Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

Системы уравнений,
как и отдельные уравнения, используются для решения сложных и нужных задач. При
решении некоторых задач приходится составлять два уравнения, в каждом из
которых находится по две неизвестные величины, то есть мы имеем два уравнения с
двумя неизвестными.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Нужно найти такие значения неизвестных  х  и  у, которые одновременно удовлетворяли бы и первое и второе
уравнение, то есть преобразовывали каждое из уравнений в правильное равенство.
Иначе: необходимо найти общее решение обоих уравнений. Или решить систему
данных уравнений.

Если требуется найти общие решения двух или нескольких
уравнений, говорят, что эти уравнения составляют систему. Записывают систему
уравнений, объединяя их фигурной скобкой.

  • Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры
  • Система уравнений называется линейной, если все
    уравнения, входящие в систему, являются линейными.
  • Если система
    из  n  линейных
    уравнений содержит  n  неизвестных, то возможны следующие три
    случая:
  • – система не имеет решений;
  • – система имеет ровно одно решение;

– система имеет бесконечно много решений.

ПРИМЕР:

Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

Каждое уравнение этой системы
имеет бесконечное количество решений и только 
одна пара чисел является общей для обоих уравнений.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Эксцентриситет гиперболы, формула и примеры

Оценим за полчаса!

Решением системы уравнений с двумя переменными
называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в
верное равенство.

  1. ПРИМЕР:
  2. Приведённую выше систему уравнений удовлетворяет пара
    чисел
    :
  3. х =
    15;
  4. у =
    5.

Это и есть решение данной системы. Других решений она не имеет.

Существуют системы уравнений,
которые имеют бесконечное множество решений, а также системы, которые совсем не
имеют решений. Система, которая не имеет решений, называется несовместимой.
Называть решения системы корнями нельзя.

  • Решить систему – это значит найти все решения этой
    системы или показать, что она не имеет их.
  • Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения одной из них будет решением другой, и наоборот, все решения
    другой системы будут решениями первой.
  • ПРИМЕР:

Решением системы

Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

будет пара чисел:х = 4  и  у
= 3
. Эти числа будут также единственным решением системы:

Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

Поэтому, рассмотренные системы уравнений равносильные.

Две несовместимые
системы уравнений также считаются равносильными. Две равносильные системы уравнений
могут состоять из одинакового и разного количества уравнений. Отдельно, система
уравнений может быть равносильна до одного уравнения. Понятие равносильности
систем уравнений будет относительным: две системы уравнений равносильны в одном
числовом множестве и неравносильны – в другом.

  1. Теоремы про равносильность
    систем уравнений первой степени.
  2. ТЕОРЕМА
  3. Любое из уравнений системы можно заменить равносильным
    ему уравнением
    ; полученная в результате этого система равносильна
    данной.
  4. ПРИМЕР:

Если в системе

Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

заменить второе уравнение
равносильным ему уравнением  

9х + 6у = 57, 

то получим новую
систему равносильную данной
:

Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

Читайте также:  Формула графита в химии

Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры
РЕШЕНИЕ:

  • Система не имеет решений, так как два уравнения системы
    не могут удовлетворяться одновременно
    (из первого
    уравнения 
  • х + y = 3,
  • а из второго 
  • х + y = 3,5).
  • ОТВЕТ:  решений
    нет
  • ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры
РЕШЕНИЕ:

Система имеет бесконечно много решений, так как второе
уравнение получается из первого путём умножения на 
2 (то есть фактически есть всего одно
уравнение с двумя неизвестными)

ОТВЕТ:  бесконечно много решений

Задания к уроку 11

Источник: https://krasavtsev.blogspot.com/2016/07/4algebray9.html

Урок "Уравнения с двумя неизвестными"

Бесплатно Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

Большинство задач в математике ориентировано на решение стандартных уравнений, содержащих одну переменную. Иногда используется система двух и более уравнений, которые могут включать, соответственно, две и более переменные.

Однако изучим отдельное уравнение, содержащее в своем составе помимо числовых выражений два неизвестных абстрактных выражения. Например:

х2 + 2у = 6

Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

Любое подобное уравнение называется уравнением с двумя переменными. Решением подобного уравнения называется такая пара значений х и у, при которой все выражение преобразуется в равносильное правильное равенство. Используем такие значения для переменных:

  • х = 2
  • у = 1
  • Подставляя в наше уравнение, получим верное равенство:
  • х2 + 2у = 6
  • (2)2 + 2(1) = 6
  • 4 + 2 = 6
  • Таким образом, пара чисел (2, 1) являются решением для уравнения.

Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

х2 + 2у = 6. Отметим, что при записи решения необходимо указывать значения переменных в скобках через запятую, на первое место записывая значение х (это не строго, но утверждено).

  1. Решая первый пример методом подбора, легко найти ещё одну пару решений – например, воспользуемся значениями (4, -5):
  2. х2 + 2у = 6
  3. (4)2 + 2(-5) = 6
  4. 16 – 10 = 6
  5. Пара чисел превратила уравнение в правильное равенство, значит, она так же соответствует решению данного уравнения.

Как можно понять из видеоурока, уравнение с двумя переменными имеет множество решений, точнее, множество пар чисел, которые будут соответствовать критериям правильного ответа. Преобразуем первое уравнение следующим образом. Поделим все части равенства на 2:

  • х2 + 2у = 6
  • 0,5х2 + у = 3
  • у = 3 – 0,5х2
  • Полученное выражение у = 3 – 0,5х2 является ничем иным, как функцией – зависимостью одной переменной от второй. Иначе говоря:
  • у = 3 – 0,5х2
  • у = f(х)
  • f(х) = 3 – 0,5х2
  • Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

Как мы помним из видеоуроков, посвященных основам функций, любая зависимость характеризуется тремя элементами: множеством неких начальных аргументов, формулой преобразования, множеством полученных значений.

В нашем уравнении множество всех реальных решений представлено парами значений х и у – то есть, парными элементами обеих множеств функции. При этом само уравнение представляет собой выражение зависимости между первой и второй переменной.

Помимо того, выражение у = 3 – 0,5х2 имеет точно такие же пары решений, как и х2 + 2у = 6 – поэтому, эти уравнения называются равносильными. Равносильные уравнения получаются в таких случаях:

  1.      При осуществлении переноса слагаемых (с учетом инверсии знака) с одной части равенства в другую;
  2.      При различных тождественных преобразованиях, не меняющих смысл равенства;
  3.      При умножении или делении одновременно обеих частей уравнения на один и тот же коэффициент;

Важно понимать, что, осуществляя различные преобразования в уравнении, нельзя искажать область определения какой-либо из переменных. Большинство тождественных преобразований сохраняют неизменным множество х или у, но бывают неприятные исключения. Рассмотрим такой пример:

у = х(2/(х) + 4)

Для решения этого уравнения логичнее было бы раскрыть скобки: совершить вполне тождественное преобразование, которое почти никогда не затрагивает область определения переменных.

Но в данном случае раскрытие скобок не будет тождественным явлением.

В изначальном варианте представленное уравнение имеет множество решений х, исключая х = 0, так как при данном значении одночлен 2/х потеряет смысл вместе со всем уравнением. Если же мы раскроем скобки, то получим следующее:

у = х(2/(х) + 4) = 2х/х + 4х = 2 + 4х

Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

Как легко заметить, в новом уравнении область определения х является бесконечной, включая х = 0. То есть, множество значений х изменилось, уравнение не является равносильным заданному примеру. Тем не менее, часто подобные упражнения решают обычными преобразованиями. Просто нужно совершать подстановочную проверку, что бы исключить недействительные решения уравнения.

Подавляющее большинство уравнений с двумя переменными преобразуется в аналитические зависимости, после чего совершается подстановка любых двух значений х и вычисляется, таким образом, пара решений х и у. При этом, самих решений, как правило, бесконечное множество. Но есть и небольшие исключения – когда из области определения переменной выпадает какая-либо точка.

Некоторые уравнения с двумя неизвестными имеют только одно решение, например, выражение х2 + у2 = 0 имеет только одну пару корня – (0, 0). А уравнение вида х2 + у2 = -1 не имеет действительных решений вообще.

То же справедливо по отношению к любым подобным уравнениям, которые равны отрицательным числам – ведь квадраты, как и их суммы, в принципе не могут дать отрицательных значений.

Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-uravneniya-s-dvumya-neizvestnimi-474.html

2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными

Видеоурок 1: Системы двух уравнений с двумя неизвестными

  • Видеоурок 2: Решение систем уравнений
  • Лекция: Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными
  • Уравнения с двумя неизвестными

В этой теме мы рассмотрим с Вами уравнения, которые содержат две неизвестных. Зачастую, чтобы решить подобного рода уравнения, нам необходимо иметь столько уравнений, сколько содержится неизвестных.

Уравнения с двумя неизвестными имеют следующий вид:

Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры

  1. a, b, c, d — это числа, стоящие рядом в переменными (х, у).
  2. Решить систему уравнения — это означает найти такое значение переменных, которые приведут оба уравнения в верное равенство.
  3. Каждое из уравнений может иметь несколько ответов, однако ответом на систему уравнений будет та пара чисел, которая будет подходить обоим уравнениям.
  4. Трактовать решение системы уравнений можно аналитическим способом, некоторые из которых мы рассмотрим позднее, и графическим способом.
  5. Графический способ решения системы уравнений

Для каждого из заданных уравнений можно построить свой график на плоскости — это может быть любой из известных графиков функции. Решением системы уравнений будет считаться точка, в которой будут пересекаться графики. Данная точка будет иметь свою координату, которой будет соответствовать ордината и абсцисса, которые будут являться решением.

На графике можно получить несколько видов решений:

1. Множество решений. Например, если одно уравнение будет представлять тригонометрическую функцию, а вторая — это прямая, например, параллельная оси ОХ, то данная прямая будет пересекать график второй функции во множестве точек с некой периодичностью.

2. Одно решение. В таком случае графики функций будут пересекаться в одной точке. Обычно такая картина наблюдается, если графиками уравнений являются прямые.

3. Два решения. То есть графики уравнений будут пересекаться в двух точках. Обычно такое наблюдается в том случае, если графиком одной из функций является парабола.

4. Не иметь решений. Некоторые графики функций и вовсе могут не пересекаться, в таком случае решений система иметь не будет.

Основные способы аналитического решения

Решать с помощью графика не всегда удобно, поскольку точка пересечения функций может находиться достаточно далеко от начала координат, или же она будет иметь дробные координаты. Чтобы наиболее точно найти решение системы, лучше воспользоваться аналитическими способами решения.

  • 1. Подстановка
  • Чтобы решить систему методом подстановки, необходимо в одном из уравнений выразить одну из неизвестных и подставить её во второе уравнение.
  • Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры 
  • x = ( c – by ) / a
  • d ( c – by ) / a + ey = f 

После данной подстановки одно из уравнений будет иметь одну неизвестную, после чего уравнение решается известным способом. Когда одна из переменных найдена, её значение подставляется в первое уравнение и, таким образом, находится и вторая переменная.

2. Метод сложения или вычитание уравнений

Данный метод позволяет избавиться от одной из неизвестных. Итак, давайте представим, что вы желаете избавиться от переменной «х».

Чтобы данный способ имел место, Вам необходимо первое уравнение почленно домножить на d, а второе почленно домножить на a. После этого Вы получите одинаковые коэффициенты при переменной «х».

Если вычтите одно уравнение из другого, у Вас получится избавиться от одной неизвестной. Дальше уравнение  известными способами.

Предыдущий урок Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/546-218-prosteyshie-sistemy-uravneniy-s-dvumya-neizvestnymi.html

Как решать систему уравнений с двумя неизвестными

Уравнение – это тождество, где среди известных членов скрывается одно число, которое необходимо поставить вместо латинской буквы, для того чтобы с левой и правой стороны получилось одинаковое числовое выражение. Чтобы его найти, нужно перенести в одну сторону все известные члены, в другую — все неизвестные члены уравнения.

А как решать систему из двух таких уравнений? По отдельности – нельзя, следует связать искомые величины из системы друг с другом. Сделать это можно тремя способами: методом подстановки, методом сложения и методом построения графиков. Уравнение с двумя неизвестными, формулы и примеры Способ сложения.Нужно записать два уравнения строго друг под другом: 2 –5у=61-9х+5у=-40.Далее, сложить каждое слагаемое уравнений соответственно, учитывая их знаки:

2х+(-9х)=-7х, -5у+5у=0, 61+(-40)=21. Как правило, одна из сумм, содержащая неизвестную величину, будет равна нулю.

Составить уравнение из полученных членов:-7х+0=21.Найти неизвестное: -7х=21, ч=21:(-7)=-3.

Подставить уже найденное значение в любое из исходных уравнений и получить второе неизвестное, решив линейное уравнение:

2х–5у=61, 2(-3)–5у=61, -6-5у=61, -5у=61+6, -5у=67, у=-13,4.

Ответ системы уравнений: х=-3, у=-13,4.

Способ подстановки.Из одного уравнения следует выразить любое из искомых членов:х–5у=61-9х+4у=-7.х=61+5у, х=61+5у.Подставить получившееся уравнение во второе вместо числа «икс» (в данном случае):-9(61+5у)+4у=-7.Далее решив

линейное уравнение, найти число «игрек»:

-549+45у+4у=-7, 45у+4у=549-7, 49у=542, у=542:49, у≈11.В произвольно выбранное (из системы) уравнение вставить вместо уже найденного «игрека» число 11 и вычислить второе неизвестное:Х=61+5*11, х=61+55, х=116.

Ответ данной системы уравнений: х=116, у=11.

Графический способ.Заключается в практическом нахождении координаты точки, в которой пересекаются прямые, математически записанные в системе уравнений. Следует начертить графики обоих прямых по отдельности в одной системе координат. Общий вид уравнения прямой: – у=kх+b. Чтобы построить прямую, достаточно найти координаты двух точек, причем, х выбирается произвольно.Пусть дана система: 2х – у=4 у=-3х+1.Строится прямая по первому уравнению, для удобства его нужно записать: у=2х-4. Придумать (полегче) значения для икс, подставляя его в уравнение, решив его, найти игрек. Получаются две точки, по которым строится прямая. (см рис.)х 0 1у -4 -2Строится прямая по второму уравнению: у=-3х+1.Так же построить прямую. (см рис.)х 0 2у 1 -5

Читайте также:  Валентность железа (fe), формулы и примеры

Найти координаты точки пересечения двух построенных прямых на графике (если прямые не пересекаются, то система уравнений не имеет решения – так бывает).

Если одну и ту же систему уравнений решить тремя разными способами, ответ получится одинаковый (если решение верно).

  • Алгебра 8 класса
  • решить уравнение с двумя неизвестными онлайн
  • Примеры решения систем линейных уравнений с двумя
  • Войти на сайт
  • или

Источник: https://www.kakprosto.ru/kak-26308-kak-reshat-sistemu-uravneniy-s-dvumya-neizvestnymi

Матвокс ⋆ примеры решений линейных уравнений с двумя переменными. пример 3 ⋆ энциклопедия математики

Skip to content Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 7

Пример 1

Дано линейное уравнение с двумя неизвестными:

Найти значение x, если:

Чтобы найти x, подставим значение y=2 в уравнение и решим его:

Отсюда:

Умножим:

Решим простейшее уравнение:

Отсюда:

Чтобы найти x разделим обе части уравнения на 2:

Получим:

Итак, если y равен 2, то x равен 9.

Ответ:

  • Дано линейное уравнение с двумя неизвестными:
  • Найти значение x, если:
  • Чтобы найти x, подставим значение y=2 в уравнение и решим его:
  • Отсюда:
  • Отсюда:

Решим линейное уравнение с одной неизвестной. Так как коэффициент при x не равен нулю, то уравнение будет иметь один корень. Найдем его:

  1. Приведем члены правой части уравнения к общему знаменателю:
  2. Отсюда:
  3. Обе части уравнения умножим на 4/3:
  4. Отсюда:
  5. Итак, если y равен 2, то x равен 1/3.
  6. Ответ:

Пример 4

  • Дано линейное уравнение с двумя неизвестными:
  • Найти значение y, если:
  • Чтобы найти y, подставим значение x=9 в уравнение и решим его:
  • Отсюда:
  • Умножим:
  • Решим простейшее уравнение:
  • Отсюда:
  • Чтобы найти y разделим обе части уравнения на -3:
  • Получим:
  • Итак, если x равен 9, то x равен 2.
  • Ответ:
  1. Дано линейное уравнение с двумя неизвестными:
  2. Найти значение y, если:
  3. Чтобы найти y, подставим значение x=2/5 в уравнение и решим его:
  4. Отсюда:
  5. Умножим:

Решим линейное уравнение с одной неизвестной. Так как коэффициент при y не равен нулю, то уравнение будет иметь один корень. Найдем его.

  • Отсюда:
  • Итак, если x равен 2/5, то y равен -1.
  • Ответ:
  1. Дано линейное уравнение с двумя неизвестными:
  2. Найти значение y, если:
  3. Чтобы найти y, подставим значение x=1/3 в уравнение и решим его:
  4. Отсюда:
  5. Отсюда:

Решим линейное уравнение с одной неизвестной. Так как коэффициент при y не равен нулю, то уравнение будет иметь один корень. Найдем его:

  • Приведем члены правой части уравнения к общему знаменателю:
  • Отсюда:
  • Обе части уравнения умножим на 8:
  • Отсюда:
  • Итак, если x равен 1/3, то y равен 2.
  • Ответ:

MATHVOX

Go to Top

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Источник: https://mathvox.ru/algebra/uravneniya-reshenie-uravnenii/glava-4-lineinie-uravneniya/primeri-reshenii-lineinih-uravnenii-s-dvumya-peremennimi-primer-3/

Линейные уравнения с двумя неизвестными

  • ГОПИНА ЛЮБОВЬ ПЕТРОВНА учитель математики МКУ Шумской СОШ
  • Тема урока: Линейные уравнения с двумя переменными.
  • Цель урока: Дать определение линейного уравнения с двумя переменными; выяснить, что значит решить уравнение с двумя переменными; рассмотреть свойства уравнений.
  • Ход урока.
  1. На доске записаны уравнения.

Задание 1: поделить эти уравнения на две группы. 2х=4; 0,3х-12=4; 2х=3у; 4х+2=у; 0,2х-4=5х; х+у=1.

2х=4; 0,2х-4=5х; 0,3х-12=4;

х+у=1; 4х+2=у; 2х=3у.

Задание 2: придумать примеры уравнений второго вида. После примеров пробуем дать определение линейного уравнения с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах+ву=с, где а,в,с- некоторые числа, х и у- переменные.

Задание 3: из предложенных уравнений выбрать те, которые подходят под определение уравнения с двумя переменными: 1)7-х=у; 2)5х-у=4; 3)2ху+5=х; 4)2х-0,4у+7=0; 5)х=ху+8; 6)у-4х+2у=7. Объяснить выбор.

Задание 4: подобрать для уравнения 2х+у=5 такие значения переменным, чтобы они обратили данное уравнение в верное равенство. Выясняем, что таких пар чисел можно подобрать много. Например: если х=1, то у=3

  1. если х=2, то у=1
  2. если х=0, то у=5
  3. Но способом подбора находить пары чисел, которые являются решением данного уравнения не очень удобно.
  4. Задание 5: выразить одну переменную через другую.

2х+у=5 1)у=5-2х или 2) . Проверим подобранные пары чисел, выполнив подстановку в уравнения 1) и 2). Убеждаемся в верности найденных решений.

Задание 6: установить порядок нахождения таких пар чисел, которые являются решением линейного уравнений с двумя переменными.

  • Выразить одну переменную через другую
  • Придать значение одой переменной
  • Вычислить значение другой переменной

Задание 7: самостоятельно найти решение линейных уравнений с двумя переменными: у=2х+4; 2х-у=5; 0,5х+2у=8. а)выразить у через х; б)выразить х через у.

Работая с уравнениями, мы пользуемся свойствами:

  • Переносим слагаемые из одной части в другую, изменив при этом знак на противоположный;
  • Обе части уравнения делим на одно и то же число, не равное нулю.
  • Задание 8: проверить себя: Найдите пары чисел, которые являются решением данных уравнений при х=0.
  • 1)х-у=5; 20х+у=8; 3)у-6х=1.
  • Задание 9: найти пары чисел, которые являются решением данного уравнения
  • 2х+у=5; Предлагаю пары чисел.
  1. х
  2. -5
  3. -4
  4. -3
  5. -1
  6. 4
  7. 5
  8. у
  9. 3
  10. 4
  11. -3
  12. -5
  13. -3

В конце урока подвести итог.

Что же мы знаем?

  • Знаем уравнение линейного уравнения с двумя переменными
  • Умеем выражать одну переменную через другую
  • Умеем находить пары чисел, которые являются решением линейных уравнений с двумя переменными.

Источник: https://infourok.ru/lineynie-uravneniya-s-dvumya-neizvestnimi-439400.html

Уравнение первой степени с двумя неизвестными

  • x2 + y2 = 7.
  • Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливы все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным (§ 48).
  • Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида
  • ax + by = c, (1)
  • где x и y – неизвестные, a и b (коэффициенты при неизвестных) — данные числа, не равные оба нулю, c (свободный член) — любое данное число.
  • Примеры уравнений первой степени:
  • 5x – 2y = 1; 3x + y = 4.
  • Уравнения:
  • 1) 5x – 2y + 3 = 2x + y – 1; 2) y = 1,7x; 3) y = 4x – 9; 4)
  • после переноса членов, содержащих неизвестные, в левую часть, а известных чисел — в правую часть, приводятся к виду (1), а потому эти уравнения также являются уравнениями первой степени.
  • Уравнение (1) называется нормальным видом уравнения первой степени с двумя неизвестными.
  • Из приведенных примеров видно (пример 2 и 3), что рассмотренные ранее равенства, выражающие прямо пропорциональную и линейную зависимости, являются уравнениями первой степени с двумя неизвестными.
  • Равенство, выражающее обратно пропорциональную зависимость, например xy = 8, уже не является уравнением первой степени.
  • Рассмотрим какое-нибудь уравнение с двумя неизвестными, например:
  • 2x – y = 3.
  • Возьмем какую-либо пару чисел, например: x = 1, y = –1. Подставив эти числа в данное уравнение, получим верное равенство:
  • 2 – (–1) = 3.
  • Говорят, что эта пара чисел удовлетворяет данному уравнению или что она (эта пара) есть решение данного уравнения.
  • Возьмем теперь такую пару чисел: x = 2, y = 4.

Подставив эти значения в данное уравнение, получим в его левой части 2 * 2 – 4 = 0. При этих значениях левая часть (нуль) оказалась не равной правой части (т. е. числу 3). Говорят, что пара чисел x = 2, у = 4 не удовлетворяет данному уравнению или что она не есть решение уравнения.

Каждая пара значений x и y, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными x и y обращает его в верное равенство, называется решением этого уравнения.

Решим такую задачу.

Задача. Сумма двух чисел равна 6. Чему равно каждое слагаемое?

  1. Обозначим через x и y искомые слагаемые.
  2. Задача приводит к уравнению:
  3. x + y = 6.
  4. Дадим x какое-либо значение, например x = 2, тогда для другого неизвестного y получим уравнение:
  5. 2 + y = 6,

из которого найдем у = 4. Пара чисел x = 2, y = 4 дает решение нашей задачи.

Однако вместо x = 2 мы могли бы взять какое-нибудь другое значение для x, например x = 1, и тогда мы нашли бы y = 5. Значит, мы получили еще одно решение уравнения: x = 1, y = 5.

В таблице приведено несколько решений данного уравнения: значения x и y записаны друг под другом, а в нижней строчке показано, что сумма этих значений равна 6.

Ясно, что одному из неизвестных (например, x) можно придать любое значение и, подставив его в данное уравнение, найти соответствующее значение другого неизвестного.

Как видим, задача имеет бесконечное множество решений.

Уравнение не дает определенного ответа на вопрос задачи. Оно лишь указывает на зависимость между двумя неизвестными. На основании этой зависимости, зная значение одного неизвестного, мы могли найти значение и другого.

Итак, уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.

Одному из неизвестных можно придать произвольное значение и из данного уравнения найти соответствующее значение другого неизвестного.

Мы уже видели, что в случае линейной (в частности, прямо пропорциональной) зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия. Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.

  • Начнем с примера. Возьмем уравнение:
  • 19x – 6y = –4.
  • Выразив в нем неизвестное y через x, получим:
  • 6y = 19x +4;
  • Мы видим, что это уравнение представляет собой не что иное, как линейную зависимость
  • y = kx + b при.

Значит, графиком этого уравнения является прямая линия (черт. 31).

Какое бы уравнение первой степени, содержащее два неизвестных x и y, мы ни взяли, всегда можно выразить одно из неизвестных, например y, через другое (через x) и получить уравнение (равносильное данному), выражающее линейную зависимость y = kx + b. Например, если 2x + 3y = 5, то. Отсюда вывод:

Графиком уравнения первой степени с двумя неизвестными является прямая линия.

Примечание. Мы рассматривали выше уравнения, содержащие два неизвестных, однако может оказаться, что коэффициент при одном из неизвестных будет равен нулю, так что уравнение запишется в виде уравнения с одним неизвестным.

  1. Возьмем, например, уравнение:
  2. x + 2y – 3 = 2(x – y) + 5
  3. Приведем это уравнение к нормальному виду:
  4. 3x + 0 * y = 8.

Это уравнение также имеет бесконечное множество решений; ему удовлетворяет любая пара чисел, y, где y – произвольное число. Обычно член 0 * y не пишут и уравнение записывают так: 3x = 8.

Источник: https://mthm.ru/algebra6/two-unknown

Ссылка на основную публикацию