рис. 6. Предел последовательности

, члены последовательности (выделены красным), в окрестность попадают все члены последовательности, начиная с некоторого номера , такой номер обязательно существует. При заданном  весь хвост находится в окрестности точки  и это для любого, сколь угодно малого .

• Мы выяснили, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны своему пределу.
• Существует ли предел у всякой последовательности?
• Последовательность    .
• Если последовательность имеет предел, она сходится, все члены сходятся к этому пределу.
• Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся.
• Теорема: если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Пример 1 применения теоремы Вейерштрасса (рис. 7).

1. Функция  монотонна (она убывает), эта функция ограниченна (она расположена на интервале 0 не включая, 1 включая).
2. Значит, по теореме Вейерштрасса она сходится.

 – сходится, т. е. имеет предел

Рис. 7. Первый пример применения теоремы Вейерштрасса

Второй пример применения теоремы Вейерштрасса (рис. 8).

• ;  
• Все точки  лежат на гиперболе , эти точки неограниченно приближаются к прямой .

Рис. 8. Второй пример применения теоремы Вейерштрасса

1. Предел данной последовательности равен 1, это означает, что при больших значениях  все члены последовательности, начиная с некоторого номера, примерно равны 1 или находятся в любой окрестности в точке 1.
2. ВыводМы познакомились с важным понятием числовой последовательности, изучили аналитический способ задания числовой последовательности, рассмотрели теорему Вейерштрасса, привели примеры.
3. Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

1. Укажите номер члена последовательности , равного .
2. Вычислите три последующих члена последовательности, если  и.
3. Задана последовательность. Ограничена ли она? .
4. Начиная с какого номера все члены последовательности  будут не меньше заданного числа : , ?

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал 5klass.net (Источник).
2. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
3. Интернет-портал Myshared.ru (Источник).
4. Интернет-портал Resolventa.ru (Источник).

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/proizvodnaya/chslovye-posledovatelnosti-i-ih-svoystva-predel-posledovatelnosti?book_id=17

Урок 6: Числовые последовательности — 100urokov.ru

• План урока:
• Понятие числовой последовательности
• Способы задания последовательностей
• Возрастающие и убывающие последовательности
• Ограниченные и неограниченные последовательности
• Последовательности в жизни

Понятие числовой последовательности

Попытаемся записать в ряд все четные числа, начиная с двойки:

2, 4, 6, 8, 10, 12

Ясно, что запись можно продолжать бесконечно. Мы получили некоторый ряд чисел, в данном случае бесконечный. Любой такой ряд называется бесконечной числовой последовательностью

Приведем примеры бесконечных числовых послед-тей:

Заметим, что числа в послед-ти могут повторяться. Так, известно, что число π – это бесконечная десятичная дробь 3,1415926… Выписывая в ряд эти цифры, можно получить послед-ть, в которой будут повторяющиеся числа:

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6

Числа, входящие в состав послед-ти, называют членами послед-ти. Всегда можно указать, какое число является первым членом послед-ти, какое – вторым и т. д. Для их обозначения используются буквы с индексами. Например, есть послед-ть четных чисел 2, 4, 6, 8… Выпишем первые ее члены, обозначая их буквой а:

Получается, что каждому натуральному числу n соответствует какой-то единственный член послед-ти, который обозначается как аn.

То есть послед-ть задает некое правило, с помощью которого для каждого числа n можно вычислить число an.

Отсюда можно сформулировать более сложное определение бесконечной числовой послед-ти – это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел.

Способы задания последовательностей

Чтобы задать послед-ть, необходимо указать способ, с помощью которого можно вычислить любой ее член. Проще всего это сделать, записав формулу, в которой в качестве переменной использует номер члена послед-ти n.Такая формула называется формулой n-ого члена последовательности.

Пример. Послед-ть задается формулой аn = 3n. Выпишите первые пять членов этой послед-ти.

Решение. Чтобы найти первый член послед-ти, то есть а1, просто подставим в формулу единицу:

Аналогично можно вычислить и следующие четыре члена послед-ти:

Итак, послед-ть имеет вид:

3, 6, 9, 12, 15…

Ответ: 3, 6, 9, 12, 15

Пример:Запишите формулу n-ого члена для послед-ти

1, 3, 5, 7, 9…

состоящей из положительных нечетных чисел.

Решение. Каждое нечетное число можно представить в виде 2n– 1. Тогда получаем:

Получаются как раз члены послед-ти, указанной в условии. Поэтому формула n-ого члена будет выглядеть как аn = 2n– 1.

Ответ: аn = 2n– 1.

Стоит обратить внимание, что для вычисления n-ого члена послед-ти НЕ нужно вычислять все предшествующие члены.

Пример. Запишите 38-й член послед-ти, заданной формулой аn = 2n2 + 1.

Решение. Подставим n = 38 в формулу и получим:

Ответ: 1445

Теперь рассмотрим послед-ть, в которой первые два числа равны единице, а каждый следующий член равен сумме двух предыдущих. Она называется последовательностью Фибоначчи и начинается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

Действительно, по условию, первые два члена – это единица:

а каждый следующий равен сумме предыдущих:

Формулу n-ого члена записать для послед-ти Фибоначчи очень сложно (хотя и возможно). Вместо этого здесь удобнее использовать рекуррентный способ задания последовательности. Записываются первые несколько членов послед-ти, а после дается формула (ее называют рекуррентной), которая позволяет вычислить следующие члены по предыдущим:

При использовании рекуррентного способа для вычисления n-ого члена обычно необходимо вычислить все предыдущие члены послед-ти.

Пример. Найдите пятый член послед-ти, заданной рекуррентной формулой аn= 3•аn–1– 1, если а1 = 2.

1. Решение. Будем последовательно вычислять все члены послед-ти, вплоть до пятого:
2. Ответ: 5

Надо понимать, что одну и ту же послед-ть можно задать по-разному. Так, послед-ть четных чисел можно задать формулой n-ого члена аn = 2n, так и рекуррентной формулой аn = an–1 + 2, если а1 = 1.

Пример. Дана послед-ть, заданная формулой аn = n2. Задайте ее рекуррентным способом.

• Решение. Сначала вычислим первый член послед-ти:
• Чтобы записать рекуррентную формулу, попытаемся найти разницу между членами, имеющими номера n и (n– 1):
• Итак, получили равенство
• Перенесем в нем слагаемое (– an– 1) вправо и получим рекуррентную формулу:

Наконец, некоторые послед-тине получается задать ни формулой n-ого члена, ни рекуррентным способом. Их можно только описать. Таковой является, например, послед-ть простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11…

Мы не будем это доказывать, однако не существует такой формулы, которая позволяла бы вычислить n-ое простое число либо по самому числу n, либо по предыдущим простым числам.

Действительно, для построения такой послед-ти используют особый алгоритм, известный как решето Эратосфена.

Если бы существовала формула n-ого члена, то потребность в использовании решета Эратосфена отпала бы.

Возрастающие и убывающие последовательности

Рассмотрим послед-ть, заданную формулой аn = 5n:

5, 10, 15, 20, 25…

Очевидно, что каждый следующий член больше предыдущего. Это значит, что мы имеем дело с возрастающей последовательностью.

1. Теперь изучим послед-ть, заданной рекурсивным способом:
2. Выглядеть он будет так:

50, 48, 46, 44, 42…

Ясно, что каждый следующий член послед-ти меньше предыдущего. Такой ряд чисел называется убывающей последовательностью.

• Убывающие и возрастающие послед-ти называют также монотонными последовательностями.

Для того, чтобы определить характер послед-ти, достаточно найти разность членов аnи аn+1. Если получается положительное выражение, то послед-ть возрастает, а если выражение отрицательно, то послед-ть убывает. Если получилось выражение, которое может иметь различный знак, то послед-ть вовсе не является монотонной.

Пример. Послед-ть задана формулой an = n/(n + 1). Является ли она убывающей либо возрастающей?

1. Решение. Запишем выражения для вычисления n-ого и (n+ 1)-ого члена послед-ти:
2. Осталось найти их разницу:

При натуральных значениях n полученная разница является положительным числом. Это значит, что каждый следующий член больше предыдущего, то есть послед-ть является возрастающей.

• Ответ: возрастающая.
• Пример. Исследуйте на монотонность послед-ть, заданную формулой
• Решение. Если выписать первые члены послед-ти, может показаться, что она – убывающая:

-7, -12, -15, -16…

1. Но это не так. Запишем выражения для n-ого и (n + 1)-ого члена послед-ти:
2. Теперь найдем их разность:

Получили выражение (2n– 7), которое может быть как отрицательным, так и положительным (при n≥ 4). Это значит, что послед-ть немонотонна. В этом можно убедиться, вычислив четвертый и пятый член послед-ти:

• Получаем, что у5>у4, поэтому послед-ть не является убывающей
• Ответ: послед-ть немонотонна.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Изучим послед-ть, заданную с помощью формулы bn = 1/n. Её первые члены будут выглядеть так:

Очевидно, что она является убывающей, ведь каждая следующая дробь меньше предыдущей. Вместе с тем все члены послед-ти являются положительными числами. Это значит, что для каждого n выполняется неравенство bn> 0. То есть последовательность ограничена числом 0. В математике такие послед-ти называют ограниченными снизу.

Существует и послед-ти, ограниченные сверху. Это такие послед-ти, каждый член которых меньше какого-то постоянного числа.

1. Предположим, что послед-ть сn = 1 – 1/n не ограничена числом 1 сверху. Тогда существует такой ее член сn, для которого выполняется условие
2. Попытаемся найти номер этого члена:

Полученное нер-во выполняется только для отрицательных n. Но n – это натуральное, то есть положительное число. Это говорит о том, что не существует такого натурального n, для которого справедливо нер-во 0 ≥ 1/n. Значит, и не существует такого сn, для которого верно нер-во сn ≥ 1. Из этого следует, что послед-ть ограничена сверху числом 1.

Пример. Докажите, что послед-ть mn = n2 – 6n + 4 ограничена снизу числом (– 6).

Решение. Предположим, что на самом деле послед-ть не ограничена снизу числом (– 6). Тогда хотя бы для одного ее члена будет выполняться нер-во

• Найдем номер этого члена:

Получили неравенство второй степени. Для его решения следует найти корни квадратного трехчлена. Начнем с вычисления дискриминанта:

1. Дискриминант отрицательный, а ветви параболы смотрят вверх. Поэтому схематично парабола относительно оси Ох будет располагаться так:

Видно, что нер-во решений не имеет. Значит, не существует такого номера n, для которого верно условие mn ≤ – 6. Следовательно, послед-ть ограничена снизу числом (– 6).

Если послед-ть ограничена одновременно и снизу, и сверху, то ее называют просто ограниченной послед-тью.

Примером ограниченной последовательности является bn = 1/n. С одной стороны, она ограничена нулем снизу. С другой стороны, она ограничена сверху числом 2, так как первый ее член равен единице, а вся послед-ть – убывающая.

Примером неограниченной последовательности является vn = 5n, ведь ее невозможно ограничить сверху.

Примером ограниченной последовательности является bn = 1/n. С одной стороны, она ограничена нулем снизу. С другой стороны, она ограничена сверху числом 2, так как первый ее член равен единице, а вся послед-ть – убывающая.

Примером неограниченной последовательности является vn = 5n, ведь ее невозможно ограничить сверху.

1, 3, 5, 7, 9…

Видно, что формула работает. Однако, сколько бы раз мы не проверяли ее, это не будет служить строгим доказательством ее справедливости. Возможно, что она будет работать для первого миллиона члена послед-ти, а для 1000001-ого даст ошибку. Поэтому поступим иначе. Предположим, что фор-ла Sn= n2 верна хотя бы для одного значения n, равного k:

• Докажем, что тогда она будет верна и для следующего числа k + 1. То есть нужно доказать равенство
• Ясно, что сумму (k + 1) членов послед-ти можно получить, прибавив к сумме k членов (то есть к Sk )ещё одно слагаемое an+1, то есть справедлива запись:
• При этом мы предположили, что верно равенство
• а число an+1 можно посчитать по формуле n-ого члена:
• Тогда можно записать
• Получили формулу сокращенного умножения – квадрат суммы. Его можно «свернуть»:

Итак, если для формула Sk= k2 верна для k = 1 (а в этом мы убедились в самом начале), то она верна и для k = 2. Но если она верна для k = 2, то она верна и для k = 3 и т.д.

Получаем цепочку утверждений, каждое из которых подтверждает истинность формулы для конкретного натурального числа k, а все вместе они подтверждают ее истинность для всех натуральных чисел.

Таким образом, нам удалось доказать справедливость формулы Sn= n2.

Сформулируем принцип математической индукции:

То есть сначала надо доказать, что утверждение выполняется при n = 1. Это действие называют шагом индукции. Далее предполагают, что утверждение верно при n = k, и из этого выводят, что оно верно и для n =k + 1.

Пример. Докажите с помощью математической индукции, что сумма квадратов первых n натуральных чисел вычисляется по формуле:

Решение. Докажем базис индукции, то есть то, что утверждение верно при n = 1. Действительно, подставив единицу в формулу, получим:

Получили один и тот же результат. Базис индукции доказан.

1. Теперь предположим, что формула верна для произвольного n = k:
2. Тогда сумма (k + 1) квадратов может быть найдена по формуле
3. Подставим в нее выражение для Sk и получим:
4. С другой стороны, нам надо доказать, что величина Sk+1определяется по формуле
5. Приравняем выражения (1) и (2) и покажем, что они тождественно равны:
6. Умножим обе части на 6 и получим:

Получили одинаковые выражения в обоих частях рав-ва, поэтому оно является верным при любом значении k. Значит, мы смогли доказать шаг индукции, и следовательно, всё исходное утверждение.

Пример. Докажите, что любую сумму, большую 7 копеек, можно оплатить, используя только два типа монет: по 3 и 5 копеек.

• Это утверждение, очевидно, верно сумм в 8, 9 и 10 копеек:
• Добавив к этим суммам ещё одну трехкопеечную монету, мы сможем получить выражения для следующих трех чисел:
• С помощью ещё одной монетки в три копейки можно уплатить следующие 3 суммы:
• Ясно, что продолжая подобные рассуждения, можно для любого натурального числа записать эквивалентную ему сумму пятерок и троек, что доказывает утверждение из условия.

Последовательности в жизни

Порою, изучая математические объекты, люди задумываются – а какое отношение все эти формулы имеют к реальной жизни? Встречаются ли последовательности в природе и обществе, или они являются лишь плодом фантазии математиков?

На самом деле последовательности имеют большое практическое приложение. Так, Фибоначчи сформулировал свою последовательность тогда, когда изучал скорость размножения кроликов.

Если каждая пара кроликов рожает в месяц ещё одну пару, а через месяц и старая, и новая пара рожает ещё кроликов, то их численность будет расти также, как и последовательность Фибоначчи! Аналогично протекают процессы роста популяций других животных.

Однако по ряду причин компьютеру тяжело сгенерировать истинно случайное число, поэтому часто используют генераторы псевдослучайных чисел.

Это особые алгоритмы, порождающие последовательности чисел, которые кажутся случайными, хотя таковыми на самом деле не являются.

Встречаются последовательности и в астрономии. В частности, расстояние от планет до Солнца примерно можно рассчитать с помощью особой последовательности Тициуса-Боде. Последние исследования показывают, что и расположение планет в других планетных системах хорошо описывается этой последовательностью.

Источник: https://100urokov.ru/predmety/urok-6-chislovye-posledovatelnosti

Сборник задач по алгебре

• ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI
• § 129. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности
• Числовая   последовательность {an}    называется    ограниченной сверху, если все ее члены меньше некоторого числа А:

an < А   (п = 1,   2,   3,   …).

Примером  такой   последовательности   может  служить    последовательность

1/2 , 2/3 , 3/4 ,  … ,  n/n+1 , … ,

все члены которой меньше 1:

an < 1.

Здесь в роли А выступает число 1. Вместо него  можно   было бы выбрать 2, 3, 5/2 и т. д.,   поскольку любое число  рассматриваемой последовательности меньше каждого из этих чисел. Важно не то, какое число выбрано в качестве А, а то, что хотя бы одно такое число существует.

Важным примером последовательности, ограниченной сверху, служит последовательность

p4,  p8,   p16,  p32,  …        (1)

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., вписанных в одну и ту же окружность. Для доказательства ограниченности этой последовательности мы поступим следующим образом. Наряду с данной последовательностью рассмотрим последовательность

Р4  ,   Р8  ,   Р16   ,   Р32 ,…              (2)

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около той же самой окружности. Очевидно, что сторона АВ правильного 2n-угольника, вписанного в окружность, меньше стороны А'В' правильного 2n-угольника, описанного около этой окружности (рис. 200).

Поэтому

p2n < Р2n               (3)

Как было отмечено в предыдущем параграфе, последовательность (2) является монотонно убывающей. Поэтому каждый член этой последовательности, начиная со второго, меньше первого члена Р4. Следовательно,  для любого п > 2

1. P2n < Р4                 (4)
2. Из (3) и (4) вытекает, что
3. p2n  < Р4
4. Но Р4 = 8r, где r — радиус окружности. Итак, для всех п >2
5. p2n  <  8r.

Это неравенство и говорит о том, что последовательность (1) ограничена сверху. Роль А в данном случае играет число 8r.

Если члены ограниченной сверху числовой последовательности изобразить точками числовой прямой, эти все точки расположатся левее точки с абсциссой А (рис. 201).

Числовая последовательность {an} называется ограниченной снизу, если все ее члены больше некоторого числа В:

an > В   (п = 1,   2,   3,   …).

Примером такой последовательности может служить натуральный   ряд чисел

1, 2, 3, 4, 5…..

Он ограничен снизу, так как все его члены больше нуля (В = 0). В качестве В можно было бы указать и любое отрицательное число или 1/2, 1/3 и т.д. Как и в случав последовательности, ограниченной сверху, здесь  важно не то, какое число выбрать в качестве В, а то, что хотя бы одно такое число существует.

Важным примером последовательности, ограниченной снизу, является   последовательность

Р4  ,   Р8  ,   Р16  ,…

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около окружности. В этом легко убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые мы проводили выше при исследовании последовательности

p4,  p8,   p16,   …  

Если члены ограниченной снизу числовой последовательности изобразить точками числовой прямой, то все точки расположатся правее точки с абсциссой В (рис. 202).

Числовая последовательность, ограниченная одновременно и снизу и сверху, называется ограниченной.

Другими словами, числовая последовательность a1, a2, …, an,… называется ограниченной, если существуют числа А и В такие, что при любом п

А < an < В (п = 1,  2,  3,  …).

Очевидно, что все точки числовой оси, соответствующие членам такой числовой последовательности, заключены в отрезке, концы которого имеют абсциссы А и В (рис. 203).

Примеры.

1)  sin 1, sin 2, sin 3, … , sin n…..

• Для этой последовательности an = sin п. При любом п
• —2 < sin n < 2.
• Поэтому данная числовая последовательность ограничена.

2)   1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; … .

Члены этой последовательности представляют собой десятичные приближения числа √2. Очевидно, что 1 < an < 2, так что  эта   последовательность   также  ограничена.

3)  Ограниченными   будут,   очевидно,   и   рассмотренные  выше последовательности:

p4,  p8,   p16,  p32,  …  

Р4, Р8  , Р16 , Р32 ,…   

1. составленные из периметров правильных 2n-угольников, вписанных и описанных около некоторой окружности.
2. Упражнения
3. 940.   Выяснить,  какие из данных    последовательностей ограничены и   какие  не ограничены:

• 941.  Приведите пример последовательности, которая была бы:
• а)  ограниченной сверху,   но не ограниченной снизу;
• б)  ограниченной снизу,  но не ограниченной сверху;
• в)  не ограниченной ни сверху, ни снизу.
• 942*. Доказать, что последовательность с общим членом

an = 1+ 1/2 + 1/3 +… + 1/n

является неограниченной.

Источник: http://oldskola1.narod.ru/Kochetkov1/Kochetkov129.htm

Предел последовательности. План занятия Определение последовательности Способы задания последовательностей Ограниченные последовательности сверху, снизу, — презентация

1 Предел последовательности

2 План занятия Определение последовательности Способы задания последовательностей Ограниченные последовательности сверху, снизу, ограниченные Убывающие и возрастающие последовательности, монотонные Свойства монотонности последовательностей y n = q n Окрестность точки Предел последовательности Формулы вычисления пределов последовательностей Свойства пределов последовательностей Правила вычисления пределов Техника вычисления пределов

3 Определение. Функцию вида у= f(х), х N называют числовой последовательностью (функция натурального аргумента). Обозначение: у = f(n) или (у n ): у 1, у 2,у 3,… Примеры. 2,3,5,7,9,11,13,15,17,…; арифметические и геометрические прогрессии, 5,5,5,…-постоянная или стационарная

4 Способы задания последовательностей Словесный (описывается словами правило) последовательность четных чисел: 2,4,6,8,… Реккурентный (последующий член выражается через предыдущий) арифметическая прогрессия: a 1, a n+1 = a n +d, где d — разность геометрическая прогрессия: b 1,b n+1 = b n · q, где q- знаменатель Аналитический (формулой n-го члена) у n = n 2 у n = C, где С=const у n = 2 n

5 Ограниченная последовательность -ограничена и сверху и снизу Пример: -2,3,-2,3,… М=3 или 4, m=-2 или -3 Ограниченная сверху: все ее члены не больше некоторого числа, т. е.

у n М, М- верхняя граница Пример. -1,-4,-9,-16,… -n 2,… ограничена сверху, М=-1,0,… Ограниченная снизу: все ее члены не меньше некоторого числа, т.е. у n m, m- нижняя граница Пример.

1,4,9,16,… n 2,… ограничена снизу m=1,½, …

6 Монотонные последовательности Возрастающая последовательность: каждый член больше предыдущего,т.е. у n+1 > у n Пример. 1,4,9,16,… n 2,… Убывающая последовательность: каждый член меньше предыдущего,т.е. у n+1 < у n Пример. -1,-4,-9,-16,…-n 2,…

7 y n =2 n 2,4,8,16,32,…-возрастающая y n =3 n -? Вывод ? y n =(1/2) n ½,1/4,1/8,1/16,1/32,…- убывающая y n =(1/3) n -? Вывод ? Свойство 1. Если q>1, то у = q n — возрастает Свойство 2. Если 0

9 Понятие сходящейся последовательности (у n ): 1,3,5,7,9,…,(2n-1),… Расходится Нет точки сгущения Нет предела (х n ): 1,1/2,1/3,1/4,1/5,…1/n,.. Сходится Точка сгущения-0 Пределпоследовательности-0

10 Окрестность точки интервал (a-r, a+r) –окрестность точки a радиуса r. Пример (5,9;6,1)-окрестность точки 6 радиуса 0,1 (-0,1;0,1)- окрестность точки ?

• 11 Предел последовательности Число b-предел последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1) lim у n = b или n 2) у n b
• 12 Примеры. (у n ):1,1/2,1/3,1/4,…,в любой окрестности 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то у n =1/n 0 (у n ): ½,1/4,1/8,1/16,1/32,…; в любой окрестности 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то y n =(1/2) n 0 (у n ): 2,4,8,16,32,…-нет точки около которой находятся все члены последовательности,начиная с некоторого номера, то y n =2 nнет (у n ): 5,5,5,…, в любой окрестности 5 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то y n =55
• 13 Формулы 1) lim 1/n = 0 n 2) lim q n = 0, если 0

14 Свойства Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Если последовательность сходится, то она ограничена. Обратное-неверно:1,2,3,1,2,3,…- ограниченная последовательность,но она не сходится Теорема Вейерштрасса (19 век, немецкий математик) Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

15 Правила вычисления пределов Если lim х n = b и lim у n =c, то n n 1)Предел суммы равен сумме пределов: lim (х n + у n ) = b+ c n 2)Предел произведения равен произведению пределов: lim (х n ·у n ) = b·c n 3)Предел частного равен частному пределов: lim (х n :у n ) = b:c n 4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim (k· х n ) = k · b n

16 Техника вычисления пределов Разберите методы вычисления пределов последовательностей по учебнику- стр.143 примеры а) — г).

17 Вопросы Какие последовательности называют сходящимися? Пример.

Что такое окрестность точки a радиуса r? Сформулируйте определение предела последовательности? Какие формулы пределов последовательностей вы знаете? Перечислите свойства сходящихся последовательностей.

Перечислите правила (теоремы) вычисления пределов последовательностей. Какими приемами пользуются для вычисления пределов последовательностей. Назовите имя выдающегося математика, именем которого названа теорема о свойстве пределов.

Источник: http://www.myshared.ru/slide/738842/