Решение уравнений, формулы и примеры

Уравнение представляет собой математическое утверждение , что два выражения равны, например,  . Решением уравнения является любой набор значений, который может заменить переменные для создания истинного оператора. Рассмотрим какие уравнения являются линейными, как решать линейные уравнения, какие правила для решения линейных уравнений надо знать и применять.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Линейное уравнение и его решение

Линейным называется уравнение, в котором x — переменная входит в первой степени. Почему линейное уравнение называется линейным? Потому что им описывается прямая (линия).

Решать такое уравнение легко и просто  — вам нужно просто разделить по разным сторонам от знака = неизвестные и известные в уравнении.

А далее применить необходимые преобразования, если они нужны, или сразу же найти корень уравнения.

Простое решение

Переменная в уравнении  это и решение будет . Чтобы убедиться в этом, замените значение в уравнении и получите истинное утверждение:

Особенно полезны уравнения, связывающие две переменные. Если мы знаем значение одной из переменных, мы можем найти соответствующее значение другой переменной, решая уравнение.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Периодический закон и периодическая система менделеева

Оценим за полчаса!

Пример: Уравнение определяет заработную плату Эмили , где — количество часов, которые необходимо работать в неделю. Сколько часов нужно будет работать Эмили на следующей неделе, если она хочет заработать 3600 рублей?

Решение: Понятно, что в этом случае , подставляем это значение в уравнение и находим :

Решение уравнений, формулы и примеры

  • Итак, получается, что Эмили нужно проработать 60 часов.
  • Чтобы решить уравнение, мы можем получить более простые уравнения, которые имеют одинаковые решения.

Решение уравнений, формулы и примеры

Уравнения, имеющие одинаковые решения, называются эквивалентными уравнениями. Например,

и

имеют одинаковые решения, то есть являются эквивалентными. Это, конечно, написано математически строгим языком, но сложно для понимания школьника.

Решение уравнений, формулы и примеры
Решение уравнений, формулы и примеры

Упростим:

. Это — эквивалентное линейное уравнение самому первому уравнению.

  1. Теперь находим неизвестный множитель:
  2. Итак, корень уравнения .
  3. Желательно, если вы только начинаете решать линейные уравнения, сначала всегда проводите проверку — подставим полученный корень в исходное (самое первое) уравнение:

Решение уравнений, формулы и примеры
Решение уравнений, формулы и примеры

. Мы получили верное равенство, значит, уравнение решено верно.

Итак, ответ: .

Еще примеры решения линейных уравнений

1.Решите уравнение В данном уравнении x-неизвестный множитель. Вспомним правило:

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

  • Получаем:

Правила записи: чтобы писать математически грамотно решение линейного уравнение — каждое вычисление или преобразование надо делать с новой строки. Недопустимым считается следующее написание: . По правилам математической грамотности, на одной строчке мы пишем , и только на следующей . Будьте грамотны.

  1. Проверка:
  2. .
  3. Ответ: .

2. Решите уравнение . В данном уравнении x — неизвестное слагаемое. Правило:

Для того, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

  • Решение:
  • Делаем проверку:
  • .
  • Ответ:

3. Решите уравнение  . В данном уравнении x- неизвестное вычитаемое. Правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

  1. Решение: уменьшаемое у нас 3, а разность 9: .
  2. .
  3. Проверка:
  4. .
  5. Ответ:

4. Решите уравнение . В данном уравнении x- неизвестное уменьшаемое. Правило:

Для того, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

  • Решение:
  • Проверка:
  • .
  • Ответ:

5. Решите линейное уравнение . Здесь x — неизвестное делимое. Правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

  1. Решение:
  2. Проверка:
  3. Ответ: .

6. Решите уравнение . Здесь x-неизвестный делитель. Правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

  • Решение:
  • Проверка:
  • .
  • Ответ:

Это самые простые линейные уравнения. Что же делать если у нас уравнение линейное, но сложное, уровень которого не 3-4 класс, а 7-9? Как решить его?

Универсальный метод

Универсальный метод того, как решать линейные уравнения, заключается в сведении сложного уравнения к простому, правила для которого известны. Понятнее будет на примере:

Решение уравнений, формулы и примеры Вроде есть все — и сложение, и вычитание и деление и умножение. Какое правило применять? Непонятно. Давайте упростим это уравнение. Начнем с его левой части: Решение уравнений, формулы и примеры, тогда в левой части будет:

Решение уравнений, формулы и примеры

Теперь приведем две дроби и к общему знаменателю:

Решение уравнений, формулы и примеры

. Умножим левую и правую части уравнения на 2. По правилам мы можем умножать левую и правую части уравнения (как и делить) на одно и то же число, отличное от нуля, и это не повлияет на его ответ. Тогда, знаменатель в левой части сократится, и мы получим:

  1. А теперь мы просто находим неизвестный множитель:
  2. Делаем проверку:
  3. .
  4. Вычисляем:
  5. Ответ: .

Метод понятен — постепенными преобразованиями мы привели исходное уравнение к простому, эквивалентному исходному. А затем, просто применили известные правила из начальной школы. Теперь вы знаете, как решать линейные уравнения простые и сложные. Это поможет вам в подготовке к ЕГЭ по математике.

Источник: https://repetitor-mathematics.ru/kak-reshat-lineynyie-uravneniya/

Решение примеров

Задачи по математике, решенные примеры здесь.

Матрицы и определители

Пример 1. Сумма матриц

Дано:
Матрицы A и B.
Решение уравнений, формулы и примеры, Решение уравнений, формулы и примеры
Найти:
Сумму матриц A + B = C.
C- ?

Решение:
Для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Таким образом, суммой двух матриц A и B является матрица:

Решение уравнений, формулы и примеры

Ответ: Решение уравнений, формулы и примеры

Пример 2. Умножение матрицы на число

  • Дано:
    Матрица Решение уравнений, формулы и примеры
    Число k=2.
  • Найти:
    Произведение матрицы на число: A × k = B
    B — ?
  • Решение:
    Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число.
    Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица:

Решение уравнений, формулы и примеры

Ответ: Решение уравнений, формулы и примеры

Пример 3. Умножение матриц

  1. Дано:
    Матрица Решение уравнений, формулы и примеры ;
    Матрица Решение уравнений, формулы и примеры .
  2. Найти:
    Произведение матриц: A × B = C
    C — ?
  3. Решение:
    Каждый элемент матрицы С = A × B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Строки матрицы А умножаем на столбцы матрицы В и получаем:

Решение уравнений, формулы и примеры

  • Ответ:

Пример 4. Транспонирование матрицы

  1. Дано:
    Матрица .
  2. Найти:
    Найти матрицу транспонированную данной.
  3. AT — ?
  • Решение:
    Транспонирование матрицы А заключается в замене строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через AT
  • Ответ:

Пример 5. Обратная матрица

Дано:
Матрица .

Найти:
Найти обратную матрицу для матрицы A.
A-1 — ?

Решение:
Находим det A и проверяем det A ≠ 0:
. det A = 5 ≠ 0.

  1. Составляем вспомогательную матрицу AV из алгебраических дополнений Aij: .
  2. Транспонируем матрицу AV:
    .
  3. Каждый элемент, полученной матрицы, делим на на det A:
  4. Ответ:

Пример 6. Ранг матрицы

Дано:
Матрица .

Найти:
Ранг матрицы A.
r(A) — ?

Решение:
Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров Mk этой матрицы. Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.

  • Вычислим ранг матрицы, применив метод окаймляющих миноров.
  • M32≠0;
  • .
  • Ответ: r(A) = 2

Пример 7. Определитель квадратной матрицы

Дано:
Матрица .

Найти:
Определитель |A| матрицы A.
|A| — ?

Решение:
Каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие число, которое называется ее определителем и обозначается det А или |А|. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется через ее элементы, по следующей формуле:

Тогда, для данной в примере матрицы A, определитель |A| будет равен:

Ответ: |A| = 16.

Пример 8. Минор и алгебраическое дополнение

Дано:
Матрица .

Найти:
Минор и алгебраическое дополнение элемента a21 определителя |A| матрицы A.
Δ21 — ? A21 — ?

Решение:
Запишем определитель матрицы A: .

Минор элемента a21 определителя |A|- это определитель, который получится из данного вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. Для минора используют обозначение Δ21.

Алгебраическое дополнение A21 элемента a21 в определителе — это число, которое вычисляется по правилу: Aij = (-1)i+j · Δij, где Δij — соответствующий минор. Тогда, подставив данные в формулу, получим:
A21 = (-1)2+1 · (-6) = 6.

Ответ: Δ21 = -6; A21 = 6.

Системы линейных уравнений

Пример 9. Метод Крамера

  1. Дано:
    Система линейных уравнений
  2. Найти:
    Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

  3. x1, x2, x3— ?
  4. Решение:
    Составляем матрицу A из коэффициентов данной системы уравнений — основную матрицу системы:
  5. Составляем матрицу B из свободных членов данной системы уравнений — матрицу-столбец свободных членов:
  6. Решаем пример методом Крамера, используя формулы Крамера.
  7. Вычисляем определитель (подробный пример расчета определителя) матрицы A — Δ — главный определитель системы:
  8. Условие Δ ≠ 0 выполняется, значит система совместна и определена, причём единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
  9. Δ1 — 1-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 1-го столбца на столбец свободных членов:
  10. Δ2 — 2-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 2-го столбца на столбец свободных членов:
  11. Δ3 — 3-й вспомогательный определитель системы, получается из Δ заменой 3-го столбца на столбец свободных членов:
  12. Подставив полученные значения в формулы Крамера, находим неизвестные члены уравнения:
  13. Ответ: .

Пример 10. Метод Гаусса

  • Дано:
    Система линейных уравнений
  • Найти:
    Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
  • x1, x2, x3— ?
  • Решение:
    Составляем расширенную матрицу (A|B) системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей:
    (A|B)=
  • Приведём расширенную матрицу (A|B) системы к ступенчатому виду.
  • Из второй строки вычитаем первую строку, умноженную на четыре:
    (A|B)~
  • Из третьей строки вычитаем первую строку, умноженную на два:
    (A|B)~
  • Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на :
    (A|B)~
  • Полученной диагональной матрице соответствует эквивалентная система:
  • Ответ: .

Векторная алгебра

Пример 11. Координаты вектора

  1. Дано:
    Точки: A(2, -4, 0); B(-4, 6, -2).
  2. Найти:
    Координаты вектора
    — ?
  3. Решение:
    Начало вектора совпадает с точкой А, конец – с точкой В. Находим координаты вектора :

  4. Ответ:

Пример 12. Направляющие косинусы вектора

Дано:
Вектор: .

Найти:
Направляющие косинусы вектора .
— ?

  • Решение:
    Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами следующим образом:
  • Ответ:

Пример 13. Длина вектора

Дано:
Вектор: .

Найти:
Длину вектора .
— ?

Читайте также:  Образец рецензии на дипломную работу по юриспруденции

Решение:
Определяем длину вектора :

Ответ:

Пример 14. Объем параллелепипеда

  1. Дано:
    Координаты векторов:
  2. Найти:
    Объем параллелепипеда
    V — ?
  3. Решение:
    Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:
  4. Найдём смешанное произведение векторов:
  5. Объем параллелепипеда:
  6. Ответ: V=24.

Пример 15. Объем пирамиды

  • Дано:
    Координаты векторов:
  • Найти:
    Объем пирамиды
    V — ?
  • Решение:
    Объем пирамиды вычисляется по формуле:
  • Найдём смешанное произведение векторов:
  • Вычисляем объём пирамиды:
  • Ответ: V=4.

Аналитическая геометрия

Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору .
Дано:
Координаты точек: M0(2, 5, -3), M1(7, 8, -1) и M2(9, 7, 4).
Найти:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору .

  1. Решение:
    В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор = {x2-x1, y2-y1, z2-z1} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.
  2. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору = {A, B, C}, имеет вид .
  3. Составляем уравнение плоскости с нормальным вектором = {2, -1, 5}, проходящей через точку M0(2, 5, -3):
    .
  4. Ответ: .

Пример 17. Уравнение плоскости «в отрезках»

Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость?
Дано:
Уравнение плоскости: 2x – 4y + 6z – 12 = 0.
Найти:
Отрезки, которые отсекает на осях координат плоскость.

a, b, c — ?

Решение:
Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»:

Уравнение — это уравнение плоскости «в отрезках». Параметры представляют собой координаты точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (с точностью до знака) отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях.

Применяя вышеприведенное к уравнению 2x – 4y + 6z –12 = 0, получим:
.

Отрезки, отсекаемые на осях, равны a = 6, b =−3, c = 2.
Отрицательный знак перед b показывает, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.

Задачи по теме «Уравнение плоскости в пространстве»

  • Задача 1. Составить канонические уравнения прямой:
  • Решение:
    Для составления канонического или параметрического уравнения прямой в пространстве, нужно знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного прямой.

Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n1 и n2 к данным плоскостям. В таком случае он коллинеарен векторному произведению [n1, n2].

n1 = (2; 1; -5), n2 = (5; 3; 8), [n1, n2] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).

  1. Найдем точку, лежащую на данной прямой, у которой одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда остальные две координаты можно определить из системы уравнений, задающей пересекающиеся плоскости.

  2. Примем для удобства вычислений z0 = 0, тогда для точки A={х0; у0; 0}
    x0 = -4; y0 = 11; A = {4; 11; 0}.
  3. Cоставим канонические уравнения данной прямой:
    .
  4. Ответ: .

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую k:
и точку B = {2; -3; 1}.

Решение:
Так как точка А = {-3,5,-1} принадлежит плоскости, значит вектор AB параллелен плоскости.
Так как данная прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Значит, нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.

Так как прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 из уравнений прямой получаем:
— координаты точки А, принадлежащей прямой и соответственно плоскости.

Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Значит, нормаль n к плоскости коллинеарна векторному произведению [a, AB] = (-6; -9; -21).
Примем n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:

Ответ: 2x + 3y + 7z – 2 = 0.

Задача 3.Написать уравнение плоскости, которая проходит через три точки с координатами N1(x1, y1, z1), N2(x2, y2, z2), N3(x3, y3, z3).

Решение:
Предположим, что какая нибудь, находящаяся на плоскости точка N, имеет координаты (x, y, z). Для этого случая уравнение плоскости примет вид:
(r-r0, a, b) = 0,
где

r = (x, y, z);

r0 = (x1, y1, z1);
базисные векторы (смотрите рисунок) соответственно равны и .

Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:

Ответ:

Источник: http://matematika.electrichelp.ru/

Квадратные уравнения

  • Приведённое квадратное уравнение
  • Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным – это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax2 + bx + c = 0  – квадратное уравнение

где x – это неизвестное, а a, b и c – коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax2 + bx + c = 0

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:

если   b  = p,  а  c  = q,  то получится   x2 + px + q = 0
a a

Уравнение   x2 + px + q = 0   называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

  • Например, уравнение:
  • x2 + 10x — 5 = 0
  • является приведённым, а уравнение:
  • -3×2 + 9x — 12 = 0
  • можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:
  • x2 — 3x + 4 = 0

Решение квадратных уравнений

  1. Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:
  2. ax2 + bx + c = 0
  3. ax2 + 2kx + c = 0
  4. x2 + px + q = 0
  5. Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:
Вид уравненияФормула корней
ax2 + bx + c = 0 Решение уравнений, формулы и примеры
ax2 + 2kx + c = 0 Решение уравнений, формулы и примеры
x2 + px + q = 0
Решение уравнений, формулы и примеры
или
Решение уравнений, формулы и примеры
если коэффициент p нечётный
  • Обратите внимание на уравнение:
  • ax2 + 2kx + c = 0
  • это преобразованное уравнение   ax2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b – четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Решение уравнений, формулы и примеры

  1. Пример 1. Решить уравнение:
  2. 3×2 + 7x + 2 = 0
  3. Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:
  4. a = 3, b = 7, c = 2
  5. Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

Решение уравнений, формулы и примеры

x1 =  -2  = — 1 ,   x2 =  -12  = -2
6 3 6
  • Пример 2:
  • x2 — 4x — 60 = 0
  • Определим, чему равны коэффициенты:
  • a = 1, b = -4, c = -60
  • Так как в уравнении второй коэффициент – чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Решение уравнений, формулы и примеры

  1. x1 = 2 + 8 = 10,   x2 = 2 — 8 = -6
  2. Ответ: 10, -6.
  3. Пример 3.
  4. y2 + 11y = y — 25
  5. Приведём уравнение к общему виду:
  6. y2 + 11y = y — 25
  7. y2 + 11y — y + 25 = 0
  8. y2 + 10y + 25 = 0
  9. Определим, чему равны коэффициенты:
  10. a = 1, p = 10, q = 25
  11. Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Решение уравнений, формулы и примеры

  • Ответ: -5.
  • Пример 4.
  • x2 — 7x + 6 = 0
  • Определим, чему равны коэффициенты:
  • a = 1, p = -7, q = 6
  • Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

Решение уравнений, формулы и примеры

x1 = (7 + 5) : 2 = 6,   x2 = (7 — 5) : 2 = 1

Ответ: 6, 1.

Источник: https://naobumium.info/algebra/kvadratnye_uravneniya.php

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

Справочник по математике Алгебра Кубические уравнения

Решение уравнений, формулы и примеры

      Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

a0x3 + a1x2 ++ a2x + a3= 0, (1)

где a0, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа,

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x3 + ax2 + bx + c = 0, (2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

      Тогда, поскольку

Решение уравнений, формулы и примерыРешение уравнений, формулы и примеры

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

Решение уравнений, формулы и примерыРешение уравнений, формулы и примеры (4)

      Если ввести обозначения

Решение уравнений, формулы и примерыРешение уравнений, формулы и примеры

  • то уравнение (4) примет вид
  • где p, q – вещественные числа.
  •       Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.
  •       Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

      Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

Решение уравнений, формулы и примеры (6)

где   t   – новая переменная.

      Поскольку

то выполнено равенство:

      Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

      Если теперь уравнение (7) умножить на   t,   то мы получим квадратное уравнение относительно   t :

(8)

Формула Кардано

      Решение уравнения (8) имеет вид:

      В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

(9)

      В развернутой форме эти решения записываются так:

(10)
(11)

      Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

      С другой стороны,

  1.       Таким образом,
  2. и для решения уравнения (5) мы получили формулу
(12)

которая и называется «Формула Кардано».

      Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

x3 – 6×2 – 6x – 2 = 0. (13)

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

  •       Тогда получим
  • x3 – 6×2 – 6x – 2 == (y + 2)3– 6(y + 2)2 –– 6(y + 2) – 2 == y3 + 6y2 + 12y + 8 – 6y2 –– 24y – 24 – 6y – 12 – 2 == y3 – 18y – 30.
  •       Следовательно, уравнение (13) принимает вид
  •       Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену
(16)

      Тогда поскольку

то уравнение (15) примет вид

(17)

      Далее из (17) получаем:

      Отсюда по формуле (16) получаем:

(18)
  1.       Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу
  2. или использовали формулу
  3.       Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:
  4.       Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня.

Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел.

Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/cardano.htm

Решение простых линейных уравнений

  • 6 октября 2015
  • В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.
  • Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

  1. Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:
  2. [ax+b=0]
  3. Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:
  1. Раскрыть скобки, если они есть;
  2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
  3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
  4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

  1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
  2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Читайте также:  Ксенон и его характеристики

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

  1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
  2. Затем свести подобные
  3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

  1. Раскрываем скобки, если они есть.
  2. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
  3. Приводим подобные слагаемые.
  4. Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

[6x+72=0]

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

  • [6x=-72]
  • Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:
  • [frac{6x}{6}=-frac{72}{6}]
  • [x=-12]
  • Вот мы и получили ответ.

Задача №2

  1. [5left( x+9
    ight)=5x+45]
  2. В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:
  3. [5x+45=5x+45]

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

  • [5x-5x=45-45]
  • Приведем подобные:
  • [0=0]

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

  1. Третье линейное уравнение уже интересней:
  2. [left( 6-x
    ight)+left( 12+x
    ight)-left( 3-2x
    ight)=15]
  3. Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки.

    Давайте раскроем их:

  4. [6-x+12+x-3+2x=15]
  5. Выполняем второй уже известный нам шаг:
  6. [-x+x+2x=15-6-12+3]
  7. Посчитаем:
  8. [2x=0]
  9. Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:
  10. [frac{2x}{x}=frac{0}{2}]
  11. [x=0]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

  • Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
  • Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные. А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

  • [12-left( 1-6x
    ight)x=3xleft( 2x-1
    ight)+2x]
  • Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:
  • [12-left( x-6xcdot x
    ight)=3xcdot 2x-3x+2x]
  • [12-left( x-6{{x}^{2}}
    ight)=6{{x}^{2}}-x]
  • [12-x+6{{x}^{2}}=6{{x}^{2}}-x]
  • Теперь займемся уединением:
  • [-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12]
  • Приводим подобные:
  • [0=-12]
  • Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:
  • [varnothing ]
  • или корней нет.

Пример №2

  1. [8left( 2x-1
    ight)-5left( 3x+0,8
    ight)=x-4]
  2. Выполняем те же действия.

    Первый шаг:

  3. [8cdot 2x-8-left( 5cdot 3x+5cdot 0,8
    ight)=x-4]
  4. [16x-8-left( 15x+4
    ight)=x-4]
  5. [16x-8-15x-4=x-4]
  6. Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:
  7. [16x-15x-x=-4+8+4]
  8. Приводим подобные:
  9. [0=8]
  10. Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:
  11. [varnothing ],
  12. либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

[12-left( 1-6x
ight)x=3xleft( 2x-1
ight)+2x]

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое. Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус».

Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки.

При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

[8left( 2x-1
ight)-5left( 3x+0,8
ight)=x-4]

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

  • [left( 7x+1
    ight)left( 3x-1
    ight)-21{{x}^{2}}=3]
  • Давайте перемножим все элементы в первой части:
  • [7xcdot 3x+7xcdot left( -1
    ight)+1cdot 3x+1cdot left( -1
    ight)-21{{x}^{2}}=3]
  • [21{{x}^{2}}-7x+3x-1-21{{x}^{2}}=3]
  • Давайте выполним уединение:
  • [21{{x}^{2}}-7x+3x-21{{x}^{2}}=3+1]
  • Приводим подобные:
  • [-4x=4]
  • Выполняем последний шаг:
  • [frac{-4x}{4}=frac{4}{-4}]
  • [x=-1]

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

  1. [left( 1-4x
    ight)left( 1-3x
    ight)=6xleft( 2x-1
    ight)]
  2. Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй.

    Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

  3. [1cdot 1+1cdot left( -3x
    ight)+left( -4x
    ight)cdot 1+left( -4x
    ight)cdot left( -3x
    ight)=6xcdot 2x+6xcdot left( -1
    ight)]
  4. А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:
  5. [1-3x-4x+12{{x}^{2}}=12{{x}^{2}}-6x]
  6. Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:
  7. [-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1]
  8. Приводим подобные слагаемые:
  9. [-7x+6x=-1]
  10. [-x=-1]
  11. [x=1]
  12. Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

  1. Раскрыть скобки.
  2. Уединить переменные.
  3. Привести подобные.
  4. Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

  1. Избавиться от дробей.
  2. Раскрыть скобки.
  3. Уединить переменные.
  4. Привести подобные.
  5. Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

  • [frac{left( 2x+1
    ight)left( 2x-3
    ight)}{4}={{x}^{2}}-1]
  • []
  • Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:
  • [frac{left( 2x+1
    ight)left( 2x-3
    ight)cdot 4}{4}=left( {{x}^{2}}-1
    ight)cdot 4]

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

  1. [left( 2x+1
    ight)left( 2x-3
    ight)=left( {{x}^{2}}-1
    ight)cdot 4]
  2. Теперь раскроем:
  3. [2xcdot 2x+2xcdot left( -3
    ight)+1cdot 2x+1cdot left( -3
    ight)=4{{x}^{2}}-4]
  4. [4{{x}^{2}}-6x+2x-3=4{{x}^{2}}-4]
  5. Выполняем уединение переменной:
  6. [4{{x}^{2}}-6x+2x-4{{x}^{2}}=-4+3]
  7. Выполняем приведение подобных слагаемых:
  8. [-4x=-1left| :left( -4
    ight)
    ight.]
  9. [frac{-4x}{-4}=frac{-1}{-4}]
  10. [x=frac{1}{4}]
  11. Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

  • [frac{left( 1-x
    ight)left( 1+5x
    ight)}{5}+{{x}^{2}}=1]
  • Здесь выполняем все те же действия:
  • [frac{left( 1-x
    ight)left( 1+5x
    ight)cdot 5}{5}+{{x}^{2}}cdot 5=5]
  • [1cdot 1+1cdot 5x+left( -x
    ight)cdot 1+left( -x
    ight)cdot 5x+5{{x}^{2}}=5]
  • [1+5x-x-5{{x}^{2}}+5{{x}^{2}}=5]
  • [5x-x-5{{x}^{2}}+5{{x}^{2}}=5-1]
  • [4x=4]
  • [frac{4x}{4}=frac{4}{4}]
  • [x=1]
  • Задача решена.
  • Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

  • Знать алгоритм решения линейных уравнений.
  • Умение раскрывать скобки.
  • Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
  • Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!   

Источник: https://www.berdov.com/docs/equation/prosteyshie-lineynie-uravneniya/

Алгебра 7-9 классы. 20. Решение квадратных уравнений — Всё для чайников

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

Формулы корней квадратных уравнений

Пусть дано квадратное уравнение Применим к квадратному трехчлену те же преобразования, которые мы выполняли ранее, когда доказывали теорему о том, что графиком функции с является парабола.

Имеем

Обычно выражение обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения (или дискриминантом квадратного трехчлена ).

Таким образом,

  • и далее
  • Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.
  • Теорема 1
  • Если D О, то квадратное уравнение ах2 + bх  + с = О имеет два корня, которые находятся по формулам
  •  Доказательство. Перепишем квадратное уравнение в виде (1)
  • Положим   тогда уравнение (1) примет вид
  • По условию, D > О, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что
  • Ho , таким образом, задача свелась к решению двух уравнений:
  • Из первого уравнения находим
  • Из второго уравнения находим
  • Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:
  • Замечание 3. в математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к различным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней. Пример 3. Решить уравнение Зх2 + 8x — 11 = 0. Решение. Здесь а = 3, b = 8, с =  —11,

    • D = b2 — 4ас = 82 — 4 • 3 • (—11) = 64 4- 132 = 196.
    • Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (3)
    • Ответ: 1,
    • Фактически мы с вами выработали следующее правило:

    Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1872-algebra-7-9-klassy-20-reshenie-kvadratnykh-uravnenij

Ссылка на основную публикацию