Мнимая часть комплексного числа, формула и примеры

Комплексные числа и алгебраические действия над ними

Не существует действительного
числа, квадрат которого равен -1. Но если формулой  определить
оператор i как мнимую единицу, то решение этого уравнения можно записать
в  виде . При этом   и
 — комплексные числа, в которых  -1
это действительная часть, 2 или во втором случае -2 – мнимая часть. Мнимая
часть – это  также действительное (вещественное)  число. Мнимая часть,
умноженная на мнимую единицу, означает уже мнимое число.

В общем виде
комплексное число имеет  вид 

z = x
+ iy ,

где x, y – вещественные
числа,  – мнимая единица. В ряде прикладных 
наук, например, в электротехнике, электронике, теории сигналов  мнимая единица
обозначается через j.

  Вещественные числа  x = Re{z} и y = Im{z} называются вещественной и мнимой частями числа
z.  Выражение  называется алгебраической
формой записи комплексного числа.  

Определение
множества комплексных чисел  С

Это выражение читается следующим
образом: множество С, состоящее из элементов ,
таких что x и y принадлежат множеству действительных
чисел R и — это мнимая единица.  Отметим, что  и т.д.

Комплексные
числа и функции широко используются в науке и технике, в частности, в механике,
анализе и расчете цепей переменного тока, аналоговой электронике, в теории и
обработке сигналов, в теории автоматического управления и др. прикладных
науках.

1. Арифметика комплексных  чисел

Сложение двух комплексных чисел
состоит в сложении их действительных и мнимых частей, т.е.

• .
• Соответственно разность двух комплексных чисел
• .
• Комплексное число  называется
  комплексно сопряженным числу z
  = x + iy.
• Комплексно сопряженные числа  z  и  z*  отличаются
  знаками мнимой части.   Очевидно, что
• .
• Отсюда
• .

Любое равенство между комплексными выражениями остается
справедливым, если в этом равенстве всюду  i заменить на —i,
т.е. перейти к равенству сопряженных чисел. Числа i и  –i  алгебраически
неразличимы, поскольку .

1. Произведение (умножение)  двух
   комплексных чисел может быть вычислено следующим образом:
2. .
3. Поэтому
4. .
5. Деление двух комплексных чисел:
6. .
7. Пример:
8. .

Комплексное
число  графически можно представить  в прямоугольной системе координат. Зададим
в плоскости прямоугольную систему координат (x,  y).

На оси Ox будем располагать  действительные части x
, она называется действительной (вещественной) осью, на оси Oy –мнимые части y  комплексных чисел.

Она носит
название мнимой оси. При этом каждому комплексному числу соответствует
определенная точка плоскости, и такая плоскость называется комплексной
плоскостью.

Точке А комплексной плоскости будет соответствовать
вектор ОА.

• Число x  называется абсциссой
  комплексного числа  , число y – ординатой.
• Пара комплексно сопряженных чисел отображается точками,
  расположенными симметрично относительно действительной оси.
•  

Если на плоскости задать полярную
систему координат, то каждое комплексное число  z  определяется полярными координатами . При этом модуль числа   – это полярный радиус  точки, а угол
— её полярный угол
или аргумент комплексного числа  z.

Модуль 
комплексного  числа всегда неотрицательный.  Аргумент комплексного числа  не
определяется однозначно.  Главное значение аргумента  должно удовлетворять
условию .  Каждой точке комплексной плоскости
соответствует также общее  значение аргумента .
Аргументы, отличающиеся значением, кратным 2π, считаются равными. Аргумент
числа нуль не определен.

1.  Главное
   значение аргумента определяют по выражениям:
2. Очевидно, что 
3. При этом
   ,   .
4. Представление комплексного числа z  в виде
5. называется тригонометрической формой комплексного
   числа.
6. Пример.

1.    Показательная форма комплексных чисел

• Разложение в ряд Маклорена 
  для функций действительного аргумента     имеет
  вид:
• Для экспоненциальной
  функции комплексного аргумента z  разложение имеет аналогичный характер
• .
• Разложение в ряд Маклорена для
  экспоненциальной функции мнимого аргумента можно  представить  как
• Получившееся тождество
  называется формулой Эйлера.
• Для отрицательного аргумента  оно
  имеет вид
• .
• Комбинируя эти выражения, можно
  определить следующие выражения для синуса и косинуса
• .
• Пользуясь формулой Эйлера, из
  тригонометрической формы представления комплексных чисел 

можно получить  показательную (экспоненциальную, 
полярную)  форму  комплексного числа, т.е.  его представление  в виде     

1. ,
2.  где   — полярные
   координаты точки с прямоугольными координатами (x,y).
3.          Число, сопряженное
   комплексному числу , в показательной форме записывается
   следующим образом  .
4. Для показательной формы легко
   определить следующие формулы умножения и деления комплексных чисел
5. ,    
6. ,     

Т.е., в показательной форме
произведение и деление комплексных чисел выполняется проще, чем в
алгебраической форме. При умножении модули сомножителей перемножаются, а
аргументы складываются. Это правило распространяется на любое число сомножителей. 
В частности, при умножении комплексного числа z
на i вектор z поворачивается против часовой стрелки на 90

• При делении
  модуль числителя делится на модуль знаменателя, и из аргумента числителя
  вычитается аргумент знаменателя.
• Используя
  показательную форму комплексных чисел, можно получить выражения для известных
  тригонометрических тождеств. Например, из тождества
• с помощью формулы Эйлера можно
  записать
• Приравнивая действительную и
  мнимую части в данном выражении, получаем выражения для косинуса и синуса суммы
  углов

1. Степени, корни и логарифмы комплексных чисел

Возведение комплексного числа    
 в натуральную степень n  производится
по формуле

,
  т.е.,

  .

Пример. Вычислим   .

1. Представим число  в тригонометрической форме
2. ’
3. Применяя формулу возведения в
   степень, получим
4. .
5. Положив в выражении   значение r = 1, получим так называемую формулу Муавра , при помощи которой можно
   определять  выражения синусов и косинусов кратных углов.
6. Корень n–й степени из комплексного числа z имеет n  различных
   значений, определяемых по выражению

Пример.  Найдем .

• Для этого выразим комплексное
  число ()  к тригонометрической форме
• .
•  По формуле вычисления корня из
  комплексного числа, получаем
• Логарифм комплексного числа z – это число w, для которого . 
  Натуральный логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений и
  вычисляется по формуле
• При этом  ln(r)– обычный вещественный  логарифм модуля r.
• Пример.
• .
• Справедливо равенство .

1. Комплексные  функции от вещественного аргумента

В
электротехнике, электронике, обработке сигналов и др. областях часто используются
функции, для которых независимая переменная вещественная, но функция принимает
комплексные значения,  например,  а) , б) .

Подобную функцию можно разложить
на вещественную и мнимую части, например,

Таким
образом, комплексная функция от вещественного аргумента представляется двумя
вещественными функциями того же аргумента. Например, комплексное напряжение

 состоит
из действительной (косинусоидальной) и мнимой (синусоидальной) части. Такое
напряжение можно представлять как вектор длиной Um , начальной фазой (углом) ,
вращающийся с угловой скоростью ω.

1. Например, дифференцирование
   выражения комплексного напряжения
2.  заключается
   в умножении его на iω.
3. Поэтому проще
   и быстрее выполнять все вычисления над всей комплексной функцией, а в качестве
   окончательного  выражения  взять вещественную или мнимую часть  от результата.

1. Понятие о функциях комплексного переменного

Пусть Е
– множество точек в плоскости ,  а G — множество точек в плоскости . На множестве Е задана
функция комплексного переменного , если каждому
числу  по некоторому правилу поставлено в
соответствие единственное число . Функцию f(z)_
можно записать в виде , где  — вещественная часть функции  f(z),
а – мнимая часть функции. Примеры: .

Значение z изображается точкой в
комплексной плоскости z, а соответствующее значение w —  точкой в комплексной
плоскости w. При отображении  w = f(z) линии
плоскости z переходят в линии плоскости w,
фигуры одной плоскости в фигуры другой, но формы линий или фигур могут
существенно измениться.

Упражнения:

1.  Привести к виду  следующие выражения: а)     б),     в) .
2. Отобразите на комплексной плоскости числа .
3. Приведите к тригонометрической  и показательной формам комплексные числа а)  ,     б) ,   в) .
4. Упростите выражение .
5. Найдите корни уравнения (шесть значений корня из 1) и покажите их расположение на комплексной плоскости

Источник: https://vunivere.ru/work11237

Комплексные числа примеры – Fib0.ru – Суть числа

Когда математики захотели разделить число на число там, где разделить нацело невозможно, они придумали дроби.
Когда они захотели вычесть большее число из меньшего, они придумали отрицательные числа.
Всякий раз, когда чего-то нельзя сделать, математики придумывают что-нибудь новое, чтобы все-таки сделать это.

Так что, когда невозможность извлечь квадратный корень из отрицательного числа начала серьезно раздражать, они… догадайтесь, что сделали?

И. Стюарт

Понятие комплексного числа

Среди всех множеств чисел, которые изучаются в курсе основной, старшей школы, а также в курсе высшей математики, можно выделить два множества, которые являются самыми широкими множествами. Это действительные и комплексные числа, при этом стоит отметить, что множество комплексных чисел шире, чем множество действительных и включает его.

 Комплексные числа в математике, которая изучается в школе, рассматриваются крайне редко. В основном это происходит в классах с углубленным изучением математических дисциплин.

В курсе высшей математики с комплексными числами знакомятся при изучении такого раздела как алгебра, где впервые встречаются комплексные числа.

Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более широкое распространение.

Ф. Клейн.

Итак, для того чтоб ответить на вопрос какие числа называются комплексными, введем понятие комплексного числа.

Комплексным числом называется выражение вида a + b * i, где i – мнимая единица – некий символ, квадрат которого равен -1, а числа а и b – это действительные числа. При этом выражения a и b * i, соответственно, это действительная и мнимая часть комплексного числа.

То есть действительная часть комплексного числа – это слагаемое, которое не содержит мнимую единицу, а для того, чтоб найти мнимую часть комплексного числа, достаточно рассмотреть второе слагаемое, содержащее i.

Часто мнимые числа содержат в своей записи действительные числа, то есть b * i – это число мнимое, а b – действительное число, которое в нем содержится.

Число а – это действительная часть комплексного числа.

Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.

Л. Карно.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Прежде чем рассматривать другие формы записи комплексного числа рассмотрим не только сами комплексные числа, но и операции над ними.

К операциям над комплексными числами в алгебраической форме относятся:

• Сложение;
• Вычитание;
• Умножение;
• Деление.

Как считать и проводить алгебраические операции, содержащие комплексные числа

• Введем комплексные числа как примеры 2 + 3 * i, 1 – 5 * i и рассмотрим выполнение указанных выше операций.
• Сложение
• 2 + 3 * i + 1 – 5 * i = 2 + 1 + 3 * i – 5 * i = 3 + (3 – 5) * i = 3 – 2 * i.
• Вычитание
• 2 + 3 * i – (1 – 5 * i) = 2 – 1 + 3 * i – (-5 * i) = 1 + (3 + 5) * i = 1 + 8 * i.
• Умножение
• (2 + 3 * i) * (1 – 5 * i) = 2 * 1 + 3 * i * 1 – 2 * 5 * i – 3 * i * 5 * i = 2 + 3 * i – 10 * i + 15 = 17 – 7 * i.
• Деление
• (2 + 3 * i) / (1 – 5 * i) = (2 + 3 * i) * (1 + 5 * i) / ((1 – 5 * i) * (1 + 5 * i)) =
• = (2 * 1 + 3 * i * 1 + 2 * 5 * i + 3 * i * 5 * i) / (1 * 1 – 5 * i * 5 * i) =
• = (2 + 3 * i + 10 * i – 15) / (1 + 25) = (-13 + 13 * i) / 26 = -0,5 + 0,5 * i.

Стоит обратить внимание, что при совершении арифметических операций над комплексными числами, выполняемые действия аналогичны к тем, которые производятся при преобразовании многочленов (двучленов). Однако не следует забывать, что при возведении в квадрат комплексного числа i, в результате всегда получается число -1.

Ещё одним важным нюансом при вычислении частного комплексных чисел является необходимость умножать числитель и знаменатель дроби, полученной при записи частного, на выражение (комплексное число), которое является сопряженным к знаменателю.

На этом этапе достаточно просто убедиться, что мало знать комплексные числа, нужны ещё формулы сокращенного умножения, которые позволяют получать упрощенное выражение (которое преобразуется в действительное число), в знаменателе дроби.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Приведенную выше информацию можно назвать «комплексные числа для чайников». Она включила информацию про комплексные числа кратко представленную в доступной для читателя форме.

Если же есть необходимость углубляться в теорию комплексных чисел, то тут уже стоит рассматривать тригонометрическую форму записи комплексного числа. Она представляет собой выражение вида r * (cos(f) + i * sin(f)).

В представленном выражении появляются новые обозначения помимо хорошо известных тригонометрических функций косинус и синус, которые находятся от угла f.

Итак, именно с угла f и начнем пояснение. Величина f для комплексного числа это угол наклона вектора, который характеризует комплексное число.

Рассмотренная величина называется аргументом комплексного числа и используется не только в тригонометрической, а и в показательной форме записи комплексных чисел.

Она может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Теперь вернемся к первому множителю, который указан в тригонометрической форме записи – множитель r. Эта величина r называется модулем комплексного числа.

Для его вычисления необходимо найти корень квадратный из суммы квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа.

Тригонометрическая, как и показательная формы записи комплексного числа необходимы в первую очередь для проведения таких операций над комплексными числами как извлечения корня комплексного числа, а также возведения комплексного числа в любую степень.

Безусловно, если говорить про алгебраическую форму записи, то возведение в степень будет доступным, но уже при возведении в степень большую чем, например, третья, будут возникать неудобства вычисления.

Возводя же в любую степень комплексное число в тригонометрической форме, достаточно в эту степень возвести модуль комплексного числа, а его аргумент – умножить на указанный показатель степени. В случае получения достаточно больших значений для аргумента, их без труда можно уменьшить, используя периодичность тригонометрических функций синус и косинус.

При правильном подходе видим, что комплексные числа являются достаточно простой темой, а действия над ними схожи с теми действиями, которые выполнялись при изучении таких тем курса алгебры и начал анализа как:

• Тригонометрические функции;
• Степенные выражения и действия над ними;
• Многочлены и действия над ними.

Из истории о комплексных числах

Развитие понятия числа от натуральных к действительным был связан как с нуждами практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие математики считали «настоящими» лишь натуральные числа, но в житейских расчетах за тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне уже применялись дроби.

Следующим значительным этапом в развитии понятия о числе было открытие отрицательных величин. Их ввели китайские математики за два века до н. э. а древнегреческий ученый Диофант в III веке н.э. уже мог производить действия над отрицательными числами.

В тринадцатом веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и определили, что с числами отрицательными эта операция неосуществима. Но в шестанадцатом веке в связи с познанием кубических уравнений математики столкнулись с данной проблемой. Исходя из этого итальянский алгебраист Дж.

Но в первой половине 70-ых годов XVI века его соплеменник Р. Бомбелли опубликовал книгу, в которой были введены первые правила арифметических операций над подобными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Наименование «мнимые числа» во второй половине 30-ых годов семнадцатого века было введено философом и французским великим математиком Р. Декартом. А во второй половине 70-ых годов восемнадцатого века один из виднейших алгебраистов 18 века – Л. Эйлер – внес предложение применять первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа I = √-1.

Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л. Карно, но в оборот он вошел лишь благодаря трудам К. Гаусса. Постепенно расширялась техника операций над комплексными числами.

На рубеже 17 – 18 столетий была выстроена общая теория корней n-й степени сперва из отрицательных, а позже из любых комплексных чисел, а подробное геометрическое пояснение «мнимым» величинам дали в собственных трудах К. Вессель и Ж. Арган.

В конце 18 века великий математик из Франции Ж. Лагранж смог заявить, что матанализ уже не затрудняют мнимые величины.

Посредством комплексных чисел обучились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а Я. Бернулли использовал комплексные числа для вычисления интегралов.

Кроме этого посредством «мнимых» величин были решены задачи, которые связаны с гидродинамикой и картографией.

Интересные факты о комплексных числах

1. В 1572 году появилась книга, написанная великим математиком из Италии Рафаэлем Бомбелли – в этой книги автор описал правила арифметических операций с такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.
2. Для многих знаменитых деятелей – учёных XVII века алгебраическая и геометрическая природа мнимых величин представлялась непонятной.
3. Известно, например, что Исаак Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Готфрид Лейбниц высказал: «Мнимые числа – это чудесное и прекрасное убежище божественного духа, почти как амфибия бытия с небытием».

Об авторе

Источник: https://fib0.ru/kompleksnye-chisla-primery.html

Математика. Комплексные числа. Введение

Начнём с самого важного — это название темы. Расставим правильно ударение, нужно говорить «комплЕксные числа», это очень важно. Как говорил один препод в универе: «обед у вас кОмплексный, а числа комплЕксные!».

Если таких мелочей не знать, то математичка в ваших знаниях сильно усомнится.

Комплексные числа являются одной из самой главных тем в теории чисел, считая что вещественные числа являются частным случаем.

Они подразумевают под собой, что число состоит из действительной и мнимой частей. Записывается в виде:

Где а-действительная часть, а b-мнимая (нереальная, несуществующая).

Не сложно догадаться почему вещественные числа являются частным случаем, ведь их можно записать в виде:

Имея в виду что мнимая часть будет равняться нулю и останется только действительная.

Забыли затронуть что такое «i» у нас в записи. Это мнимая единица и равняется она «квадратному корню из минус единицы».

Любое число умноженное на «i», будет являться мнимым.

Как и вещественные числа, комплексные тоже можно изобразить, только не на обычной плоскости, а на «комплексной». Где ось «y» будет называться «мнимая — Im(z) — (Imaginary)», а ось «x» «действительная — Re(z) — (Real)».

Комплексное число на плоскости изображается в виде радиус вектора.

Разберёмся с обозначениями на графике, там присутствует «|z|», это модуль, он обозначает длину радиус вектора. Другое обозначение это «φ», с её помощью вводится понятие угла отклонения радиус вектора от действительной оси. Длина вектора и угол вычисляются по формулам:

Формула вычисления угла может изменяться в зависимости от четверти в которой находится комплексное число.

Все знают что с числами можно выполнять различные операции, такие как: сложение, вычитание, умножение, деление. делается всё это немного сложней, потому что у нас есть помимо вещественной части ещё и мнимая. Разберёмся со сложением и вычитанием на данный момент. Посмотрим как это делается на примере, таким образом проще понять.

Ничего затруднительного нет, действительную часть складываем с действительной, мнимую с мнимой. Очевидно же.

Вот с умножением и делением придётся «попотеть», вспомнить формулы сокращённого умножения в некоторых случаях. Разберём тоже на примерах.

Метод умножения: фонтанчиком. Первая циферка из первой скобки умножается на циферки второй скобки с соответствующими знаками, после вто… Так, вы это знаете, не стоит продолжать, всё ясно.

Приступим к делению, цифры те же.

Изначально наша задача записать всё это действие в виде «отдельно действительная часть, отдельно мнимая». Для этого потребовалось избавиться от мнимой части в знаменателе, мы домножили числитель и знаменатель на число «комплексно сопряжённое» знаменателю. После этого действия идут алгебраические вычисления, которые в итоге приводят нас к ответу.

Поясним за комплексно сопряжённое. Это обычное комплексное число, только записанное со знаком минус.

Обозначается оно с чёрточкой сверху.За сегодня ознакомились с самыми элементарными понятиями в теории комплексных числе. В следующий раз разберёмся с видами записи комплексных чисел. Оставляйте в х что необходимо разобрать в другой раз. Спасибо за внимание.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5c764fc306dc8700b30ed31a/5c90f3e167b81d00b237b55b