Теорема фалеса и обобщенная теорема, формула

Краткое описание

Фалес хорошо известен в истории как талантливый геометр. Именно этому человеку многие учёные приписывают открытие и доказательство многих теорем.

Фалес смог разработать весьма интересный способ определения точного расстояния от берега до видимого невооружённым взглядом водного транспорта. Некоторые историки склонны полагать, что именно для этих целей учёный использовал признак некоего сходства прямоугольных треугольников.

Современные последователи великого математика высоко ценят все его достижения, что он смог вывести и доказать многочисленные теоремы, законы.

Наиболее логическое доказательство правильности предположений на основании единых положений, принятых за проверенные истины, было изобретено именно греками. Сегодня историкам трудно сказать, что именно в научном перечне принадлежит Фалесу. Конечно, благодаря этому талантливому человеку Греция обрела не только философа и математика, но и естествоиспытателя.

Перед изучением теоремы обязательно нужно понять, что параллелограмм — это самый обычный четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно параллельны.

А вот трапеция является специфическим четырёхугольником, у которого две стороны параллельны друг другу, а две другие стороны обладают противоположными характеристиками.

Изучение этой темы состоит из нескольких частей, так как первым делом нужно ознакомиться с теорией, а только потом можно приступать к решению задач.

Основные понятия

Фалесом было доказано, что две прямые линии RF и NS называются параллельными исключительно в том случае, если они проложены в одной плоскости и не пересекаются между собой вне зависимости от длины. Это правило всегда обозначают как RF || NS.

Абсолютно все существующие точки конкретной прямой располагаются на неизменном расстоянии от второй линии. А это значит, что все линии, которые параллельны одной прямой, являются параллельными между собой.

Математики полагают, что итоговый угол между параллельными линиями приравнивается 0.

Но это утверждение актуально только в том случае, если у отрезков одинаковые направления и они расположены под углом 180 градусов.

В качестве наглядного примера можно рассмотреть ситуацию, когда перпендикуляры RF, NS, EF относятся к одной и той же прямой РЕ и параллельны между собой. При этом прямая РЕ перпендикулярна ко всем остальным линиям.

При изучении пространственной теоремы обязательно нужно понимать, что сразу восемь углов возникает при пересечении двух параллельных прямых третьей прямойю

Представленная специалистами формулировка теоремы Фалеса содержит много нюансов, в которых обязательно должен разбираться каждый человек, планирующий решать различные математические задачи. В противном случае будет сложно избежать самых распространённых ошибок.

Даже кратко изложенная теория позволяет разобраться в главных математических тонкостях. Чтобы ученику стало понятно то, как именно нужно использовать теорему, можно задействовать специальные таблицы, которые помогут расширить итоговые математические возможности.

Научное пояснение значений

Если постараться поочерёдно отложить сразу несколько одинаковых отрезков только на одной из двух прямых линий, а потом провести прямые через конечные точки, которые смогут пересечь вторую прямую, то именно на второй прямой они смогут отсечь равные отрезки. Развёрнутая формулировка этой темы в геометрии носит название теоремы о пропорциональных геометрических отрезках. В качестве наглядного примера следует ознакомиться с этой формулой: S1S2/N1В2 = S2S3/N2N3 = S1S3/N1N3.

Важные нюансы:

• Востребованная теорема греческого математика является частным случаем закона о пропорциональных отрезках, так как идентичные отрезки можно считать пропорциональными с элементарным коэффициентом ровности, который равняется единице.
• В изучаемой теореме нет каких-либо ограничений и требований на взаимное расположение всех секущих. Это связано с тем, что она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных линий. На итоговый результат совершенно не влияет то, где находятся отрезки на секущих.

Для изучения всех нюансов этой темы необходимо рассмотреть вариант, который демонстрирует ситуацию с несвязанными парами отрезков.

К примеру: существующий угол пересекает прямые LL1 || ВВ1 || СС1 || КК1 и при этом LB = СК.

Через точки L и С проводят прямую линию, которая будет расположена параллельно другой стороне сформированного угла LB2В1L1 и СК2К1С1. Свойства параллелограмма тоже имеют свои особенности:

Треугольники ? JSS2 и ? СКК2 равны. Они построены на основании второго признака равенства геометрических фигур. Если целью задачи является безусловное доказательство при параллельных прямых, тогда нужно выполнить несколько несложных действий. Следует провести прямую SC.

Углы SCK и JSC равны как внутренние накрест лежащие при прямых СК и JS, а также секущей SC. А вот углы JCS и CSK равны как внутренние накрест проложенные линии при параллельных прямых JC и SK, секущий SC. Тогда по второму признаку равенства треугольников геометрические фигуры JSC и KCS равны.

Из этого вытекает, что JC = SK и JS = СК.

Ключевые особенности теоремы

Когда учащийся попробует на одной из двух прямых линий отложить разные отрезки, а потом через их концы провести параллельные линии, которые будут пересекать вторую прямую, то в итоге на второй прямой они обязательно отсекут идентичные между собой отрезки. Даже в школьной математике часто пользуются обобщённой теоремой Фалеса: те отрезки, которые формируются только благодаря параллельным прямым на одной линии, являются пропорциональными по отношению к другой прямой линии.

Записи с идеями Фалеса не удалось сохранить до наших дней, из-за чего историкам приходится восстанавливать информацию из разных источников.

Специалистам удалось доказать, что математик из Греции вывел 7 теорем для геометрии.

Основное правило гласит, что если параллельные линии, у которых пересекаются стороны угла, отсекают только на одной его стороне равные отрезки, то аналогичная ситуация происходит и на другой его стороне.

Наглядное доказательство

В качестве примера можно взять точки Н1, Н2 и Н3, которые служат для обозначения пересечения используемых параллельных отрезков только с одной стороны угла. А вот для обозначения точек пересечения этих прямых с другой стороны угла используется К1, К2 и К3. Если через точку К2 провести небольшую прямую Т1 и Т2, а также параллельную Н1 и Н2, то в итоге получится обычный параллелограмм: Н1Т1КН2 и Н2К2Т2Н3. Из этого результата можно понять, что Н1Н2 = Т1К2 и Н2Н3 = К2Т2. Этот результат был достигнут благодаря тому, что Н1Н2 = Н2Н3, а Т1К1 = К2Т2.

? Т1В2В1 = ? Т2В2В3 — это утверждение актуально только по отношению ко второму признаку равенства треугольников. Можно понять, что Т1В2 = В2Т2, < Т1В2В1 = < Т2В2В3 (как вертикальные треугольники).

< В1Т1В2 = < = В3Т2В2 (как внутренние накрест лежащие треугольники при прямых линиях В1Т1 и Т2В3, а также секущем отрезке Т1Т2). Из установленного равенства треугольников получается, что В1В2 = В2В3. На этом можно считать, что теорема в геометрии полностью доказана.

Если всё сделано правильно, то в итоге должна получиться следующая формула: (АВ = ВТ, АА1 || ВВ1 ||ТТ1) А1В1 = В1Т1.

Интересные нюансы из истории

Обобщение теоремы позволило современным математикам понять пропорциональность конкретного отрезка. Действующее правило гласит, что параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают пропорциональные отрезки. Формула выглядит следующим образом: АА1 || ВВ1 || ТТ1 → АВ ВС = А1В1/В1Т1.

Применение обобщённой теоремы имеет несколько интересных исторических фактов:

1. За пределами русской литературы широко распространённой теоремой известного математика Фалеса принято называть раздел евклидовой геометрии. Утверждение касается того, что сформированный угол, который базируется на определённом диаметре окружности, является прямым. Доказательство этой удивительной теоремы действительно приписывают Фалесу, так как этому есть письменное доказательство, которое удалось сберечь.
2. Теоремы Менелая, Фалеса и Чевы используются в первую очередь тогда, когда в условиях задачи были даны соотношения между отрезками. Чаще всего для поиска правильного решения приходится проводить вспомогательный отрезок.
3. В морской отрасли активно используется теорема при построении навигации. Она применяется в качества основного правила о том, что столкновение кораблей, которые движутся по волнам с одинаковой скоростью, неизбежно, если сохранится ранее заданный курс движения.
4. Известная в Аргентине группа представила песню, которая посвящена теореме. В представленном клипе для этой песни было приведено доказательство для прямой теоремы используемых пропорциональных отрезков.
5. Все азы геометрии Фалес постигал на территории Древнего Египта.

Теорему талантливого учёного из Греции активно изучают в 8 классе на уроках геометрии.

Вариации и обобщения

Используемая в геометрии теорема Фалеса с доказательством имеет много нюансов, которые нужно учитывать тем, кто решил изучить эту тему. Если абсолютно идентичные отрезки начинаются от вершины треугольника, то и обратная форма теоремы будет уместной.

Для пересекающихся линий предназначена следующая формулировка: если 2 линии пересекают ближайшие прямые, отсекая при этом равные между собой отрезки начиная от самой верхней части, то такие прямые считаются параллельными.

Эти нюансы часто не учитывают учащиеся, из-за чего допускают грубые ошибки.

Максимального сходства отрезков на обеих секущих линиях нужно требовать в том случае, если секущие являются параллельными. В противном случае утверждение становится неактуальным.

Учащимся нелишним будет узнать следующий закон: L является математическим соответствием между двумя точками прямых линий w и q. Тогда элементарное множество прямых D L (D) будет множеством касательных к некоторому коническому сечению.

Огромные заслуги талантливого математика

В своё время Фалес Милетский был главным основателем Ионийской школы. Неоценимой заслугой этого человека было создание многофункциональной научной геометрии. Великий учёный специфического египетского искусства измерения смог самостоятельно создать полезную для человечества дедуктивную геометрию.

Благодаря целеустремлённости Фалеса все доступные в то время знания были оперативно переведены в научную категорию. Математик смог донести результаты своих наблюдений до того уровня, который подходит для учеников школ, указав при этом на определённый комплекс понятий.

Доказанная талантливым и наблюдательным Фалесом теорема играет одну из самых важных ролей в геометрии. Она была хорошо известна не только в Древнем Египте, но и в других крупных странах.

Актуальность и многогранность теоремы позволяет специалистам ежедневно строить новые здания, дороги и другие конструкции.

Фалес смог при помощи обычного посоха и тени установить габариты египетской пирамиды. Для этого он в обычный ясный день закрепил свой массивный посох на том участке, на котором заканчивалась тень от величественного сооружения. Он весь день прождал того момента, когда итоговая длина имеющейся тени от посоха максимально сравнялась с его высотой, после он измерил длину тени.

Благодаря этому он смог доказать всем, что длина одной тени имеет прямое отношение к другой тени, а вот сама высота посоха прямо пропорциональна высоте пирамиды. Эти соображения учёного поразили могущественного фараона по имени Амасис.

Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/teorema-falesa.html

Теорема Фалеса

Теорема

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки (рис. 1).

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и
для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

Теорема

Обобщённая теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки (рис. 1):

Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать
пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Теорема

Обратная теорема Фалеса

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны (рис. 2).

Замечание. В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Разделить данный отрезок на четыре равные части.

Решение. Пусть — заданный отрезок (рис. 3), который необходимо разделить на четыре равные части.

• Через точку проведем произвольную полупрямую и отложим на ней последовательно четыре равных между собой отрезка .
• Соединим точки и отрезком и проведем через оставшиеся точки , и прямые, параллельные прямой так, чтобы они пересекли отрезок .
• Согласно теореме Фалеса отрезок разделится на четыре равные части.

Пример

Задание. На стороне треугольника отмечена точка . Отрезок пересекает медиану треугольника в точке , причем . Найти отношение .

Решение. Проведем через точку прямую, параллельную , которая пересечет в точке (рис. 4).

1. По теореме Фалеса .
2. По теореме о пропорциональных отрезках имеем, что
3. Ответ.

Историческая справка

Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между
отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок.

Аргентинская музыкальная группа представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни приводится доказательство
для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с
постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_19_17.php

Теорема Фалеса

Если стороны угла, пересекают прямые параллельные линии которые одну из сторон разделяют на несколько отрезков, то и вторую сторону, прямые так же разделят на равнозначны с другой стороной отрезки.

Теорему Фалеса доказывает следующее: С1, С2, С3 — это места где пересекаются прямые параллельные на любой стороне угла. С2 находится посередине относительно С1 и С3.. Точки D1, D2, D3 — это места где пересекаются прямые, которые соответствуют прямым с другой стороной угла. Доказываем, что когда C1C2 = C2Cз, значит и D1D2=D2D3.
Проводим в месте D2 прямой отрезок КР, параллельный участку C1C3. В свойствах параллелограмма C1C2=KD2, C2C3= D2P. Если C1C2=C2C3, то и KD2=D2P.

Полученные треугольные фигуры D2D1K и D2D3P равняются. И D2K=D2P по доказательству. Углы с верхней точкой D2 равняются как вертикальные, а углы D2KD1 и D2PD3 равняются как внутренние накрест лежащие при параллельных C1D1и C3D3 и разделяющей KP.
Так как D1D2=D2D3 теорема доказана по равенству сторон треугольника

Заметка: Если взять не стороны угла, а два прямых отрезка, доказательство будет такое же.
Любые прямые отрезки параллельные друг другу, которые пересекают две рассматриваемые нами прямые и разделяющие одну из них на одинаковые участки, тоже самое делают и со второй.
Рассмотрим несколько примеров

Первый пример

Условием задания требуется разбить прямую СD на п одинаковых отрезков.
Проводим от точки С полу-прямую с, которая не лежит на прямой СD. Отметим на ней одинаковые по величине части.

СС1, С1С2, С2С3 …..Сп-1Сп. Соединяем Сп с D. Проводим прямые от точек С1,С2,….,Сп-1 которые будут параллельны относительно СпD.

Прямые будут пересекать СD в местах D1 D2 D п-1 и разделять прямую СD на п одинаковых отрезков.

Второй пример

На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка СК. Отрезок СК пересекает медиану АМ треугольника в точке Р, при этом АК= АР. Требуется найти отношение ВК к РМ.
Проводим через точку М прямой отрезок, параллельный СК, который пересекает АВ в точке D

По теореме Фалеса ВD=КD
По теореме пропорциональных отрезков получаем, что
РМ = КD = ВК/2, следовательно, ВК : РМ = 2:1

• Ответ: ВК: РМ = 2:1
• Третий пример

В треугольнике АВС, сторона ВС = 8 см. Прямая DE пересекает стороны АВ и ВС параллельно АС. И отсекает на стороне ВС отрезок ЕС = 4см. Доказать, что АD = DВ.

Так как ВС = 8 см и ЕС = 4см, то
ВЕ = ВС-ЕС, следовательно, ВЕ = 8-4 = 4(см)

По теореме Фалеса, так как АС параллельна DE и ЕС = ВЕ то, следовательно, АD = DВ. Что и требовалось доказать.

В женском журнале — онлайн, Вы найдете много интересной информации для себя. Так же есть раздел, посвященный стихам которые написал Сергей Есенин. Заходите не пожалеете!

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/Teorema-Falesa

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса. Доказательство, формулировка, задачи

Скачать реферативно-исследовательскую работу «Теорема Фалеса. Доказательство, формулировка, задачи» в формате doc

Скачать презентацию «Теорема Фалеса. Доказательство, формулировка, задачи» в формате ppt

На страницах Школьного портала Вашему вниманию представлена реферативно-исследовательская работа по математике на тему «Теорема Фалеса. Доказательство, формулировка, задачи», где подробно описываются биографические данные великого математика Фалеса из Милета, его вклад в историю развития математики, как науки, а также теорема Фалеса и ее доказательная база.

Многие авторы считают Фалеса Милетского основателем геометрии, имевшим титул одного из числа «семи мудрецов Греции». Еще его считают первым философом, первым астрономом и математиком в Греции. Если провести аналогию, то можно сделать сравнение: Фалес для Греции сыграл такую же значимую роль, как Ломоносов в судьбе России.

Теорема Фалеса – содержание работы

Цели и задачи проекта
Аннотация
Введение
Глава 1. Теоретический анализ
1.1. Биографические и исторические факты из жизни Фалеса
1.2. Чем знаменит Фалес?
1.3. Разные версии смерти Фалеса
Глава 2. Практическая работа
2.1. Теорема Фалеса
2.2. Доказательство теоремы Фалеса
2.3. Задачи на применение теоремы Фалеса
Заключение
Список литературы

Теорема Фалеса. Открытия и заслуги ее автора

Самым известным из семи мудрецов Греции был, конечно, Фалес Милетский. Он является основателем Ионийской школы, основная идея которой состояла в единстве всего сущего, что все вещи произошли от какого-то единого первоначала. Являясь создателем научной геометрии, Фалес египетское искусство измерения преобразовал в дедуктивную геометрию, которая базируется на общих основаниях.

Как первый астроном, он предсказал полное затмение Солнца в 585 году до нашей эры, также открыл, что наиболее точно определяется север созвездием Малой Медведицы, определил продолжительность года, установил время равноденствий. Как метеоролог он удивительно точно предсказал урожай оливок.

Примечательно и то, что Фалес не ограничивался никогда научно-теоретической областью, и всегда осуществлял практическую деятельность довольно различной направленности. Так, он был и путешественником, и купцом, торгующим солью, и политиком, и инженером.

Теорема Фалеса. Формулировка и доказательство

Теорема Фалеса: Если отложить последовательно на одной прямой из двух несколько одинаковых отрезков, а через концы отрезков провести параллельные прямые, которые пересекают вторую прямую, тогда они отсекут равные между собой отрезки на второй прямой.

Доказательство теоремы: Пусть отложены одинаковые отрезки А1А2, А2А3, А3А4, … на прямой l1 и проведены параллельные прямые через их концы, которые пересекают в точках В1, В2, В3, В4, … прямую l2 (рис.1). Необходимо доказать, равны друг другу отрезки В1В2, В2В3, В3В4, …

Докажем, к примеру, что В1В2 равен В2В3.

Рассмотрим, прежде всего, условие, когда параллельны друг другу прямые l1 и l2 (рис. 1а). В этом случае, мы имеем А1А2 = В1В2, а также А2А3 = В2В3, как стороны параллелограммов, противоположно расположенные относительно друг друга, то есть А1В1В2А2 и А2В2В3А3, поскольку А1А2=А2А3, тогда и В1В2=В2В3.

При условии, что не параллельны прямые l1 и l2, то проведем через точку В1 прямую l, которая будет параллельна прямой l1 (рис.1б). В этом случае, она пересечет в некоторых точках С и D прямые А2В2 и А3В3. Тогда, так как А1А2=А2А3, имеем по доказанному В1С=СD. И получаем отсюда В1В2=В2В3. Точно также можно доказать и то, что В2В3=В3В4 и т.п.

Более подробно о теореме Фалеса и ее доказательствах можно прочитать в полном тексте реферативно-исследовательской работы и презентации, ссылка для скачивания на которые расположена в начале статьи. Просмотреть же презентацию «Теорема Фалеса. Доказательство, формулировка, задачи» можно ниже ↓

Скачать презентацию «Теорема Фалеса. Доказательство, формулировка, задачи»

Источник: http://nashashcola.ru/teorema-falesa.html