Медиана треугольника, формулы и примеры

Медиана треугольника, так же, как и высота служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача просто уметь его считать.

Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

• Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
• Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
• Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольника.

Равновеликими называют треугольники, площади которых равны.

Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника.

• Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
• Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

• В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

• Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенуза через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$
• $$c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{9+16}=sqrt{25}=5$$
• Найдем значение медианы: $$m={cover2}={5over2}=2,5$$ – получившееся число и есть значение медианы.

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

• В треугольнике известны значения сторон : a=7; b=8; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

$$m^2 ={1over2}*(a^2+c^2-b^2)$$

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая.

Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=sqrt{{1over2}*(a^2+c^2-b^2)}$$

$$m=sqrt{{1over2}*(49+81-64)}=sqrt{33}$$ – оставим результат в виде корня.

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.

Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

$$S={1over2}*6*8=24$$

Площадь каждого из малых треугольников: $${24over6}=4$$

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 91.

Источник: https://obrazovaka.ru/geometriya/mediana-treugolnika-svoystvo-formula.html

Медиана треугольника

Развернуть структуру обучения

Свернуть структуру обучения

Слово «медиана» переводится как «равноделящая сторону». Чтобы построить медиану, надо середину стороны треугольника соединить отрезком с противолежащей вершиной треугольника. Полученный отрезок и есть медиана треугольника.

Медиана треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

На рисунке красным цветом обозначена медиана CK. При этом она делит сторону AB треугольника пополам, AK = KB.

Свойства медианы треугольника

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, расположенной в плоскости треугольника и являющейся его центром тяжести. 

Для определения этой точки достаточно построить две медианы треугольника, и точка их пересечения будет принадлежать третьей медиане этого треугольника.

• Точкой пересечения медиан треугольника каждая медиана делится в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Т.е. длина отрезка медианы от вершины треугольника до точки пересечения медиан составляет 2/3 всей ее длины, а от точки пересечения медиан до стороны треугольника — 1/3 ее длины.
• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
• Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
• У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают.
• У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

Средняя линия треугольника

Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек. Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

• Длина медианы, проведенной к стороне произвольного треугольника равна половине квадратного корня из удвоенной суммы квадратов двух других сторон из которой вычтен квадрат стороны, к которой проведена медиана (Формула 1)
• Сумма квадратов медиан треугольника равна 3/4 суммы квадратов его сторон (Формула 2)
• Длина стороны треугольника равна 2/3 квадратного корня из удвоенной суммы квадратов медиан, проведенных к двум другим его сторонам за вычетом квадрата медианы, проведенной к искомой стороне (Формула 3)
• Площадь треугольника можно найти через длины его медиан, используя значение полусуммы длин медиан (Формулы 4 и 5)

Содержание главы:

• Как найти длину медианы треугольника

• Нахождение площади через медианы

• Угол между высотой и медианой треугольника

• Медиана прямоугольного треугольника

• Медіана прямокутного трикутника

0  

 Площадь треугольника | Описание курса | Как найти длину медианы треугольника 

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter0571/

Свойства медианы треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Медиана треугольника — это сегмент, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медианов треугольника

Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера (то есть на треугольники с одинаковой площадью).

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

• Весь треугольник делится на его медианы на шесть треугольников равного размера.
• В равнобедренном треугольнике медиана, опустившаяся до основания, является биссектрисой и высотой.
• В равностороннем треугольнике любая медиана — это высота и биссектриса.
• Примеры решения проблем
• ПРИМЕР 1

Задача

В равнобедренном треугольнике ( mathrm{ABC} ) со стороной ( A B=5 mathrm{см} ) медиана была ( B L=4 mathrm{см} ). Найдите область треугольника ( mathrm{ABC} ).

Решение.

1. Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера, затем ( S_{Delta A B L}=S_{Delta B C L} ) , откуда
2. ( S_{Delta A B C}=2 S_{Delta A B L} )
3. Найдите область треугольника ( A B L ). Поскольку треугольник ( mathrm{ABC} ) является равнобедренным, медиана ( mathrm{BL} ) является высотой, то есть ( mathrm{ABL} ) треугольником — прямоугольной и ее площадью
4. ( S_{A B L}=frac{1}{2} A L cdot B L )
5. С помощью теоремы Пифагора мы находим ноги ( mathrm{AL} ):
6. ( A L=sqrt{A B^{2}-B L^{2}}=sqrt{25-16}=3 mathrm{cm} )
7. Замените полученные результаты в области формулы:
8. ( S_{A B L}=frac{1}{2} 3 cdot 4=6 mathrm{cm}^{2} )
9. Теперь мы находим область треугольника ( mathrm{ABC} ):
10. ( S_{A B C}=2 S_{A B L}=2 cdot 6=12 mathrm{cm}^{2} )

Ответ

• ( S_{A B C}=12 )
• ПРИМЕР 2

Задача

В треугольнике ( riangle B C ) со сторонами ( AB=4 mathrm{см} ), ( AC=6 mathrm{cm} ) и углом ( angle A=60^{circ} ) , мы выполнили медианны ( AK ) и ( BL ), которые пересекаются в точке ( O ). Найдите ( BO ).

Решение.

1. Так как ( BL ) — медиана треугольника,
2. ( A L=L C=frac{1}{2} A C=3 mathrm{cm} )
3. Рассмотрим треугольник ( ABL ). По теореме о косинуале находим
4. ( B L=sqrt{A B^{2}+A L^{2}-2 A B cdot A L cos angle A}=sqrt{16+9-2 cdot 4 cdot 3 cdot frac{1}{2}}=sqrt{13} mathrm{см} )

Медианы ( mathrm{AK} ) и ( BL ) пересекаются в точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины, т.е.

$( B O=frac{2}{3} B L=frac{2 sqrt{13}}{3} mathrm{cm} )

Ответ

( B O=frac{2 sqrt{13}}{3} )

Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/svojstva-mediani-treugolnika/

Медианы треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. На Рис.1 АМ — медиана треугольника АВС (соединяет вершину А с серединой стороны ВС точкой М, т.е. ВМ = МС).

Любой треугольник имеет три медианы. На Рис.2, АМ, ВК, СD  — медианы треугольника АВС.

Медиана АМ соединяет вершину А с серединой стороны ВС — точкой М (ВМ = МС), медиана ВК соединяет вершину В с серединой стороны АС — точкой К (ВК = КС), медиана СD соединяет вершину С с серединой стороны АВ — точкой D (АD = DB).

Замечательное свойство медиан треугольника: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. На Рис.2 медианы АВС пересекаются в точке О. При этом, точка О делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т.е. АО : ОМ = ВО : ОК = СО : DO = 2 : 1.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

• Треугольник
• Равенство треугольников
• Первый признак равенства треугольников
• Перпендикуляр к прямой
• Биссектрисы треугольника
• Высоты треугольника
• Равнобедренный треугольник
• Свойства равнобедренного треугольника
• Второй признак равенства треугольников
• Третий признак равенства треугольников
• Окружность
• Построения циркулем и линейкой
• Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

1. 7 класс
2. Задание 114, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
3. Задание 119, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
4. Задание 158, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
5. Задание 336, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
6. Задание 342, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
7. Задание 440, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
8. Задание 727, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
9. Задание 947, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
10. Задание 1054, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
11. Задание 1281, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

• © budu5.com, 2020
• Пользовательское соглашение
• Copyright
• Нашли ошибку?
• Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3316

Медиана — это золотое сечение треугольника

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.

У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.

И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.

Медиана — это..

Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.

Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.

Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.

Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:

• Есть в треугольнике обычномОтрезок очень непростойСоединяет он обычно с серединой стороны любойИ каждый должен знать отлично,
• Зовется медианой он.

Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.

И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!

И выглядят они вот так.

На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.

Пересечение медиан треугольника

Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.

Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.

Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.

Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:

1. Отрезок СО вдвое больше, чем отрезок АО;
2. Отрезок РО вдвое больше, чем отрезок LO;
3. Отрезок МО вдвое больше, чем КО.

Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.

Медиана равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.

Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.

Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.

Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.

Медиана прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.

Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.

Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.

Вместо заключения

А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.

Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.

Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».

И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.

Источник: https://KtoNaNovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/mediana-chto-ehto-takoe-svojstva-mediany-treugolnika.html

Треугольник

Рис. 1. Треугольник (общий случай)

Итак, треугольник, у которого все стороны имеют разную длину и ни один из углов не равен , называется произвольным (рис. 1).

• В случае, если у треугольника равны две стороны, данный треугольник называется равнобедренным.
• В случае, если у треугольника все стороны одинаковы, он называется равносторонним.
• В случае, если у треугольника один и углов прямой (), он называется прямоугольным.
• Для произвольного треугольника вводят ряд отрезков, характеризующих треугольник и обладающих собственными свойствами:

Для разных типов треугольников поиск длин параметров треугольника может происходить по-разному. Для физических задач использование конкретной формулы диктуется конкретными данными задачи.

Рис. 2. Треугольник (биссектриса)

Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла. Т.е. биссектриса — это линия, которая делит угол треугольника пополам (рис. 2). Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для нахождения биссектрисы угла через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

• через две стороны и угол:

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке: данная точка делит медианы в соотношении 2 к 1, считая от вершины (рис. 3).

Рис. 3. Треугольник (медиана)

Для нахождения медианы треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

• через две стороны и угол между ними:

Рис. 4. Треугольник (высота)

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение (рис. 4).

 Для нахождения высоты треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

(5)

• через сторону и площадь треугольника ()

(6)

Важно: то, какую формулу выбрать для решения конкретной задачи, зависит от того, что легче найти, исходя из дано.

Источник: https://www.abitur.by/matematika/teoreticheskie-osnovy-matematiki/treugolnik/