Дифференциал второго порядка, теория и примеры

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Определение 10. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию и её вторую производную, то есть уравнение вида

• где – независимая переменная, – искомая функция, – её первая производная, – вторая производная функции .
• Линейные однородные дифференциальные уравнения
• Второго порядка с постоянными коэффициентами
• Определение 11.Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется дифференциальное уравнение, имеющее вид

где – искомая функция, а и – числа.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами может иметь множество решений. Однако среди них выделяют два базисных решения, по которым строится общее решение уравнения.

1. Будем искать решение уравнения (11) в виде
2. ,
3. где – некоторое число. Подставляя эту функцию в само уравнение (11), получаем
4. .
5. Деля обе части уравнения на , имеем квадратное уравнение относительно :
6. . (12)

Уравнение (12) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (11). Обозначим корни характеристического уравнения (12) через , .

• Справедлива следующая теорема:
• Теорема.1)Если корни характеристического уравнения вещественные и различны: , , то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) имеет вид
• , .
• 2) В случае, когда корни характеристического уравнения вещественные и равные: , общим решением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) является функция
• , .
• 3) Если корни характеристического уравнения комплексно сопряженные: , , , то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (11) имеет вид
• , .
• Примеры. Решим следующие дифференциальные уравнения:
• 1) .

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: . Его корни вещественны и различны: , . Следовательно, общее решение заданного уравнения имеет вид , .

Ответ: , .

2) .

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Корни характеристического уравнения вещественны и совпадают: . Поэтому общее решение исходного уравнения таково .

Ответ: , .

3) .

Корни характеристического уравнения заданного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами комплексно сопряжены: , . Следовательно, общее решение имеет вид .

1. Ответ: , .
2. Тема 2. РЯДЫ
3. Понятие числового ряда
4. Определение 12.Пусть дана числовая последовательность тогда выражение вида
5. (13)
6. называется числовым рядом или просто рядом.
7. Числа называются членами ряда, первым, вторым и так далее, – общим или -ым членом ряда.
8. Суммы конечного числа членов ряда
9. ,
10. ,
11. ,
12. ……………………
13. носят название частичных сумм ряда (13).

Числовой ряд (13) называется сходящимся, если предел его частичных сумм конечен, то есть . Число называется суммой ряда (13): . Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд (13) называется расходящимся.

Пример. Покажем, что ряд сходится.

• Составим частичную сумму первых членов ряда:
• .
• Чтобы упростить выражение для , разложим на элементарные дроби. Имеем
• ,
• .
• Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в числителях дробей, получаем
• , ;
• , ,
• поэтому
• .
• Следовательно,
• .
• Переходя к пределу, находим
• .
• Таким образом, ряд сходится и его сумма равна 1.
• Важное место в теории рядов имеет теорема, отражающая необходимое условие сходимости ряда.

1.2. Необходимое условие сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .

Ряд из предыдущего примера сходится, и его общий член действительно стремится к нулю. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда.

1. Пример.Докажем, что ряд
2. ,
3. который называется гармоническим рядом, расходится.

, то есть для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполнено. Докажем, что это ряд расходится методом от противного. Действительно, если бы этот ряд сходился, то обозначая его сумму через , мы бы имели

Но , то есть . Отсюда следует, что равенство невозможно, то есть гармонический ряд расходится.

Но, если для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то необходимый признак сходимости ряда позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.

1.2. Свойства сходящихся рядов

• 1) На сходимость ряда не влияет отбрасывание, добавление или изменение конечного числа его членов.
• 2) Пусть даны два сходящихся ряда и , тогда ряд сходится и .
• 3) Пусть дан сходящийся ряд и постоянная , тогда ряд сходится и .

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://lektsia.com/3x75dd.html

Дифференциальные уравнения: виды, методы решения

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y'=dxdy, если y является функцией аргумента x.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y'=f(x)

Начнем с примеров таких уравнений.

Пример 1

y'=0, y'=x+ex-1, y'=2xx2-73

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y'=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y'=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x) ≠ 0.

Пример 2

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

ex·y'=2x+1, (x+2)·y'=1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y'=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.

Пример 3

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y'=sin x, (x2-x)·y'=ln(2×2-1)

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y'=f2(y)·g2(x)

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫f(y)dy=∫f(x)dx

Пример 4

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx

Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0.

Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

Пример 5

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y'=cos xy.

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y'=f(ax+by), a,b∈R.

Пример 6

Подставив z = 2x+3y в уравнение y'=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.

Заменив z=xy или z=yx в выражениях y'=fxy или y'=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 7

Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y'=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Пример 8

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y'=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y'=fxy или y'=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.

Пример 9

• Нам дано уравнение y'=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R.
• Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y'=fxy или y'=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0
• Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y'=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y'+P(x)·y=Q(x)

Приведем примеры таких уравнений.

Пример 10

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:

y'-2xy1+x2=1+x2;y'-xy=-(1+x)e-x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y'+P(x)y=Q(x)ya

Приведем примеры подобных уравнений.

Пример 11

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y'+xy=(1+x)e-xy23;y'+yx2+1=arctgxx2+1·y2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Если для любых значений x и y выполняется ∂P(x,y)∂y=∂Q(x,y)∂x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dyпредставляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.

Пример 12

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  y''+py'+qy=0, p,q∈R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
• действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
• комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y=C1ek1x+C2ek2x;
• y=C1ekx+C2xekx;
• y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).

Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y''+3y'=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2e0x⇔y=C1e-3x+C2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y''+py'+qy=f(x), p,q∈R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y''+py'+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.

Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

Пример 14

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y''+p(x)·y'+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x)

1. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.
2. На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.
3. Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1) 1, x, x2, …, xn2) ek1x, ek2x, …, eknx3) ek1x, x·ek1x, …, xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, …, xn2·ek2x,…ekpx, x·ekpx, …, xnp·ekpx4) 1, chx, shx

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Пример 15

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy''-xy'+y=0.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y''+p(x)·y'+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Пример 16

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy''-xy'+y=x2+1.

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), …, y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.

В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p''(x), …, y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p', …, p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.

Пример 17

Дифференциальное уравнение y'''xln(x)=y'' после замены y''=p(x) станет уравнением с разделяющимися переменными y''=p(x), и его порядок с третьего понизится до первого.

d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y) Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Пример 18

Рассмотрим решение уравнения 4y3y''=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y'+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y'+f0·y=f(x)

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

• находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0;
• записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ — частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Пример 19

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y''+y'-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y''+y'-6y=0.

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y'+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y'+f0(x)·y=f(x)

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ — частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, …, yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…

+f1(x)·y'+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, …, yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций.

Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y=y0+y~=∑Cj·yj+y~j=1n

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/vidy-differentsialnyh-uravnenij/

6. Дифференциал второго порядка

• Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка:

Пример 4.
Для функции найти дифференциал второго порядка.

• Найдем частные
  производные первого и второго порядка:
• ;
  ;
• ;
  ;;
• Дифференциал
  второго порядка равен

7. Градиент функции двух переменных

• Градиентом функции в точке называется вектор, начало которого – в точке , а координаты равны значениям частных производных в точке:

Свойства градиента

1. Градиент показывает направление наибольшего возрастания значений функции.

2. Длина вектора градиента равен максимальной скорости изменения функции в направлении градиента.

3. Для функции градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через точку .

Пример 5.
Дана функция .
Найти градиентв точкеи построить его.

Найдем координаты
градиента – частные производные.

В точке градиент
равен .

Начало векторав точке,
а конец — в точке

ZKRY/img-PfQEVS.png» width=»141″>.

5

1

Контрольные вопросы

4. Графиком какой функции двух переменных является плоскость?

9. Как определяется частная производная функции по переменной? По переменной?

10. Как вычисляются частные производные?

11. Дайте определение частных производных второго порядка, третьего, -го порядка функции.

13. Сформулируйте свойство смешанных частных производных функций двух переменных.

14. Запишите полное приращение для функций двух переменных.

18. Какова связь между полным дифференциалом функции нескольких переменных и ее полным приращением?

19. Сформулируйте свойства градиента.

Тема 2. Экстремум функции двух переменных

Содержание

1. Локальный экстремум

2. Условный экстремум функции двух переменных

1. Локальный экстремум

• Значение называетсямаксимумом функции двух переменных , если оно является наибольшим в некоторой окрестности точки , т.е. в этой окрестности выполняется неравенство . Точканазываетсяточкой максимума.

• Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

• Точка называетсястационарной точкой функции , если она является внутренней точкой области определения функции и все частные производные первого порядка в ней равны нулю.
• Точка , в которой частные производные равны нулю или не существуют, называетсякритической точкой функции .

Таким образом,
точки экстремума следует искать среди
ее критических точек.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник: https://studfile.net/preview/4404627/page:3/