Уравнение касательной к графику функции

Справочник по математике Элементы математического анализа Производная функции

Уравнение касательной к графику функции

      Рассмотрим график некоторой функции   y = f (x),   точки   A= (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   на графике, прямую, проходящую через точки   A   и   B,   и произвольную точку   C = (x; y)   на этой прямой (рис. 1).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Уравнение касательной к графику функцииУравнение касательной к графику функцииУравнение касательной к графику функции

Рис.1

      Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

  •       В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки   A   и   B   графика функции   y = f (x),   является секущей этого графика.
  •       Выведем уравнение секущей графика функции.
  •       Для этого рассмотрим векторы и , координаты которых имеют вид:

Уравнение касательной к графику функции

      Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство

Уравнение касательной к графику функции (1)

где   k   – некоторое число.

      Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Физические и химические свойства оксидов

Оценим за полчаса!
Уравнение касательной к графику функцииУравнение касательной к графику функции (2)

      Исключая из системы (2) переменную   k ,  получим систему (3):

(3)

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

(4)

      Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

Касательная к графику функции

      Проведем секущую графика функции   y = f (x),   проходящую через точки   A   и   B   этого графика, и рассмотрим случай, когда точка   A   неподвижна, а точка   B   неограниченно приближается к точке   A   по графику функции   y = f (x)   (рис. 2).

  1. Рис.2
  2.       Неограниченное приближение точки   B   к точке   A   принято обозначать
  3. B → A
  4. и произносить   «B   стремится к   A».
  5.       Заметим, что, если   B → A   для точек   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))  графика функции  y = f (x),   то это означает, что   x1 → x0 .

      Определение 2. Если при   x1 → x0   существует предельное положение секущей графика фукнкции   y = f (x),   то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))  (рис. 3) .

Рис.3

Производная функции

      Определение 3. Если при   x1 → x0   отношение

(5)

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции   y = f (x) в точке   x0 ,   обозначают   f ′(x0)   или и записывают так:

(6)

Уравнение касательной к графику функции

      Из формул (4) и (6) вытекает следующее

      Утверждение. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x0 ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x0;  f (x0))   можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0) (7)

Геометрический смысл производной

      Рассмотрим сначала возрастающую функцию   y = f (x)   и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1)) (рис. 4).

Рис.4

      Обозначим буквой   φ   угол, образованный секущей и положительным направлением оси   Ox,   отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол   BAD   в треугольнике   ABD   на рисунке 4 равен   φ ,   и по определению тангенса угла получаем равенство

(8)

причем по определению углового коэффициента прямой   tg φ   является угловым коэффициентом секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

      Случай, когда функция   y = f (x)   убывает, изображен на рисунке 5

Рис.5

      В этом случае угол   φ  является тупым, причем

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция   y = f (x)   убывает.

      Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

где буквой   α   обозначен угол, образованный касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))   с положительным направлением оси   Ox   (рис. 6).

  • Рис.6
  •       Таким образом, если у функции   y = f (x)   в точке   x0   существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   (x0;  f (x0)) :
  • f′(x0) = tg α ,
  • где угол наклона   α   образован касательной и положительным направлением оси   Ox   и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/tangent.htm

4.1.3 Уравнение касательной к графику функции

  • Видеоурок: Уравнение касательной к графику функции
  • Лекция: Уравнение касательной к графику функции
  • Если некоторая прямая проходит через точку с координатами (х0; f (х0)), а угол наклона данной прямой равен производной функции в данной токе, то такую прямую называют касательной к графику.

Обратите внимание, если не существует производной графика в данной точке, то и не может существовать касательной, или же данная касательная перпендикулярна к оси ОХ. Второй случай можно наблюдать в результате проведения касательной для графика функции арксинуса.

Итак, давайте рассмотрим задание касательной. Мы знаем, что для задания любой прямой, необходимо воспользоваться формулой y = kx + b.

Коэффициент k показывает, под каким углом будет располагаться прямая относительно оси ОХ. Если данный коэффициент больше нуля, то угол наклона между касательной и осью ОХ острый, если же коэффициент отрицательный, то угол между осью ОХ и касательной тупой.

Читайте также:  Физические и химические свойства альдегидов

Но давайте возвратимся к тому, что такое угловой коэффициент и как он находится. С прошлых вопросов мы помним, что угловой коэффициент – это производная функции в некоторой точке х0.

Чтобы задать уравнение касательной, необходимо воспользоваться формулой:

Уравнение касательной к графику функции

  1. Итак, давайте рассмотрим подробнее, для этого необходимо провести аналогию между первоначальным уравнением прямой и уравнением касательной.
  2. Отсюда следует, что для нахождения коэффициента k, необходимо найти производную в рассматриваемой точке.
  3. Давайте найдем уравнение прямой для функции у = х3 в точке х0 = 3.

1. Находим производную данной функции:y' = 3×2.

2. Как уже было сказано ранее, коэффициент – это производная функции в некоторой точке, поэтому

y'(3) = 3* 32 = 27.

3. Как видно из уравнения касательной, нам так же необходимо найти и значение функции в рассматриваемой точке f(x0):

f(3) = 33 = 27.

Совершенно случайно получилось так, что значение производной в точке совпало со значением функции в заданной точке. Обратите внимание, что это просто совпадения и НЕ обязательно y' = f(x0).

4. Теперь давайте составим уравнение касательной по заданной формуле:

у = 27 * (х – 3) + 27.Чтобы получить конечно уравнение, необходимо сделать некоторые преобразования:у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х  — 54.То есть уравнение касательной:у = 27х  — 54.Найти уравнение касательной достаточно просто, главное не запутаться в формуле. Для этого её необходимо просто выучить.

Предыдущий урок Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/701-413-uravnenie-kasatelnoy-k-grafiku-funkcii.html

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

  • На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:
  • Как найти производную? Производная сложной функции и
  • Простейшие задачи с производными.

Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявнолибо параметрически.

Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле: Уравнение касательной к графику функции

Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением: (ось ординат).

Если же производной не существует (например, производной от в точке ), то, разумеется, не существует и общей касательной.

Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:

Что такое нормаль? Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Как найти уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его вобщем виде . Далее «снимаем» нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору .

  1. Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:
  2. Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:
  3. Пример 1
  4. Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна .
  5. В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)
  6. Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:
  7. В данном случае:
  8. Найдём производную: Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции.
  9. Теперь вычислим производную в точке :
  10. Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу :
  11. Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде: Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле:

Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума: – искомое уравнение.

  • Ответ:
  • Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:
  • – верное равенство.
  • – верное равенство.

И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения: , что и требовалось проверить.

Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых.

!Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!

  1. Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради: Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция задаёт верхнюю дугу эллипса.
  2. Следующая задача для самостоятельного решения:
  3. Пример 2
  4. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
  5. Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
  6. Теперь разберём два особых случая:
  7. 1) Если производная в точке равна нулю: , то уравнение касательной упростится: То есть, касательная будет параллельна оси .
  8. Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .
  9. 2) Если производная в точке существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом:
  10. Всё просто:
  11. Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке . Сделать чертёж.

Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.

  • Решение: составим уравнение касательной . В данном случае
  • Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:
  • Таким образом:
  • Поскольку касательная параллельна оси (Случай №1), то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:
  • Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:
  • Ответ: ,

В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.

  1. Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда :
  2. Пример 4
  3. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .
  4. Краткое решение и ответ в конце урока
  5. Случай №2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению:
  6. Пример 5
  7. Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Решение: в критической точке знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные с помощью определения производной (см.

конец статьи Производная по определению): Обе производные бесконечны, следовательно, в точке существует общая вертикальная касательная: Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс.

Формально по формуле: Для лучшего понимания задачи приведу чертёж: Ответ:

  • Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции:
  • Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?
  • Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:
  • Пример 6
  • Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
  • Решение: судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.
  • В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .

  1. Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению: Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.
  2. Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно:
  3. Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:
  4. На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :
  5. Вот так-то!
  6. Осталось аккуратно разобраться с уравнением:
  7. Составим уравнение нормали:
  8. Ответ:

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

  • Пример 7
  • Найти уравнение нормали к линии в точке
  • Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:

Пример 8

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.

  1. Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:
  2. Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции:
  3. И вычислим её значение при :
  4. Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:
  5. Уравнение нормали:
  6. Ответ:
  7. В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:
  8. Пример 9
  9. Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.

  • Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)
  • Спасибо за внимание и успехов!
  • Решения и ответы:
  • Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле: В данном случае: Таким образом: Уравнение нормали составим по формуле : Ответ:
  • Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле: В данной задаче: Таким образом: В точке касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали: Ответ:
  • Пример 7: Решение: в данной задаче: . Найдём производную: Или: Подставим в выражение производной : Искомое уравнение нормали: Ответ:
  • Пример 9: Решение: в данном случае: Найдём производную и вычислим её значение при : Уравнение нормали: Ответ:

Взято с сайта http://www.mathprofi.ru

Источник: https://megaobuchalka.ru/6/33589.html

Калькулятор онлайн. Уравнение прямой касательной к графику функции в заданной точке

  • Эта математическая программа находит уравнение касательной к графику функции ( f(x) ) в заданной пользователем точке ( a ).
  • Программа не только выводит уравнение касательной, но и отображает процесс решения задачи.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

  1. Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
  2. Статью из энциклопедии о касательной прямой вы можете посмотреть здесь (статья из Википедии).
  3. Если вам нужно найти производную функции, то для этого у нас есть задача Найти производную.
  4. Если вы не знакомы с правилами ввода функций, рекомендуем с ними ознакомиться.
  5. Примеры подробного решения >>
  6. Правила ввода функций >>
Читайте также:  Интеграл от арксинуса, формула и примеры

Введите выражение функции ( f(x)) и число (a) Найти уравнение касательной Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Игра «iChart»Создание островаЭмуляторгравитацииГоловоломка «SumWaves»

Напомним, что графиком линейной функции ( y=kx+b) является прямая. Число (k=tg alpha ) называют угловым коэффициентом прямой, а угол ( alpha ) — углом между этой прямой и осью Ox

Если ( k>0), то (0< alpha < frac{pi}{2} ), в этом случае функция ( y=kx+b) возрастает. Если ( k

Если точка М(а; f(a)) принадлежит графику функции у = f(x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной равен f'(a). Далее мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной к графику любой функции.

Пусть даны функция у = f(x) и точка М(а; f(a)) на графике этой функции; пусть известно, что существует f'(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx + b, поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов k и b.

С угловым коэффициентом k все понятно: известно, что k = f'(a). Для вычисления значения b воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f(a)). Это значит, что если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: (f(a)=ka+b ), т.е. ( b = f(a) — ka ).

Осталось подставить найденные значения коэффициентов k и b в уравнение прямой: $$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) — ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f'(a)(x-a) $$

Нами получено уравнение касательной к графику функции ( y = f(x) ) в точке ( x=a ).

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции ( y=f(x) ) 1. Обозначить абсциссу точки касания буквой ( a ) 2. Вычислить ( f(a) ) 3. Найти (f'(x) ) и вычислить (f'(a) )

4. Подставить найденные числа ( a, f(a), f'(a) ) в формулу ( y=f(a)+ f'(a)(x-a) )

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/equation-tangent

Уравнение касательной — это… Что такое Уравнение касательной?

  • уравнение касательной — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN tangent equation …   Справочник технического переводчика
  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА — уравнение, к рое содержит хотя бы одну производную 2 го порядка от неизвестной функции и(х)и не содержит производных более высокого порядка. Напр., линейное уравнение 2 го порядка имеет вид где точка х ( х 1, х 2, …, х п )принадлежит нек рой… …   Математическая энциклопедия
  • Метод одной касательной — Метод Ньютона (также известный как метод касательных)  это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643 1727), под именем… …   Википедия
  • Метод касательной — Метод Ньютона (также известный как метод касательных)  это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643 1727), под именем… …   Википедия
  • Метод касательной (Метод Ньютона) — Метод Ньютона (также известный как метод касательных)  это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643 1727), под именем… …   Википедия
  • Интегральное уравнение — Интегральное уравнение  функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро дифференциальном… …   Википедия
  • НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — численные методы решения итерационные методы решения нелинейных уравнений. Под нелинейными уравнениями понимаются (см. [1] [3]) алгебраические и трансцендентные уравнения вида где х действительное число, нелинейная функция, а под системой… …   Математическая энциклопедия
  • КЛАПЕЙРОНА — КЛАУЗИУСА УРАВНЕНИЕ — устанавливает связь между изменениями равновесных значений темп ры Т и давления р однокомпонентной системы (чистого в ва) при фазовых переходах первого рода (плавление, испарение, полиморфные превращения и т. п.). Имеет вид: dp/dT=L/(TДV), где ДV …   Естествознание. Энциклопедический словарь
  • КЛАПЕЙРОНА-КЛАУЗИУСА УРАВНЕНИЕ — устанавливает связь между изменениями равновесных значений т ры Ти давления роднокомпонентной системы (чистого в ва) при фазовых переходах первого рода (плавлении, испарении, сублимации, полиморфных превращениях). Имеет вид: где DV изменение… …   Химическая энциклопедия
  • МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и …   Энциклопедия Кольера

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1157395

Презентация "Уравнение касательной к графику функции" 10 класс

  • Уравнение касательной к графику функции
  • 10 класс
  • МБОУ Каменно-Балковская СОШ

учитель: Пономарева Ю.В.

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Верно ли определение? Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку. Пусть дана и две прямые и , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). На данном уроке:

  • выясним, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной;
  • рассмотрим основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого:

    • вспомним общий вид уравнения прямой
    • условия параллельности прямых
    • определение производной
    • правила дифференцирования
    • Формулы дифференцирования

Определение производной Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение .Если существует предел отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают . Правила дифференцирования

  • Производная суммы равна сумме производных.
  • Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
  • Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.
  • Производная частного

Основные формулы дифференцирования Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны Параллельны ли прямые: Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной. Геометрический смысл производной Если к графику функции y = f (x) в точке можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной Геометрический смысл производной Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Т.е.

Причем, если :

.

Вывод уравнения касательной

  1. Пусть прямая задана уравнением:
  2. уравнение касательной к
  3. графику функции

Составить уравнение касательной:

  • к графику функции в точке

Составить уравнение касательной:

  • к графику функции в точке

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x).

  • Обозначим абсциссу точки касания буквой x=a.
  • Вычислим .
  • Найдем и .
  • Подставим найденные числа a , в формулу

Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

  • Ответ:
  • .
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . Самостоятельная работа Номера из учебника

  • № 29.3 (а,в)
  • № 29.12 (б,г)
  • № 29.18
  • № 29.23 (а)

Ответьте на вопросы:

  • Что называется касательной к графику функции в точке?
  • В чем заключается геометрический смысл производной?
  • Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

Домашняя работа № 29.3 (б,г) № 29.12 (а,в) № 29.19 № 29.23 (б) Литература

  • Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
  • Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
  • Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010
  • ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010

Источник: https://uchitelya.com/matematika/181096-prezentaciya-uravnenie-kasatelnoy-k-grafiku-funkcii-10-klass.html

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?

  • Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:
  • Пример 6
  • Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
  • Решение: судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.
  • В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение.

Уравнение касательной составим по той же формуле

Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно:

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

Вот так-то!

Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ:

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 7

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке

jpg» id=»inl_p169img4″> радиуса и даже выразить нужную функцию .

Но зачем?! Ведь найти производную от неявно

заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

  1. Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении
  2. производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:
  3. Пример 8
  4. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.

Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции:

  • Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:
  • Уравнение нормали:
  • Ответ: В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной

линией: Пример 9

Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.

  1. Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)
  2. Спасибо за внимание и успехов!
  3. Решения и ответы:
  4. Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле:
  5. В данном случае:
  • Ответ:
  • Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле:
  • В данной задаче:
  1. В точке касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали:
  2. Ответ:
  3. Пример 7: Решение: в данной задаче: . Найдём производную:
  4. Или:

Искомое уравнение нормали:

Ответ: Пример 9: Решение: в данном случае:

Уравнение нормали:

Ответ:

Источник: https://studfile.net/preview/6055095/page:20/

Ссылка на основную публикацию