Уравнение плоскости, формулы и примеры

Определение. Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Уравнения плоскости в координатной форме

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат:

    [Ax + By + Cz + D = 0, qquad (A^2 + B^2 + C^2) 
e 0,]

при этом вектор с координатами является нормальным вектором к плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, можно получить, если решить систему уравнений

    Уравнение плоскости, формулы и примеры

Здесь и — координаты трёх точек плоскости. Заметим, что уравнений в системе три, а переменных — четыре. То есть решение этой системы мы получаем с точностью до коэффициента. Этот коэффициент роли не играет — после подстановки решения в уравнение плоскости на него можно сократить. Рассмотрим это на примере.

  • Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и
  • Решение. Составляем систему уравнений
  •     Уравнение плоскости, формулы и примеры
  • Числа выражаем через :
  • Получаем уравнение плоскости
  •     Уравнение плоскости, формулы и примеры
  • или, после сокращения на ,
  •     Уравнение плоскости, формулы и примеры
  1. Параметрические уравнения плоскости:
  2.     Уравнение плоскости, формулы и примеры
  3. Здесь — некоторая точка плоскости, и  — координаты направляющих веторов плоскости, — параметры.

Уравнения плоскости в векторном виде

  •  Векторное параметрическое уравнение плоскости:
  •     [	extbf{r} = 	extbf{r}_0 + 	extbf{a}u + 	extbf{b}v, quad ([	extbf{a}, 	extbf{b}] 
e 	extbf{0}),]
  • где — направляющие векторы плоскости, — радиус-вектор некоторой фиксированной точки плоскости.
  • Это уравнение также можно записать в виде
  •     Уравнение плоскости, формулы и примеры
  • То есть для того, чтобы вектор был радиус-вектором некоторой точки плоскости, необходимо, чтобы вектора и лежали в одной плоскости, то есть их смешанное произведение было равно нулю.
  1. Нормальное векторное уравнение плоскости:
  2.     [(	extbf{r} - 	extbf{r}_0, 	extbf{n}) = 0, qquad (	extbf{n} 
e 0),]
  3. где — нормальный вектор плоскости.
  4. Это уравнение также можно записать в виде
  5.     [(	extbf{r}, 	extbf{n}) = D, qquad (	extbf{n} 
e 0).]

Если вектор — единичный (его длина равна ), то величина есть расстояние от точки до плоскости. Смысл этого уравнения в том, что проекция радиус-вектора любой точки плоскости на нормаль к ней есть постоянная величина, равная расстоянию до этой плоскости.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Валентность бора (b), формулы и примеры

Оценим за полчаса!
  • Уравнение плоскости, проходящей через три точки с радиус-векторами и можно записать в векторном виде:
  • Если радиус векторы имеют соответственно координаты то в координатной форме это уравнение запишется так:

Источник: https://umath.ru/theory/uravnenie-ploskosti/

Уравнения плоскости: общее, через три точки, нормальное

Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.

Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат — Ox, Oy и Oz. Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.

Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости, имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x, y, z.

Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис. 1).

Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть

.

Уравнение плоскости, формулы и примеры Уравнение плоскости, формулы и примеры Уравнение плоскости, формулы и примеры Уравнение плоскости, формулы и примеры

Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P. Для точки N, не лежащей на заданной плоскости, , т.е. равенство (1) нарушается.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:

Уравнение плоскости, формулы и примеры

В этой формуле числа A, B и C координаты вектора , а числа x0, y0 и z0 — координаты точки .

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

Уравнение плоскости, формулы и примеры

называется общим уравнением плоскости.

Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением .

Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.

Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz, нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0. Поэтому получаем z = 6. Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A(0; 0; 6).

Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy. При x = z = 0 получаем y = −3, то есть точку B(0; −3; 0).

И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox. При y = z = 0 получим x = 2, то есть точку C(2; 0; 0). По трём полученным в нашем решении точкам A(0; 0; 6), B(0; −3; 0) и C(2; 0; 0) строим заданную плоскость.

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах — в пособии «Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке».

Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости. Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.

1. При D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0(0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.

2. При A = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox, поскольку вектор нормали этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость параллельная оси Oy, а при C = 0 плоскость параллельна оси Oz.

3. При A = D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ox, поскольку она параллельна оси Ox (A = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, плоскость проходит через ось Oy, а плоскость через ось Oz.

4. При A = B = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy, поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость параллельна плоскости yOz, а плоскость — плоскости xOz.

5. При A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) определяет координатную плоскость xOy, так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz, а уравнение x = 0 — координатную плоскость yOz.

Пример 3. Составить уравнение плоскости P, проходящей через ось Oy и точку .

Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy. Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P.

  • Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:
  • M0(2; −4; 3).
  • Среди них x = 2, z = 3. Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:
  • 2A + 3C = 0.
  • Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем
  • A = −1,5C.
  • Подставив найденное значение A в уравнение , получим
  • или .
  • Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.

Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением .

Читайте также:  Директриса параболы, формула и примеры

Посмотреть правильное решение и ответ.

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах — в пособии «Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке».

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Прямая и плоскость

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть даны три различные точки , и , не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости лежит в одной плоскости с точками , и тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости

    (3)

После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением вида (2), т.е. общим уравнением плоскости.

  1. Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой:
  2. , ,
  3. и определить частный случай общего уравнения прямой, если такой имеет место.
  4. Решение. По формуле (3) имеем:
  5. Раскрываем определитель по первой строке:
  6. Получили общее уравнение плоскости
  7. или после деления на -2:
  8. .

Это уравнение, в котором A = 0, т.е. оно определяет плоскость, параллельную оси Ox.

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах — в пособии «Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке».

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

  • Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде
  • ,
  • где — направляющие косинусы нормали плоскости, — расстояние от начала координат до плоскости.

Нормалью к плоскости называется вектор, направление которого совпадает с направлением прямой, проведённой через начало координат перпендикулярно данной плоскости.

(Есть полная аналогия с нормалью к прямой на плоскости, с той лишь разницей, что нормальное уравнение прямой существует в двух измерениях, а нормальное уравнение плоскости — в трёх).

Пусть M — какая угодно точка пространства. Для нахождения отклонения точки M от плоскости следует в левую часть нормального уравнения плоскости подставить на место x, y и z подставить координаты этой точки.

Это правило позволяет найти и расстояние от точки M до плоскости: расстояние равно модулю отклонения, т.е.

,

так как расстояние не может быть отрицательным числом.

  1. Общее уравнение плоскости
  2. приводится к нормальному виду почленным умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой
  3. .

Знак нормирующего множителя берётся противоположным знаку свободного члена в общем уравнении плоскости.

Пример 6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду.

  • Решение. Вычислим нормирующий множитель:
  • .
  • Знак нормирующего множителя положительный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим требуемое в условии примера нормальное уравнение плоскости:
  • .

Пример 7. Вычислить величину отклонения и расстояния от точки до прямой, если точка задана координатами (-2; -4; 3), а плоскость задана общим уравнением .

Решение. Сначала приведём уравнение плоскости к нормальному виду. Вычислим нормирующий множитель:

  1. .
  2. Знак нормирующего множителя отрицательный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим нормальное уравнение плоскости:
  3. .
  4. Вычислим отклонение точки от плоскости:
  5. Найдём теперь расстояние от точки до плоскости как модуль отклонения:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Прямая и плоскость

Всё по теме «Прямая и плоскость»

Источник: https://function-x.ru/equations_of_plane.html

Презентация по математике на тему "Уравнение плоскости"

Инфоурок › Математика ›Презентации›Презентация по математике на тему «Уравнение плоскости»

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

ЕЩЁ ПОДУМАЙте…

2 слайд Описание слайда:

Уравнение плоскости Преподаватель математики Семяшкина Ирина Васильевна ГПОУ «Ижемкий политехнический техникум»

3 слайд Описание слайда:

Цель: познакомить учащихся с понятием уравнения плоскости и её особыми случаями задания; Выработать практические навыки по изучаемой теме при решении задач.

4 слайд Описание слайда:

Проверка готовности. Греческий, латинский 3 (аксиома А1) , (ABC) Параллельно, пересекаться, совпадать Какой алфавит используют для обозначения плоскости? Сколькоточек достаточно, чтобыобозначить плоскость? Какобозначают плоскость? Как могут располагаться плоскости по отношению друг к другу?

5 слайд Описание слайда:

Общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 где А, В, С, D – числовые коэффициенты

6 слайд Описание слайда:

Уравнения координатных плоскостей x = 0, плоскость Оyz y = 0, плоскость Оxz z = 0, плоскость Оxy

7 слайд Описание слайда:

Особые случаи уравнения: D = 0  Ax+By+Cz = 0 плоскость проходит через начало координат. А = 0  Ву + Cz +D = 0 плоскость параллельна оси Ох. В = 0  Ах + Cz +D = 0 плоскость параллельна оси Оу. C = 0  Ax+By+D = 0 плоскость параллельна оси Oz.

8 слайд Описание слайда:

Особые случаи уравнения: А = В = 0  Сz + D = 0 плоскость параллельна плоскости Оху. А = С = 0  Ву + D = 0 плоскость параллельна плоскости Охz. В = C= 0  Ах+D = 0 плоскость параллельна плоскости Оуz.

9 слайд Описание слайда:

Особые случаи уравнения: A = D = 0  By+Cz = 0 плоскость проходит через ось Ox. B = D = 0  Ax + Cz = 0 плоскость параллельна оси Оy. C = D = 0  Ах + By = 0 плоскость параллельна оси Оz.

10 слайд Описание слайда:

совпадают, если существует такое число k, что Две плоскости в пространстве: параллельны, если существует такое число k, что В остальных случаях плоскости пересекаются.

11 слайд Описание слайда:

Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору Итак, пусть  произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей ненулевой вектор называется вектором нормали к этой плоскости.  n1 n2

12 слайд Описание слайда:

Если известна какая-нибудь точка плоскости M0 и какой-нибудь вектор нормали к ней, то через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение плоскости будет иметь вид: Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору M0 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 n (A;B;C)

13 слайд Описание слайда:

Чтобы получить уравнение плоскости, имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M(x;y;z).

Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. Вектор задан по условию.

Координаты вектора найдём по формуле : Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

14 слайд Описание слайда:

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору . Используем формулу A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Решение: Ответ: 5x + y — 4z — 3=0

15 слайд Описание слайда:

Уравнение плоскости, проходящей через три точки После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением общего вида. Пусть даны три различные точки, не лежащие на одной прямой. Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости:

16 слайд Описание слайда:

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой: ; и . Решение: Ответ: -4y + 2z — 2=0

17 слайд Описание слайда:

При равенстве нулю свободного коэффициента D уравнения общего уравнения плоскости уравнение определяет Плоскость, параллельную координатной плоскости Oxy  Плоскость, проходящую через начало координат  Полуплоскость  Линию пересечения плоскостей ПРОВЕРИМ, ЧТО МЫ ЗАПОМНИЛИ….

18 слайд Описание слайда:

Вектор нормали это… Всякий ненулевой вектор Всякий перпендикулярный ненулевой вектор Всякий перпендикулярный плоскости ненулевой вектор Всякий перпендикулярный плоскости вектор

19 слайд Описание слайда:

Общее уравнение плоскости это… Ax+By+Cz=0 Ax+By+Cz=D Ax+By+Cz+D=0 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

20 слайд Описание слайда:

Домашнее задание рассмотреть другие способы нахождения уравнения плоскости; Решить задачу: В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 4, и диагональ боковой грани равна 5. Написать уравнение плоскостей А1В1E и плоскости основания призмы.

21 слайд Описание слайда:

Используемые ресурсы: ПЛОСКОСТИ http://kramshifer.Ub.Ua/ru/board/view/38313/ ГЛАДЬ РЕКИ http://www.Raschetrasstoyanie.Com/%D0%A2%D0%BE%D0%BB%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%9B%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B8/%D1%84%D0%BE%D1%82%D0%BE ПЛОСКИЕ КАМНИ http://aqueouspic.Ru/smotret-komedii-romanticheskie-onlajn.Html ШАХМАТНАЯ ДОСКА http://www.1chess.Ru/index.Php?Show_aux_page=45 СМАЙЛИКИ http://www.baby.ru/blogs/post/314439509-43854232/

22 слайд Описание слайда:

Плоскость Oхy Z Y X O

23 слайд Описание слайда:

Плоскость Oхz Z Y X O

24 слайд Описание слайда:

Плоскость Oyz Z Y X O

25 слайд Описание слайда:

Плоскость параллельная плоскости Охy Z Y X O

26 слайд Описание слайда:

Плоскость параллельная плоскости Охz Z Y X O

27 слайд Описание слайда:

Плоскость параллельная плоскости Оyz Z Y X O

28 слайд Описание слайда:

Плоскость параллельная Оси ох Z Y X O

29 слайд Описание слайда:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

30 слайд
31 слайд

Скрыть

Важно! Узнайте, чем закончилась проверка учебного центра «Инфоурок»?

Общая информация

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Источник: https://infourok.ru/prezentaciya-po-matematike-na-temu-uravnenie-ploskosti-1753323.html

Уравнение плоскости по трем точкам

Уравнение плоскости, формулы и примеры Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. Уравнение плоскости, формулы и примеры Уравнение плоскости, формулы и примеры Уравнение плоскости, формулы и примеры 2012-03-18

Главная » СТАТЬИ » 14 Задание (2016) (C2) » Уравнение плоскости по трем точкам

Во многих стереометрических задачах, связанных с нахождением расстояния от точки до плоскости или расстояния между скрещивающимися прямыми, или угла между плоскостями, требуется найти уравнение плоскости. В этой статье я расскажу, как найти уравнение плоскости, если известны координаты трех точек, через которые она проходит.

Уравнение плоскости имеет вид: Уравнение плоскости, формулы и примеры, где , , и  — числовые коэффициенты.

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.

Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Примем коэффициент  равным 1. Для этого разделим уравнение плоскости на  .  Получим:

Мы можем переписать  это уравнение в виде: 

Внимание! Если плоскость проходит через начало координат, то принимаем d=0.

  • Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек , и   в уравнение плоскости .
  • Получим систему уравнений:
  • Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.
  • Решим задачу.

В правильной четырехугольной призме  со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре  взята точка  так, что  равно 8. на ребре  взята точка  так, что  равно 8. Написать уравнение плоскости :

  1. Поскольку для нахождения уравнения плоскости нам понадобятся координаты точек, я сразу помещаю призму в систему координат:
  2. Запишем координаты точек:
  3. Подставим их в систему уравнений:
  4. Отсюда:
  5. Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:
  6. Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на . Получим:
  7. Ответ: уравнение плоскости   

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник: https://ege-ok.ru/2012/03/18/uravnenie-ploskosti

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач, найти множество точек координатной

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве.

Пусть нам дана прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x, y, и z, которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек.

Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Теорема 1

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства, можно определить уравнением Ax + By + Cz + D = 0. В свою очередь, любое уравнение Ax + By + Cz + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A, B, C, D – некоторые действительные числа, и числа A, B, C не равны одновременно нулю.

Доказательство 

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

  1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0. Допустим, задана некоторая плоскость и точка M0(x0, y0, z0), через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n→= (A, B, C). Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задает уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M(x, y, z).В таком случае векторы n→= (A, B, C) и M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n→, M0M→=Ax-x0+B(y-y0)+C(z-z0)=Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)

Примем D=-(Ax0+By0+Cz0) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: Ax + By + Cz + D = 0. Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

  1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А, B, C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M0(x0, y0, z0), координаты которой отвечают уравнению Ax + By + Cz + D = 0, т.е. верным будет равенство Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения Ax + By + Cz + D = 0. Получим уравнение вида

Читайте также:  Строение атома урана (u), схема и примеры

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0, и оно эквивалентно уравнению Ax + By + Cz + D = 0. Докажем, что уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n→=(A, B, C) и M0M→=x-x0, y-y0, z-z0.

Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 множество точек M(x, y, z) задает плоскость, у которой нормальный вектор n→=(A, B, C). При этом плоскость проходит через точку M(x0, y0, z0).

Иначе говоря, уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение Ax + By + Cz + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0, где λ – некое действительное число, не равное нулю.

Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением Ax+By+Cz+D=0, поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства.

Например, уравнения x-2·y+3·z-7=0 и -2·x+4·y-23·z+14=0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства. 

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0( при конкретных значениях чисел A, B, C, D). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4x + 5y – 5z + 20 = 0, и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости.

В свою очередь, уравнение 4x + 5y – 5z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M0(x0, y0, z0) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением Ax+By+Cz+D=0 в том случае, когда подставив координаты точки M0(x0, y0, z0) в уравнение Ax+By+Cz+D=0, мы получим тождество.

Пример 1

 Заданы точки M0(1, -1, -3) и N0(0, 2, -8) и плоскость, определяемая уравнением 2x+3y-z-2=0. Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

  • Решение 
  • Подставим координаты точки М0 в исходной уравнение плоскости:
  • 2·1+3·(-1)-(-3)-2=0⇔0=0
  • Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M0(1, -1, -3) принадлежит заданной плоскости.
  •  Аналогично проверим точку N0. Подставим ее координаты в исходное уравнение:
  • 2·0+3·2-(-8)-2=0⇔12=0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N0(0, 2, -8) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М0 принадлежит заданной плоскости; точка N0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n→=(A, B, C) — нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением  Ax+By+Cz+D=0. Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

Пример 2

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2x+3y-z+5=0. Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x, y, z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n→ исходной плоскости имеет координаты 2, 3, -1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ·n→=λ·2, λ·3, -λ, λ∈R, λ≠0

Ответ:  λ·2, λ·3, -λ, λ∈R, λ≠0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n→=(A, B, C)является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M0(x0, y0, z0), принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором  n→=(A, B, C) будет выглядеть так:  Ax+By+Cz+D=0. По условию задачи точка M0(x0, y0, z0) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство:Ax0+By0+Cz0+D=0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения Ax0+By0+Cz0+D=0, получим уравнение вида A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющей нормальный вектор n→=(A, B, C).

  1. Возможно получить это уравнение другим способом.
  2. Очевидным фактом является то, что все точки М (x, y, z) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n→=(A, B, C) и M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:
  3. n→, M0M→=A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Пример 3

Задана точка М0(-1, 2, -3), через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n→=(3, 7, -5). Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

  1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x0=-1, y0=2, z0=-3, A=3, B=7, C=-5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 

И получим:

3(x-(-1))+7(y-2)-5(z-(-3))=0⇔3x+7y-5z-26=0

  1. Допустим, М (x, y, z) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M0M→ по координатам точек начала и конца:
  • M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0)=(x+1, y-2, z+3)
  • Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:
  • n→, M0M→=0⇔3(x+1)+7(y-2)-5(z+3)=0⇔⇔3x+7y-5z-26=0
  • Ответ: 3x+7y-5z-26=0

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А, B, C, D отличны от нуля, общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 называютполным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

  1. В случае, когда D = 0, мы получаем общее неполное уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz=0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О (0, 0, 0), то придем к тождеству:

A·0+B·0+C·0=0⇔0≡0

Уравнение плоскости, формулы и примеры

  1. Если А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0, или А ≠ 0, В = 0, С ≠0, или А ≠ 0, В ≠ 0, С = 0, то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: By+Cz+D=0, или Ax+Cz+D=0, или Ax+By+D=0. Такие плоскости параллельны координатным осям Оx, Oy, Oz соответственно. Когда D=0, плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям Oyz, Oxz, Ozy соответственно.

Уравнение плоскости, формулы и примеры

  1. При А=0, В=0, С≠0, или А=0, В≠0, С=0, или А≠0, В=0, С=0 получим общие неполные уравнения плоскостей: Cz+D=0 ⇔z+DC=0⇔z=-DC⇔z=λ, λ∈R или By+D=0⇔y+DB=0⇔y=-DB⇔y=λ, λ∈R или Ax+D=0⇔x+DA=0⇔x=-DA⇔x=λ, λ∈R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям Oxy, Oxz, Oyz соответственно и проходят через точки 0, 0, -DC, 0, -DB, 0 и -DA, 0, 0 соответственно. При D=0 уравнения самих координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выглядят так: z=0, y=0, x=0

соответственно.

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Пример 4

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz и проходящая через точку М0(7, -2, 3). Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости Oyz, а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости Ax+D=0, A≠0⇔x+DA=0.

Поскольку точка M0(7, -2, 3) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости  x+DA=0, иначе говоря, должно быть верным равенство  7+DA=0 .

Преобразуем: DA=-7, тогда требуемое уравнение  имеет вид: x-7=0.

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости Oyz.

Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости Oyz: i→=(1, 0, 0).

Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:                              

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0⇔⇔1·(x-7)+0·(y+2)+0·(z-3)=0⇔⇔x-7=0

Ответ: x-7=0

Пример 5

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости Oxy и проходящая через начало координат и точку М0(-3, 1, 2).

Решение 

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости Oxy определяется общим неполным уравнением плоскости Ax+By+D=0 (А≠0, В≠0). Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D=0 и уравнение плоскости принимает вид Ax+By=0⇔x+BAy=0.

Найдем значение BA. В исходных данных фигурирует точка М0(-3, 1, 2), координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: -3+BA·1=0, откуда определяем BA=3.

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x+3y=0.

Ответ: x+3y=0.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/obschee-uravnenie-ploskosti/

Решение типовых задач по теме "Плоскость". Уравнение плоскости. Часть 1

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Решение типовых задач по теме «Плоскость». Составить уравнение плоскости
Задача №1. Даны точки и . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно к вектору .
Решение. Уравнение связки плоскостей, проходящей через точку , будет

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Нормальный вектор

Уравнение плоскости, формулы и примеры

Подставляем проекции 2, 6 и 5 вектора на место A, В и С в уравнение связки, будем иметь:

  • Уравнение плоскости, формулы и примеры

или
Это и есть уравнение искомой плоскости (рис.1).

Ответ:
Задача №2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки , и .
Решения задач №1 и №2 подробно изложены в следующем видео

Задача №3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и и перпендикулярной к плоскости 2x+4y+6z-7=0. Решение. Пусть М(х,у,z) произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы и принадлежат этой плоскости. Векторы и компланарны с нормальным вектором данной плоскости 2х+4y+бz-7=0.
Поэтому смешанное произведение этих трех векторов равно нулю:
или

Источник: https://math-helper.ru/vyisshaya-matematika/reshenie-tipovyih-zadach-po-teme-ploskost-uravnenie-ploskosti

Как составить уравнение плоскости

Плоскость является одним из основных понятий, связывающих планиметрию и стереометрию (разделы геометрии). Эта фигура также часто встречается в задачах по аналитической геометрии. Чтобы составить уравнение плоскости, достаточно иметь координаты трех ее точек.

Для второго основного способа составления уравнения плоскости необходимо указать координаты одной точки и направление нормального вектора. Уравнение плоскости, формулы и примеры Если известны координаты трех точек, через которые проходит плоскость, то запишите уравнение плоскости в виде определителя третьего порядка. Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, выглядит следующим образом:│ x-x1 y-y1 z-z1 ││x2-x1 y2-y1 z2-z1│ = 0

│x3-x1 y3-y1 z3-z1│

Пример: составить уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами: (-1; 4; -1), (-13; 2; -10), (6; 0; 12). Решение: подставляя координаты точек в вышеприведенную формулу, получим:│x+1 y-4 z+1 ││-12 -2 -9 │ =0│ 7 -4 13 │В принципе, это и есть уравнение искомой плоскости. Однако если разложить определитель по первой строке, то получится более простое выражение:-62*(х+1) + 93*(у-4) + 62*(z+1) = 0.

Разделив обе части уравнения на 31 и приведя подобные, получим:

-2х+3у+2z-12=0.Ответ: уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами(-1; 4; -1), (-13; 2; -10) и (6; 0; 12)

-2х+3у+2z-12=0.

Если уравнение плоскости, проходящей через три точки, требуется составить без использования понятия «определитель» (младшие классы, тема – системы линейных уравнений), то воспользуйтесь следующим рассуждением.

Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ах+ВуСz+D=0, причем одной плоскости соответствует множество уравнений с пропорциональными коэффициентами. Для простоты вычислений параметр D обычно принимают равным 1, если плоскость не проходит через начало координат (для плоскости, проходящей через начало координат, D=0).

Так как координаты точек, принадлежащих плоскости, должны удовлетворять вышеприведенному уравнению, то в итоге получается система из трех линейных уравнений:-A+4B-C+1=0-13A+2B-10C+1=06A+12C+1=0,решив которую и избавившись от дробей, получим вышеприведенное уравнение

(-2х+3у+2z-12=0).

Если заданы координаты одной точки (х0, у0, z0) и координаты вектора нормали (А, В, С), то чтобы составить уравнение плоскости, просто запишите уравнение:А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0.

После приведения подобных это и будет уравнением плоскости.

Если требуется решить задачу составления уравнения плоскости, проходящей через три точки, в общем виде, то разложите уравнение плоскости, записанной через определитель, по первой строке:(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Хотя это выражение и более громоздкое, зато в нем не используется понятие определителя и оно более удобно для составления программ.

  • составить уравнение плоскости проходящей
  • Войти на сайт
  • или

Источник: https://www.kakprosto.ru/kak-92763-kak-sostavit-uravnenie-ploskosti

9.7. Уравнение плоскости



Рассмотрим произвольную точку в пространстве и некоторый вектор Очевидно, что геометрическим местом точек таких, что вектор перпендикулярен вектору будет плоскость, проходящая через точку M перпендикулярно прямой, для которой вектор является направляющим. Нашей задачей будет установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому удовлетворяют координаты точки A.

  • Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения:
  • Запишем последнее равенство в координатах:
  • Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем его к виду
  • Обозначая получим
  • Это и есть так называемое общее уравнение плоскости.

Определение 9.19. 

Вектор называется нормальным вектором (или просто нормалью) для плоскости, заданной общим уравнением (1).

Нормальный вектор к плоскости перпендикулярен ей, что следует из самого вывода уравнения плоскости.

Рассмотрим плоскость 3x + 2y + z – 6 = 0. Пусть A – точка пересечения этой плоскости с осью Ox, то есть A(2; 0; 0). Точка B(0; 3; 0) – это точка пересечения данной плоскости с осью Oy, точка C(0; 0; 6) – с осью Oz (чертеж 9.7.1). Уравнение называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Эта плоскость пересекает оси Ox, Oy, Oz соответственно в точках A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).

Плоскость, изображенная на чертеже 9.7.1, имеет такое уравнение в отрезках на осях:



High end escorts Paris
High end escorts Paris
cipriani-models.com

Источник: https://mathematics.ru/courses/stereometry/content/chapter9/section/paragraph7/theory.html

Ссылка на основную публикацию