Полная производная функции, формула и примеры

Мы уже рассмотрели понятие сложной функции. Следующий этап — нахождение производной. Легче всего понять, как находится производная сложной функции, рассматривая конкретные примеры.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  • Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f'(u)·u'(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u. На первых порах нам поможет разобраться, как находится производная сложной функции для каждой конкретной функции, следующая таблица:
  •     Полная производная функции, формула и примеры
  • Кроме того, полезно помнить следующие формулы:
  •     Полная производная функции, формула и примеры
  •     Полная производная функции, формула и примеры
  •     Полная производная функции, формула и примеры
  •     Полная производная функции, формула и примеры
Читайте также:  Кислород и его характеристики

Итак, найти производную сложной функции. Примеры.

1) y=sin(2x+3). Здесь внешняя функция синус: f=sinu, внутренняя — линейная: u=2x+3. Соответственно, производная данной сложной функции есть y’=cos(2x+3)·(2x+3)’=c0s(2x+3)·2=2c0s(2x+3).

2) y=cos(5-7x). Внешняя функция — косинус: f=cosu, внутренняя — линейная: u=5-7x. Поэтому y’=- sin(5-7x)·(5-7x)’=- sin(5-7x)·(-7)=7sin(5-7x).

  1.     Полная производная функции, формула и примеры
  2.     Полная производная функции, формула и примеры
  3.     Полная производная функции, формула и примеры
  4.     Полная производная функции, формула и примеры
  5.     Полная производная функции, формула и примеры
  6. Здесь f=tgu, u=5x+π/8. π- число, значит, π/8 — тоже число, то есть (5x+π/8)’=5

8) y=sin²x. Здесь f=u², u=sinx. Почему так? Но ведь sin²x=(sinx)². Полезно запомнить, что, как только появляется степень, то внешняя функция — степенная, а внутренняя — это то, что в степень возводится. Итак, производная данной сложной функции есть

  • y’=2·sinx·(sinx)’=2sinxcosx=sin 2x.

Найти производную сложной функции. Примеры для самопроверки.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула фосфорной кислоты в химии

Оценим за полчаса!
  1. Показать решение

Источник: http://www.matematika.uznateshe.ru/proizvodnaya-slozhnoj-funkcii-primery/

Производная сложной функции

Какой задачник по высшей математике (математическому анализу) вы используете? Пожалуйста, проголосуйте за свой сборник в этой теме (регистрация не требуется).

Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

Пусть 1) функция $u=varphi (x)$ имеет в некоторой точке $x_0$ производную $u_{x}'=varphi'(x_0)$, 2) функция $y=f(u)$ имеет в соответствующей точке $u_0=varphi (x_0)$ производную $y_{u}'=f'(u)$. Тогда сложная функция $y=fleft(varphi (x)
ight)$ в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций $f(u)$ и $varphi (x)$:

$$ left( f(varphi (x))
ight)'=f_{u}'left(varphi (x_0)
ight)cdot varphi'(x_0) $$

или, в более короткой записи: $y_{x}'=y_{u}'cdot u_{x}'$.

В примерах этого раздела все функции имеют вид $y=f(x)$ (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной $x$). Соответственно, во всех примерах производная $y'$ берётся по переменной $x$. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной $x$, часто вместо $y'$ пишут $y'_x$.

В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.

Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.

  • Пример №1
  • Найти производную функции $y=e^{cos x}$.
  • Решение

Нам нужно найти производную сложной функции $y'$. Так как $y=e^{cos x}$, то $y'=left(e^{cos x}
ight)'$. Чтобы найти производную $left(e^{cos x}
ight)'$ используем формулу №6 из таблицы производных. Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае $u=cos x$. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения $cos x$ вместо $u$:

Полная производная функции, формула и примеры

Итак,

$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)' ag {1.1}$$

Теперь нужно найти значение выражения $(cos x)'$. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя $u=x$ в формулу №10, имеем: $(cos x)'=-sin xcdot x'$. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:

$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)'= e^{cos x}cdot (-sin xcdot x') ag {1.2} $$

Так как $x'=1$, то продолжим равенство (1.2):

$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)'= e^{cos x}cdot (-sin xcdot x')=e^{cos x}cdot (-sin xcdot 1)=-sin xcdot e^{cos x} ag {1.3} $$

Итак, из равенства (1.3) имеем: $y'=-sin xcdot e^{cos x}$. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.

  1. Ответ: $y'=-sin xcdot e^{cos x}$.
  2. Пример №2
  3. Найти производную функции $y=9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)$.
  4. Решение

Нам необходимо вычислить производную $y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'$. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:

$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)' ag {2.1} $$

Теперь обратимся к выражению $left(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'$.

Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: $left(left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{12}
ight)'$.

Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. $left(u^alpha
ight)'=alphacdot u^{alpha-1}cdot u'$. В эту формулу подставим $u=arctg(4cdot ln x)$ и $alpha=12$:

Полная производная функции, формула и примеры

Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:

$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'= 108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))' ag {2.2} $$

Примечание: показатьскрыть

В этой ситуации часто допускается ошибка, когда решатель на первом шаге выбирает формулу $(arctg ; u)'=frac{1}{1+u^2}cdot u'$ вместо формулы $left(u^alpha
ight)'=alphacdot u^{alpha-1}cdot u'$. Дело в том, что первой должна находиться производная внешней функции.

Чтобы понять, какая именно функция будет внешней для выражения $arctg^{12}(4cdot 5^x)$, представьте, что вы считаете значение выражения $arctg^{12}(4cdot 5^x)$ при каком-то значении $x$. Сначала вы посчитаете значение $5^x$, потом умножите результат на 4, получив $4cdot 5^x$.

Теперь от этого результата берём арктангенс, получив $arctg(4cdot 5^x)$. Затем возводим полученное число в двенадцатую степень, получая $arctg^{12}(4cdot 5^x)$. Последнее действие, — т.е. возведение в степень 12, — и будет внешней функцией.

И именно с неё надлежит начинать нахождение производной, что и было сделано в равенстве (2.2).

  • Теперь нужно найти $(arctg(4cdot ln x))'$. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё $u=4cdot ln x$:
  • Немного упростим полученное выражение, учитывая $(4cdot ln x)^2=4^2cdot (ln x)^2=16cdot ln^2 x$.
  • Равенство (2.2) теперь станет таким:

$$ (arctg(4cdot ln x))'=frac{1}{1+(4cdot ln x)^2}cdot (4cdot ln x)' $$ $$ (arctg(4cdot ln x))'=frac{1}{1+(4cdot ln x)^2}cdot (4cdot ln x)'=frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)' $$ $$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=\ =108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))'=108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)' ag {2.3} $$

Осталось найти $(4cdot ln x)'$. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: $(4cdot ln x)'=4cdot (ln x)'$.

Для того, чтобы найти $(ln x)'$ используем формулу №8, подставив в нее $u=x$: $(ln x)'=frac{1}{x}cdot x'$.

Так как $x'=1$, то $(ln x)'=frac{1}{x}cdot x'=frac{1}{x}cdot 1=frac{1}{x}$. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:

$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=\ =108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))'=108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)'=\ =108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot 4cdot frac{1}{x}=432cdot frac{arctg^{11}(4cdot ln x)}{xcdot (1+16cdot ln^2 x)}. $$

Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.

  1. Ответ: $y'=432cdot frac{arctg^{11}(4cdot ln x)}{xcdot (1+16cdot ln^2 x)}$.
  2. Пример №3
  3. Найти $y'$ функции $y=sqrt[7]{sin^3(5cdot9^x)}$.
  4. Решение

Для начала немного преобразим функцию $y$, выразив радикал (корень) в виде степени: $y=sqrt[7]{sin^3(5cdot9^x)}=left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}$. Теперь приступим к нахождению производной. Так как $y=left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}$, то:

$$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)' ag {3.1} $$

  • Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё $u=sin(5cdot 9^x)$ и $alpha=frac{3}{7}$:
  • Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:
  • Теперь нужно найти $(sin(5cdot 9^x))'$. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё $u=5cdot 9^x$:
  • Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

$$ left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'= frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}-1} (sin(5cdot 9^x))'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))' $$ $$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))' ag {3.2} $$ $$ (sin(5cdot 9^x))'=cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)' $$ $$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))'=\ =frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)' ag {3.3} $$

Осталось найти $(5cdot 9^x)'$. Для начала вынесем константу (число $5$) за знак производной, т.е. $(5cdot 9^x)'=5cdot (9^x)'$.

Для нахождения производной $(9^x)'$ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё $a=9$ и $u=x$: $(9^x)'=9^xcdot ln9cdot x'$.

Так как $x'=1$, то $(9^x)'=9^xcdot ln9cdot x'=9^xcdot ln9$. Теперь можно продолжить равенство (3.3):

$$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))'=\ =frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)'= frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot 5cdot 9^xcdot ln9=\ =frac{15cdot ln 9}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}cdot cos(5cdot 9^x)cdot 9^x. $$

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав $left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}$ в виде $frac{1}{left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{4}{7}}}=frac{1}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}$. Тогда производная будет записана в такой форме:

$$ y'=frac{15cdot ln 9}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}cdot cos(5cdot 9^x)cdot 9^x= frac{15cdot ln 9}{7}cdot frac{cos (5cdot 9^x)cdot 9^x}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}. $$

  1. Ответ: $y'=frac{15cdot ln 9}{7}cdot frac{cos (5cdot 9^x)cdot 9^x}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}$.
  2. Пример №4
  3. Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.
  4. Решение
  5. В формуле №2 таблицы производных записана производная функции $u^alpha$. Подставляя $alpha=-1$ в формулу №2, получим:

$$(u^{-1})'=-1cdot u^{-1-1}cdot u'=-u^{-2}cdot u' ag {4.1}$$

Так как $u^{-1}=frac{1}{u}$ и $u^{-2}=frac{1}{u^2}$, то равенство (4.1) можно переписать так: $left( frac{1}{u}
ight)'=-frac{1}{u^2}cdot u'$. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё $alpha=frac{1}{2}$:

$$left(u^{frac{1}{2}}
ight)'=frac{1}{2}cdot u^{frac{1}{2}-1}cdot u'=frac{1}{2}u^{-frac{1}{2}}cdot u' ag {4.2} $$

Так как $u^{frac{1}{2}}=sqrt{u}$ и $u^{-frac{1}{2}}=frac{1}{u^{frac{1}{2}}}=frac{1}{sqrt{u}}$, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

$$ (sqrt{u})'=frac{1}{2}cdot frac{1}{sqrt{u}}cdot u'=frac{1}{2sqrt{u}}cdot u' $$

Полученное равенство $(sqrt{u})'=frac{1}{2sqrt{u}}cdot u'$ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения $alpha$.

  • Пример №5
  • Найти $y'$, если $y=arcsin 2^x$.
  • Решение
  • Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.
Читайте также:  Пояснительная записка к курсовой работе

Полная производная функции, формула и примеры

  1. Ответ: $y'=frac{2^xln 2}{sqrt{1-2^{2x}}}$.
  2. Пример №6
  3. Найти $y'$, если $y=7cdot lnsin^3 x$.
  4. Решение

Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.

Полная производная функции, формула и примеры

  • Ответ: $y'=21cdotctg x$.
  • Пример №7
  • Найти $y'$, если $y=frac{9}{ g^4(log_{2}(2cdotcos x))}$.
  • Решение

Полная производная функции, формула и примеры Полная производная функции, формула и примеры Полная производная функции, формула и примеры Полная производная функции, формула и примеры Полная производная функции, формула и примеры Онлайн-занятия по высшей математике

Источник: https://math1.ru/education/differ_calculus/composite_func.html

Контрольная Работа РУ — все по-шаговые математические калькуляторы в одном месте. Вы можете задать любой вопрос!

Полная производная функции, формула и примеры

Калькулятор решает производные c описанием действий ПОДРОБНО бесплатно!

Производная функции от одной переменной

Полная производная функции, формула и примеры

Это он-лайн сервис в один шаг:

  • Ввести функцию, для которой надо найти производную

Перейти: Онлайн сервис «Производная функции»

Производная функции от двух или трех переменных

Полная производная функции, формула и примеры

Это он-лайн сервис в один шаг:

  • Ввести функцию, для которой надо найти частные производные

Перейти: Онлайн сервис «Частная производная функции»

Производная параметрической функции

Полная производная функции, формула и примеры

Это он-лайн сервис в три шага:

  • Ввести функцию x = x(t)
  • Ввести функцию y = y(t)

Перейти: Онлайн сервис «Производной параметрической функции»

Таблица производных

Вы также можете воспользоваться таблицей производных, чтобы самостоятельно вычислить любую производную, перейти:

Полная производная функции, формула и примеры

Производная неявной функции

Введите функцию, заданную в неявном виде, вы получите соответствующую производную

Производная сложной функции

Производную сложной функции онлайн вы сможете вычислить с помощью калькулятора производных здесь

Вторая производная

Полная производная функции, формула и примеры

Это он-лайн сервис в два шага:

  • Ввести функцию, для которой надо найти производную
  • Ввести найденную первую производную в форму

Перейти: Онлайн сервис «Вторая производная функции»

Третья производная

Полная производная функции, формула и примеры
Это он-лайн сервис в три шага:

  • Ввести функцию, для которой надо найти производную
  • Ввести найденную первую производную в форму
  • Ввести найденную вторую производную функции в форму

Перейти: Онлайн сервис «Третья производная функции»

Источник: https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/

Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

Примеры подробного решения >>

Введите выражение функции Найти производную функции f(x) Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Игра «iChart»Создание островаЭмуляторгравитацииГоловоломка «SumWaves»

Определение. Пусть функция ( y = f(x) ) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку ( x_0 ). Дадим аргументу приращение ( Delta x ) такое, чтобы не выйти из этого интервала.

Найдем соответствующее приращение функции ( Delta y ) (при переходе от точки ( x_0 ) к точке ( x_0 + Delta x ) ) и составим отношение ( frac{Delta y}{Delta x} ).

Если существует предел этого отношения при ( Delta x
ightarrow 0 ), то указанный предел называют производной функции ( y=f(x) ) в точке ( x_0 ) и обозначают ( f'(x_0) ).

$$ lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x} = f'(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y'. Отметим, что y' = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x).

  • Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной: ( k = f'(a) )
  • Поскольку ( k = tg(a) ), то верно равенство ( f'(a) = tg(a) ) .
  • А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция ( y = f(x) ) имеет производную в конкретной точке ( x ): $$ lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x} = f'(x) $$

Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство ( frac{Delta y}{Delta x} approx f'(x) ), т.е. ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ).

Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х.

Например, для функции ( y = x^2 ) справедливо приближенное равенство ( Delta y approx 2x cdot Delta x ). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

1. Зафиксировать значение ( x ), найти ( f(x) ) 2. Дать аргументу ( x ) приращение ( Delta x ), перейти в новую точку ( x+ Delta x ), найти ( f(x+ Delta x) ) 3. Найти приращение функции: ( Delta y = f(x + Delta x) — f(x) ) 4. Составить отношение ( frac{Delta y}{Delta x} ) 5. Вычислить $$ lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x} $$

Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ). Если в этом равенстве ( Delta x ) устремить к нулю, то и ( Delta y ) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция ( y=sqrt[3]{x} ) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и ( f'(0) )

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями.

Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.

Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования: $$ C'=0 $$ $$ x'=1 $$ $$ ( f+g)'=f'+g' $$ $$ (fg)'=f'g + fg' $$ $$ (Cf)'=Cf' $$ $$ left(frac{f}{g}
ight) ' = frac{f'g-fg'}{g^2} $$ $$ left(frac{C}{g}
ight) ' = -frac{Cg'}{g^2} $$ Производная сложной функции: $$ f'_x(g(x)) = f'_g cdot g'_x $$

$$ left( frac{1}{x}
ight) ' = -frac{1}{x^2} $$ $$ ( sqrt{x} ) ' = frac{1}{2sqrt{x}} $$ $$ left( x^a
ight) ' = a x^{a-1} $$ $$ left( a^x
ight) ' = a^x cdot ln a $$ $$ left( e^x
ight) ' = e^x $$ $$ ( ln x )' = frac{1}{x} $$ $$ ( log_a x )' = frac{1}{xln a} $$ $$ ( sin x )' = cos x $$ $$ ( cos x )' = -sin x $$ $$ ( ext{tg} x )' = frac{1}{cos^2 x} $$ $$ ( ext{ctg} x )' = -frac{1}{sin^2 x} $$ $$ ( arcsin x )' = frac{1}{sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( arccos x )' = frac{-1}{sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( ext{arctg} x )' = frac{1}{1+x^2} $$ $$ ( ext{arcctg} x )' = frac{-1}{1+x^2} $$

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/derivative

Ссылка на основную публикацию