Линейные неравенства и их решение

• Рассмотрим решение линейных неравенств на конкретных примерах.
•    
• Как и в случае линейных уравнений, решение линейных неравенств с дробями  удобно начинать с приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель здесь равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби. После умножения обеих частей неравенства на наименьший общий знаменатель знаменатели сокращаются и остается целое выражение

1.    
2. Как показывает практика, лучше не торопиться и записать произведение дополнительных множителей и числителей с помощью скобок:
3.    
4. только после этого раскрывать скобки
5.    
6. и приводить подобные слагаемые
7.    
8. Неизвестные — в левую часть, известные — в правую с противоположными знаками:
9.    
10. Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку — 5 — отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный:
11.    
12. Неравенство нестрогое, поэтому на числовой прямой 4,2 отмечаем закрашенной точкой. Штриховка от 4,2 идёт вправо, на плюс бесконечность: 
13. Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, 4,2 записываем в ответ с квадратной скобкой:
14. Ответ:
15.    

Умножаем обе части на наименьший общий знаменатель 20. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.

•    
• Раскрываем скобки
• Приводим подобные слагаемые
• Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 31 — положительное число, знак неравенства не изменяется.

Поскольку неравенство строгое, 1 на числовой прямой отмечаем выколотой точкой. Штриховка от 1 уходит вправо, на плюс бесконечность.

1. Так как неравенство строгое и точка выколотая, в ответ 1 записываем с круглой скобкой.
2. Ответ:

Умножаем обе части неравенства на наименьший общий знаменатель 18. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.

• Раскрываем скобки
• Приводим подобные слагаемые
• Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками
• Обратите внимание: хотя разность в левой части неравенства равна нулю, пишем 6x-6x=0x.

Получили частный случай линейного неравенства. Какое бы число мы не подставили вместо x, левая часть неравенства равна нулю. Неверно, что нуль меньше отрицательного числа -23. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: x ∈ Ø.  (решений нет).

1. Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 8.
2. Раскрываем скобки
3. Приводим подобные слагаемые
4. Неизвестные переносим в одну сторону неравенства, известные — в другую с противоположным знаком

Получили частный случай линейного неравенства. Неравенство верно при любом значении x.

• Ответ:
• (или: x — любое число).

Источник: http://www.algebraclass.ru/reshenie-linejnyx-neravenstv/

Видеоурок «Решение линейных неравенств»

§ 1  Линейные неравенства

На этом занятии мы познакомимся с определением линейного неравенства. Рассмотрим свойства, используемые при решении линейных неравенств. Научимся решать линейные неравенства.

• Линейным неравенствомназывают неравенства вида aх+ b > 0 или aх+ b < 0, где переменная или искомая величина, a и b– некоторые числа, причем a ≠ 0.
• Так как неравенство может быть строгим и нестрогим, то линейные неравенства могут иметь следующий вид aх+ b ≥0, aх+ b ≤ 0.
• Неравенство является линейным, так как х входит в неравенство в первой степени.
• Решением линейного неравенства является значение переменной х, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.
• Возьмем неравенство 2х+5 > 0.

Подставим вместо х значение нуль. Получим 5 > 0. Это верное неравенство. Значит, х=0, является решением неравенства 2х+5>0.

Подставив вместо х значение –2,5, получим 0 > 0. Это неверное неравенство. Следовательно, х= –2,5 не является решением линейного неравенства 2х + 5>0. Подбирая значения х, можно найти еще несколько частных решений.

1. Найти все решения или доказать, что неравенство не имеет решений, означает решить линейное неравенство.
2. Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называются равносильными.
3. При решении неравенств используют правила, применяя которые можно получить более простые для решения равносильные неравенства.

§ 2  Примеры решения линейных неравенств

Решим неравенство 2х+5>0. И первое правило, которое здесь можно использовать: если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство.

Получим2х > –5.

Далее можно использовать второе правило: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то жеположительное число, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство.

Разделим обе части неравенства на 2. Получим х > –2,5.

• Ответ можно записать так: х > -2,5 или в виде числового промежутка
• Результатом является положительно-направленный открытый луч.
• Открытый, так как наше неравенство строгое, а значит, число –2,5 не включается в числовой промежуток.
• Решим другое линейное неравенство 3х – 3 ≥ 7х – 15.

Так же, как при решении линейных уравнений, слагаемые с х перенесем влево, а числовые слагаемые – вправо. Не забудем при переносе поменять знаки слагаемых на противоположные. Исходя из первого правила, знак неравенства при этом не меняется.

1. Получим 3х – 7х ≥ –15 + 3 или –4х ≥ –12.
2. Далее используем третье правило: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то жеотрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.
3. Разделим обе части неравенства на –4.
4. Получим х ≤ 3.
5. Покажем решение на оси х.

Результатом является отрицательно-направленный закрытый луч. Закрытый, так как наше неравенство нестрогое, а значит, число 3 включается в числовой промежуток.

Рассмотрим решение более сложного линейного неравенства

Используя второе правило, обе части неравенства умножим на число 15. Число 15 будет общим знаменателем дробей.

• Умножим числители на дополнительные множители. 
• Получим неравенство 5х + 6х – 3 > 30х. 
• Используя правило один, перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые – вправо, поменяв знаки при переносе на противоположные.
• Получим –19х > 3. 

Применим правило три, разделим обе части неравенства на –19. В этом случае надо поменять знак неравенства на противоположный знак .

Покажем решение на оси х.

Результатом является открытый луч, потому что неравенство строгое, а значит, число не включается в числовой промежуток. Это отрицательно-направленный луч.

Решим следующее неравенство

Обе части неравенства умножим на 4.

Получим 5 – 2х ≤ 8х. Перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые – вправо

–2х – 8х ≤ –5 или –10х ≤–5.

Разделим обе части неравенства на –10. Это число отрицательное, по правилу 3 необходимо поменять знак неравенства на противоположный.

Получим х≥0,5.

Покажем решение на оси х.

Результатом является закрытый луч, так как неравенство нестрогое, а значит, число 0,5 включается в числовой промежуток. Это положительно-направленный луч.

При решении неравенств после преобразований может получиться так, что коэффициент при х равен нулю, например, 0∙х> b (или 0∙х< b). Такое неравенство не имеет решений или решением является любое число. 

Решим неравенство 2(х + 8) –5х < 4–3х.

Раскроем скобки 2х + 16 – 5х < 4 – 3х.

Используя свойство один, перенесем слагаемые с х влево, а числа– вправо, получим 0∙х < –12. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 < –12. Это неверное неравенство.

Ответ: нет решения или пустое множество.

Решим другое неравенство х > х – 1.

Перенесем х справа налево, получим 0∙х > –1. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 > –1. Это верное неравенство.

§ 3  Краткий итог урока

1. Важно запомнить:
2. Линейным неравенством называют неравенство вида aх+ b > 0 (или aх+ b < 0, aх+ b ≥ 0, aх+ b≤ 0), где х – переменная, a и b– некоторые числа, причем a≠0.
3. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
4. При решении линейных неравенств используют правила, позволяющие заменить данное неравенство на более простые для решения равносильные ему неравенства:
5. 1) если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;
6. 2)если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;
7. 3) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.
8. Целью применения этих правил является приведение линейного неравенства к виду х > b/a или х < b/a.
9. Решением линейного неравенства является числовой промежуток. Это может быть открытый или закрытый числовой луч, который может быть как
10. положительно-направленным, так и отрицательно-направленным.

Источник: https://znaika.ru/catalog/8-klass/algebra/Reshenie-lineynykh-neravenstv

Линейные уравнения: формулы и примеры. Неравенства и их решение :: SYL.ru

Научиться решать уравнения — это одна из главных задач, которые ставит алгебра перед учениками. Начиная с простейшего, когда оно состоит из одной неизвестной, и переходя ко все более сложным. Если не усвоены действия, которые нужно выполнить с уравнениями из первой группы, будет трудно разобраться с другими.

Для продолжения разговора нужно договориться об обозначениях.

Название величины	Ее обозначение
переменная	х, у
любое число	а, в, с

Общий вид линейного уравнения с одной неизвестной и принцип его решения

Любое уравнение, которое можно привести к записи такого вида:

а * х = в,

называется линейным. Это общая формула. Но часто в заданиях линейные уравнения записаны в неявном виде. Тогда требуется выполнить тождественные преобразования, чтобы получить общепринятую запись. К этим действиям относятся:

• раскрытие скобок;
• перемещение всех слагаемых с переменной величиной в левую часть равенства, а остальных — в правую;
• приведение подобных слагаемых.

В случае когда неизвестная величина стоит в знаменателе дроби, нужно определить ее значения, при которых выражение не будет иметь смысла. Другими словами, полагается узнать область определения уравнения.

Принцип, по которому решаются все линейные уравнения, сводится к тому, чтобы разделить значение в правой части равенства на коэффициент перед переменной. То есть «х» будет равен в/а.

Частные случаи линейного уравнения и их решения

Во время рассуждений могут возникать такие моменты, когда линейные уравнения принимают один из особых видов. Каждый из них имеет конкретное решение.

• В первой ситуации:
• а * х = 0, причем а ≠ 0.
• Решением такого уравнения всегда будет х = 0.
• Во втором случае «а» принимает значение равное нулю:
• 0 * х = 0.

Ответом такого уравнения будет любое число. То есть у него бесконечное количество корней.

Третья ситуация выглядит так:

0 * х = в, где в ≠ 0.

Это уравнение не имеет смысла. Потому что корней, удовлетворяющих ему, не существует.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными

Из его названия становится ясно, что неизвестных величин в нем уже две. Линейные уравнения с двумя переменными выглядят так:

а * х + в * у = с.

Поскольку в записи встречаются две неизвестные, то ответ будет выглядеть как пара чисел. То есть недостаточно указать только одно значение. Это будет неполный ответ.

Иногда говорят, что эти числа ему удовлетворяют. Причем таких пар может быть бесконечное количество.

Как решить линейное уравнение с двумя неизвестными?

Для этого нужно просто подобрать любую пару чисел, которая окажется верной. Для простоты можно принять одну из неизвестных равной какому-либо простому числу, а потом найти вторую.

При решении часто приходится выполнять действия для упрощения уравнения. Они называются тождественными преобразованиями. Причем для уравнений всегда справедливы такие свойства:

• каждое слагаемое можно перенести в противоположную часть равенства, заменив у него знак на противоположный;
• левую и правую части любого уравнения разрешено делить на одно и то же число, если оно не равно нулю.

Примеры заданий с линейными уравнениями

Первое задание. Решить линейные уравнения: 4х = 20, 8(х — 1) + 2х = 2(4 — 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15) / (х + 3) = 4.

В уравнении, которое идет в этом списке первым, достаточно просто выполнить деление 20 на 4. Результат будет равен 5. Это и есть ответ: х=5.

Третье уравнение требует того, чтобы было выполнено тождественное преобразование. Оно будет заключаться в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. После первого действия уравнение примет вид: 8х — 8 + 2х = 8 — 4х. Потом нужно перенести все неизвестные в левую часть равенства, а остальные — в правую.

Уравнение станет выглядеть так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. После приведения подобных слагаемых: 14х = 16. Теперь оно выглядит так же, как и первое, и решение его находится легко. Ответом будет х=8/7. Но в математике полагается выделять целую часть из неправильной дроби.

Тогда результат преобразится, и «х» будет равен одной целой и одной седьмой.

В остальных примерах переменные находятся в знаменателе. Это значит, что сначала нужно узнать, при каких значениях уравнения определены. Для этого нужно исключить числа, при которых знаменатели обращаются в ноль. В первом из примеров это «-4», во втором оно «-3». То есть эти значения нужно исключить из ответа. После этого нужно умножить обе части равенства на выражения в знаменателе.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, в первом из этих уравнений получится: 5х + 15 = 4х + 16, а во втором 5х + 15 = 4х + 12. После преобразований решением первого уравнения будет х = -1. Второе оказывается равным «-3», это значит, что последнее решений не имеет.

Второе задание. Решить уравнение: -7х + 2у = 5.

Предположим, что первая неизвестная х = 1, тогда уравнение примет вид -7 * 1 + 2у = 5. Перенеся в правую часть равенства множитель «-7» и поменяв у него знак на плюс, получится, что 2у = 12. Значит, у=6. Ответ: одно из решений уравнения х = 1, у = 6.

Общий вид неравенства с одной переменной

Все возможные ситуации для неравенств представлены здесь:

• а * х > в;
• а * х < в;
• а * х ≥в;
• а * х ≤в.

В общем, оно выглядит как простейшее линейное уравнение, только знак равенства заменен на неравенство.

Правила тождественных преобразований неравенства

Так же как линейные уравнения, и неравенства можно видоизменять по определенным законам. Они сводятся к следующему:

1. к левой и правой частям неравенства можно прибавить любое буквенное или числовое выражение, причем знак неравенства останется прежним;
2. также можно и умножить или разделить на одно и то же положительное число, от этого опять знак не изменяется;
3. при умножении или делении на одно и то же отрицательное число равенство останется верным при условии смены знака неравенства на противоположный.

Общий вид двойных неравенств

В задачах могут быть представлены такие варианты неравенств:

• в < а * х < с;
• в ≤ а * х < с;
• в < а * х ≤ с;
• в ≤ а * х ≤ с.

Двойными оно называется, потому что ограничено знаками неравенства с двух сторон. Оно решается с помощью тех же правил, что и обычные неравенства. И нахождение ответа сводится к ряду тождественных преобразований. Пока не будет получено простейшее.

Особенности решения двойных неравенств

Первой из них является его изображение на координатной оси. Использовать этот способ для простых неравенств нет необходимости. А вот в сложных случаях он может быть просто необходимым.

Для изображения неравенства нужно отметить на оси все точки, которые получились во время рассуждений.

Это и недопустимые значения, которые обозначаются выколотыми точками, и значения из неравенств, получившиеся после преобразований. Здесь тоже важно правильно нарисовать точки.

Потом полагается обозначить смысл неравенств. Это можно сделать с помощью штриховки или дуг. Их пересечение укажет ответ.

Вторая особенность связана с его записью. Здесь предлагается два варианта. Первый — это окончательное неравенство. Второй — в виде промежутков. Вот с ним бывает, что возникают трудности. Ответ промежутками всегда выглядит как переменная со знаком принадлежности и скобок с числами.

Иногда промежутков получается несколько, тогда между скобками нужно написать символ «и». Эти знаки выглядят так: ∈ и ∩. Скобки промежутков тоже играют свою роль. Круглая ставится тогда, когда точка исключена из ответа, а прямоугольная включает это значение.

Знак бесконечности всегда стоит в круглой скобке.

Примеры решения неравенств

1. Решить неравенство 7 — 5х ≥ 37.

После несложных преобразований получается: -5х ≥ 30. Разделив на «-5» можно получить такое выражение: х ≤ -6. Это уже ответ, но его можно записать и по-другому: х ∈ ( -∞; -6].

2. Решите двойное неравенство -4 < 2x + 6 ≤ 8.

Сначала нужно везде вычесть 6. Получится: -10 < 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ ( -5; 1].

Источник: https://www.syl.ru/article/177049/mod_lineynyie-uravneniya-formulyi-i-primeryi-neravenstva-i-ih-reshenie

Системы линейных неравенств с одной переменной

Предварительные навыки

• Общие сведения о неравенствах

Несколько линейных неравенств, удовлетворяющих одним и тем же решениям, образуют систему.

Рассмотрим простейший пример. Система состоит из двух неравенств, которые уже решены.

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 4. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше 9.

Изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой и запишем ответы к ним в виде числовых промежутков:

Но дело в том, что неравенства x > 4 и x  4 и x  4

На нижней области отмечают множество решений второго неравенства x  17

На нижней области отметим множество решений второго неравенства x > 12

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 17 до плюс бесконечности. Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( 17 ; +∞ )

Пример 3. Решить систему неравенств 

Решим каждое неравенство по отдельности. Делать это можно внутри системы. Если испытываете затруднения при решении каждого неравенства, обязательно изучите предыдущий урок

Получили систему . На этом решение завершается. Осталось изобразить множество решений системы на координатной прямой и записать ответ в виде числового промежутка.

1. Как и в прошлом примере, сначала нужно отметить границы обоих неравенств, затем отметить множество решений каждого неравенства (x > 6 и x > 3). Область координатной прямой, отмеченная с обеих сторон, будет промежутком, в котором располагается множество решений системы 
2. x ∈ ( 6 ; + ∞ )
3. Пример 4. Решить систему неравенств 
4. Решим каждое неравенство по отдельности:
5. Изобразим множество решений системы  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
6. Пример 5. Решить неравенство 
7. Решим каждое неравенство по отдельности:
8. Изобразим множество решений системы  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Когда решений нет

• Если неравенства, входящие в систему, не имеют общих решений, то говорят, что система не имеет решений.
• Пример 1. Решить неравенство 
• Решим каждое неравенство по отдельности:

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 7, включая число 7.

Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше −3, включая число −3.

Видим, что у данных неравенств нет общих решений. Увидеть это наглядно позволит координатная прямая. Отметим на ней множество решений каждого неравенства:

1. А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система 
2. Ответ: решений нет.
3. Пример 2. Решить систему неравенств 
4. Решим каждое неравенство по отдельности:
5. Изобразим множество решений неравенств x ≤ −3 и x ≥ 9 на координатной прямой:

Видим, что на координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Значит неравенства x ≤ −3 и x ≥ 9 не имеют общих решений. А значит не имеет решений система 

• А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система
• Ответ: решений нет.
• Пример 3.  Решить систему неравенств 
• Решим каждое неравенство по отдельности:

Получили неравенства 0  5. Первое неравенство не является верным и не имеет решений. Решением второго неравенство a > 5 являются все числа, которые больше 5. Но поскольку первое неравенство не будет верным ни при каком a, то можно сделать вывод, что у неравенств нет общих решений. А значит не имеет решений исходная система 

Ответ: решений нет.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решите неравенство:

Задание 2. Решите неравенство:

Задание 3. Решите неравенство:

Задание 4. Решите неравенство:

Задание 5. Решите неравенство:

Задание 6. Решите неравенство:

Задание 7. Решите неравенство:

Задание 8. Решите неравенство:

Решений нет

Источник: http://spacemath.xyz/sistemy-linejnyh-neravenstv-s-odnoj-peremennoj/

Линейные неравенства и их решение

• Определение и формулы линейных неравенств
• ОПРЕДЕЛЕНИЕ
• Неравенства вида ( a x > b ), ( a x < b ), ( a x geq b ), ( a x leq b ) , где ( x ) — переменная, ( mathrm{a}, mathrm{b} ) — некоторые числа, называются линейными неравенствами с одной переменной.
• Решением линейного неравенства является множество переменных значений, которые превращают его в действительное числовое неравенство.
• При решении линейных неравенств справедливы следующие правила:
• если какое-либо дополнение переносится из одной части неравенства в другую, меняя знак на противоположное, мы получаем эквивалентное ему неравенство.
• если обе стороны неравенства умножаются (делятся) на одно и то же положительное число, то мы получаем эквивалентное ему неравенство.
• если обе стороны неравенства умножаются (делятся) на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположное, мы получаем эквивалентное ему неравенство.
• Используя эти правила, линейные неравенства приводят к эквивалентным неравенствам ( x > c ), ( x < e ), ( x geq c ), ( x leq c ) а их решения записываются следующим образом:

1. Примеры решения линейных неравенств
2. ПРИМЕР 1

Задача

Чтобы решить неравенство ( 2+4 x > 5+x )

Решение

• Перенесите элемент ( x ) с правой стороны неравенства влево, а пункт 2 — слева направо и дайте похожие термины:
• ( 4 x-x > 5-2 )
• ( 3 x > 3 )
• Разделим обе части неравенства на 3:
• ( x>1 )

Множество решений этого неравенства представляет собой числовой интервал ( (1,+infty) ) (рис.1). Точки координатной линии, являющиеся решениями неравенства ( x>1 ), расположены справа от точки 1.

Ответ

ПРИМЕР 2

Задача

решения неравенства ( 2 cdot(2-3 x) geq 3 cdot(x-4)+5 )

Решение.

1. Мы открываем скобки в правой и левой частях неравенства
2. ( 4-6 x geq 3 x-12+5 )
3. и запишем цепочку эквивалентных неравенств
4. ( -6 x-3 x geq-7-4 )
5. ( -9 x geq-11 | :(-9) )
6. ( x leq frac{11}{9} )

Множество решений последнего неравенства представляет собой числовой интервал ( left(-infty ; frac{11}{9}
ight] ) , а на координатной прямой, являющейся решениями этого неравенства, расположены слева от точки ( frac{11}{9} ) (рис.2).

Ответ

( x inleft(-infty ; frac{11}{9}
ight] )

Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/linejnie-neravenstva-i-ih-reshenie/