Интегрирование тригонометрических функций, примеры

Знання → Вища математика →

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Неопределенный интеграл

Додати до моєї бази знань  Математика
  • 32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sin x;cos x), где R — знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типаИнтегрирование тригонометрических функций, примерысводится к вычислению интегралов от paциoнaльнoй фyнкции подстановкой  , которая называется универсальной.

Действительно,

Интегрирование тригонометрических функций, примеры Интегрирование тригонометрических функций, примеры

Поэтому

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Равнобедренный треугольник, формулы и примеры

Оценим за полчаса!

Интегрирование тригонометрических функций, примеры

где R1(t) — рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной фyнкции. В частнocти, удобны следующие правила:

1)  если  функция  R(sinx;cos x)   нечетна  относительно  sinx,  т.е. R(— sinx;cos x)=— R(sin x;cos x), то подстановка cosx=t рационализирует интеграл;

2)  если  функция  R(sinx;cos x)   нечетна  относительно  cosx,  т.е. R(sinx; — cosx)=—R(sinx;cosx), то делается подстановка sinx=t;

3)  если функция  R(sin x; cos x)   четна  относительно sinx   и  cosx R(— sin x; — cos x)=R(sin x; cos x), то интеграл рационализируется подстановкой tgx=t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

Пример 32.1.  Найти интеграл Интегрирование тригонометрических функций, примеры

Решение: Cделаем универсальную подстановку  Тогда dx= , Интегрирование тригонометрических функций, примеры , Интегрирование тригонометрических функций, примеры . Следовательно,

Интегрирование тригонометрических функций, примеры

Пример 32.2.  Найти интеграл Интегрирование тригонометрических функций, примеры  

  • Решение: Так как
  • то полагаем tg x=t. Отсюда
  • Поэтому
  • 32.2. Интегралы типа ∫sinmх•cosnx dx

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

  1. 1)  подстановка sinx=t, если n — целое положительное нечетное число;
  2. 2)  подстановка cosx=t, если m — целое положительное нечетное число;
  3. 3)  формулы   понижения   порядка:   cos2x=1/2(1+cos2x), sin2x =1/2(1-cos 2x), sinx-cosx =1/2 sin2x, если тип — целые неотрицательные четные числа;
  4. 4) подстановка tg х=t, если m+n — есть четное отрицательное целое число.

Пример 32.3.  Найти интеграл

Решение: Применим подстановку sinx=t. Тогда х=arcsint, dx И

Пример 32.4.  Найти интеграл

Решение:

Пример 32.5.  Найти интеграл

Решение: Здесь m+n =-4. Обозначим tg x=t. Тогда х=arctg t,

 и

  • 32.3. Использование тригонометрических преобразований

Интегралы типа вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

Пример 32.6.  Найти интеграл  

Решение:

МатематикаНеопределенный интегралНеопределенный интегралВища математика

загрузка…

Источник: http://www.znannya.org/?view=integr-trigonom-function

Интегрирование тригонометрических функций

Лекции 17-18 Классы интегрируемых функций

Содержание лекции: Интегрирование основных классов функций: рациональных функций , тригонометрических функций.

Интегрирование иррациональных функций. «не берущиеся» интегралы.

Интегрирование рациональных функций

В предыдущей лекции мы познакомились с основными приемами вычисления неопределенного интеграла. Эти приемы не определяют точно пути, по которому следует идти, чтобы вычислить заданный интеграл, предоставляя многое искусству вычислителя.

Рассмотрим подробнее некоторые важнейшие классы функций и по отношению к их интегралам установим вполне определенный порядок вычислений.

Известны сравнительно немногие классы функций, для которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде, т.е. первообразная может быть выражена через элементарные функции.

Простейшим из таких классов является класс рациональных функций. Целые рациональные функции интегрируются просто – используя табличные формулы и свойство линейности.

Поэтому рассмотрим интегрирование дробно-рациональных функций (рациональных дробей), т.е. функций вида

Интегрирование тригонометрических функций, примеры

Из линейной алгебры известно, что всякую рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей типа

I. ( А, а – константы)
  • II. , ( k ³ 2 целое число)
  • III. ( М, N, p, q – константы, дискриминант знаменателя меньше нуля)
  • IV. Интегрирование тригонометрических функций, примеры ( k ³ 2 целое, знаменатель не имеет корней)
  • Интегрирование дробей I – III типов трудностей не представляет. Действительно,

Интегрирование тригонометрических функций, примеры Интегрирование тригонометрических функций, примеры Интегрирование тригонометрических функций, примеры Интегрирование тригонометрических функций, примеры

Таким образом, интегрирование свелось к двум интегралам, один из которых — табличный:

Интегрирование тригонометрических функций, примеры

а второй легко вычисляется подведением под знак дифференциала:

.

Интегралы IV типа требуют более сложных вычислений. Но и в этом случае выделение полного квадрата в знаменателе, а затем замена дает возможность упрощения интеграла. В частности, интеграл вида можно вычислить, используя интегрирование по частям, а можно воспользоваться рекуррентными формулами, которые имеются в любом справочнике по высшей математике.

  1. Таким образом, если заданную рациональную дробь разложить в сумму простейших, то интегрирование этой суммы уже не составит особого труда.
  2. Пример 1.
  3. Найти : а) ; б) ; в) ; г)
  4. Решение.
  5. а) ;
  6. б)
  7. ;
  8. в)
  9. = ;
  10. г)
  11. .
  12. Пример 2.
  13. Найти
Читайте также:  Неон и его характеристики

Решение. Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь. Сначала выделим целую часть этой дроби, для чего разделим числитель на знаменатель:

  • ,
  • тогда = х – 1 + .
  • Рассмотрим правильную дробь и разложим ее на простейшие:
  1. =
  2. .
  3. Сравнивая числители полученной и исходной дробей, находим
  4. х2 А + В = 0
  5. х В + С = 3 Þ А = 1, В = –1 , С

св.чл. А + С = 5.

  • Значит, = . Тогда, искомый интеграл равен
  • =
  • =
  • = .
  • Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы типа . С помощью подстановки такой интеграл всегда можно преобразовать в интеграл от рациональной дроби относительно переменной t. Действительно, т.к.

  1. при , ,
  2. х = 2arctgt , ,
  3. то = – под знаком получившегося интеграла стоит рациональная функция, принцип интегрирования которой мы уже обсудили.

Подстановка называется универсальной, так как позволяет тригонометрическую функцию свести к рациональной, но иногда интегрирование получившейся рациональной дроби требует довольно сложных выкладок. Поэтому наряду с универсальной подстановкой рассматривают частные подстановки, которые в некоторых случаях упрощают вычисления.

  • Функцию R(u(x),v(x)) называют нечетной относительно функции и(х), если R(–u, v) = –R(u, v);
  • функция R(u(x),v(x)) называют нечетной относительно функции v(х), если R(u, –v) = –R(u, v);
  • функция R(u(x),v(x))– четная относительно и(х), если R(–u, v) = R(u, v);
  • функция R(u(x),v(x)) –четная относительно v(х), если R(u, –v) = R(u, v);
  • если R(–u, –v) = R(u, v), то функция R(u(x),v(x)) четная относительно обеих функций u и v.
  • А) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – нечетная относительно sinx, то ее можно представить в виде R1(cosx)sinx, тогда используется подстановка cosx = t:
  • = .
  • Б) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – нечетная относительно cosx, то ее можно представить в виде R1(sinx)cosx, тогда используется подстановка sinx = t:
  • = .
  • В) Если в интеграле функция R(sinx, cosx) – четная относительно sinx и cosx, то она может быть преобразована к виду R1(tgx) или R2(сtgx), поэтому используется подстановка tgx = t или ctgx = t соответственно:
  1. = = .
  2. Рассмотрим примеры.
  3. Пример1.
  4. 1) Найти . Используем универсальную подстановку:

2) Найти . Заметим, что функция – нечетная относительно sinx. Действительно,

  • R(–sinx, cosx) = = – R(sinx, cosx),
  • поэтому рациональнее применить не универсальную, а частную подстановку t= cosx:
  • .
  • 3) Найти . В этом случае, подынтегральная функция четная относительно sinx и cosx:
  • ,
  • поэтому удобно сделать подстановку t = tgx. Получим
  • .
  • Г) Рассмотрим интеграл вида Если п и т – четные , то для упрощения подынтегрального выражения используются формулы понижения степени:
  • В остальных случаях возможных значений п и т могут быть использованы частные подстановки А), Б), В), а так же другие преобразования подынтегральной функции.
  • Д) Интегралы вида , , легко вычисляются в результате применения формул
  • Рассмотрим примеры.
  • Пример2.
  • 1)
  • 2) .
  • 3) .
  • Таким образом, интегрирование тригонометрических функций основано, по существу, на использовании тригонометрических тождеств для преобразования подынтегрального выражения.

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://poisk-ru.ru/s10854t8.html

Интегрирование тригонометрических функций

Примеры на интегрирование функций взяты из материалов контрольной работы которую задают студентам 1, 2 курсов математических факультетов. Для экономии Вашего времени сами условия заданий пропущенные, везде нужно или «Найти неопределенный интеграл» или «Вычислить интеграл». Текста в х к каждому заданию ровно столько, сколько нужно Вам для усвоения материала.

Пример 20. Для вычисления интеграла от произведения косинуса и синуса необходимо синус внести под дифференциал. В результате перейдем к интегрированию показательной функции от косинуса. Через формулы это будет выглядеть следующим образом Интегрирование тригонометрических функций, примеры

Пример 21. Для начала следует проанализировать аргументы под синусом и косинусом и показатели.

Произведение функций можем записать через квадрат синуса двойного угла, который в свою очередь записываем через косинус в два раза большего аргумента.

Как только дойдем до функций в первой степени имеем право применять табличные интегралы Интегрирование тригонометрических функций, примеры

Пример 22. Косинус двойного угла записываем по тригонометрическим формулам через косинус 1 угла. Далее чтобы получить интеграл от одной из тригонометрических функций необходимо синус внести под дифференциал. Дальнейшие вычисления сводятся к интегрированию простых функций Интегрирование тригонометрических функций, примеры Следует отметить что в этом и предыдущем примере использовали некоторые тригонометрические формулы. Для вычисления всех возможных интегралов их нужно знать или иметь под рукой очень много, но для решения базовых интегралов необходимо не более 10 популярных тригонометрических формул.

Пример 23. Имеем дробную тригонометрическую функцию. Для ее вычисления необходимо применить универсальную тригонометрическую замену – тангенс половины угла. Синус через тангенс половины угла выражается зависимостьюИнтегрирование тригонометрических функций, примеры После подстановки замены в интеграл и упрощении, которое зачастую при таких заменах бывает не простым, получим простую дробную функцию. Ее интегрировать должен уметь каждый студент. Если нет, то контрольная или самостоятельная на интегралы покажет «кто есть кто».

Пример 24. Чтобы найти интеграл можно применить универсальную тригонометрическую замену, как один из распространенных способов.

Как альтернативный вариант можно вынести квадрат косинуса за скобки, а в скобках добавить и вычесть единицу, чтобы получить тангенс.

Далее его обозначаем за новую переменную и вычисляем дифференциал (он совпадет со второй частью подынтегральной функции). Таким образом перейдем к интегрированию функции, которая сводится к арктангенсу.

Интегрирование тригонометрических функций, примеры Такой подход несколько упрощает вычисления, но не всегда легко его увидеть и применить. Выполните интегрирование приведенной функции через универсальную замену переменных самостоятельно.

Пример 25. Интеграл от котангенса в квадрате от тройного аргумента находим после следующих преобразований

Интегрирование тригонометрических функций, примеры Здесь использована простая зависимость, что сумма квадратов синуса и косинуса равна единице.

Остальные готовых ответы из контрольной работы на интегралы Вы найдете по приведенным ниже ссылкам. Задания и схемы их вычислений помогут разобраться практически с любыми интегралами.

Готовые решения контрольных с интегрирования

Источник: https://yukhym.com/ru/integrirovanie-funktsii/integrirovanie-trigonometricheskikh-funktsij.html

Интегрирование тригонометрических функций

  • Знать:
  • v Основные тригонометрические формулы;
  • v основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
  • Уметь:
  • v Использовать основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
  • Использование тригонометрических преобразований
  • Интегралы вида:
  • Интегрирование тригонометрических функций, примеры ; Интегрирование тригонометрических функций, примеры ; , (16)

Интегрирование тригонометрических функций, примеры Интегрирование тригонометрических функций, примеры Интегрирование тригонометрических функций, примеры

Интегралы вида:

Интегрирование тригонометрических функций, примеры

  1. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки
  2. = ; .
  3. На практике применяются и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции.
  • если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно sinx, т.е. R(-sinx;cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку

t=cosx; dt= -sinxdx; , .

  • если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно cosx, т.е. R(sinx;-cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку

t=sinx; dt=cos x dx; .

  • если функция R(sinx;cosx) чётна относительно sinx и cosx, т.е. R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx), то следует применить подстановку
  • t=tgx; ;
  • , .
  • Интегралы вида:
  • , (18)
  • 1. где k, n — хотя бы одно число нечётное
  • отделить от нечётной степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
  • 2. где k, n — чётные положительные
  • применить формулы понижения степени:
  • ; ; ;
  • 3. где k, n — нечётные положительные
  • отделить от наименьшей степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
  • 4. где n — целое положительное число
  • применить подстановку t=sinx;
  • 5. где k — целое положительное нечётное число
  • применить подстановку t=cosx;
  • 6. где n+k — чётное отрицательное целое число
  • применить подстановку t=tgx;
  • 7. где n и k — четные и хотя бы одно из них отрицательное
  • применить подстановку t=tg x или t=ctg x.
  • Интегралы вида:
  • , , (19)
  • если n=1, то
  • ;
  • ,
  • если n>1, воспользоваться формулами:
  • ; ,
  • позволяющими понизить степень тангенса или котангенса непосредственно, отделяем один множитель и подводим его под знак дифференциала, находим исходный интеграл.
  • №6. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
  • 6) .
  • ►1) = =
  • = = ;
  • 2) = = =
  • = =
  • = =
  • = ;
  • 3) = =
  • = = =
  • = = =
  • = ;
  • 4) = = =
  • = = = ;
  • 5) = = =
  • = = = =
  • = = = =
  • = +С;
  • 6) = = = =
  • = = , ( .◄
  • Аудиторное занятие
  • Найти интегралы:

№248. . Ответ: .

№249. . Ответ: .

№250. . Ответ: .

№251. . Ответ: .

№252. . Ответ: .

№253. . Ответ: .

№254. . Ответ: .

№255. . Ответ: .

№256. . Ответ: .

№257. . Ответ: .

№258. . Ответ: .

№259. . Ответ: .

№260. .

Указание. Замена сosx=t.

Ответ: .

№261. .

Указание. Замена sinx=t.

  1. Ответ: .
  2. Домашнее задание
  3. Найти интегралы:

№262. . Ответ: .

№263. . Ответ: .

№264. . Ответ: .

№265. . Ответ: .

№266. . Ответ: .

№267. . Ответ: tg xx.

№268. . Ответ: .

№269. . Ответ: .

№270. . Ответ: .

№271. . Ответ: .

№272. . Ответ: .

№273. . Ответ: .

№274. . Ответ: .

№275. . Ответ: .

№276. . Ответ: .

№277. . Ответ: .

№278. . Ответ: .

№279. . Ответ: .

№280. . Ответ: .

Дополнительные задания

Найти интегралы:

№281. . Ответ: .

№282. . Ответ: .

№283. . Ответ: .

№284. .

Ответ: .

№285. . Ответ: .

№286. .

Ответ: .

№287. .

Ответ: .

№288. . Ответ: .

№289. .

Указание. Замена t=ctg x. Ответ: .

№290. . Ответ: .

№291. . Ответ: .

№292. . Ответ: , где t=tg x.

№293. . Ответ: ln|tg x|.

№294. . Ответ: .

№295. .

Указание. Замена ctgx=t.

Ответ: .

№296. . Ответ: ln|sinx|-sinx.

№297. .

  • Ответ: .
  • Примерный вариан решения
  • индивидуального домашнего задания
  • Найти интегралы:

№18. .

  1. ► = =
  2. = =
  3. = =
  4. = .◄

№19. .

  • ► = =
  • = = =
  • = .◄

№20. .

= =

= = .◄

№38. .

  1. = =
  2. = = = =
  3. = .◄

№39. .

  • = =
  • = = = =
  • = .◄
  • №40.
  • = =
  • = = = =
  • = = =
  • = .◄
  • Занятие 7
  • Интегрирование некоторых иррациональностей
  • Цели
  • Знать:
  • v Основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей.
  • Уметь:
  • v Применять основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей;
  • v выделять полный квадрат из квадратного трёхчлена под знаком радикала;
  • v применять дробно-линейную подстановку; тригонометрическую подстановку.
  • Интегралы вида:
  • (20)
  • называют неопределёнными интегралами от квадратичных иррациональностей.

Постановка задачи. Найти интеграл .

План решения.

Для нахождения интеграла следует:

1. Если числитель есть дифференциал подкоренного трёхчлена, то следует сделать замену , что приводит исходный интеграл к виду .

2. Если числитель не зависит от х, т.е. М=0, то под знаком радикала выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, в результате чего получим квадратный двучлен, в зависимости от знака а исходный интеграл сводится к одной из табличных формул

  1. [11]
  2. или
  3. [12].

3. Если , то под знаком радикала выделив полный квадрат, сделать подстановку , при этом исходный интеграл разбивается на сумму двух интегралов.

  • Интегралы вида
  • , (21)
  • где R — рациональная функция; p,q,…,s,t — целые числа, находятся с помощью постановки
  • ,
  • где m — наименьшее общее кратное чисел q,…,t.
  • Частные случаи:
  • 1) если в интеграле (21) с=0, то он будет иметь вид
  • , (22)
  • где ;
  • 2) если b=c=0, a=d=1, то интеграл (21) примет вид
  • . (23)
  • Интегралы вида (22) или (23) находятся с помощью подстановки
  • или .
  • К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
  • (24)
  • подстановкой
  • x=a sint; dx=a cost dt
  • или
  • x=a cost; dx=-a sint dt
  • (25)
  • подстановкой
  • x=a tgt;
  • или
  • x=a ctgt;
  • (26)
  • подстановкой
  • ;
  • или
  • Интегралы вида:
  • (27)
  • Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и . Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку , интегралы указанного вида приводятся к интегралам вида:
  • , , .
  • Интеграл от дифференциального бинома
  • (28),
  • где a, b — действительные числа; m, n, p — рациональные числа, берутся, лишь в случае, когда одно из чисел р, или — является целым.
  • Интеграл от дифференциального бинома сводится к интегралу от рациональной функции в трёх случаях:
  • 1) когда р — целое число,
  • подстановка , где k — наименьшее общее кратное дробей m и n;
  • 2) когда — целое число,
  • подстановкой , где s — знаменатель дроби p;
  • 3) когда — целое число,
  • подстановкой , где s — знаменатель дроби р.

Во всех остальных случаях интегралы вида не выражаются через известные элементарные функции, т.е. «не берутся».

  1. Интеграл вида:
  2. (29)
  3. можно найти подстановкой .
  4. № 7. Найти интегралы: 1) ; 2) ;
  5. 3) ; 4) ; 5) ;
  6. 6) ; 7) ; 8) .
  7. ►1) = =
  8. = = = =
  9. = = ;
  10. 2) = = = =
  11. = = ;
  12. 3) = = =
  13. = = =
  14. = ;
  15. 4) = = =
  16. = = = ;
  17. 5) = = =
  18. = = = =
  19. = .
  20. Замечание. Ответ можно упростить, если воспользоваться тем, что и , следовательно
  21. = ;
  22. 6) Это интеграл от дифференциального бинома.
  23. = =
  24. = =
  25. = =
  26. = = = = =
  27. = ;
  28. 7) = = =
  29. = = .
  30. Здесь учтено, что , что подынтегральная функция определена в интервале –1
Читайте также:  Формула бромида аммония в химии

Источник: https://cyberpedia.su/10×10815.html

Таблица основных неопределенных интегралов

Перечисленные интегралы — это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.

Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!

Интеграл от константы

∫ Adx=Ax+C (1)

Интегрирование степенной функции

В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.

∫ xdx= x 2 2 +C (2) ∫ x 2 dx= x 3 3 +C (3) ∫ 1 x dx=2 x +C (4) ∫ 1 x dx=ln| x |+C (5) ∫ 1 x 2 dx=− 1 x +C (6) ∫ x n dx= x n+1 n+1 +C(n≠−1) (7)

Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций

Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.

∫ e x dx= e x +C (8) ∫ a x dx= a x lna +C(a>0,a≠1) (9) ∫ shx dx=chx+C (10) ∫ chx dx=shx+C (11)

Базовые интегралы от тригонометрических функций

Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен «минус косинусу», а вот интеграл от cosx равен «просто синусу»:

∫ sinxdx=−cosx+C (12) ∫ cosxdx=sinx+C (13) ∫ 1 cos 2 x dx=tgx+C (14) ∫ 1 sin 2 x dx=−ctgx+C (15)

Формула (16), приводящая к арктангенсу, естественно, является частным случаем формулы (17) при a=1. Аналогично, (18) — частный случай (19).

∫ 1 1+ x 2 dx=arctgx+C=−arcctgx+C (16) ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a arctg x a +C(a≠0) (17) ∫ 1 1− x 2 dx=arcsinx+C=−arccosx+C (18) ∫ 1 a 2 − x 2 dx=arcsin x a +C=−arccos x a +C(a>0) (19) Репетитор по математическому анализу

Данные формулы тоже желательно запомнить. Они также используются достаточно часто, а их вывод довольно утомителен.

∫ 1 x 2 + a 2 dx=ln| x+ x 2 + a 2 |+C (20) ∫ 1 x 2 − a 2 dx=ln| x+ x 2 − a 2 |+C (21) ∫ a 2 − x 2 dx= x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a +C(a>0) (22) ∫ x 2 + a 2 dx= x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln| x+ x 2 + a 2 |+C(a>0) (23) ∫ x 2 − a 2 dx= x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln| x+ x 2 − a 2 |+C(a>0) (24)

  • 1) Интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов: ∫ (f(x)+g (x))dx= ∫ f(x)dx+ ∫ g(x)dx (25)
  • 2) Интеграл от разности двух функций равен разности соответствующих интегралов: ∫ (f(x)−g (x))dx= ∫ f(x)dx− ∫ g(x)dx (26)
  • 3) Константу можно выносить за знак интеграла: ∫ Cf(x) dx=C ∫ f(x)dx (27)
  • Легко заметить, что свойство (26) — это просто комбинация свойств (25) и (27).
  • 4) Интеграл от сложной функции, если внутренняя функция является линейной: ∫ f(Ax+B) dx= 1 A F(Ax+B)+C(A≠0) (28)

Здесь F(x) — первообразная для функции f(x). Обратите внимание: эта формула подходит только для случая, когда внутренняя функция имеет вид Ax + B.

Важно: не существует универсальной формулы для интеграла от произведения двух функций, а также для интеграла от дроби:

∫ f(x)g(x) dx=? ∫ f(x) g(x) dx=? (30)

Это не означает, конечно, что дробь или произведение нельзя проинтегрировать. Просто каждый раз, увидев интеграл типа (30), вам придется изобретать способ «борьбы» с ним. В каких-то случаях вам поможет интегрирование по частям, где-то придется сделать замену переменной, а иногда помощь могут оказать даже «школьные» формулы алгебры или тригонометрии.

Пример 1. Найти интеграл: ∫ (3 x 2 +2sinx−7 e x +12)dx

Воспользуемся формулами (25) и (26) (интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих интегралов. Получаем: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2sinxdx− ∫ 7 e x dx+ ∫ 12dx

Вспомним, что константу можно выносить за знак интеграла (формула (27)). Выражение преобразуется к виду

3 ∫ x 2 dx +2 ∫ sinxdx−7 ∫ e x dx+12 ∫ 1dx

А теперь просто воспользуемся таблицей основных интегралов. Нам потребуется применить формулы (3), (12), (8) и (1). Проинтегрируем степенную функцию, синус, экспоненту и константу 1. Не забудем добавить в конце произвольную постоянную С:

3 x 3 3 −2cosx−7 e x +12x+C

После элементарных преобразований получаем окончательный ответ:

x 3 −2cosx−7 e x +12x+C

Проверьте себя дифференцированием: возьмите производную от полученной функции и убедитесь, что она равна исходному подинтегральному выражению.

∫ Adx=Ax+C
∫ xdx= x 2 2 +C
∫ x 2 dx= x 3 3 +C
∫ 1 x dx=2 x +C
∫ 1 x dx=ln| x |+C
∫ 1 x 2 dx=− 1 x +C
∫ x n dx= x n+1 n+1 +C(n≠−1)
∫ e x dx= e x +C
∫ a x dx= a x lna +C(a>0,a≠1)
∫ shx dx=chx+C
∫ chx dx=shx+C
∫ sinxdx=−cosx+C
∫ cosxdx=sinx+C
∫ 1 cos 2 x dx=tgx+C
∫ 1 sin 2 x dx=−ctgx+C
∫ 1 1+ x 2 dx=arctgx+C=−arcctgx+C
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a arctg x a +C(a≠0)
∫ 1 1− x 2 dx=arcsinx+C=−arccosx+C
∫ 1 a 2 − x 2 dx=arcsin x a +C=−arccos x a +C(a>0)
∫ 1 x 2 + a 2 dx=ln| x+ x 2 + a 2 |+C
∫ 1 x 2 − a 2 dx=ln| x+ x 2 − a 2 |+C
∫ a 2 − x 2 dx= x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a +C(a>0)
∫ x 2 + a 2 dx= x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln| x+ x 2 + a 2 |+C(a>0)
∫ x 2 − a 2 dx= x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln| x+ x 2 − a 2 |+C(a>0)

Интегрирование тригонометрических функций, примеры Скачайте таблицу интегралов (часть I) по этой ссылкеИнтегрирование тригонометрических функций, примеры Скачайте таблицу интегралов (часть II) по этой ссылке

Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике. Будем решать Ваши проблемы вместе!

Возможно, вас заинтересуют также

Источник: http://www.repetitor2000.ru/integrals.html

Интегрирование тригонометрических функций

На практике часто приходится вычислять интегралы трансцендентных функций, которые содержат тригонометрические функции. В рамках этого материала мы опишем основные виды подынтегральных функций и покажем, какие методы можно использовать для их интегрирования.

Интегрирование синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Начнем с методов интегрирования основных тригонометрических функций – sin, cos, tg, ctg. Используя таблицу первообразных, сразу запишем, что ∫sin xdx=-cos x+C, а ∫cos xdx=sin x+C.

Для вычисления неопределенных интегралов функций tg и ctg можно воспользоваться подведением под знак дифференциала:

∫tg xdx=∫sin xcos xdx=d(cos x)=-sin xdx==-∫d(cos x)cos x=-lncos x+C∫ctg xdx=∫cos xsin xdx=d(sin x)=cos xdx==∫d(sin x)sin x=lnsin x+C

Как же у нас получились формулы ∫dxsin x=ln1-cos xsin x+C и ∫dxcos x=ln1+sin xcos x+C, взятые из таблицы первообразных? Поясним только один случай, поскольку второй будет понятен по аналогии.

  • Используя метод подстановки, запишем:
  • ∫dxsin x=sinx=t⇒x=arcsin y⇒dx=dt1-t2=dtt1-t2
  • Здесь нам нужно интегрировать иррациональную функцию. Берем тот же метод подстановки:
  • ∫dtt1-t2=1-t2=z2⇒t=1-z2⇒dt=-zdz1-z2==∫-zdzz1-z2·1-z2=∫dzz2-1=∫dz(z-1)(z+)==12∫dzz-1-12∫dzz+1=12lnz-1-12z+1+C==12lnz-1z+1+C=lnz-1z+1+C
  • Теперь производим обратную замену z=1-t2 и t = sin x:
  • ∫dxsin x=∫dtt1-t2=lnz-1z+1+C==ln1-t2-11-t2+1+C=ln1-sin2 x-11-sin2 x+1+C==lncos x-1cos x+1+C=ln(cos x-1)2sin2x+C==lncos x-1sin x+C
  • Отдельно разберем случаи с интегралами, которые содержат степени тригонометрических функций, таких, как ∫sinn xdx, ∫cosn xdx, ∫dxsinn x, ∫dxcosn x.

О том, как их правильно вычислять, можно прочесть в статье об интегрировании с использованием рекуррентных формул. Если вы знаете, каким образом выведены эти формулы, то легко сможете брать интегралы вроде ∫sinn x·cosm xdx с натуральными m и n.

Если у нас имеется комбинация тригонометрических функций с многочленами или показательными функциями, то их придется интегрировать по частям. Советуем прочесть статью, посвященную методам нахождения интегралов  ∫Pn(x)·sin (ax)dx, ∫Pn(x)·cos (ax)dx, ∫ea·x·sin (ax)dx, ∫ea·x·cos (ax)dx.

Наиболее сложными являются задачи, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции с разными аргументами. Для этого нужно пользоваться основными формулами тригонометрии, так что желательно помнить их наизусть или держать запись под рукой.

Пример 1

  1. Найдите множество первообразных функции y=sin (4x)+2cos2 (2x)sin x·cos (3x)+2cos2x2-1·sin (3x).
  2. Решение
  3. Воспользуемся формулами понижения степени и запишем, что cos2x2=1+cos x2, а cos22x=1+cos 4×2. Значит,
  4. y=sin (4x)+2cos2 (2x)sin x·cos (3x)+2cos2x2-1·sin (3x)=sin (4x)+2·1+cos 4x2sin x·cos (3x)+2·1+cos x2-1·sin (3x)==sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)
  5. В знаменателе у нас стоит формула синуса суммы. Тогда можно записать так:
  6. y=sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)=sin (4x)+cos(4x)+1sin(4x)==1+cos (4x)sin (4x)
  7. У нас получилась сумма 3-х интегралов.
  8. ∫sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)dx==∫dx+cos(4x)dxsin (4x)+∫dxsin (4x)==x+14ln∫d(sin(4x))sin(4x)+14lncos (4x)-1sin (4x)==14lnsin (4x)+14lncos (4x)-1sin (4x)+C=x+14·lncos4x-1+C
  9. В некоторых случаях тригонометрические  функции, находящиеся под интегралом, можно свести к дробно рациональным выражениям с использованием метода стандартной подстановки. Для начала возьмем формулы, которые выражают sin, cos и tg через тангенс половинного аргумента:
  10. sin x=2tgx21+tg2x2, sin x=1-tg2x21+tg2x2,  tg x=2tgx21-tg2x2
  11. Также нам нужно будет выразить дифференциал dx через тангенс половинного угла:
  12. Поскольку dtgx2=tgx2'dx=dx2cos2x2, то
  13. dx=2cos2x2dtgx2=2dtgx21cos2x2=2dtgx2cos2x2+sin2x2cos2x2=2dtgx21+tg2x2
  14. Таким образом, sin x=2z1+z2, cos x1-z21+z2, tg x2z1-z2, dx=2dz1+z2 при z=tgx2.

Пример 2

  • Найдите неопределенный интеграл ∫dx2sin x+cos x+2.
  • Решение
  • Используем метод стандартной тригонометрической подстановки.
  • 2sin x+cos x+2=22z1+z2+1-z21+z2=z2+4z+31+z2⇒dx2sin x+cos x+2=2dz1+z2z2+4z+31+z2=2dzz2+4z+3
  • Получим, что ∫dx2sin x+cos x+2=2dzz2+4z+3.
  • Теперь мы можем разложить подынтегральную функцию на простейшие дроби и получить сумму двух интегралов:
  • ∫dx2sin x+cos x+2=2∫2dzz2+4z+3=2∫121z+1-1z+3dz==∫dzz+1-∫Cz+3=lnz+1-lnz+3+C=lnz+1z+3+C
  • Далее производим обратную замену z=tgx2:
  • ∫dx2sin x+cos x+2=lnz+1z+3+C=lntgx2+1tgx2+3+C
  • Ответ: ∫dx2sin x+cos x+2=lntgx2+1tgx2+3+C

Важно отметить, что те формулы, которые выражают фукнции через тангенс половинного аргумента, не являются тождествами, следовательно, получившееся в итоге выражение lntgx2+1tgx2+3+C – это множество первообразных функции y=12sin x+cos x+2 только на области определения.

Для решения других типов задач можно использовать основные методы интегрирования.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/integraly-integrirovanie/integrirovanie-trigonometricheskih-funktsij/

6. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы
вида ,
где- рациональная функция.


Интегралы указанного вида приводят к
интегралам от рациональных функций с
помощью, так называемой универсальной
тригонометрической подстановки

.

В результате этой подстановки имеем:

, ,
,.

Пример
1.18.
Вычислить
.

Решение.
Подынтегральная
функция является рациональной относительно
и.

Воспользуемся подстановкой,
тогда,

png» width=»90″>, ,
откуда

Замечание
1.3.
Универсальная
подстановка

во
многих случаях приводит к сложным
вычислениям.

В
некоторых частных случаях нахождение
интегралов вида

можно
упростить.

1.
Если

нечетная
относительно

png» width=»39″>,
то есть, если,
то интеграл рационализируется подстановкой

png» width=»60″>.

2.
Если

нечетная
относительно

png» width=»41″>,
то есть, если,
то интеграл рационализируется подстановкой

png» width=»58″>.

3.
Если

четная
относительно и

png» width=»41″>,
то есть,
то интеграл рационализируется подстановкой
(или

png» width=»56″>).

Пример
1.19.
Вычислить
.

Решение.
Подынтегральная
функция четна относительно синуса и
косинуса. Полагаем
,
тогда

png» width=»170″>,,,.

Отсюда получаем

Далее
имеем

Интегралы
вида
.
Выделим здесь два случая.

Случай
1.
По
крайней мере один из показателей или- нечетное положительное число.

Если
— нечетное положительное число, то
применяют подстановку

png» width=»58″>;
если же- нечетное положительное число, то
применяют подстановку

png» width=»60″>.

Пример
1.20.
Вычислить
.

Решение.
Полагая
,,
получим

Случай
2.
Оба
показателя или- четные положительные числа. Здесь
следует преобразовать подынтегральную
функцию с помощью формул

(1.4)
(1.5)

Пример
1.21.
Вычислить
.

Решение.
Из
формулы (1.4) следует, что

Применив
теперь формулу (1.5), получим

Итак,

7. Интегрирование иррациональных функций

Интегралы
вида ,
где- рациональная функция;- целые числа.

С
помощью подстановки ,
где- наименьшее общее кратное чисел

png» width=»73″>,
заданный интеграл преобразуется в
интеграл от рациональной функции.

Пример
1.22.
Вычислить
.

Решение.
Здесь
поэтому.

Воспользуемся подстановкой,
тогда,

YSb7/img-Nwig13.png» width=»75″>и, следовательно,

Интегралы
вида
,
,

png» width=»138″>приводят
к интегралам от ,функции с помощью соответствующей
замены: для первого интеграла

png» width=»68″>(или),
для второго(или)
и для третьего

png» width=»63″>(или).

Пример
1.23.
Вычислить
.

Решение.
Положим
,,.
Подставляя в исходный интеграл, получим

Выразим
,
если,

Окончательно
получаем

1.2. Определенный интеграл Основные свойства определенного интеграла

png» width=»222″>

5. ,
где

png» width=»17″>- постоянная.

Правила вычисления определенных интегралов

  • 1.
    Формула Ньютона-Лейбница:
  • ,
  • где
    непрерывна на отрезке,- первообразная для.
  • 2.
    Интегрирование по частям:
  • ,
  • где
    ,- непрерывно дифференцируемые функции
    на отрезке.
  • 3.
    Замена переменной:
  • ,
  • где
    — непрерывная вместе со своей производнойна отрезке,,,- функция, непрерывная на.
  • 3.
    Если — нечетная функция, то есть,
    то
  • .
  • 4.
    Если — четная функция, то есть,
    то
  • .

Пример
1.24.
Вычислить
.

Решение.
По
формуле Ньютона-Лейбница имеем

Пример
1.25.
Вычислить
.

Решение.
Воспользуемся
методом интегрирования по частям.
Положим ,,
откуда,.
Тогда получим

Пример
1.26.
Вычислить
.

Решение.
Положим
,
тогда;
если

png» width=»39″>,
то;
если,
тогда.

Следовательно,

Источник: https://studfile.net/preview/2592254/page:3/

Ссылка на основную публикацию