Уравнение касательной к графику функции

Содержание

Справочник по математике

Элементы математического анализа

Производная функции

Рассмотрим график некоторой функции y = f (x), точки A= (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) на графике, прямую, проходящую через точки A и B, и произвольную точку C = (x; y) на этой прямой (рис. 1).

Рис.1

Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки A и B графика функции y = f (x), является секущей этого графика.
Выведем уравнение секущей графика функции.
Для этого рассмотрим векторы и , координаты которых имеют вид:

Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство

(1)

где k – некоторое число.

Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

(2)

Исключая из системы (2) переменную k , получим систему (3):

(3)

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

(4)

Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции y = f (x), проходящей через точки A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) этого графика.

Касательная к графику функции

Проведем секущую графика функции y = f (x), проходящую через точки A и B этого графика, и рассмотрим случай, когда точка A неподвижна, а точка B неограниченно приближается к точке A по графику функции y = f (x) (рис. 2).

Рис.2
Неограниченное приближение точки B к точке A принято обозначать
B → A
и произносить «B стремится к A».
Заметим, что, если B → A для точек A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) графика функции y = f (x), то это означает, что x1 → x0 .

Определение 2. Если при x1 → x0 существует предельное положение секущей графика фукнкции y = f (x), то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции y = f (x) в точке A = (x0; f (x0)) (рис. 3) .

Рис.3

Производная функции

Определение 3. Если при x1 → x0 отношение

(5)

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции y = f (x) в точке x0 , обозначают f ′(x0) или и записывают так:

(6)

Уравнение касательной к графику функции

Из формул (4) и (6) вытекает следующее

Утверждение. Если у функции y = f (x) существует производная в точке x0 , то к графику функции y = f (x) в точке с координатами (x0; f (x0)) можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0)

(7)

Геометрический смысл производной

Рассмотрим сначала возрастающую функцию y = f (x) и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) (рис. 4).

Рис.4

Обозначим буквой φ угол, образованный секущей и положительным направлением оси Ox, отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол BAD в треугольнике ABD на рисунке 4 равен φ , и по определению тангенса угла получаем равенство

(8)

причем по определению углового коэффициента прямой tg φ является угловым коэффициентом секущей графика функции y = f (x), проходящей через точки A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) этого графика.

Случай, когда функция y = f (x) убывает, изображен на рисунке 5

Рис.5

В этом случае угол φ является тупым, причем

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция y = f (x) убывает.

Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

где буквой α обозначен угол, образованный касательной к графику функции y = f (x) в точке A = (x0; f (x0)) с положительным направлением оси Ox (рис. 6).

Рис.6
Таким образом, если у функции y = f (x) в точке x0 существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y = f (x) в точке (x0; f (x0)) :
f′(x0) = tg α ,
где угол наклона α образован касательной и положительным направлением оси Ox и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/tangent.htm

4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

Видеоурок: Уравнение касательной к графику функции
Лекция: Уравнение касательной к графику функции
Если некоторая прямая проходит через точку с координатами (х0; f (х0)), а угол наклона данной прямой равен производной функции в данной токе, то такую прямую называют касательной к графику.

Обратите внимание, если не существует производной графика в данной точке, то и не может существовать касательной, или же данная касательная перпендикулярна к оси ОХ. Второй случай можно наблюдать в результате проведения касательной для графика функции арксинуса.

Итак, давайте рассмотрим задание касательной. Мы знаем, что для задания любой прямой, необходимо воспользоваться формулой y = kx + b.

Коэффициент k показывает, под каким углом будет располагаться прямая относительно оси ОХ. Если данный коэффициент больше нуля, то угол наклона между касательной и осью ОХ острый, если же коэффициент отрицательный, то угол между осью ОХ и касательной тупой.

Но давайте возвратимся к тому, что такое угловой коэффициент и как он находится. С прошлых вопросов мы помним, что угловой коэффициент – это производная функции в некоторой точке х0.

Чтобы задать уравнение касательной, необходимо воспользоваться формулой:

Итак, давайте рассмотрим подробнее, для этого необходимо провести аналогию между первоначальным уравнением прямой и уравнением касательной.
Отсюда следует, что для нахождения коэффициента k, необходимо найти производную в рассматриваемой точке.
Давайте найдем уравнение прямой для функции у = х3 в точке х0 = 3.

1. Находим производную данной функции:y' = 3×2.

2. Как уже было сказано ранее, коэффициент – это производная функции в некоторой точке, поэтому

y'(3) = 3* 32 = 27.

3. Как видно из уравнения касательной, нам так же необходимо найти и значение функции в рассматриваемой точке f(x0):

f(3) = 33 = 27.

Совершенно случайно получилось так, что значение производной в точке совпало со значением функции в заданной точке. Обратите внимание, что это просто совпадения и НЕ обязательно y' = f(x0).

4. Теперь давайте составим уравнение касательной по заданной формуле:

у = 27 * (х – 3) + 27.Чтобы получить конечно уравнение, необходимо сделать некоторые преобразования:у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х — 54.То есть уравнение касательной:у = 27х — 54.Найти уравнение касательной достаточно просто, главное не запутаться в формуле. Для этого её необходимо просто выучить.

Предыдущий урок

Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/701-413-uravnenie-kasatelnoy-k-grafiku-funkcii.html

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:
Как найти производную? Производная сложной функции и
Простейшие задачи с производными.

Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявнолибо параметрически.

Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле:

Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением: (ось ординат).

Если же производной не существует (например, производной от в точке ), то, разумеется, не существует и общей касательной.

Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:

Что такое нормаль? Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Как найти уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его вобщем виде . Далее «снимаем» нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору .

Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:
Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:
Пример 1
Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна .
В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)
Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:
В данном случае:
Найдём производную: Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции.
Теперь вычислим производную в точке :
Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу :
Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде: Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле:

Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума: – искомое уравнение.

Ответ:
Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:
– верное равенство.
– верное равенство.

И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения: , что и требовалось проверить.

Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых.

!Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!

Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради: Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция задаёт верхнюю дугу эллипса.
Следующая задача для самостоятельного решения:
Пример 2
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Теперь разберём два особых случая:
1) Если производная в точке равна нулю: , то уравнение касательной упростится: То есть, касательная будет параллельна оси .
Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .
2) Если производная в точке существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом:
Всё просто:
Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке . Сделать чертёж.

Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.

Решение: составим уравнение касательной . В данном случае
Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:
Таким образом:
Поскольку касательная параллельна оси (Случай №1), то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:
Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:
Ответ: ,

В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.

Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда :
Пример 4
Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .
Краткое решение и ответ в конце урока
Случай №2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению:
Пример 5
Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Решение: в критической точке знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные с помощью определения производной (см.

конец статьи Производная по определению): Обе производные бесконечны, следовательно, в точке существует общая вертикальная касательная: Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс.

Формально по формуле: Для лучшего понимания задачи приведу чертёж: Ответ:

Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции:
Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?
Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:
Пример 6
Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
Решение: судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.
В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .

Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению: Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.
Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно:
Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:
На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :
Вот так-то!
Осталось аккуратно разобраться с уравнением:
Составим уравнение нормали:
Ответ:

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 7
Найти уравнение нормали к линии в точке
Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:

Пример 8

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.

Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:
Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции:
И вычислим её значение при :
Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:
Уравнение нормали:
Ответ:
В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:
Пример 9
Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)
Спасибо за внимание и успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле: В данном случае: Таким образом: Уравнение нормали составим по формуле : Ответ:
Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле: В данной задаче: Таким образом: В точке касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали: Ответ:
Пример 7: Решение: в данной задаче: . Найдём производную: Или: Подставим в выражение производной : Искомое уравнение нормали: Ответ:
Пример 9: Решение: в данном случае: Найдём производную и вычислим её значение при : Уравнение нормали: Ответ:

Взято с сайта http://www.mathprofi.ru

Источник: https://megaobuchalka.ru/6/33589.html

Калькулятор онлайн. Уравнение прямой касательной к графику функции в заданной точке

Эта математическая программа находит уравнение касательной к графику функции ( f(x) ) в заданной пользователем точке ( a ).
Программа не только выводит уравнение касательной, но и отображает процесс решения задачи.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Статью из энциклопедии о касательной прямой вы можете посмотреть здесь (статья из Википедии).
Если вам нужно найти производную функции, то для этого у нас есть задача Найти производную.
Если вы не знакомы с правилами ввода функций, рекомендуем с ними ознакомиться.
Примеры подробного решения >>
Правила ввода функций >>

Введите выражение функции ( f(x)) и число (a) Найти уравнение касательной Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Игра «iChart»Создание островаЭмуляторгравитацииГоловоломка «SumWaves»

Напомним, что графиком линейной функции ( y=kx+b) является прямая. Число (k=tg alpha ) называют угловым коэффициентом прямой, а угол ( alpha ) — углом между этой прямой и осью Ox

Если ( k>0), то (0< alpha < frac{pi}{2} ), в этом случае функция ( y=kx+b) возрастает. Если ( k

Если точка М(а; f(a)) принадлежит графику функции у = f(x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной равен f'(a). Далее мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной к графику любой функции.

Пусть даны функция у = f(x) и точка М(а; f(a)) на графике этой функции; пусть известно, что существует f'(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx + b, поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов k и b.

С угловым коэффициентом k все понятно: известно, что k = f'(a). Для вычисления значения b воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f(a)). Это значит, что если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: (f(a)=ka+b ), т.е. ( b = f(a) — ka ).

Осталось подставить найденные значения коэффициентов k и b в уравнение прямой: $$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) — ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f'(a)(x-a) $$

Нами получено уравнение касательной к графику функции ( y = f(x) ) в точке ( x=a ).

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции ( y=f(x) ) 1. Обозначить абсциссу точки касания буквой ( a ) 2. Вычислить ( f(a) ) 3. Найти (f'(x) ) и вычислить (f'(a) )

4. Подставить найденные числа ( a, f(a), f'(a) ) в формулу ( y=f(a)+ f'(a)(x-a) )

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/equation-tangent

Уравнение касательной — это… Что такое Уравнение касательной?

уравнение касательной — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN tangent equation … Справочник технического переводчика
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА — уравнение, к рое содержит хотя бы одну производную 2 го порядка от неизвестной функции и(х)и не содержит производных более высокого порядка. Напр., линейное уравнение 2 го порядка имеет вид где точка х ( х 1, х 2, …, х п )принадлежит нек рой… … Математическая энциклопедия
Метод одной касательной — Метод Ньютона (также известный как метод касательных) это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643 1727), под именем… … Википедия
Метод касательной — Метод Ньютона (также известный как метод касательных) это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643 1727), под именем… … Википедия
Метод касательной (Метод Ньютона) — Метод Ньютона (также известный как метод касательных) это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643 1727), под именем… … Википедия
Интегральное уравнение — Интегральное уравнение функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро дифференциальном… … Википедия
НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — численные методы решения итерационные методы решения нелинейных уравнений. Под нелинейными уравнениями понимаются (см. [1] [3]) алгебраические и трансцендентные уравнения вида где х действительное число, нелинейная функция, а под системой… … Математическая энциклопедия
КЛАПЕЙРОНА — КЛАУЗИУСА УРАВНЕНИЕ — устанавливает связь между изменениями равновесных значений темп ры Т и давления р однокомпонентной системы (чистого в ва) при фазовых переходах первого рода (плавление, испарение, полиморфные превращения и т. п.). Имеет вид: dp/dT=L/(TДV), где ДV … Естествознание. Энциклопедический словарь
КЛАПЕЙРОНА-КЛАУЗИУСА УРАВНЕНИЕ — устанавливает связь между изменениями равновесных значений т ры Ти давления роднокомпонентной системы (чистого в ва) при фазовых переходах первого рода (плавлении, испарении, сублимации, полиморфных превращениях). Имеет вид: где DV изменение… … Химическая энциклопедия
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и … Энциклопедия Кольера

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1157395

Презентация "Уравнение касательной к графику функции" 10 класс

Уравнение касательной к графику функции
10 класс
МБОУ Каменно-Балковская СОШ

учитель: Пономарева Ю.В.

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Верно ли определение? Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку. Пусть дана и две прямые и , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). На данном уроке:

выясним, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной;
рассмотрим основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого:

вспомним общий вид уравнения прямой
условия параллельности прямых
определение производной
правила дифференцирования
Формулы дифференцирования

Определение производной Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение .Если существует предел отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают . Правила дифференцирования

Производная суммы равна сумме производных.
Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.
Производная частного

Основные формулы дифференцирования Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны Параллельны ли прямые: Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной. Геометрический смысл производной Если к графику функции y = f (x) в точке можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной Геометрический смысл производной Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Т.е.

Причем, если :

Вывод уравнения касательной

Пусть прямая задана уравнением:
уравнение касательной к
графику функции

Составить уравнение касательной:

к графику функции в точке

Составить уравнение касательной:

к графику функции в точке

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x).

Обозначим абсциссу точки касания буквой x=a.
Вычислим .
Найдем и .
Подставим найденные числа a , в формулу

Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Ответ:
.
,
,
,
,
.

К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . Самостоятельная работа Номера из учебника

№ 29.3 (а,в)
№ 29.12 (б,г)
№ 29.18
№ 29.23 (а)

Ответьте на вопросы:

Что называется касательной к графику функции в точке?
В чем заключается геометрический смысл производной?
Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

Домашняя работа № 29.3 (б,г) № 29.12 (а,в) № 29.19 № 29.23 (б) Литература

Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010
ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010

Источник: https://uchitelya.com/matematika/181096-prezentaciya-uravnenie-kasatelnoy-k-grafiku-funkcii-10-klass.html

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:
Пример 6
Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
Решение: судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.
В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение.

Уравнение касательной составим по той же формуле

Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно:

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

Вот так-то!

Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ:

Пример 7

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке

jpg» id=»inl_p169img4″> радиуса и даже выразить нужную функцию .

Но зачем?! Ведь найти производную от неявно

заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении
производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:
Пример 8
Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.

Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции:

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:
Уравнение нормали:
Ответ: В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной

линией: Пример 9

Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)
Спасибо за внимание и успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле:
В данном случае:

Ответ:
Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле:
В данной задаче:

В точке касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали:
Ответ:
Пример 7: Решение: в данной задаче: . Найдём производную:
Или:

Искомое уравнение нормали:

Ответ: Пример 9: Решение: в данном случае:

Уравнение нормали:

Ответ:

Источник: https://studfile.net/preview/6055095/page:20/