Таблица эквивалентности пределов

Эквивалент – это реальная или условная частица, которая в кислотно-основных реакциях присоединяет (или отдает) один ион Н+ или ОН–, в окислительно-восстановительных реакциях принимает (или отдает) один электрон, реагирует с одним атомом водорода или с одним эквивалентом другого вещества. Например, рассмотрим следующую реакцию: 

H3PO4 + 2KOH ® K2HPO4 + 2H2O. 

В ходе этой реакции только два атома водорода замещаются на атомы калия, иначе, в реакцию вступают два иона Н+ (кислота проявляет основность 2). Тогда по определению эквивалентом H3PO4 будет являться условная частица 1/2H3PO4, т.к. если одна молекула H3PO4 предоставляет два иона Н+, то один ион Н+ дает половина молекулы H3PO4.

С другой стороны, на реакцию с одной молекулой ортофосфорной кислотой щелочь отдает два иона ОН–, следовательно, один ион ОН– потребуется на взаимодействие с 1/2 молекулы кислоты. Эквивалентом кислоты является условная частица 1/2Н3РО4, а эквивалентом щелочи частица КОН.

Число, показывающее, какая часть молекулы или другой частицы вещества соответствует эквиваленту, называется фактором эквивалентности (fЭ). Фактор эквивалентности – это безразмерная величина, которая меньше, либо равна 1. Формулы расчета фактора эквивалентности приведены в таблице 1.1.

Таким образом, сочетая фактор эквивалентности и формульную единицу вещества, можно составить формулу эквивалента какой-либо частицы, где фактор эквивалентности записывается как химический коэффициент перед формулой частицы:

fЭ (формульная единица вещества) º эквивалент

• В примере, рассмотренном выше, фактор эквивалентности для кислоты, соответственно, равен 1/2, а для щелочи КОН равен 1.
• Между H3PO4 и КОН также могут происходить и другие реакции. При этом кислота будет иметь разные значения фактора эквивалентности:
• H3PO4 + 3KOH ® K3PO4 + 3H2O         fЭ(H3PO4) = 1/3
•  H3PO4 + KOH ® KН2PO4 + H2O        fЭ(H3PO4) = 1.

Следует учитывать, что эквивалент одного и того же вещества может меняться в зависимости от того, в какую реакцию оно вступает. Эквивалент элемента также может быть различным в зависимости от вида соединения, в состав которого он входит. Эквивалентом может являться как сама молекула или какая-либо другая формульная единица вещества, так и ее часть.

Таблица 1.1 – Расчет фактора эквивалентности 

Частица	Фактор эквивалентности	Примеры
Элемент	, где В(Э) – валентность элемента
Простое вещество	, где n(Э) – число атомов элемента (индекс в химической формуле), В(Э) – валентность элемента	fЭ(H2) = 1/(2×1) = 1/2; fЭ(O2) = 1/(2×2) = 1/4; fЭ(Cl2) = 1/(2×1) = 1/2; fЭ(O3) = 1/(3×2) = 1/6
Оксид	, где n(Э) – число атомов элемента (индекс в химической формуле оксида), В(Э) – валентность элемента	fЭ(Cr2O3) = 1/(2×3) = 1/6; fЭ(CrO) = 1/(1×2) = 1/2; fЭ(H2O) = 1/(2×1) = 1/2; fЭ(P2O5) = 1/(2×5) = 1/10
Кислота	, где n(H+) – число отданных в ходе реакции ионов водорода (основность кислоты)	fЭ(H2SO4) = 1/1 = 1 (основность равна 1) или fЭ(H2SO4) = 1/2 (основность равна 2)
Основание	, где n(ОH–) – число отданных в ходе реакции гидроксид-ионов (кислотность основания)	fЭ(Cu(OH)2) = 1/1 = 1 (кислотность равна 1) или fЭ(Cu(OH)2) = 1/2 (кислотность равна 2)
Соль	, где n(Ме) – число атомов металла (индекс в химической формуле соли), В(Ме) – валентность металла; n(А) – число кислотных остатков, В(А) – валентность кислотного остатка	fЭ(Cr2(SO4)3) = 1/(2×3) = 1/6 (расчет по металлу) или fЭ(Cr2(SO4)3) = 1/(3×2) = 1/6 (расчет по кислотному остатку)
Частица в окислительно-восстано­вительных реакциях	, где  – число электронов, участвующих в процессе окисления или восстановления	Fe2+ + 2® Fe0 fЭ(Fe2+) =1/2; MnO4– + 8H+ + 5 ® ® Mn2+ + 4H2O fЭ(MnO4–) = 1/5
Ион	, где z – заряд иона	fЭ(SO42–) = 1/2

Пример. Определите фактор эквивалентности и эквивалент у солей: а) ZnCl2, б) КНСО3, в) (MgOH)2SO4.

Решение: Для расчетов воспользуемся формулами, приведенными в таблице 1.1.

• а) ZnCl2 (средняя соль):
• . 
• fЭ(ZnCl2) = 1/2, поэтому эквивалентом ZnCl2 является частица 1/2ZnCl2.
• б) КНСО3 (кислая соль): 
• . 
• fЭ(КНСО3) = 1, поэтому эквивалентом КНСО3 является частица КНСО3.
• в) (MgOH)2SO4 (основная соль): 
• . 
• fЭ( (MgOH)2SO4 ) = 1/2, поэтому эквивалентом (MgOH)2SO4 является частица 1/2(MgOH)2SO4.

Эквивалент, как частица, может быть охарактеризован молярной массой (молярным объемом) и определенным количеством вещества nэ. Молярная масса эквивалента (МЭ) – это масса одного моль эквивалента. Она равна произведению молярной массы вещества на фактор эквивалентности:

Молярная масса эквивалента имеет размерность «г/моль».

Молярная масса эквивалента сложного вещества равна сумме молярных масс эквивалентов образующих его составных частей, например:

МЭ(оксида) = МЭ(элемента) + МЭ(О) = МЭ(элемента) + 8  МЭ(кислоты) = МЭ(Н) + МЭ(кислотного остатка) = 1 + МЭ(кислотного остатка)  МЭ(основания) = МЭ(Ме) + МЭ(ОН) = МЭ(Ме) + 17  МЭ(соли) = МЭ(Ме) + МЭ(кислотного остатка).

Газообразные вещества помимо молярной массы эквивалента имеют молярный объем эквивалента (или VЭ) – объем, занимаемый молярной массой эквивалента или объем одного моль эквивалента. Размерность «л/моль». При н.у. получаем:

 Закон эквивалентов был открыт в 1792 г. И. Рихтером. Современная формулировка закона: вещества реагируют и образуются согласно их эквивалентам. Все вещества в уравнении реакции связаны законом эквивалентов, поэтому:

nэ(реагента1) = … = nэ(реагентаn) = nэ(продукта1) = … = nэ(продуктаn)

Из закона эквивалентов следует, что массы (или объемы) реагирующих и образующихся веществ пропорциональны молярным массам (молярным объемам) их эквивалентов. Для любых двух веществ, связанных законом эквивалентов, можно записать:

или   или  ,

•           где m1 и m2 – массы реагентов и (или) продуктов реакции, г;
• ,  – молярные массы эквивалентов реагентов и (или) продуктов реакции, г/моль;
• V1, V2 – объемы реагентов и (или) продуктов реакции, л;
• ,– молярные объемы эквивалентов реагентов и (или) продуктов реакции, л/моль.

Л.А. Яковишин

Источник: http://sev-chem.narod.ru/spravochnik/teoriya/eq.htm

Применение эквивалентных функций при решении пределов

Изложен метод, позволяющий упростить вычисление пределов, применяя эквивалентные функции. Этот метод применим при вычислении пределов дробей с множителями в числителе или знаменателе. Дана таблица эквивалентных функций при x→0. Приводятся подробно разобранные примеры применения этого метода.

Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения.

Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату.

Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).

Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.

Применяемые определения и теоремы

Определение эквивалентных функций Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при :   при  , если на некоторой проколотой окрестности точки , при , причем .

Если при , то ; если , то . При этом функцию называют главной частью при . См. теорему о связи эквивалентных функций с о малым

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного Если, при ,     и    и существует предел , то существует и предел . Доказательство

Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй.

Разумеется, можно менять не все функции а только одну или некоторые из них.

Таблица эквивалентных функций

Далее приводится таблица функций, эквивалентных при . Здесь t может быть как переменной, так и бесконечно малой функцией при : ; .

Эквивалентность при

Равенство при

Предостережение

Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.

В качестве примера рассмотрим следующий предел: . При . Но если заменить в числителе на x, то получим ошибку: . Ошибки не будет, если выразить синус через эквивалентную функцию и о малое, : . Поскольку   и  , то мы снова получили неопределенность 0/0. Это указывает на то, что для вычисления этого предела применение эквивалентной функции не достаточно. Нужно применить другой метод.

Можно решить этот пример разложением в ряд Маклорена: .

Также можно применить правило Лопиталя: .

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций. ⇓,   ⇓,   ⇓,   ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Найти предел: .

Решение

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем: . Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные. .

Ответ

Пример 2

• Все примеры ⇑ Найти предел: .
• Решение
• Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим: . Преобразуем квадрат логарифма:
• .
• .
• Ответ

Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.

Пример 3

Все примеры ⇑ Вычислить предел. .

Решение

Здесь мы имеем неопределенность вида один в степени бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0. Для этого воспользуемся тем, что экспонента и натуральный логарифм являются взаимно обратными функциями. . Теперь в показателе экспоненты у нас неопределенность вида 0/0.

Вычисляем предел: . Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑. ; ; .

Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем: .

Ответ

Пример 4

Все примеры ⇑ Вычислить предел. .

Решение

При . Выясним, к чему стремится . Поскольку здесь дробь, то заменим логарифм эквивалентной функцией: . Тогда . Таким образом, мы имеем неопределенность вида ∞–∞.

Преобразуем ее к неопределенности вида 0/0. Для этого приводим дроби к общему знаменателю. . Здесь мы также воспользовались формулой . После преобразований, наш предел принимает следующий вид: .

В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше: .

В числителе имеется произведение двух множителей, каждый из которых тоже можно заменить эквивалентной функцией и, таким образом, упростить вычисления.

В качестве эквивалентных, попробуем найти степенные функции: . Тогда . Считаем, что . Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя. . Если положить , то . Тогда .

Тот же результат можно получить, применяя разложение в ряд Тейлора при : . Отсюда .

Найдем эквивалентную функцию для второго множителя, используя разложение в ряд Тейлора при : . Отсюда .

Теперь заменим множители эквивалентными функциями: .

Ответ

Использованная литература: Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/reshenie-predelov/ekvivalentnye-funktsii/

Cкачать DOCX Вывод таблицы эквивалентных бесконечно малых бесплатно

• Вывод таблицы эквивалентных бесконечно малых.
• Аппроксимация элементарных функций простейшими многочленами.
• (аппроксимация – приближенное описание).
• I замечательный предел.
• limx→0sinxx=00=1по определениюsinx→0x~ x по теореме 1sinx=x+ox,x→0,
• 4762501569где о — малое; о(x) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем х, х→0.
• В окрестности точки х=0 функцию y=sinx можно заменить простейшим многочленом y=x.
• Погрешность такой замены sinx-x=ox,x→0 – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем х.
• График функции y=sinx в окрестности точки х=0 можно заменить графиком прямой y=x.
• Следствие II замечательного предела.
• limx→0ln1+xx=00=1 по определениюlnx→01+x~xпо теореме 1ln1+x=
• =x+ox, x→0,
• 36830011430

где о(х) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x, x→0, т.е. limx→0o(x)x=0

В окрестности точки x=0 функцию y=ln(1+x) можно заменить простейшим многочленом y=x. Погрешность такой замены ln1+x-x=ox, x→0 – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем х, x→0.

График функции y=ln(1+x) в окрестности точки х=0 можно заменить графиком прямой y=x.

limx→0arcsinxx=00=Введем новую переменнуюt=arcsinx;t∈-π2;π2;sint=x;x→0;t→0=

=limt→0tsintпо I зам.пределу1→по определ.arcsinxx→0~xпо теореме 1arcsin x=

=x+ox, x→0,

308610109855где o(x) – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем х, x→0.

В окрестности х=0 функцию y=arcsinx можно заменить простейшим многочленом y=x. Погрешность такой замены arcsinx-x=ox, x→0, где о(х) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем х, x→0.

График y=arcsinx в oδ(o) можно заменить графиком прямой y=x.

limx→0 tg xx=00=limx→0sinxx ∙cosx=limx→01cosx ∙ limx→0sinxx=limx→01cosx=1по I зам. пределу1∙1=1по определ.tg xx→0~xпо теореме 1tg x=x+ox, x→0;

1. 30861059055ox-бесконечно малая, x→0.
2. В oδo функцию y=tg x можно заменить простейшим многочленом y=x.
3. Погрешность такой замены tg x-x=ox, x→0;ox- бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем х, x→0.
4. График y=tg x в oδo можно заменить графиком прямой y=x.

limx→01-cosxx22=00=по формулам половинного угла1-cosx=2∙sin2x2=limx→02∙sin2x2x22=limx→0sinx22x22=t=x2;x→0;t→0=limt→0sintt2по I зам.пределу1по определ.1-cosx→0x~x22cosx→0x~1-x22 по теореме 1cosx=1-x22+ox2, x→0.

• 4762502988В окрестности x=0 функцию y=cosx можно заменить простейшим многочленом y=1-x22.
• Погрешность такой замены cosx-1+x22=ox2, x→0, где o(x2) – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем x2, x→0.
• График y=cosx в oδo можно заменить графиком параболы y=1-x22.
• limx→0arctg xx=00=Введем новую переменнуюt=arctg x;t∈-π2;π2;tg t=x;x→0;t→0=
• =limt→0ttg t по случаю 41по определ.arctg xx→0~ xпо теореме 1arctg x=x+ox,
• x→0;ox-бесконечно малая функция, x→0.
• Описание иллюстрации аналогично случаю 4.
• limx→0loga1+xx=Применяе формулуlogba=lnalnb=limx→0ln1+xx∙lna=1lna∙limx→0ln1+xxпо случаю 21lnaпо определ.loga1+xx→0~xlnaпо теореме 1loga1+x=
• =xlna+ox, x→0.
• Описание иллюстрации аналогично случаю 2.
• limx→0ex-1x=Введем новую переменнуюt=ex-1→ex=1+t→→lnex=ln1+t→→x=ln1+t;x→0;t→0=
• =limt→0tln1+tпо случаю 21→ex-1 ~ x, x→0ex ~ 1+x, x→0по теореме 1ex=1+x+ox,
• x→0.

4762502988В окрестности х=0 функцию y=ex можно заменить простейшим многочленом y=1+x. Погрешность такой замены ex-1-x=ox, x→0- бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем х.

1. График y=ex в окрестности х=0 можно заменить графиком прямой y=1+x.
2. limx→0ax-1x=Введем новую переменнуюt=ax-1→ax=1+t→→lnax=ln1+t→→x∙lna=ln1+t→→x=ln1+tlna; x→0;t→0=limt→0tln1+tlna=
3. =lna∙limt→0tln1+tпо случаю 2lnaпо определ.ax-1 ~ x∙lna, x→0 по теореме 1ax=

=1+x∙ln a+ox, x→0. ox – бесконечно малая функция.

Иллюстрация – см., например, случай 8 (при a>1).

• limx→01+x -1x=00=limx→01+x-11+x+1×1+x+1=limx→01+x-1xx+1+1=limx→0xxx+1+1=limx→01x+1+1=12→
• по определ.1+x-1~12x по теореме 1x+1=1+12x+ox, x→0,
• 374650165735ox-бесконечно малая.
• В oδo функцию y=1+x можно заменить простейшим многочленом y=1+12x.
• Погрешность такой замены x+1-1-12x=ox, x→0, ox- бесконечно малая функция.
• График параболы y=1+x можно заменить для ∀x∈oδ(o) графиком прямой y=1+12x, x→0.

Источник: https://freedocs.xyz/docx-26301345

Вычисление пределов при использовании эквивалентностей

• Цели
• Знать:
• v Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них.
• Уметь:
• v Вычислять пределы, используя основные теоремы эквивалентности.
• ▼ Если , то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми (при ), это обозначается: α~β. ▲
• Важнейшие эквивалентности (31)
• 1. sin x~x при ;
• 2. tg x~x при ;
• 3. arcsin x~x при ;
• 4. arctg x~x при ;
• 5. 1 – cos x~ при ;
• 6. e x – 1~x при ;
• 7. a x – 1~x ln a при ;
• 8. ln(1+x)~x при ;
• 9. ~ при ;
• 10. (1+x)k – 1~k x, k>0 при ;
• в частности, ~ .
• Постановка задачи: Вычислить предел , где f (x) и g (x) — бесконечно малые функции в точке х =0.
• План решения: Бесконечно малые функции, стоящие в числителе и знаменателе, следует заменить на им эквивалентные, используя основные эквивалентности (31).
• Если f (x), f1(x), g (x), g1(x) — бесконечно малые функции в точке х =0, такие, что f (x)~f1(x) и g (x)~g1(x) в точке х=0, и существует , то существует , причём = .
• Постановка задачи: Вычислить предел , где f (x) и g (x) — бесконечно малые функции в точке х =а.

План решения:1.Нужно заменить f (x) и g (x) на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но важнейшие эквивалентности существуют при х=0. Поэтому сначала сделаем замену переменной х – а= t и будем искать предел при .

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяя в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Постановка задачи:Вычислить предел , где и .

План решения:1. Преобразуем выражение под знаком предела: .

2. Поскольку показательная функция е х непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком функции. Имеем:

= = .

3. Вычисляем предел показателя , заменяя бесконечно малые функции эквивалентными.

Постановка задачи:Вычислить предел , где и .

План решения: Чтобы использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых, сделаем замену переменной t =x – a (тогда при ) и преобразуем выражение под знаком предела: .

2. Поскольку показательная функция ех непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем = .

3. При вычислении предела заменяем бесконечно малые функции эквивалентными.

1. №15.Найти пределы: 1) ; 2) ;
2. 3) ; 4) .
3. ► 1) = =
4. = =4;
5. 2) = = =
6. = = =
7. = = ;
8. 3) = = =
9. = = =
10. = = ;
11. 4) = = = =
12. = = =
13. = =
14. = = . ◄
15. Аудиторные задания
16. Найти пределы:

№161. . Ответ: .

№162. . Ответ: 1.

№163. . Ответ: 3.

№164. . Ответ: .

№165. . Ответ: .

№166. . Ответ: .

№167. . Ответ: .

№168. . Ответ: .

Домашние задания

Найти пределы:

№169. . Ответ: ln 5.

№170. . Ответ: 1.

№171. . Ответ: –1.

№172. . Ответ: .

№173. . Ответ: .

№174. . Ответ: .

№177. . Ответ: .

№178. . Ответ: .

№179. . Ответ: е.

Дополнительные задания

Найти пределы:

№180. . Ответ: 2.

№181. . Ответ: .

№182. . Ответ: .

№183. . Ответ: .

№184. . Ответ: .

№185. . Ответ: .

№186. . Ответ: .

№187. . Ответ: е-1.

№188. . Ответ: .

• Занятие 6
• Обзорное занятие
• Цель:обобщить знания, полученные на предыдущих занятиях, отрабротать навык нахождения пределов.
• При нахождении пределов используют соотношения:
• , (а=const);
• ; где , ;
• ; ;
• ; ;
• ; .
• Найти пределы:

№189. . Ответ: .

№190. . Ответ: .

№191. . Ответ: е –2.

№192. . Ответ: .

№193. . Ответ: 0.

№194. . Ответ: .

№195. . Ответ: .

№196. . Ответ: –2.

№197. . Ответ: .

№198. . Ответ: .

№199. . Ответ: .

№200. . Ответ: .

№201. . Ответ: .

№202. . Ответ: ¥.

№203. . Ответ: 2.

№204. . Ответ: 2.

№205. . Ответ: .

№206. . Ответ: .

№207. . Ответ: 1.

№208. . Ответ: –1.

№209. . Ответ: 3.

№210. . Ответ: 1.

№211. . Ответ: .

№212. . Ответ: е –2.

№213. . Ответ: 0.

№214. . Ответ: –2.

№215. . Ответ: е –2.

№216. . Ответ: –е.

№217. . Ответ: .

№218. . Ответ: .

№219. . Ответ: .

№220. . Ответ: е3.

№221. . Ответ: .

1. Занятие 7
2. Непрерывность функции
3. Цели
4. Знать:
5. v Определения: непрерывность функций; непрерывность функции в точке, интервале и на отрезке;
6. v основные теоремы о непрерывных функциях и свойства функций, непрерывных на отрезке;
7. v классификацию точек разрыва.
8. Уметь:
9. v Определять точки разрыва функции.

▼ Пусть функция y =f (x) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y =f (x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

(32). ▲

▼ Функция y =f (x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0 и её окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

(33). ▲

▼ Функция y =f (x) называется непрерывной в точке х0, если её левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т.е.

(34). ▲

⋙При нахождении предела непрерывной функции f (x) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f (x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х0:

• lim sin x=sin(lim x);
• lim arctg x=arctg (lim x); (35)
• lim lg x=lg (lim x).
• Постановка задачи: Дана функция y =f (x), пользуясь определением непрерывности функции доказать, что функция непрерывна в произвольной точке х0 области определения данной функции.
• План решения:Проверить выполнение условий непрерывности функции y =f (x) в точке х0:

• значение функции в точке х = х0 есть определённое число равное значению f (x0);
• предел функции y =f (x) при стремлении х к х0 как слева, так и справа, есть одно и то же определённое число ;
• числа и f (x0) равны.

Если хотя бы одно из условий не выполнено, то функция y = f (x) в точке х0 имеет разрыв.

№16. Пользуясь определением непрерывности функции доказать, что функция у=х2 непрерывна в произвольной точке .

1. „Пусть — приращение аргумента в точке х0. Найдём соответствующее приращение функции:
2. = =
3. = = .
4. Теперь, применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:
5. = =
6. = .
7. Таким образом, , что и означает (по определению) непрерывность данной функции в точке . ◄
8. №17.Доказать, что функция

не является непрерывной в точке х0=0, но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции f (x).

►Найдём односторонние пределы в точке х0=0. Слева от точки х0 имеем f (x)=0, поэтому . Аналогично, .

Кроме того, f (x0) = f (x)=1, откуда следует, что . Это означает, что в точке х0=0 не выполнены все условия непрерывности функции, но функция f (x) непрерывна справа в этой точке.

рис.1

График функции изображен на рис.1. ◄

Постановка задачи:Исследовать на непрерывность функцию y = f (x) в точке х0.

План решения:Найти односторонние пределы функции y = f (x) в точке х0, т.е. и , при этом:

• если, А1=А2, то точка х0 — точка устранимого разрыва;
• если , то х0 — точка конечного разрыва;
• если, по крайней мере, один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности, то точка х0 — точка разрыва второго рода.

№18.Исследовать на непрерывность функцию

► Функция у = х, у = sin x и у =1 непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется её аналитическое выражение, т.е. в точках и .

• Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдём соответствующие односторонние пределы и значения функции.
• В точке имеем:
• ,
• ,
• .
• Таким образом, в точке функция имеет разрыв 1-го рода и непрерывна слева.
• Скачок функции f (x) в точке равен .
• Для точки имеем:
• ,
• ,

а значение не определено. Отсюда следует, что — точка устранимого разрыва. ◄

№19. Установить характер разрыва функции в точке х0=2.

►Находим: , , т.е. функция в точке х0=2 не имеет ни одного из односторонних пределов. Отсюда следует, что х0=2 — точка разрыва 2-го рода. ◄

Аудиторные задания

Пользуясь определением, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке :

№212. f (x)=x3.

№213. f (x)=4x2 – 5x+2.

№.214. Доказать, что функция

не является непрерывной в точке х0=1, но непрерывна слева в этой точке. Построить график функции.

№.215. Доказать, что функция

не является непрерывной в точке х0= –2, но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции.

№.216.

Ответ: 1) функция терпит разрыв 1-го рода в точке х= –2; скачок функции равен –2; и имеет устранимый разрыв в точке х =2. В остальных точках функция непрерывна.

№.217.

Ответ: Функция имеет устранимый разрыв в точке х =1 и терпит разрыв 1-го рода в точке х =2; скачок функции равен 4. В остальных точках функция непрерывна.

Установить характер разрыва функции в точке х0:

№218. , х0= – 4.

Ответ: х0= – 4 — точка устранимого разрыва.

№219. , х0=0.

1. Ответ: х0 = 0 — точка устранимого разрыва.
2. Домашние задания
3. Пользуясь определением, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке :

№220. .

№221. .

№222. .

№223. .

№224. .

Пользуясь определением непрерывности функции, доказать:

№225.Функция непрерывна в точке х = –2.

№226.Функция непрерывна в точке х = 4.

№227.Функция f (x) =cos x непрерывна в точке х = 0.

Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций:

№228. .

• №229.
• №230.
• №231.
• №232.
• №233.
• Контрольные вопросы



Источник: https://infopedia.su/12x5f8a.html